第二章圆锥曲线与方程教案

第二章圆锥曲线与方程

一、课程目标

在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上,在本模块中,学生将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想。

二、学习目标：

（1）、圆锥曲线：

①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。

③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。

④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。

⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。

三、本章知识结构框图：

四、课时分配

本章教学时间约需9课时，具体分配如下：

2.1 曲线与方程约1课时

2.2 椭圆约2课时

2.3 双曲线约2课时

2.4 抛物线约2课时

直线与圆锥曲线的位置关系约1课时

小结约1课时

2.1 求曲线的轨迹方程（新授课）

一、教学目标

知识与技能：结合已经学过的曲线及方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，了解两条曲线交点的求法；能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，并初步学会通过方程来研究曲线的性质。

过程与方法：通过求曲线方程的学习，可培养我们的转化能力和全面分析问题的能力，帮助我们理解研究圆锥曲线的基本方法。

情感、态度与价值观：通过曲线与方程概念的学习，可培养我们数与形相互联系，对立统一的辩证唯物主义

观。

二、教学重点与难点

重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．

难点：作相关点法求动点的轨迹方法．

三、教学过程

(一)复习引入

平面解析几何研究的主要问题是：

1、根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；

2、通过方程，研究平面曲线的性质．

我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．

(二)几种常见求轨迹方程的方法

1．直接法

由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．

例1、(1)求和定圆x2+y2=R2的圆周的距离等于R的动点P的轨迹方程；

(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．

对(1)分析：

动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．

解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．

即x2+y2=4R2或x2+y2=0．

故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．

对(2)分析：

题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．解答为：

设弦的中点为M(x，y)，连结OM，

则OM⊥AM．

∵k OM·k AM=-1，

其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．

2．定义法

利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．

直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．

分析：

∵点P在AQ的垂直平分线上，

∴|PQ|=|PA|．

又P在半径OQ上．

∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．

故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义

写出P点的轨迹方程．

解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．

又P在半径OQ上．

∴|PO|+|PQ|=2．

由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．

3．相关点法

若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．

例3、已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)，B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．

分析：

P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．

解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)

∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．

4．待定系数法

求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．

例4、已知抛物线y 2

=4x 和以坐标轴为对称轴、实轴在y 轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线y=2x 被双曲线所截的的线段长等于52，求此双曲线方程。

a 2x 2

-4b 2

x+a 2b 2

=0

∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程a 2x 2-4b 2x+a 2b 2

=0应有等根．

∴△=16b 4-4a 4b 2=0，即a 2

=2b ．

由弦长公式得：

即a 2b 2

=4b 2

-a 2

．

(三)巩固练习

1．△ABC 一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的积是

9

4

，求顶点A 的轨迹。 2．点P 与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？

3．求抛物线y 2=2px(p ＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程． (四)课时小结

求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍．

（五）布置作业：习题2.1 A 组2.3.4 四、课后反思：

2.2.1 椭圆及其标准方程（新授课）

一、教学目标

知识与技能：了解椭圆的实际背景，掌握椭圆的定义及其标准方程。

过程与方法：通过椭圆的概念引入椭圆的标准方程的推导，培养学生的分析探索能力，熟练掌握解决解析问题的方法—坐标法。

情感、态度与价值观：通过对椭圆的定义及标准方程的学习，渗透数形结合的思想，让学生体会运动变化、对立统一的思想，提高对各种知识的综合运用能力．

二、教学重点与难点

重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．

难点：椭圆的标准方程的推导．

三、教学过程

(一)椭圆概念的引入

问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？

问题3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？

一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．

对学生提出的轨迹命题如：

“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．”

“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．”

“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．”

取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．

教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等……

在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：

平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．

学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：

(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．

(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜| F1F2 |，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于| F1F2 |”．

(二)椭圆标准方程的推导

1．标准方程的推导

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．

如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．

(1)建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．

以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设| F1F2 |=2c(c ＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．

(2)点的集合

由定义不难得出椭圆集合为：P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．

(3)代数方程

(4)化简方程（学生板演，教师点拨）

2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)

0)、

F2(c，0)，这里c2=a2-b2；

-c)、

F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．

教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．

(三)例题讲解

例、平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．

分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．

解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=25-16=9．∴b=3

因此，这个椭圆的标准方程是

思考：焦点F1、F2放在y轴上呢？

（四）课堂练习：课本42页练习1、2、3、4

(五) 课时小结

1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．

3．图形

（六）布置作业：习题2.2 A组1、7

四、课后反思

2.2.2 椭圆的简单几何性质（新授课）

一、教学目标

知识与技能：通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并能根据几何性质解决一些简单的问题，从而培养我们的分析、归纳、推理等能力。

过程与方法：掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，进一步体会数形结合的思想。

情感、态度与价值观：通过本小节的学习，进一步体会方程与曲线的对应关系，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

二、教学重点与难点

重点：椭圆的几何性质及初步运用．

难点：椭圆离心率的概念的理解．

三、教学过程

(一)复习提问

1．椭圆的定义是什么？

2．椭圆的标准方程是什么？

(二)几何性质

根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一。

1、范围

即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里，注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．

2．对称性

先请大家阅读课本椭圆的几何性质2．

设问：为什么“把x换成-x，或把y换成-y？，或把x、y同时换成-x、-y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢？

事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．类似可以证明其他两个命题．

同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具

有另一种对称．如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．

事实上，设P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，-y)必在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2(-x，y)必在曲线上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．

最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．

3．顶点

只须令x=0，得y=±b，点B1(0，-b)、B2(0，b)是椭圆和y轴的两个交点；令y=0，得x=±a，点A1(-a，0)、A2(a，0)是椭圆和x轴的两个交点．强调指出：椭圆有四个顶点A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．教师还需指出：

(1)线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；

(2)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；

这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．

4．离心率

教师直接给出椭圆的离心率的定义：

等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义．

先分析椭圆的离心率e的取值范围：

∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．

再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：

(2)当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；

(3)当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就是圆了．

(三)应用

为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例1．

例1、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成．后一部分由教师讲解，以引起学生重视，步骤是：

(2)描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图2-19)．要强调：利用对称性可以使计算量大大减少．

本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的，同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：

设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是

︱MF ︴=a

c d

将上式化简，得：(a 2

-c 2

)x 2

+a 2y 2

=a 2

(a 2

-c 2

)．

这是椭圆的标准方程，所以点M 的轨迹是椭圆． 由此例不难归纳出椭圆的第二定义． (四)椭圆的第二定义 1．定义

平面内点M 与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数

线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率． 2．说明

这时还要讲清e 的几何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比． (五)课时小结

解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关．前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质．布置学生最后小结下列表格：

（五）布置作业

1．求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：

(1)25x2+4y2-100=0，

(2)x2+4y2-1=0．

2．我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面266Km，远地点距地面1826Km，求这颗卫星的轨道方程．

3．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．

四、课后反思：

2.3.1 双曲线及其标准方程（新授课）

一、教学目标

知识与技能：使学生理解并掌握双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程。

过程与方法：了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程，感受双曲线定义在解决实际问题中的作用。

情感、态度与价值观：通过对双曲线的定义及标准方程的学习，渗透数形结合的思想，启发我们在研究问题时，抓住问题的本质。

二、教学重点与难点

重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．

难点：双曲线的标准方程的推导．

三、教学过程

(一)复习提问

1．椭圆的定义是什么？

平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．教师要强调条件：(1)平面内；

(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a＞|F1F2|．

2．椭圆的标准方程？

(二)双曲线的概念

把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？

1．简单实验(边演示、边说明)

如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．

注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．

2．设问

问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？

请学生回答，不能．强调“在平面内”．

问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？

请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，|MF1|＞|MF2|；当点M在双曲线左支上时，|MF1|＜|MF2|．问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？

请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正确表示为||MF2|-|MF1||．

问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？

请学生回答，应小于|F1F2|且大于零．当常数=|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数＞|F1F2|时，无轨迹．

3．定义

在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：

平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．

教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．

(三)双曲线的标准方程

现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．标准方程的推导：

(1)建系设点

取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)

建立直角坐标系．

设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．

(2)点的集合

由定义可知，双曲线就是集合：

P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．

(3)代数方程

(4)化简方程(由学生演板)

将这个方程移项，两边平方得：

化简整理得：

(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．

(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)

由双曲线定义，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0．

设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：

b2x2-a2y2=a2b2．

这就是双曲线的标准方程．

两种标准方程的比较(引导学生归纳)：

说明：

(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；

(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．

(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．

(四)例题讲解：

1．求满足下列的双曲线的标准方程：焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；

3．已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？

解：由定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．

因为2a=12，2c=10，且2a＞2c．

所以动点无轨迹．

(五)课时小结

1．定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．

3．图形：

4．焦点：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)．

5．a、b、c的关系：c2=a2+b2

五、布置作业

1．根据下列条件，求双曲线的标准方程：

(1)焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点A(-5，2)；

3．已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦点坐标．

四、课后反思：

2.3.2 双曲线的几何性质（新授课）

一、教学目标

知识与技能：理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能根据这些几何性质解决一些简单问题，从而培养我们的分析、归纳和推理等能力。

过程与方法：在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，进一步体会数形结合的思想，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法。

情感、态度与价值观：通过本小节的学习，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题．

二、教学重点与难点

重点：双曲线的几何性质及初步运用．

难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证．

三、教学过程

(一)复习提问引入新课

1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？

2．双曲线的两种标准方程是什么？

下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．

(二)类比联想得出性质(性质1～3)

引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启发、订正并板书)．

(三)问题之中导出渐近线(性质4)

在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计

仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想．接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？

下面，我们来证明它：

双曲线在第一象限的部分可写成：

当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．

在其他象限内也可以证明类似的情况．

现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x 轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字母对调

这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精

再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．

(四)离心率(性质5)

由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：

变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．

这时，教师指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．

(五)典型例题剖析：

1．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3．

焦点坐标是(0，-5)，(0，5)．

本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结．解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合：

化简得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．

这就是双曲线的标准方程．

由此例不难归纳出双曲线的第二定义．

(六)双曲线的第二定义

1．定义(由学生归纳给出)

平面内点M与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数e=

叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．

2．说明

(七)课时小结：

将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结．

（八）布置作业

1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程．

(1)16x2-9y2=144；

(2)16x2-9y2=-144．

2．求双曲线的标准方程：

(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；

(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；

曲线的方程．

点到两准线及右焦点的距离．

四、课后反思：

2.4.1 抛物线及其标准方程（新授课）

一、教学目标

知识与技能：使学生掌握抛物线的定义，理解焦点、准线方程的几何意义，能够根据已知条件写出抛物线的标准方程。

过程与方法：掌握开口向右的抛物线的标准方程的推导过程，进一步理解求曲线的方法——坐标法；通过本节课的学习，学生在解决问题时应具有观察、类比、分析和计算的能力。

情感、态度与价值观：通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．

二、教学重点与难点

重点：抛物线的定义和标准方程．

难点：抛物线的标准方程的推导．

三、教学过程

(一)导出课题

我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．

请大家思考两个问题：

问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？

在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？

问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？

在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．

引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．

(二)抛物线的定义

1．回顾

平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？

2．简单实验

如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一

条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．

3．定义

这样，可以把抛物线的定义概括成：

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．

(三)抛物线的标准方程

设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？

让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：

方案1：(由第一组同学完成，请一学生板练．)

以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-

30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．

化简后得：y2=2px-p2(p＞0)．

方案2：(由第二组同学完成，请一学生板练)

以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l 的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：

p={M||MF|=|MD|}．

化简得：y2=2px+p2(p＞0)．

方案3：(由第三、四组同学完成，请一学生板练．)

取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．

抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．

化简后得：y2=2px(p＞0)．

比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？

引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．

由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：