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基于MATLAB的方差分析

基于MATLAB 的方差分析

（重庆科技学院数理学院）

摘要：方差分析是重要的，应用广泛的实验数据统计分析方法，其实质是检验多个变量均

值的一致性。运用MATLAB 软件进行单因子及双因子方差分析。关键字：方差分析，MATLAB,单因子，双因子。

1 引言

方差分析是分析试验（或观测）数据的一种统计方法。在工农业生产和科学研究中，

经常要分析各种因素及因素之间的交互作用对研究对象某些指标值的影响。在方差分析中，把试验数据的总波动（总变差或总方差）分解为由所考虑因素引起的波动（各因素的变差）和随机因素引起的波动（误差的变差），然后通过分析比较这些变差来推断哪些因素对所考察指标的影响是显著的，哪些是不显著的。

2 单因子方差分析

某个可控制因素A 对结果的影响大小可通过如下实验来间接地反映，在其它所有可控制因素都保持不变的情况下，只让因素A 变化，并观测其结果的变化，这种试验称为“单因素试验”。因素A 的变化严格控制在几个不同的状态或等级上进行变化，因素A 的每个状态或等级成为因素A 的一个水平。若因素A 设定了s 个水平，则分别记为 A 1，A 2，…，A s 。

数学模型：

2(,),1,2,...,.i

i X N i s μσ= (1)

显著性影响问题转化为因素A 不同水平下各随机变量总体的均值是否相等问题，即检验假设

012:s H μμμ==

=是否成立 (2)

记号

ij x ：不同水平下的试验结果，i=1,2,…,s ；j=1,2,…,n i ；

n=n 1+n 2+…+n s ：试验总数；

总平均：11

n s ij i j x x n ===∑∑；

总离差平方和：22

()i

n s T

i j S x

x ===

-∑∑；组内平方和（误差平方和）：2

211()i

n s E

i i j S x

x ===

-∑∑，随机因素的影响；

组间平方和（因素平方和）：2

211

()i

n s

A i

i j S x

x ===-∑∑，水平差异的影响；

H 0的拒绝域为：

()(1,)(1)A E n s S W F s n s s S α??-=>--??-??

检验结果：

高度显著：2

0.012

()(1,)(1)A

n s S F s n s s S ->---；显著：2

0.010.052

()(1,)(1,)(1)A

E n s S

F s n s F s n s s S ---≥>---；有一定影响：2

0.050.12

()(1,)(1,)(1)A

E n s S

F s n s F s n s s S ---≥>---；无显著影响：2

0.12

()(1,)(1)A

n s S F s n s s S -≤---。可构造方差表来完成计算：

方差来源平方和

自由度均方

比值显著性因素A 的影响 2A S s-1 2

A S A s S -=

22A

S F S =

随机因素的影响

2E S

n-s

22E S E n s

S -=

总和

2T S

n-1

3 单因子方差分析的MATLAB实现

单因素方差分析是比较两组或多组数据的均值,它返回原假设——均值相等的概率

函数anova1

格式p = anova1(X) %X的各列为彼此独立的样本观察值,其元素个数相同,p为各列均值相等的概率值,若p值接近于0,则原假设受到怀疑,说明至少有一列均值与其余列均值有明显不同.

p = anova1(X,group) %X和group为向量且group要与X对应

p = anova1(X,group,'displayopt') % displayopt=on/off表示显示与隐藏方差分析表图和盒图[p,table] = anova1(…) % table为方差分析表

[p,table,stats] = anova1(…) % stats为分析结果的构造

说明anova1函数产生两个图:标准的方差分析表图和盒图.

方差分析表中有6列:第1列(source)显示:X中数据可变性的来源;第2列(SS)显示:用于每一列的平方和;第3列(df)显示:与每一种可变性来源有关的自由度;第4列(MS)显示:是SS/df 的比值;第5列(F)显示:F统计量数值,它是MS的比率;第6列显示:从F累积分布中得到的概率,当F增加时,p值减少.

例一位教师想要检查3种不同的教学方法的效果，为此随机地选取水平相当的15位学生。把他们分为3组，每组5人，每一组用一种方法教学，一段时间以后，这位教师给15位学生进行统考，成绩见下表1。问这3种教学方法的效果有没有显著差异。

表1 学生统考成绩表

方法成绩

甲75 62 71 58 73

乙71 85 68 92 90

丙73 79 60 75 81

Matlab中可用函数anova1(…)函数进行单因子方差分析。

调用格式：p=anova1(X)

含义：比较样本m×n的矩阵X中两列或多列数据的均值。其中，每一列表示一个具有m 个相互独立测量的独立样本。

返回：它返回X中所有样本取自同一总体（或者取自均值相等的不同总体）的零假设成立的概率p。

解释：若p值接近0（接近程度有解释这自己设定），则认为零假设可疑并认为至少有一个样本均值与其它样本均值存在显著差异。

Matlab程序：

Score=[75 62 71 58 73;81 85 68 92 90;73 79 60 75 81]’;

P=anova1(Score)

方差分析表

盒型图

由于p值小于0.05，拒绝零假设，认为3种教学方法存在显著差异。

4 双因素方差分析

上面讲解了单因素试验的方差分析问题，但在科研和实际生产中，常常需要同时研究两个以上因素对实验结果的影响情况。若同时研究两个因素对实验结果的影响，就要对两个实验因素进行方差分析。对于双因素方差分析，其基本思想和方法与单因素方差分析相似，前提条件仍然是要满足独立，方差具有齐性、正态。不同的是，在双因素试验中，有可能出现交互作用。按照是否进行重复试验，双因素方差分析又分为两种，即有重复和无重复，下面主要来介绍双因素重复试验的方差分析。

双因素方差分析可以用函数anova2()来实现，格式如

下：

P=anova2(X，reps)；

[p,table,stats]=anova2

anova2(x)

进行均衡的双因素方差分析，比较数据X中两列或多列及两行或多行的均值。不同列中的数据表示因素A引起的变化情况；不同行中的数据表示因素B引起的变化情况。如果对于因素A和B的每一种水平组合都超过一个的观测值(这种

情况又称重复试验双因素方差分析，即因素A和B有交互)，则输入reps表示每个单元(cell)(对应一个水平组合)中观察值的个数，它必须为常数(对于不均衡设计，使用函数anova)。当reps为l(缺省值)时(即因素A和B没有交互)，anova2返回的向量P中含有两个概率值(p一值)。

下面从不考虑交互作用和考虑交互作用，两方面举例说明anova2()的使用。

例

一火箭使用了4种燃料,3种推进器作射程试验,每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭2次,得到结果如下:

推进器(B) B1 B2 B3

A1 58.2000 56.2000 65.3000

52.6000 41.2000 60.8000

A2 49.1000 54.1000 51.6000

燃料A 42.8000 50.5000 48.4000

A3 60.1000 70.9000 39.2000

58.3000 3.2000 40.7000

A4 75.8000 58.2000 48.7000

71.5000 51.0000 41.4000

考察推进器和燃料这两个因素对射程是否有显著的影响

MATLAB输入：

求得p=0.0035 0.0260 0.001,表明各试验均值相等的概率都为小概率，故可拒绝均值相等的假设。即认为不同燃料（因子A）.不同推进器（因子B）下的射程有显著的差异，交互作用也是显著的。

5 结束语

假设检验和方差分析是数理统计计算中重要的内容，但由于他们在实际计算与应用中，经常会遇到一些复杂繁琐的计算，这往往是我们力所不能及的。面对这些难题，我们可以借助于MATLAB进行实现。

通过对假设检验以及方差分析问题的MA TLAB求解，我们可以清晰的看到，对于假设检验和方差分析中一些复杂繁琐的数据计算问题，可以通过MATLAB简便直观的处理，给予我们学习和工作带来极大的方便。

6 参考文献

[1] 赵静，但琦．数学建模与数学实验（第三版），北京：高等教育出版社.

[2] 薛定宇,陈阳泉. 高等应用数学问题的MATLAB求解（第二版）.清华大学出版社.

[3] 张德丰等编著. MA TLAB概率与数理统计分析. 机械工业出版社.

利用Matlab作方差分析

利用Matlab作方差分析例1（单因素方差分析）一位教师想要检查3种不同的教学方法的效果，为此随机地选取水平相当的15位学生。把他们分为3组，每组5人，每一组用一种方法教学，一段时间以后，这位教师给15位学生进行统考，成绩见下表1。问这3种教学方法的效果有没有显著差异。表1 学生统考成绩表 Matlab中可用函数anova1(…)函数进行单因子方差分析。调用格式：p=anova1(X) 含义：比较样本m×n的矩阵X中两列或多列数据的均值。其中，每一列表示一个具有m个相互独立测量的独立样本。返回：它返回X中所有样本取自同一总体（或者取自均值相等的不同总体）的零假设成立的概率p。解释：若p值接近0（接近程度有解释这自己设定），则认为零假设可疑并认为至少有一个样本均值与其它样本均值存在显著差异。 Matlab程序： Score=[75 62 71 58 73;81 85 68 92 90;73 79 60 75 81]’; P=anova1(Score) 输出结果：方差分析表和箱形图 ANOVA Table Source SS df MS F Prob>F Columns 2 Error 12 Total 14 由于p值小于，拒绝零假设，认为3种教学方法存在显著差异。

例2（双因素方差分析）为了考察4种不同燃料与3种不同型号的推进器对火箭射程（单位：海里）的影响，做了12次试验，得数据如表2所示。表2 燃料-推进器-射程数据表在Matlab中利用函数 anova2函数进行双因素方差分析。调用格式：p=anova2(X,reps) 含义：比较样本X中两列或两列以上和两行或两行以上数据的均值。不同列的数据代表因素A的变化，不同行的数据代表因素B的变化。若在每个行-列匹配点上有一个以上的观测量，则参数reps指示每个单元中观测量的个数。返回：当 reps=1（默认值）时，anova2将两个p值返回到向量p中。 H0A：因素A的所有样本（X中的所有列样本）取自相同的总体； H0B：因素B的所有样本（X中的所有行样本）取自相同的总体。当reps>1时，anova2还返回第三个p值： H0AB：因素A与因素B没有交互效应。解释：如果任意一个p值接近于0，则认为相关的零假设不成立。 Matlab程序：disp1=[ ; ; ; ]’; p=anova2(disp1,1) 输出结果：方差分析表ANOVA Table Source SS df MS F Prob>F Columns 3 Rows 2 Error 6 12 Total 11

方差分析matlab实现

方差分析matlab实现一、单因素分析单因素方差分析的命令为：p=anoval(x,group)) 数据x是一个向量，从第1个总体的样本到第r个总体的样本一次排序，group 是一个与x有相同长度的向量，表示x中的元素是如何分组的，可以用同一个整数代表同一个组也可以用相同的字符代表相同的一个组。 Anoval还给出了两幅图表:一个是标准的方差分析表；一个是x中各组的盒子图，如果盒子图的中心线差别很大，则对应的F值很大，相应的概率值（p值）也小。零假设为各样本具有相同的均值，如果p值接近于零，则拒绝零假设。例 1 设有三台机器, 用来生产规格相同的铝合金薄板,取样测量薄板的厚度精确至千分之一厘米. 得结果如下表所示. 表8-1A 铝合金板的厚度这里, 试验的指标是薄板的厚度，机器为因素, 不同的三台机器就是这个因素的三个不同的水平. 如果假定除机器这一因素外, 材料的规格、操作人员的水平等其它条件都相同，这就是单因素试验. 试验的目的是为了考察各台机器所生产的薄板的厚度有无显著的差异, 即考察机器这一因素对厚度有无显著的影响. 如果厚度有显著差异, 就表明机器这一因素对厚度的影响是显著的。该问题单因素方差分析调用程序如下：解：chengxu6 x=[0.236 0.238 0.248 0.245 0.243 0.257 0.253 0.255 …

0.254 0.261 0.258 0.264 0.259 0.267 0.262]; group=[1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3]; p=anova1(x,group); x1=x(1:5);x2=x(6:10);x3=x(11:15); 判断效应值，得如下结果 ? Source SS df MS F Prob>F ? ------------------------------------------------------ ? Groups 0.00105 2 0.00053 32.92 1.34305e-005 ? Error 0.00019 12 0.00002 ? Total 0.00125 14 a =0.0113 0.0027 0.0087 a 为效应向量，显然对于此问题效应越小越好，所以第二台机器比较好。例某食品公司对一种食品设计了四种新包装. 为了考察哪种包装最受欢迎, 选了十个有近似相同销售量的商店作试验, 其中两种包装各指定两个商店销售, 另两种包装各指定三个商店销售. 在试验期中各商店的货架排放位置、空间都尽量一致, 营业员的促销方法也基本相同. 观察在一定时期的销售量, 数据如表7.1.1所示: 表7.1.1 销售量在本例中, 我们要比较的是四种包装的销售量是否一致, 为此把包装类型看成是一个因子, 记为因子A , 它有四种不同的包装, 就看成是因子A 的四个水平, 记为4321,,,A A A A .一般将第i 种包装在第j 个商店的销售量记为 i ij m j i x ,,2,1;4,3,2,1,Λ== (在本例中,2,3,3,24321====m m m m ). 由于商店间的差异已被控制在最小的范围内, 因此一种包装在不同商店里

统计学教案习题05方差分析

第五章方差分析一、教学大纲要求（一）掌握内容 1．方差分析基本思想（1）多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。（2）多组均数比较的检验假设和F 值的意义。（3）方差分析的使用条件。 2．常见实验设计资料的方差分析（1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。（2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。（3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t 检验法；Dunnett-t 检验法；SNK-q 检验法。（二）熟悉内容多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。（三）了解内容两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。二、教学内容精要 (一) 方差分析的基本思想 1．基本思想方差分析（analysis of variance ，ANOV A ）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean ，SS ）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS 组间可由处理因素的作用加以解释。通过各变异来源的均方和误差均方比值的大小，借助F 分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。 2．分析三种变异（1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups ），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时），也包括了随机误差（包括个体差异及测定误差）, 其大小可用组间均方（MS 组间）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ，其中，SS 组间= 21 )(x x n k i i i -∑= ，组间ν=k -1为组间自由度。k 表示处理组数。（2）组内变异：各处理组内部观察值之间不尽相同，这种变异叫做组内变异(variation within groups)，组内变异反映了随机误差的作用，其大小可用组内均方 (组内MS ) 表示，组内组内组内ν/SS MS = ，其中∑∑==?? ? ???-=k i n j i ij i x x SS 112)(组内 , k N -=组内ν，为组内均方自由度。（3）总变异：所有观察值之间的变异（不分组），这种变异叫做总变异(total variation)。其大小可用全体数据的方差表示，也称总均方(MS 总 )。按方差的计算方法，MS 总= 总总ν/SS ，其中SS 总=211 )(∑∑==-k i n j ij i x x , k 为处理组数，i n 为第i 组例数，总ν=N -1为总的自由度， N 表示总例数。（二）方差分析的使用条件（1）各样本是相互独立的随机样本，且来自正态分布总体。（2）各样本的总体方差相等，即方差齐性(homoscedasticity)。（三）不同设计资料的方差分析 1．完全随机设计的单因素方差分析（1）资料类型：完全随机设计(completely random design)是将受试对象完全随机地分配到各个处理组。设计因素

多元方差分析matlab程序

x=[1.7541 13.95 -0.4048 1.4666 0.013394 2.0081 24.02 0.2926 1.1369 0.006832 0.1431 13.29 -1.1024 0.0833 0.098995 0.7571 21.54 0.4785 0.7129 0.0183 0.0001 12.19 -0.1576 0.1084 0.076041 1.5481 16.86 0.0295 -0.2196 0.002411 0.1601 17.17 0.2114 -0.1427 0.126538 1.5111 16.34 0.1295 -0.3673 0.06839 1.1721 16.93 0.5895 -0.1423 0.081091 0.3351 14.31 1.5193 0.4275 0.040945 0.1051 13.18 -0.0401 -0.7828 0.000214 1.5481 15.1 0.181 -0.2239 0.028667 0.0001 11.58 -0.4348 0.0059 0.053359 0.3251 12.95 -1.1025 0.4149 0.134351 0.4581 32.38 -0.3326 -3.4022 0.002839 2.0681 1 3.96 -2.0022 2.0934 0.090616 1.7841 14.75 -1.7051 -1.4627 0.06561 1.0541 17.14 -0.3084 - 2.6986 0.002113 1.5511 1 2.82 -0.6163 3.8799 0.012266 1.2361 16.22 - 2.1802 1.3637 0.086214 2.2401 15.97 -1.4668 8.3393 0.005284 ] x =1.7541 13.9500 -0.4048 1.4666 0.0134 2.0081 24.0200 0.2926 1.1369 0.0068 0.1431 13.2900 -1.1024 0.0833 0.0990 0.7571 21.5400 0.4785 0.7129 0.0183 0.0001 12.1900 -0.1576 0.1084 0.0760 1.5481 16.8600 0.0295 -0.2196 0.0024 0.1601 17.1700 0.2114 -0.1427 0.1265 1.5111 16.3400 0.1295 -0.3673 0.0684 1.1721 16.9300 0.5895 -0.1423 0.0811 0.3351 14.3100 1.5193 0.4275 0.0409 0.1051 13.1800 -0.0401 -0.7828 0.0002 1.5481 15.1000 0.1810 -0.2239 0.0287 0.0001 11.5800 -0.4348 0.0059 0.0534 0.3251 12.9500 -1.1025 0.4149 0.1344 0.4581 32.3800 -0.3326 -3.4022 0.0028 2.0681 1 3.9600 -2.0022 2.0934 0.0906 1.7841 14.7500 -1.7051 -1.4627 0.0656 1.0541 17.1400 -0.3084 - 2.6986 0.0021 1.5511 1 2.8200 -0.6163 3.8799 0.0123 1.2361 16.2200 - 2.1802 1.3637 0.0862 2.2401 15.9700 -1.4668 8.3393 0.0053 >> x'

方差分析教案

第六章方差分析第一节完全随机设计的方差分析菏泽医学专科学校崔琳林

前面我们学过了两均数的比较，用的是t检验。如果是三个，或三个以上的均数比较，用什么方法呢？这时我们引入了方差分析。我们先来看完全随机设计的方差分析这里我先举一个例子来介绍完全随机设计的方差分析例6.1 拟探讨枸杞多糖（LBP）对酒精性脂肪肝大鼠GSH （mg/gprot）的影响，将36只大鼠随机分为甲、乙、丙三组，其中甲（正常对照组）12只，其余24只用乙醇灌胃10周造成大鼠慢性酒精性脂肪肝模型后，再随机分为2组，乙（LBP治疗组）12只，丙（戒酒组）12只，8周后测量三组GSH值。试问三种处理方式大鼠的GSH值是否相同？实验设计三要素实验对象——大鼠(三组) 处理因素——三组分别为正常对照组、酒精肝未经LBP治疗组，酒精肝使用LBP治疗组实验效应——三种处理因素下大鼠体内GSH值有无异同

将上述三组大鼠体内GSH 值整理如下表要比较三种处理方法下的大鼠GSH 值有无差别，我们可以看到三组样本的均数不相同，那三组样本的总体是否也不同呢？我们用方差分析的方法来推断。我们开始观察这组资料，发现各观测值和总的均数之间存在变异，这个变异我们把它叫做总变异记为T SS ，我们用离均差平方和来表示，即它所对应的自由度为 1-=n T ν 例6.1 三组大鼠GSH 值（mg/gprot ）甲乙丙合计 79.81 87.58 60.29 80.60 70.73 62.63 … … … 104.28 80.36 46.56 72.29 56.40 55.23 全部数据 i n 12 12 12 36 i X 83.15 75.63 52.27 70.35 i 12.30 11.07 10.85 17.35 ∑∑==-=k i n j ij T i X X SS 112 )(

origin方差分析

实验六《实验数据的方差分析》一、实验目的 1. 了解方差分析原理。 2. 掌握实验数据方差分析的计算机操作方法。 3. 分析运算结果，对实验结果做出正确解释，以掌握方差分析的运用。二、方差分析简介设A 因素有n 个水平，分别记为A 1、A 2、…、A n ，每个水平重复进行m 次试验，总共进行了n ×m 次试验，结果记为x ij （i=1,2,…,n; j= 1,2,…,m)。则总均值： 11 1n m ij i j x x n m ===×∑∑ 某水平实验结果的平均值： 1 1m i i j j x x m ==∑ 总偏差平方和Q T ： 2 2 11112 2 11 1 ()[()() ()() n m n m T ij ij i i i j i j n m n ij i i i j i E A Q x x x x x x x m x x Q Q ========?=?+?=?+?=+∑∑∑∑∑∑∑]x 上式中Q E 为组内偏差平方和，即每个水平下各实验结果与该水平平均值之差的平方和。 Q E 反映误差的大小，故又称为误差平方和。Q A 为组间偏差平方和，它反映水平的改变对试验结果的影响。 Q A 事实上反映了因素对试验结果的影响，故又称为因素偏差平方和。各偏差平方和的自由度（变量的总个数）：

组内偏差平方和的自由度： (1E f n m n n m )=×?=? 组间偏差平方和的自由度： 1A f n =? 总偏差平方和的自由度： 1T f n m =×? 方差与偏差平方和的关系为： 2 Q S f = 组内方差： 2E E E E Q Q S f n m n ==×? 组间方差： 21 A A A A Q Q S f n = =? 总方差： 21 T T T T Q Q S f n m = =×? 方差分析指导思想就是根据偏差平方和的加和性，总偏差平方和可以分解成为组间偏差平方和与组内偏差平方和，前者反映了因素对试验结果的影响，后者反映了误差对试验结果的影响。根据数学原理对组间偏差平方和与组内偏差平方和进行合理的比较，就能分析出因素对试验结果的影响程度、性质。令： 221(1) A A E E Q S n F Q S n m ?==? 1. F 值应接近于1。如果F 比1大得多，表明组间方差比组内方差大得多。 2. 如果F 0.01(f A ,f E )>F ≥ F 0.05(f A ,f E ) ，由于F ≥ F 0.05(f A ,f E ) 出现的概率只有5

利用Matlab作方差分析

利用Matlab作方差分析例1 （单因素方差分析）一位教师想要检查3种不同的教学方法的效果，为此随机地选取水平相当的15位学生。把他们分为3组，每组5人，每一组用一种方法教学，一段时间以后，这位教师给15位学生进行统考，成绩见下表1。问这3种教学方法的效果有没有显著差异。表1学生统考成绩表 Matlab中可用函数anova1（??函数进行单因子方差分析。调用格式：p=anova1（X）含义：比较样本m X n的矩阵X中两列或多列数据的均值。其中，每一列表示一个具有m个相互独立测量的独立样本。返回：它返回X中所有样本取自同一总体（或者取自均值相等的不同总体）的零假设成立的概率p。解释：若p值接近0 （接近程度有解释这自己设定），则认为零假设可疑并认为至少有一个样本均值与其它样本均值存在显著差异。Matlab程序：Score=[75 62 71 58 73;81 85 68 92 90;73 79 60 75 81] ' ; P=a no va输出结果：方差分析表和箱形图ANOVA Table Source SS df MS F Prob>F Columns 604.9333 2 302.4667 4.2561 0.040088 Error 852.8 12 71.0667 Total 1457.7333 14 由于p值小于0.05，拒绝零假设，认为3种教学方法存在显著差异。

例2 （双因素方差分析）为了考察4种不同燃料与3种不同型号的推进器对火箭射程（单位：海里）的影响，做了 12次试验，得数据如表 2所示。表2燃料-推进器-射程数据表在Matlab 中利用函数anova2函数进行双因素方差分析。调用格式：p=anova2（X,reps ）含义：比较样本X 中两列或两列以上和两行或两行以上数据的均值。不同列的数据代表因素 A 的变化，不同行的数据代表因素 B 的变化。若在每个行-列匹配点上有一个以上的观测量，则参数 reps 指示每个单元中观测量的个数。返回：当reps=1 （默认值）时，anova2将两个p 值返回到向量p 中。 HOA : 因素A 的所有样本（X 中的所有列样本）取自相同的总体; H0B :因素B 的所有样本（X 中的所有行样本）取自相同的总体。当reps>1时，anova2还返回第三个p 值： H0AB :因素A 与因素B 没有交互效应。解释：如果任意一个p 值接近于0,则认为相关的零假设不成立。 Matlab 程序: disp 仁[58.2 56.2 65.3;49.1 54.1 51.6;60.1 70.9 39.2;75.8 58.2 48.7] ;p=a no va2(disp‘ 输出结果：方差分析表 ANOVA Table Source SS df MS F Prob>F Colu mns 157.59 3 52.53 0.43059 0.73875 Rows 223.8467 2 111.9233 0.91743 0.44912 Error 731.98 6 12 1.9967 Total 1113.4167 1 1 由于燃料和推

基于MATLAB的方差分析

基于MATLAB 的方差分析（重庆科技学院数理学院）摘要：方差分析是重要的，应用广泛的实验数据统计分析方法，其实质是检验多个变量均值的一致性。运用MATLAB 软件进行单因子及双因子方差分析。关键字：方差分析，MATLAB,单因子，双因子。 1 引言方差分析是分析试验（或观测）数据的一种统计方法。在工农业生产和科学研究中，经常要分析各种因素及因素之间的交互作用对研究对象某些指标值的影响。在方差分析中，把试验数据的总波动（总变差或总方差）分解为由所考虑因素引起的波动（各因素的变差）和随机因素引起的波动（误差的变差），然后通过分析比较这些变差来推断哪些因素对所考察指标的影响是显著的，哪些是不显著的。 2 单因子方差分析某个可控制因素A 对结果的影响大小可通过如下实验来间接地反映，在其它所有可控制因素都保持不变的情况下，只让因素A 变化，并观测其结果的变化，这种试验称为“单因素试验”。因素A 的变化严格控制在几个不同的状态或等级上进行变化，因素A 的每个状态或等级成为因素A 的一个水平。若因素A 设定了s 个水平，则分别记为 A 1，A 2，…，A s 。数学模型： 2(,),1,2,...,.i i X N i s μσ= (1) 显著性影响问题转化为因素A 不同水平下各随机变量总体的均值是否相等问题，即检验假设 012:s H μμμ== =是否成立 (2) 记号 ij x ：不同水平下的试验结果，i=1,2,…,s ；j=1,2,…,n i ； n=n 1+n 2+…+n s ：试验总数；总平均：11 1i n s ij i j x x n ===∑∑；

matlab与统计回归分析 (1)

一Matlab作方差分析方差分析是分析试验（或观测）数据的一种统计方法。在工农业生产和科学研究中，经常要分析各种因素及因素之间的交互作用对研究对象某些指标值的影响。在方差分析中，把试验数据的总波动（总变差或总方差）分解为由所考虑因素引起的波动（各因素的变差）和随机因素引起的波动（误差的变差），然后通过分析比较这些变差来推断哪些因素对所考察指标的影响是显著的，哪些是不显著的。【例1】（单因素方差分析）一位教师想要检查3种不同的教学方法的效果，为此随机地选取水平相当的15位学生。把他们分为3组，每组5人，每一组用一种方法教学，一段时间以后，这位教师给15位学生进行统考，成绩见下表1。问这3种教学方法的效果有没有显著差异。表1 学生统考成绩表方法成绩甲75 62 71 58 73 乙71 85 68 92 90 丙73 79 60 75 81 Matlab中可用函数anova1(…)函数进行单因子方差分析。调用格式：p=anova1(X) 含义：比较样本m×n的矩阵X中两列或多列数据的均值。其中，每一列表示一个具有m 个相互独立测量的独立样本。返回：它返回X中所有样本取自同一总体（或者取自均值相等的不同总体）的零假设成立的概率p。

解释：若p值接近0（接近程度有解释这自己设定），则认为零假设可疑并认为至少有一个样本均值与其它样本均值存在显著差异。 Matlab程序： Score=[75 62 71 58 73;81 85 68 92 90;73 79 60 75 81]’; P=anova1(Score) 输出结果：方差分析表和箱形图 ANOVA Table Source SS df MS F Prob>F Columns 604.9333 2 302.4667 4.2561 0.040088 Error 852.8 12 71.0667 Total 1457.7333 14 由于p值小于0.05，拒绝零假设，认为3种教学方法存在显著差异。例2（双因素方差分析）为了考察4种不同燃料与3种不同型号的推进器对火箭射程（单位：海里）的影响，做了12次试验，得数据如表2所示。表2 燃料-推进器-射程数据表推进器1 推进器2 推进器3 燃料1 58.2 56.2 65.3 燃料2 49.1 54.1 51.6 燃料3 60.1 70.9 39.2 燃料4 75.8 58.2 48.7 在Matlab中利用函数anova2函数进行双因素方差分析。调用格式：p=anova2(X,reps)

多因素方差分析讲课教案

多因素方差分析是对一个独立变量是否受一个或多个因素或变量影响而进行的方差分析。SPSS调用“Univariate”过程，检验不同水平组合之间因变量均数，由于受不同因素影响是否有差异的问题。在这个过程中可以分析每一个因素的作用，也可以分析因素之间的交互作用，以及分析协方差，以及各因素变量与协变量之间的交互作用。该过程要求因变量是从多元正态总体随机采样得来，且总体中各单元的方差相同。但也可以通过方差齐次性检验选择均值比较结果。因变量和协变量必须是数值型变量，协变量与因变量不彼此独立。因素变量是分类变量，可以是数值型也可以是长度不超过8的字符型变量。固定因素变量(Fixed Factor)是反应处理的因素;随机因素是随机地从总体中抽取的因素。 [例子] 研究不同温度与不同湿度对粘虫发育历期的影响，得试验数据如表5-7。分析不同温度和湿度对粘虫发育历期的影响是否存在着显著性差异。表5-7 不同温度与不同湿度粘虫发育历期表

1）准备分析数据在数据编辑窗口中输入数据。建立因变量历期“历期”变量，因素变量温度“A”，湿度为“B”变量，重复变量“重复”。然后输入对应的数值，如图5-6所示。或者打开已存在的数据文件“DATA5-2.SAV”。图5-6 数据输入格式 2）启动分析过程点击主菜单“Analyze”项，在下拉菜单中点击“General Linear Model”项，在右拉式菜单中点击“Univariate”项，系统打开单因变量多因素方差分析设置窗口如图5-7。图5-7 多因素方差分析窗口 3）设置分析变量设置因变量:在左边变量列表中选“历期”，用向右拉按钮选入到“Dependent Variable：”框中。

统计学教案习题05方差分析

统计学教案习题05方差分析 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第五章方差分析一、教学大纲要求（一）掌握内容 1．方差分析基本思想（1）多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。（2）多组均数比较的检验假设与F 值的意义。（3）方差分析的应用条件。 2．常见实验设计资料的方差分析（1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。（2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。（3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t 检验法；Dunnett-t 检验法；SNK-q 检验法。（二）熟悉内容多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。（三）了解内容两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。二、教学内容精要 (一) 方差分析的基本思想 1．基本思想方差分析（analysis of variance ，ANOVA ）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean ，SS ）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS 组间可由处理因素的作用加以解释。通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F 分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。 2．分析三种变异（1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups ），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时），也包括了随机误差（包括个体差异及测定误差）, 其大小可用组间均方（MS 组间）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ，其中，SS 组间=21)(x x n k i i i -∑= ，组间ν=k -1为组间自由度。k 表示处理组数。（2）组内变异：各处理组内部观察值之间不尽相同，这种变异叫做组内变异(variation within groups)，组内变异反映了随机误差的作用，其大小可用组内均方 (组内MS ) 表示，组内组内组内ν/SS MS = ，其中∑∑==?? ????-=k i n j i ij i x x SS 112)(组内 , k N -=组内ν，为组内均方自由度。

R语言学习系列27-方差分析讲课教案

R语言学习系列27- 方差分析

22. 方差分析一、方差分析原理 1. 方差分析概述方差分析可用来研究多个分组的均值有无差异，其中分组是按影响因素的不同水平值组合进行划分的。方差分析是对总变异进行分析。看总变异是由哪些部分组成的，这些部分间的关系如何。方差分析，是用来检验两个或两个以上均值间差别显著性（影响观察结果的因素：原因变量（列变量）的个数大于2，或分组变量（行变量）的个数大于1）。一元时常用F检验（也称一元方差分析），多元时用多元方差分析（最常用Wilks’∧检验）。方差分析可用于：（1）完全随机设计（单因素）、随机区组设计（双因素）、析因设计、拉丁方设计和正交设计等资料；（2）可对两因素间交互作用差异进行显著性检验；（3）进行方差齐性检验。要比较几组均值时，理论上抽得的几个样本，都假定来自正态总体，且有一个相同的方差，仅仅均值可以不相同。还需假定每一个观察值都由若干部分累加而成，也即总的效果可分成若干部分，而每一部分都有一个特定的含义，称之谓效应的可加性。所谓的方差是离均差平方和除以自由度，在方差分析中常简称为均方（Mean Square）。 2. 基本思想

基本思想是，将所有测量值上的总变异按照其变异的来源分解为多个部份，然后进行比较，评价由某种因素所引起的变异是否具有统计学意义。根据效应的可加性，将总的离均差平方和分解成若干部分，每一部分都与某一种效应相对应，总自由度也被分成相应的各个部分，各部分的离均差平方除以各自的自由度得出各部分的均方，然后列出方差分析表算出F检验值，作出统计推断。方差分析的关键是总离均差平方和的分解，分解越细致，各部分的含义就越明确，对各种效应的作用就越了解，统计推断就越准确。效应项与试验设计或统计分析的目的有关，一般有：主效应（包括各种因素），交互影响项（因素间的多级交互影响），协变量（来自回归的变异项），等等。当分析和确定了各个效应项S后，根据原始观察资料可计算出各个离均差平方和SS，再根据相应的自由度df，由公式MS=SS/df，求出均方MS，最后由相应的均方，求出各个变异项的F值，F值实际上是两个均方之比值，通常情况下，分母的均方是误差项的均方。根据F值的分子、分母均方的自由度f1和f2，在确定显著性水平为α情况下，由F(f1, f2)临界值表查得单侧Fα界限值。当F

方差分析习题及matlab程序

习题四作业 1、一个年级有3个小班，他们进行了一次数学考试，现从3个小班中分别随机抽取12，15，13个学生记录其成绩如下： I：73，66，89，60，82，45，43，93，83，36，73，77； II：88，77，78，31，48，78，91，62，51，76，85，96，74，80，56； III：68，41，79，59，56，68，91，53，71，79，71，15，87. α下，检验各班的平均分数设各班成绩服从正态分布且方差相等，试在显著性水平05 .0 = 有无显著性差异. x=[73,66,89,60,82,45,43,93,83,36,73,77,88,77,78,31,48,78,91,62,51,76,85,96,74,80,56,6 8,41,79,59,56,68,91,53,71,79,71,15,87]; group=[ones(1,12),2*ones(1,15),3*ones(1,13)]; [p,table,stat]=anova1(x,group) p = 0.63 table = 'Source' 'SS' 'df' 'MS' 'F' 'Prob>F' 'Groups' [ 335.48] [ 2.00] [167.74] [0.46] [ 0.63] 'Error' [13429.50] [37.00] [362.96] [] [] 'Total' [13764.98] [39.00] [] [] [] stat = gnames: {3x1 cell} n: [12.00 15.00 13.00] source: 'anova1' means: [68.33 71.40 64.46] df: 37.00 s: 19.05 ?Source SS df MS F Prob>F ?----------------------------------------------- ?Groups 335.5 2 167.739 0.46 0.6335 ?Error 13429.5 37 362.959 ?Total 13765 39

方差分析-教案

第五章方差分析一、教学大纲要求（一）掌握内容 1．方差分析基本思想（1）多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。（2）多组均数比较的检验假设与F 值的意义。（3）方差分析的应用条件。 2．常见实验设计资料的方差分析（1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。（2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。（3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t 检验法；Dunnett-t 检验法；SNK-q 检验法。（二）熟悉内容多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。（三）了解内容两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。二、教学内容精要 (一) 方差分析的基本思想 1．基本思想方差分析（analysis of variance ，ANOV A ）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean ，SS ）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS 组间可由处理因素的作用加以解释。通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F 分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。 2．分析三种变异（1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups ），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时），也包括了随机误差（包括个体差异及测定误差）, 其大小可用组间均方（MS 组间）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ，其中，SS 组间= 21 )(x x n k i i i -∑= ，组间ν=k -1为组间自由度。k 表示处理组数。（2）组内变异：各处理组内部观察值之间不尽相同，这种变异叫做组内变异(variation within groups)，组内变异反映了随机误差的作用，其大小可用组内均方 (组内MS ) 表示，组内组内组内ν/SS MS = ，其中∑∑==?? ????-=k i n j i ij i x x SS 112)(组内, k N -=组内ν，为组内均方自由度。（3）总变异：所有观察值之间的变异（不分组），这种变异叫做总变异(total variation)。

数学建模算法方差分析

-134- 第十一章方差分析我们已经作过两个总体均值的假设检验，如两台机床生产的零件尺寸是否相等，病人和正常人的某个生理指标是否一样。如果把这类问题推广一下，要检验两个以上总体的均值彼此是否相等，仍然用以前介绍的方法是很难做到的。而你在实际生产和生活中可以举出许多这样的问题：从用几种不同工艺制成的灯泡中，各抽取了若干个测量其寿命，要推断这几种工艺制成的灯泡寿命是否有显著差异；用几种化肥和几个小麦品种在若干块试验田里种植小麦，要推断不同的化肥和品种对产量有无显著影响。可以看到，为了使生产过程稳定，达到优质、高产，需要对影响产品质量的因素进行分析，找出有显著影响的那些因素，除了从机理方面进行研究外，常常要作许多试验，对结果作分析、比较，寻求规律。用数理统计分析试验结果、鉴别各因素对结果影响程度的方法称为方差分析（Analysis Of Variance ），记作ANOV A 。人们关心的试验结果称为指标，试验中需要考察、可以控制的条件称为因素或因子，因素所处的状态称为水平。上面提到的灯泡寿命问题是单因素试验，小麦产量问题是双因素试验。处理这些试验结果的统计方法就称为单因素方差分析和双因素方差分析。 §1 单因素方差分析只考虑一个因素A 对所关心的指标的影响，A 取几个水平，在每个水平上作若干个试验，试验过程中除A 外其它影响指标的因素都保持不变（只有随机因素存在），我们的任务是从试验结果推断，因素A 对指标有无显著影响，即当A 取不同水平时指标有无显著差别。 A 取某个水平下的指标视为随机变量，判断A 取不同水平时指标有无显著差别，相当于检验若干总体的均值是否相等。 1.1 数学模型设A 取r 个水平r A A A ,,,21 ，在水平i A 下总体i x 服从正态分布),(2σμi N ， r i ,,1 =，这里2,σμi 未知，i μ可以互不相同，但假定i x 有相同的方差。又设在每个水平i A 下都作了n 次独立试验，即从中抽取容量为n 的样本，记作n j x ji ,,1, =， ji x 服从),(2σμi N ，n j r i ,,1,,,1 ==且相互独立。将这些数据列成下表（单因素试验数据表）的形式： 1A 2A … r A 1 11x 12x … r x 1 2 21x 22x … r x 2 n 1n x 2n x … nr x 将第i 列称为第i 组数据。判断A 的r 个水平对指标有无显著影响，相当于要作以下的假设检验 r H μμμ=== 210:；r H μμμ,,,:211 不全相等由于ji x 的取值既受不同水平i A 的影响，又受i A 固定下随机因素的影响，所以将它分解为 ji i ji x εμ+=， r i ,,1 =，n j ,,1 = （1）

MATLAB单因素方差分析

MATLAB ：单因素方差分析重复数相同的方差分析当在因素A 的每一水平下重复试验次数相同，即当12r m m m == =时，上述一些表达式可以简化。若记每一水平下重复次数为m ，则效应约束条件可简化为 1 0r i i a ==∑ SSA 的计算公式可简化为 2211r i i y SSA y m n =?? =?- ∑ i μ的置信水平为1α-的置信区间可改为 ( ( 1122i E i E y t f y t f αα--???-?+ ? 其他一切都不变。对于重复数相同的单因素方差分析，Matlab 提供了anova1函数来处理单因素方差分析的问题。anova1函数主要是比较多组数据的均值，然后返回这些均值相等的概率，从而判断这一因素是否对试验指标有显著影响。其调用格式如下： p=anova1(X) p=anova1(X,group) p=anova1(X,group,’displaypot ’) [p,table]=anoval(…) [p,table,stats]=anova1(…) 其中，()1p anova X =对样本X 中的两列或多列数据进行均衡的单因素方差分析，以比较各列的均值。函数返回“零假设”（即X 中各列的均值相同）成立的概率值。如果概率值接近于零，则零假设值得怀疑，表明各列的均值事实上是不同的。()1,p anova X group =对样本X 中由矢量group 索引的两组或多组数据进行单因素方差分析以比较各列的均值。输入参数group 标明矢量X 中相应元素

的组别。group中的值为整数，最大值为需要比较的不同组的数量，最小值为1.每组至少应有一个元素，但并不要求每组的元素个数相同，因此适合于数据不均衡的情况，用于决定结果是否具有统计上的显著性的概率值大小限制的选择留给用户。[p,table,stats]=anova1(…)同时还显示一张表table和一幅图stats。表为标准的ANOV A表，表中将X中数据的变化分别分成两部分： ①各列均值的差异而产生的变化。 ②由各列的数据及其均值间的差异而导致的变化。 ANOV A表至少具有5列数据。 ①第一列标明数据源。 ②第二列给出数据源的均方和（SS）。 ③第三列给出相应数据源的自由度df。 ④第四列给出均方值p，即比率SS df。 ⑤第五列给出F统计量。 p值是F的函数（fcdf）。随着F的增加，p值减小。在box图中，各列数据的图的中心线若表现出较大差异，则相应于F值较大以及p值较小。【例】某钢厂检查一月上旬的5天中生产的钢锭质量，结果如表1。表 1 α=）。试检验不同日期生产的钢锭有无显著差异（0.05 分析：把不同日期生产的钢锭质量分别看做一个变量。检验它们的平均质量是否有明显差异，相当于比较5个变量的均值是否一致。①5个变量均服从正态分布。②每一变量的方差相同。③从5个变量抽取的样本相互独立。采用方差分析法来检验不同日期生产的钢锭质量是否有明显差异。