初中数学知识总结

初中数学知识总结

一方程

1.一元一次方程：

●知识提要

方程是含有未知数的等式。

①从算式到方程

（1）一元一次方程

概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。ax+b=0（a≠0）是一元一次方程的标准形式．

归纳：实际问题→（设未知数列方程）→一元一次方程

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。

方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

（2）等式的性质

等式的性质1 等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。

如果a=b，那么a±c=b±c

等式的性质2 等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。

如果a=b，那么ac=bc

如果a=b（c≠0），那么=

对称性：等式的左右两边交换位置，结果仍是等式。若a=b，则b=a。

传递性：如果a=b，且b=c，那么a=c，这一性质叫等量代换。

②解一元一次方程合并同类项与移项

去括号与去分母

（1）移项的有关概念：

把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，叫做移项。这个法则是根据等式的性质1推出来的，是解方程的依据。要明白移项就是根据解方程变形的需要，把某一项从方程的左边移到右边或从右边移到左边，移动的项一定要变号。

（2）解一元一次方程的步骤：

（3）用一元一次方程分析和解决实际问题的基本过程：

实际问题→（设未知数2列方程）→数学问题（一元一次方程）→（解方程2一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为）→数学问题的解（x=a）→（检验）→实际问题的答案←实际问题

③实际问题与一元一次方程

列方程解应用题：

A.列方程解应用题的一般步骤：

（1）将实际问题抽象成数学问题；

（2）分析问题中的已知量和未知量，找出等量关系；（审：弄清题意和题目中的数量关系；找：找出能够表示实际问题全部含义的一个相等关系，这是解题的关键）

（3）设未知数，列出方程；（设：用字母表示其中适当的未知数；列：对上述相等关系中涉及的量，列出必要的代数式，从而列出方程）

（4）解方程；（解：解所列方程，得到未知数的值）

（5）检验并作答。（答：检验所求解是否符合题意，写出答案，注意不要忘记些单位。）B.一些实际问题中的规律和等量关系：

（1）日历上数字排列的规律是：横行每整行排列7个连续的数，竖列中，下面的数比上面的数大7。日历上的数字范围是在1到31之间，不能超出这个范围。

（2）几种常用的面积公式：

长方形面积公式：S=ab，a为长，b为宽，S为面积；正方形面积公式：S = a2，a为边长，S 为面积；

梯形面积公式：S = ，a，b为上下底边长，h为梯形的高，S为梯形面积；

圆形的面积公式：，r为圆的半径，S为圆的面积；

三角形面积公式：，a为三角形的一边长，h为这一边上的高，S为三角形的面积。

（3）几种常用的周长公式：

长方形的周长：L=2（a+b），a，b为长方形的长和宽，L为周长。

正方形的周长：L=4a，a为正方形的边长，L为周长。

圆：L=2πr，r为半径，L为周长。

（4）柱体的体积等于底面积乘以高，当休积不变时，底面越大，高度就越低。所以等积变化的相等关系一般为：变形前的体积=变形后的体积。（体积变化问题：抓住两个关键，一是形变体不变；二是形变体变质量不变。）

（5）打折销售这类题型的等量关系是：利润=售价–成本。

利润率=商品利润／商品进价

（6）行程问题中关建的等量关系：路程=速度3时间，以及由此导出的其化关系。

（7）在一些复杂问题中，可以借助表格分析复杂问题中的数量关系，找出若干个较直接的

等量关系，借此列出方程，列表可帮助我们分析各量之间的相互关系。

（8）在行程问题中，可将题目中的数字语言用“线段图”表达出来，分析问题中的数量关系，从而找出等量关系，列出方程。

（9）关于储蓄中的一些概念：

本金：顾客存入银行的钱；利息：银行给顾客的酬金；本息：本金与利息的和；期数：存入的时间；利率：每个期数内利息与本金的比；利息=本金3利率3期数；本息=本金+利息。（10）数学问题：抓住数字间，或新数、原数之间的关系，常需设间接未知数，通常把数abc表示成a3100+b310+c的形式。

●经典例题

①一个三位数，百位上的数字比十位上的数大1，个位上的数字比十位上数字的3倍少2．若将三个数字顺序颠倒后，所得的三位数与原三位数的和是1171，求这个三位数．

解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为3x-2，百位上的数字为x+1，故

100（x+1）+10x+（3x-2）+100（3x-2）+10x+（x+1）=1171

解得x=3

②一天卡尔点了两支蜡烛读书，这两支蜡烛的长度相同，但粗细不同。已知粗蜡烛可点5小时，细蜡烛点4小时。临睡时吹灭，这时所剩粗蜡烛长度正好是细蜡烛的四倍，问这两支蜡烛已点了多少小时？

解：设已点x小时，总长为a（辅助元），可列方程

a-a/5乘x=4（a-a÷4乘x）

把a消了，1-0.2x=4-x,所以0.8x=3

x=3.75

③（2004，黄冈市）关于x的一元一次方程（k2－1）x k－1+（k－1）x－8=0的解为_____．【分析】由一元一次方程的定义可知，原方程是一元一次方程，则有两种情况，?①当k －1=1，即k=2时，原方程3x+x－8=0，解之得x=2 ②当k2－1=0且k－1≠0时，也就是当k=－1时，原方程化为－2x－8=0，解之得x=－4，所以原方程的解为x=2或x=－4，?故答案为x=2或x=－4．

2.二元一次方程：

●知识提要

△二元一次方程的解是无数个；

一元一次方程的解只有一个。

问题要求的是两个未知数，如果用一元一次方程来解决，列方程时，要用一个未知数表示另一个未知数。

①二元一次方程组

（1）概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。（含有两个未知数的方程叫做二元方程,如果二元方程中含有未知数的项的次数都是一次的,那么这个方程就叫做二元一次方程.）其一般形式是ax+by=c（a、b、c都是常数，且a ≠0，b≠0）。

说明:a.二元一次方程中的每一项都应是整式;b.二元一次方程中的“一次”是指含未知数的项的次数,而不是未知数的次数,如xy中未知数x、y都是一次的,但xy这一项是二次的.

重点提示：一个方程是二元一次方程的条件有三个，即：

A.必须含有两个未知数；

B.所含未知数的项的次数都是1；

C.必须是整式方程。

（2）二元一次方程组：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。

说明:a.二元一次方程组要求方程组里各个方程一共含有两个未知数,不能多于两个,也不一定要求每个方程都含有两个未知数,比如, 两个方程共含有三个未知数就不是二元一次方程组;b.二元一次方程组中的每个方程都是一次方程.

重点提示：事实上，若含有两个未知数的n个一次方程组成的一组方程，都是二元一次方程组，如{x+y=3，y=2x，x=1 是一个二元一次方程组。

（3）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

说明:a.一般情况下,一个二元一次方程有无数多个解,但如果对其未知数的取值附加某些限制条件,那么也可能只有有限个解;b.二元一次方程的每一个解,都是一对数值.

重点提示：二元一次方程的解有无穷多个。

（4）二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。

重点提示：判断一组数是不是一个二元一次方程组的解，就是看这组数是否适合每个方程，若适合每个方程就是方程的解，否则就不是方程组的解。

②消元

（1）消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

（2）一般解法

消元的解法有两种：

A.代入消元法（简称代入法）：通过“代入（把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元）”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法。

B.加减消元法（简称加减法）：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法。

（3）二元一次方程组的解有三种情况：

a.有一组解

如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解

b.有无数组解

如方程组x+y=6①2x+2y=12②

因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。

c.无解

如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

（4）教科书中没有的几种解法

a.加减-代入混合使用的方法.

例1 3x+14y=41 (1) 14x+13y=40 (2) 解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3) 把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2 把y=2代入(3)得x=1 所以:x=1,y=2 特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.

b.换元法

例2 (x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4 令x+5=m,y-4=n 原方程可写为m+n=8 m-n=4 解得m=6,n=2 所以x+5=6,y-4=2 所以x=1,y=6

特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要

原因。

c.另类换元

例 3 x:y=1:4 5x+6y=29 令x=t,y=4t 方程2可写为：5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以x=1,y=4

③再深实际问题与二元一次方程组

列二元一次方程组解应用题的分析方法：

（1）审题

（2）设未知数，其方法通常有两种：一是设直接未知数；二是设间接未知数

（3）列方程组

（4）解方程组

（5）检验并作答，所求方程组的解在正确的基础上还要符合实际意义。

△【知识梳理】（1）．二元一次方程（组）及解的应用：

注意:方程（组）的解适合于方程，任何一个二元一次方程都有无数个解，有时考查其整数解的情况，还经常应用方程组的概念巧求代数式的值。

（2）．解二元一次方程组：解方程组的基本思想是消元，常用方法是代入消元和加减消元，转化思想和整体思想也是本章考查重点。

（3）．二元一次方程组的应用：列二元一次方程组的关键是能正确分析出题目中的等量关系，题目内容往往与生活实际相贴近，与社会关系的热点问题相联系，请平时注意搜集、观察与分析。

●经典例题

①丽丽和家家去书店买书，他们同时喜欢上了一本书，最后丽丽用自己的钱的5分之3，家家用自己的钱的3分之2各买了一本，丽丽剩下的钱比家家剩下的钱多5块。两人原来各有多少钱？书多少钱？

解：设丽丽有x元钱家家有y元钱得出：

3/5x=2/3y

2/5x=1/3y+5 （丽丽剩下2/5 家家剩下1/3）

解2元一次方程得x=50 y=45 即丽丽50元家家45元书30元一本

3.分式方程

●知识提要

①概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

②解分式方程的基本思想：

在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程"转化"为整式方程。

③解分式方程的基本方法：

(1)去分母法

去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根.所以,必须验根.

产生增根的原因:

当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解.

检验根的方法:

将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等.

为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如

果使公分母等于0,就是原方程的增根.必须舍去.

注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公分母为0.

用去分母法解分式方程的一般步骤:

a.去分母,将分式方程转化为整式方程;

b.解所得的整式方程;

c.验根做答

(2)换元法

为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程.

用换元法解分式方程的一般步骤:

a.设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式;

b.解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;

c.把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值;

d.检验做答.

△注意:

(1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊方法.它的基本思想是用换元法把原方程化简,把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程.

(2)分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般,即先考虑能否用换元法解,不能用换元法解的,再用去分母法.

(3)无论用什么方法解分式方程,验根都是必不可少的重要步骤.

③列分式方程解应用题

步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验并作答。

列分式方程解应用题常见误区：

(1)单位不统一；

(2)解完分式方程后忽略“双检”.

●经典例题

①某学生食堂存煤45吨，用了5天后，由于改进设备，平均每天耗煤量降低为原来的一半，结果多烧了10天，求改进设备后平均每天耗煤多少吨？

解：改进设备后平均每天耗煤x吨,原来2x

(45/2x +10-5)*x+5*2x=45

(45/2x+5)x+10x=45

45/2+5x+10x=45

15x=45/2

x=3/2

4.一元二次方程：

●知识提要（略）

①一元二次方程

②降次——解一元二次方程

③实际问题与一元二次方程

●经典例题

①一果园种植苹果，总产量是2000千克，价格是0.6元千克。采用新技术后，苹果共卖得

1386元，价格增长率是总产量增长率的2倍，求果园总产量的增长率

解：设总产量增长率为x，则价格增长率为2x

2000*(1+x)*0.6*(1+2x)=1386

1200(1+x)(1+2x)=1386

600(1+x)(1+2x)=693

600(2x^2+3x+1)=693

1200x^2+1800x-93=0

400x^2+600x-31=0

解得：

x=0.05=5%

或x=-1.55（舍去）

所以总产量增长率为5%

②在解一元二次方程时，粗心的甲、乙两位同学分别抄错了同一道题，甲同学抄错常数项，得到的两个根分别是8和2，乙同学抄错一次项，得到的两个根分别是-9和-1，你能找出正确的方程吗？若能，请你求出这个方程的根。

解：甲解得的方程可以化成（x-8）（x-2)=0。即x^2-10x+16=0

乙解得的方程可以化成（x+9）（x+1）=0.即x^2+9x+9=0

显而易见，原方程式应该为：x^2-10x+9=0

解得两解为9和1

二函数

Section A：平面直角坐标系

●知识提要

①平面直角坐标系

A.有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有叙数对，记作（a，b）。

B. 在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

C. 平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为X轴，取向右方向为正方向；纵轴为Y轴，取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。X轴和Y轴把坐标平面分成四个象限，右上面的叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点及原点不属于任何象限。一般情况下，x轴和y轴取相同的单位长度（也可取不同的单位长度）。

D.特殊位置的点的坐标的特点：

（1）.x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。

（2）.第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

（3）.在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴。

（4）.点到轴及原点的距离

点到x轴的距离为|y|；点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方再开根号；

E.在平面直角坐标系中对称点的特点：

（1）.关于x成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。（横同纵反）

（2）.关于y成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。（横反纵同）（3）.关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。（横纵皆反）

F.各象限内和坐标轴上的点和坐标的规律：

第一象限：（+，+）正正

第二象限：（-，+）负正

第三象限：（-，-）负负

第四象限：（+，-）正负

x轴正方向：（+，0）

x轴负方向：（-，0）

y轴正方向：（0，+)

y轴负方向：(0，-）

x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0。

注：以数对形式（x，y）表示的坐标系中的点（如2，-4），“2”是x轴坐标，“-4”是y 轴坐标。

G.建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。

②坐标方法的简单应用

A.用直角坐标原理在投影面上确定地面点平面位置的坐标系：

与数学上的直角坐标系不同的是，它的横轴为X轴，纵轴为Y轴。在投影面上，由投影带中央经线的投影为调轴、赤道投影为横轴（Y轴）以及它们的交点为原点的直角坐标系称为国家坐标系，否则称为独立坐标系。

B.坐标方法的简单应用：

（1）.用坐标表示地理位置

（2）.用坐标表示平移

在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）＜或（x-a，y）＞；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）＜或（x，y-b）＞。

『【在测量学中使用的平面直角坐标系统：rectangular plane coordinate system】

包括高斯平面直角坐标系和独立平面直角坐标系。通常选择：高斯投影平面(在高斯投影时)或测区内平均水准面的切平面(在独立地区测量时)作为坐标平面；纵坐标轴为y轴，向上(向北)为正；横坐标轴为x轴，向右(向东)为正；角度(方位角)从x轴正向开始按顺时针方向量取，象限也按顺时针方向编号。』

●经典例题

①在平面直角坐标系中，若点p（m-3，m+1）在第二象限，则m的取值范围是（A）。

A.-1＜m＜3

B.m＞3

C.m＜-1

D.m＞-1

解析：p（m-3，m+1）

m-3＜0 m+1＞0

m＜3 m＞-1

Section B：函数

1.一次函数

●知识提要

①变量与函数

（1）概念：A.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。有一些量的数值是始终不变的，我们称它们为常量。

B.一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

C.如果当x=a是y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

D.表示y与x的函数关系的式子，这样的式子叫做函数解析式。

（2）归纳：A.确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义。

B.自变量的取值不能使函数解析式的分母为零（指反比例函数）。

C. 表示函数的方法：列表法、解析式法、图像法（函数的不同表示方法之间可以转化）。（3）函数的图象：

把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．

画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．

②一次函数

（1）概念：A.一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数（斜率），其中k叫做比例系数。（正比例函数的图像时一条过原点的直线，称为直线y=kx。）

B. 若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y 是x的一次函数（x为自变量）；特别地，当b=0时，即y=kx，称y是x的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=x等都是一次函数，y=x，y=-x都是正比例函数.（正比例函数是一种特殊的一次函数。）

说明： I.一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.

II.一次函数y=kx+b（k，b为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.

III.当b=0，k≠0时，y=b仍是一次函数.

VI.当b=0，k=0时，它不是一次函数.

（2）确定一次函数的关系式

根据实际问题中的条件正确地列出一次函数及正比例函数的表达式，实质是先列出一个方程，再用含x的代数式表示y．

（3）一次函数的图象

由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．

由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.

（4）一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质:

A.k的正负决定直线的倾斜方向；

㈠k＞0时，y的值随x值的增大而增大；

㈡k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．

B.|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；

C.b的正、负决定直线与y轴交点的位置；

㈠当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；

㈡当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；

㈢当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．

D.由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；

㈠当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；

㈡当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；

㈢当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；

㈣当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．

E.由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．

（5）正比例函数y=kx（k≠0）的性质

A.正比例函数y=kx的图象必经过原点；

B.当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；

C.当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．

（6）点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系

A.如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；

B.如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．

如点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l 的图象上．

（7）确定正比例函数及一次函数表达式的条件

A.由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．

B.由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．

（8）待定系数法

先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：

函数y=kx+b 中，k ，b 就是待定系数．

（9）用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 A.设函数表达式为y=kx+b ；

B.将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；

C.求出k 与b 的值，得到函数表达式． （10）思想方法 （1） A.函数方法:

函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． B.数形结合法:

数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用． ③用函数观点看方程（组）与不等式

（1）由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。

（2）由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b ＞0或ax+b ＜0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。 （3）由于任意一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b 的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线。

（4）解二元一次方程组可以看作求两个一次函数图像的交点坐标，因此我们可以用画图像的方法解二元一次方程组。 ●经典例题

①一次函数的图象与y 轴的交点为（0，－3），且与坐标轴围成的三角形的面积为6，求这个一次函数的解析式.

分析：一次函数的解析式y=kx+b 有两个待定系数，需要利用两个条件建立两个方程.题目中一个条件比较明显，即图象和y 轴的交点的纵坐标是－3，另一个条件比较隐蔽，需从“和坐标轴围成的面积为6”确定.

②y=kx+b 的图像过第一、二、四象限，那么直线y=-bx+k 经过第（ ）象限。 直线y=-bx+k 经过第2.3.4.象限

2. 反比例函数 ●知识提要 ①反比例函数

（1）定义：一般地，形如x k y =

（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。

x k

y =

还可以写成kx

y =1

-

重点提示：比例系数“k ≠0”是反比例函数的一个必要组成部分。

（2）反比例函数解析式的特征：

A.等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），

分母中含有自变量x ，且指数为1. B.比例系数0≠k

C.自变量x 的取值为一切非零实数。

D.函数y 的取值是一切非零实数。

（3）反比例函数的图像 A.图像的画法：描点法

㈠列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ㈡描点（有小到大的顺序） ㈢连线（从左到右光滑的曲线）

B.反比例函数的图像是双曲线，

x k

y =

（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，

所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

D.反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。

E.反比例函数

x k y =

（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x k

y =

（0≠k ）上

任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k

。

（4）反比例函数性质如下表：

（5）反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ）

（6）“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例

函数

x k

y =

中的两个变量必成反比例关系。

（7）反比例函数的应用 A.图形中的反比例函数

㈠一般地，当三角形、平行四边形（包括长方形）的面积为常数时，它们的底与高（或长与宽）成反比例，其中一个量是另一个量的反比例函数。

㈡一般地，当柱体（圆柱体、长方体等）或圆锥的体积一定时，它的底面积S 与高h 成反比例，S 是h 的反比例函数，反之亦然。 B.反比例函数在物理学中的应用

㈠当电压U 为定值时，电路中的电流I 时电阻R 的反比例函数，即：I=. ㈡当物体的质量m 一定时，密度

是体积V 的反比例函数，即：

=

.

㈢当压力F 一定时，压强P 是受力面积S 的反比例函数，即：P=. C.反比例函数在生产实践中的应用 在生活与生产实践中，某些问题中两个变量成反比例，这时我们可以根据这种关系建立反比例函数模型，利用反比例函数性质解决问题。 ②实际问题与反比例函数（略） ●经典例题

①如果函数

2

22

-+=k k

kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？

【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数x k

y =

，（0≠k ）即kx y =1

-（0≠k ）

又在第二，四象限内，则0

??

?<-=-+01

222k k k 解得?????<=-=0211k k k 或

1-=∴k

1-=∴k 时函数2

22-+=k k kx

y 为

x y 1

-

=

②在反比例函数

x y 1

-

=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。若

3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）

A ．

213y y y >> B ．123y y y >> C ．321y y y >> D ．231y y y >>

【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。

解法一：由题意得

111x y -

=，221x y -=，331

x y -=

3210x x x >>> ，213y y y >>∴所以选A

解法二：用图像法，在直角坐标系中作出x y 1

-

=的图像

描出三个点，满足

3210x x x >>>观察图像直接得到213y y y >>选A

解法三：用特殊值法

2

133********,1,1,21

1,1,2,0y y y y y y x x x x x x >>∴=-=-=∴-===∴>>>令

③如果一次函数

()的图像与反比例函数x m n y m n mx y -=

≠+=30相交于点（221

，），那

么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）

【解析】

??

?==?????=-=+∴??? ??-=+=12132

212213n m m n n m x x m n y n mx y 解得，，相交于与双曲线直线

?????==???-=-=??

?

??=+==+=∴2211

11121,122211

y x y x x y x y x y x y 得解方程组双曲线为直线为

()11--∴，另一个点为

3.二次函数

△表示函数关系：列表、图像、解析式。 △函数：（1）“函数”在等式的左边

（2）自变量任取一有意义的值，函数只有一个对应值 （3）例：s= x2 √ |s|= x2 3

s=

（x ≥1） √ 【

≥0】

●知识提要

①二次函数（一）

（1）.定义与定义表达式

一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：

y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.） 则称y 为x 的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 （2）.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^2;+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0） 顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P （h ，k ）] 交点式（两根式）：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x 轴有交点A （x1，0）和 B （x2，0）的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a

（3）.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

（4）.抛物线的性质

（一）.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）（二）.抛物线有一个顶点P，坐标为

P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。对称轴：x=-b/2a。

（三）.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

（四）.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

（五）.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

（六）.抛物线与x轴交点个数

Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

二次函数（二）

二次函数（三）

性质：

（1）二次函数：|a|越大，函数图像的开口就越小。

（2）抛物线开口的大小，方向由a的值决定：

（一）a＞0，开口向上

（二）a＜0，开口向下

（三）|a|越大，开口越小

（3）y=kx+b（k≠0）k=？b=？经过两个点，二元一次方程组

y=kx（k≠0）k=？经过一个点

y=k／x（k≠0，x≠0） k=？经过一个点

y=a x2+bx+c（a≠0）a=？b=？c=？经过三个点，三元一次方程组

y=a（x-h）2+k（a≠0）a=？顶点坐标=？一个顶点，经过一个点

（4）当x=0时，y的坐标为（0，c）；二次函数与y轴交点的坐标为（0，c）。（5）归纳（一）：

A.函数图像上、下平移在常数项发生变化（上“+”，下“-”）

左、右平移在二次项的自变量发生变化（左“+”，右“-”）

B.顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）

顶点坐标（h，k）

对称轴x=h

（一）y=a x2（a≠0）→y=a（x-0）2+0（a≠0）

顶点坐标（0,0）→（h=0，k=0）

对称轴，y轴（x=0）→x=h=0

（二）y=a x2+c（a≠0）→y=a（x-0）2+c（a≠0）

顶点坐标（0，c）→（h=0，k=c）

对称轴x=0→x=h=0

②用函数观点看一元二次方程

（1）二次函数与一元二次方程：

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即ax^2;+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

（2）A.当一个二次函数y= a x2+bx+c与x轴有两个交点，所得的一元二次方程（a x2+bx+c=0）的判别式大于0.

B.没有交点，所得的一元一次方程a x2+bx+c=0的判别式小于0.

C.只有一个交点（顶点在x轴上），所得的一元一次方程a x2+bx+c=0的判别式等于0. （3）A.当一个二次函数y=a x2+bx+c所得的一元二次方程a x2+bx+c=0的判别式大于0，二次函数y=a x2+bx+c与x轴有两个交点。

B.小于0，二次函数y= a x2+bx+c与x轴没有交点。

C.等于0，二次函数y= a x2+bx+c与x轴只有一个交点（顶点在x轴上）。

③实际问题与二次函数（略）

●经典例题

①南博汽车城销售某种型号的汽车,每辆进货价是25万元,市场调研表明,当销售价为29万元时,平均每周能售出8辆,而当销售价没降低0.5万元时,平均每周能多售出4辆,如果设每辆车降价X万元,每辆汽车的销售利润为Y万元,(销售利润=销售价-进货价)

(1)求Y和X的函数关系式,在保证商家不亏本的前提下,写出X的取值范围

(2)假设这种汽车平均每周销售利润为Z万元,试写出z与x的函数关系式

(3)当每辆汽车的定价为多少万元时,平均每周的销售利润最大?最大利润是多少?

解：(1)原来每个车的利润是：29-25=4万元

现在每个车的利润是：Y=4-X，（0<=X<=4)

(2)Z=(29-25-x)[8+(x/0.5)*4]=(4-x)(8+2x)=32+8x-8x-2x^2=32-2x^2

(3)Z=-2x^2+32

所以当X=0时，Z取最大值，是32

即定价是29万元时，利润最大是32万元

②某超市经销一种销售成本为每件40元的商品，据市场那个调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件，问：在超市对该商品投入不找过10000元的情况下，使得一周的销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

解：设定价是x元，则每件利润x-40元

涨价x-50元，所以减少10(x-50)=10x-500件

是500-(10x-500)=1000-10x件

所以利润=(x-40)(1000-10x)=8000

(x-40)(x-100)=-800

x2-140x+4800=0

(x-60)(x-80)=0

x=60,x2=80

投入不超过10000元，则件数不超过10000÷40=250

即1000-10x<=250

x>=75

所以x=80

答：销售单价应定为80元

4.锐角三角形函数

●知识提要（略）

①锐角三角函数

②解直角三角形

●经典例题

三图形的变换

在轴对称、平移、旋转这些图形变换中,线段的长度不变,角的大小不变;图形的形状、大小不变

中心对称

旋转对称

对应点与旋转中心的距离不变;每一点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度连结对应点的线段平行(或在同一直线上)且相等,对应线段平行(或在同一直线上)且相等旋转

平移

轴对称

图形之间的变换关系

1.平移

●知识提要

① 平移的概念：平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换称为平移． 注：平移变换的两个要素：移动的方向、距离． （1）基本图形：是什么图形发生了平移； （2）方向：向什么方向发生了平移； （3）距离：平移了多远。

平移的基本特征：图形平移前后“每一点与它对应点之间的连线互相平行并且相等”。 ② 平移变换的性质

（1）平移前后的图形全等．即：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 （2）对应线段平行（或共线）且相等；

（3）对应点所连的线段平行（或共线）且相等．

如图所示，

，且共线，且

③用坐标表示平移：

（1）点的平移：在平面直角坐标系中，将点：

A.向右或向左平移a 个单位→点 （x+1，y ）或（x-1，y ）

B.向上或向下平移b 个单位→点 （x ，y+1）或（x ，y-1）

（2）图形的平移：对一个图形进行平移，相当于将图形上的各个点的横纵坐标都按（1）中的方式作出改变. ●经典例题（略）

2.轴对称

●知识提要 ①轴对称

A . [轴对称图形]

如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．

有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．

B.[轴对称]

有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．

C.如图所示，关于直线l对称，l为对称轴．

D.[轴对称与轴对称图形的区别]

轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．

E.[图形轴对称的性质] 一

如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

轴对称的性质（二）：

（1）关于某条直线对称的两个图形全等；

（2）对称点的连线段被对称轴垂直平分；

（3）对应线段所在的直线如果相交，则交点在对称轴上；

如图被直线l垂直平分．

F.[线段的垂直平分线]

（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．

（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．

②轴对称变换

A.[轴对称变换]

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．?

成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．

B.[轴对称变换的性质]

（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样

（2）?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．

（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．

C.[作一个图形关于某条直线的轴对称图形]

（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．

（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．

D.用坐标表示轴对称

（1）[关于坐标轴对称]

点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）