实数易错点和易错题
一、 学习目标与考点分析：
掌握实数的概念，平方根，立方根以及运算。能区分出有理数和无理数。
知道绝对值和倒数的概念，并运算。掌握科学技术；能得出实数在题目中的变化规律。 二、 教学内容：
考点.绝对值的概念、性质 例.(1)若=++ ab b b a a ab 则 ,0 . (2)已知:b ,0,0与用a b a ><表示a 与b 的差是: . (3)若b a =,则a 与b 的关系是( ) A.都是0 B.相等 C.互为相反数 D.相等或互为相反数 （4） 2001 1 1999119991200012000120011- --+- 练习:1.若x x x 222x ,2++--<化简其结果是? 2. 对于每个非零有理数c b a ,,式子 abc abc c c b b a a + ++的所有可能的值有? 考点.数轴 例. (1)数轴上表示整数的点称为整点,某数轴的单位长度是1cm,若在这个数轴上随意画出一条长2000cm 的线段AB,则线段AB 盖住的整点共有的个数为( ) A.1998或1999 B.1999或2000 C.2000或2001 D.2001或2002 (2)实数ａ、ｂ、ｃ在数轴上的对应点如图所示，其中｜ａ｜＝｜ｃ｜ 试化简：｜ｂ－ｃ｜－｜ｂ－ａ｜＋｜ａ－ｃ－2ｂ｜－｜ｃ－ａ｜ 考点.非负性（利用0,0,02≥≥≥a a a ） 例.已知等腰三角形一边长为ａ，一边长ｂ，且（2ａ－ｂ）2＋｜9－ａ2｜＝0 .求它的周长. 练习：已知0)2(432=-+-+-z y x ，求z y x )(+的值 《实数》 实数运算技巧与典型例题 考点1.实数概念 例1. 下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？ －3, 2 －1， 3， － 0．3， 3－1 ， 1 + 2 ， 31 3 互为相反数： 互为倒数： 互为负倒数： 练习：(1)ａ,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的绝对值是2.求|a+b| 2m 2+1 +4m-3cd 的值. (2)若有理数a 等于它的相反数,有理数b 等于它的倒数, 求1999199919991999b a b a -++的值. 考点2.实数的运算 例2. 计算:｛12 ×（－2）2－(12 )2＋11－13 ｝÷| 21996·(-1 2 )1995| 练习: 1. 0.3－1－（－ 1 6 ）－2＋43－3－1＋（π－3）0 2. 3223)1.0()1 .01 ()43()971()52(-÷---?--?- 考点3.绝对值的概念、性质 例3.(1)若=++ ab b b a a ab 则 ,0 . (2)已知:b ,0,0与用a b a ><表示a 与b 的差是: . (3)若b a =,则a 与b 的关系是( ) A.都是0 B.相等 C.互为相反数 D.相等或互为相反数 （4） 2001 1 1999119991200012000120011- --+- 练习:1.若x x x 222x ,2++--<化简其结果是? 2. 对于每个非零有理数c b a ,,式子 abc abc c c b b a a + ++的所有可能的值有? 考点4.数轴 例4. (1)数轴上表示整数的点称为整点,某数轴的单位长度是1cm,若在这个数轴上随意画出一条长2000cm 的线段AB,则线段AB 盖住的整点共有的个数为( ) A.1998或1999 B.1999或2000 C.2000或2001 D.2001或2002 (2)实数ａ、ｂ、ｃ在数轴上的对应点如图所示，其中｜ａ｜＝｜ｃ｜ 试化简：｜ｂ－ｃ｜－｜ｂ－ａ｜＋｜ａ－ｃ－2ｂ｜－｜ｃ－ａ｜ 练习：已知实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图 （1）比较a －b 与a+b 的大小 （2）化简|b －a|+|a+b| 考点5.非负性（利用0,0,02≥≥≥a a a ） 例5.已知等腰三角形一边长为ａ，一边长ｂ，且（2ａ－ｂ）2＋｜9－ａ2｜＝0 .求它的周长. 练习：已知0)2(432=-+-+-z y x ，求z y x )(+的值. 考点6.科学记数法 例6.(1)54810精确到百位的近似值是 ，该近似值有 位有效数字.地球到月球的距离用四舍五入法得到38万km,其精确值的范围是 . (2)我国国民生产总值达到11.69万亿元,人民生活总体达到小康水平,其中11.69亿元用科学记数法表示应为( ) A.1310169.1? B. 1410169.1? C. 131069.11? D.13101169.0? 练习:2006年是我国公民义务植树运动开展25周年,25年来我市累计植树154000000株,这个数字可以用科学记数法表示位 株. 考点7.实数应用题 例7.(1)检修小组从A 地出发，在东西路上检修线路.如果规定向东行驶为正,向西行驶为负,一天中行驶记录如下(单位:km): -4,+7,-9,+8,+6,-4,-3 (1)求收工时距A 地多远? (2)若每千米耗油0.3L,问从出发到收工共耗油多少升? 考点8.技巧性实数运算 （1） 111)1(1+-=+?n n n n （2） )1 1(1)(1d n n d d n n +-=+? 例8．计算： （1）2007654321++-+-+- （2）2000 19991431321211?++?+?+? （3）)2 1 2007(312006412005)612004(-+++- 练习：（1）100981751531311?++?+?+? （2）)2 13(4317)439(655-++-+- 易错题 填空题 1.计算：?（﹣）﹣2 ﹣（2）0+|﹣|+的结果是_________．2．若和都是最简二次根式，则m=_________，n=_________．3．把根式a根号外的a移到根号内，得_________． 4．在实数a，3，中，一个数的平方等于另外两个数的积，那么符合条件的a的整数值是_________． 5．=_________． 8．若最简二次根式与﹣是同类二次根式，则x=_________． 9．当x=_________时，最简二次根式与是同类二次根式．10．（2010?杭州）先化简﹣（﹣），再求得它的近似值为_________（精确到0.01，≈1.414，≈1.732）． 15．设a、b都是有理数，规定a*b=，则（4*8）*[9*（﹣64）]=_________． 16．已知=+，且0＜x＜y，则满足上式的整数对（x，y）有_________．17．计算：=_________． 18．若a是的小数部分，则a（a+6）=_________． 19．如果a，b分别是6﹣的整数部分和小数部分，那么ab2﹣a2b=_________． 20．（1998?内江）已知ab=2，则的值是_________． 21．已知实数a，b，c满足，则a+b+c=_________． 22．已知的值是_________． 23．已知，则x3﹣17x+2006=_________． 24．已知x＞0，y＞0且x﹣2﹣15y=0，则=_________． 25．非零实数x、y满足（﹣x）（﹣y）=2009，则= _________． 26．设a﹣b=2+，b﹣c=2﹣，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=_________． 27．一个三角形的三边长分别为，，2，（＞0），则这个三角形的面积是_________． 28．如图，已知OA=OB，数轴上点C表示的数是2，那数轴上线段AC所表示的数是_________． 解答题 30．计算：+|2﹣3|÷=_________． 北师大版八年级上实数易错题 一．选择题（共19小题） 1．如果，那么x的取值范围是（） A．1≤x≤2 B．1＜x≤2 C．x≥2 D．x＞2 2．的平方根是（） A．± B．±C．D． 3．如图，数轴上点A、B分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（） A．a＞b B．|a|＞|b|C．a+b＞0 D．﹣a＞b 4．如图，Rt△MBC中，∠MCB=90°，点M在数轴﹣1处，点C在数轴1处，MA=MB，BC=1，则数轴上点A对应的数是（） A．+1 B．﹣+1 C．﹣﹣l D．﹣1 5．在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4 6．化简二次根式，结果为（） A．0 B．3.14﹣πC．π﹣3.14 D．0.1 7．的平方根是（） A．﹣2 B．2 C．D． 8．比较2，3，4的大小，正确的是（） A．2＜3＜4B．3＜2＜4C．2＜4＜3D．4＜3＜2 9．若a＜0，则化简得（） A．a B．﹣a C．a D．﹣a 10．已知|x﹣3|+|5﹣x|=2，则化简+的结果是（） A．4 B．6﹣2x C．﹣4 D．2x﹣6 11．已知，那么=（） A．B．﹣1 C．D．3 12．若，则代数式x y的值为（） A．4 B．C．﹣4 D． 13．已知：a、b、c是△ABC的三边，化简=（） A．2a﹣2b B．2b﹣2a C．2c D．﹣2c 14．观察下列计算：?（+1）=（﹣1）（+1）=1， （+）（+1）=[（﹣1）+（﹣）]（+1）=2， （++）（+1）=[（﹣1）+（﹣）+（﹣）]（+1） =3， … 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： （+++…+）（+1）的值为（） A．2008 B．2010 C．2011 D．2009 15．已知，那么（a+b）2008的值为（） A．﹣1 B．1 C．﹣32008D．32008 16．已知：1＜x＜3，则=（） A．﹣3 B．3 C．2x﹣5 D．5﹣2x 17．设x=，y=，则x5+x4y+xy4+y5的值为（） A．47 B．135 C．141 D．153 18．如果x+y=，x﹣y=，那么xy的值是（）A．B．C．D． 19．计算÷（+）的结果是（） A．+3B．3﹣6C．3﹣2 D．+ 二．填空题（共7小题） 20．=；3=；=． 21．二次根式（1），（2），（3），（4）（5），其中最简二次根式的有（填序号）；计算：?． 22．已知5+的小数部分为a，5﹣的小数部分为b，则a+b=． 实数易错题汇编含答案 一、选择题 1的算术平方根为（ ） A ． B C ．2± D ．2 【答案】B 【解析】 的值，再继续求所求数的算术平方根即可． =2， 而2， ， 故选B ． 点睛：此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则容易出现选A 的错误． 2．规定用符号[]n 表示一个实数的小数部分，例如:[]3.50.5, 1.= =按照此规 定, 1??的值为（ ） A 1 B 3 C 4 D 1+ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据3＜4的小数部分，根据用符号[n]表示一个实数的小数部分，可得答案． 【详解】 解：由34，得 4+1＜5． 3-， 故选：B ． 【点睛】 本题考查了估算无理数的大小，利用了无理数减去整数部分就是小数部分． 3．已知一个正方体的表面积为218dm ，则这个正方体的棱长为( ) A ．1dm B C D ．3dm 【答案】B 【解析】 【分析】 设正方体的棱长为xdm ，然后依据表面积为218dm 列方程求解即可． 【详解】 设正方体的棱长为xdm ． 根据题意得：2618(0)x x =>， 解得：x ． 故选：B ． 【点睛】 此题考查算术平方根的定义，依据题意列出方程是解题的关键． 4．估计65的立方根大小在（ ） A ．8与9之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 【答案】C 【解析】 【分析】 先确定65介于64、125这两个立方数之间，从而可以得到45< <，即可求得答案． 【详解】 解：∵3464=，35125= ∴6465125<< ∴45<<． 故选：C 【点睛】 本题考查了无理数的估算，“夹逼法”是估算的一种常用方法，找到与65临界的两个立方数是解决问题的关键． 5．下列各数中比3大比4小的无理数是（ ） A B C ．3.1 D ．103 【答案】A 【解析】 【分析】 由于带根号的且开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义即可求解． 【详解】 ＞4，3＜4 ∴选项中比3大比4． 故选A ． 实数知识点与对应题型 一、平方根：（11——19的平方） 1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。（也称为二次方根），也就是说如果x 2=a ， 那么x 就叫做a 的平方根。 2、平方根的性质： ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“—a ”，这两个平方根合起来记作“±a ”。（ a 叫被开方数， “”是二次根号，这里“”，亦可写成“2”） ②0只有一个平方根，就是0本身。算术平方根是0。 ③负数没有平方根。 3、 开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。 4、（1） 平方根是它本身的数是零。 （2）算术平方根是它本身的数是0和1。 （3）()()()().0,0,0222<-=≥=≥=a a a a a a a a a （4）一个数的两个平方根之和为0 二、立方根：（1——9的立方） 1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根。（也称为二次方根），也就是说如果x 3 =a ， 那么x 就叫做a 的立方根。记作“3a ”。 2、立方根的性质： ①任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. ②互为相反数的数的立方根也互为相反数，即3a -=3a - ③a a a ==3333)( 3、开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算为互逆运算，开立方的运算结果是立方根。 4、立方根是它本身的数是1，0，-1。 5、平方根和立方根的区别： （1）被开方数的取值范围不同：在±a 中，a ≥0，在a 3中，a 可以为任意数值。 （2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个；负数没有平方根，而它有一个立方根。 6、立方根和平方根： 不同点： （1）任何数都有立方根，正数和0有平方根，负数没有平方根；即被开方数的取值范围不同：±a 中的被开方数 a 是非负数；3a 中的被开方数可以是任何数. （2）正数有两个平方根，任何数都有惟一的立方根； （3）立方根等于本身的数有0、1、—1，平方根等于本身的数只有0． 共同点：0的立方根和平方根都是0． 三、实数： 1、定义：有理数和无理数统称为实数 无理数：无限不循环小数称（包括所有开方开不尽的数，∏）。 有理数：有限小数或无限循环小数 七年级实数易错题 1（ ） A ．3 B ．3- C ．3± D ．6 【答案】A 2（ ） A ．9 B ．9或9- C ．3 D ．3或3- 【答案】D 3，0.13， 27，2π，1.3131131113?（每两个3之间依次加一个1)，无理数有（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 40=，则2020()a b -的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．0 【答案】D 5．下列叙述中，正确的是（ ） ①1的立方根为1±； ②4的平方根为2±； ③8-立方根是2-； ④116的算术平方根为14． A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④ 【答案】D 6．下列运算正确的是（ ） A ．2020(1)1-=- B ．224-= C 4± D 3=- 【答案】D 7．面积为5的正方形边长为m ，且3n m =-，则估计n 的值所在的范围是（ ） A ．01n << B ．12n << C ．23n << D ．34n << 【答案】A 8．如果a的平方根是4±=． 【答案】4 9 1.312 = 4.147 =，那么172010的平方根是． 【答案】414.7 ± 10．已知x y1 (x y- -的算术平方根为．【答案】3 11的平方根， 3 3 8 的算术平方根是． 【答案】2 ±． 12．若1 x-与23 x-是同一个数的平方根，则x=． 【答案】4 3 或2 13．一个正数的平方根为21 x+和7 x-，则这个正数为． 【答案】25 14．1 =23 =，?，．【答案】n 15的平方根是，的立方根是，如果3±，则a=．【答案】2 ±；2 -；81 16．若2 4(1)120 x--=，则等式中x的值为． 【答案】1+或1- 17．规定：[]a表示小于a的最大整数，例如：[5]4 =，[ 6.7]7 -=-，则方程[]26 x π-+=的解是． 【答案】5 x= 18．已知264 x==． 【答案】2 ± 19．实数大小比较： 【答案】＜ 第六章实数 知识讲解+题型归纳 知识讲解 一、实数的组成 1、实数又可分为正实数，零，负实数 2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应 二、相反数、绝对值、倒数 1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零. 性质：互为相反数的两个数之和为0。 2.绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为 3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为 1 a . 0没有倒数。 4.相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1. 三、平方根与立方根 1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。数a的平方根记作（a>=0） 特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。 正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。 a | |a 开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。 2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根。 数a 的立方根用3a表示。 任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。 开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。 四、实数的运算 有理数的加法法则： a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；b)异号两数相加。绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。 2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 3.乘法法则： a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零． b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正 c）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0 4.有理数除法法则： 七年级数学《实数》测试卷 一、选择题（每小题3分，共21分） 1、 641的立方根是（ ） A.21± B.41± C.41 D.2 1 2、数8.032032032是（ ） A.有限小数 B.有理数 C.无理数 D.不能确定 3、.在下列各数：0.51525354…，100 49，0.2，π1，7，11131，327，中，无理数的个数是（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4、 下列说法正确的是（ ） A ． 0.25是0.5 的一个平方根 B ．.正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0 C ． 7 2 的平方根是7 D ． 负数有一个平方根 5、已知351.1 =1.147，31.15 =2.472，3151.0 =0.532 5，则31510的值是（ ） A.24.72 B.53.25 C.11.47 D.114.7 6、满足－3＜x ＜5的整数是（ ） A .－2，－1，0，1，2，3 B .－1，0，1，2，3 C .－2，－1，0，1，2， D .－1，0，1，2 7、.若033=+y x ，则y x 和的关系是 （ ） A.0==y x B. y x 和互为相反数 C. y x 和相等 D. 不能确定 二、填空题（每小题3分，共33分） 1、 2)4(-的平方根是_______，-343的立方根是 。 23±，则317-a = ；=-33)6( 。 3、一正方形的边长变为原来的m 倍，则面积变为原来的 倍；一个立方体的体积变为原来的n 倍，则棱长变为原来的 倍. 4、实a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()2a b b a -+ += . 5、当 时，33 45223+-+++-x x x 有意义。 6、不超过380-的最大整数是 . 第十三章实数----知识点总结 一、算术平方根 1. 算术平方根的定义：一般地，如果的等于a，即，那么这个正数x叫 做a的算术平方根．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做． 规定：0的算术平方根是0. ≥0) 理解：≥ a是x的平方 x的平方是a x是a的算术平方根 a的算术平方根是x a 当a 3. 当被开方数扩大(或缩小)时，它的算术平方根也扩大(或缩小)； 4. 夹值法及估计一个（无理）数的大小（方法：） 二、平方根 1. 平方根的定义：如果的平方等于a，那么这个数x就叫做a的．即：如果， 那么x叫做a的． 理解：— a是x的平方 x的平方是a x是a的平方根 a的平方根是x 2.开平方的定义：求一个数的的运算，叫做．开平方运算的被开方数必须是才 有意义。 3. 平方与开平方：的平方等于9，9 4. 一个正数有平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数平方根，即负数不能进行开平方运算 5. 符号：正数a a的算术平方根； 正数a的负的平方根可用 6. 平方根和算术平方根两者既有区别又有联系： 区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个； 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 三、立方根 1. 立方根的定义：如果的等于的（也叫 做 ），即如果 2. ， 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。 理解： — a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x 3. 一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身； 一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。 4. 利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即 四、实数 1. 有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 2. 无理数的定义：无限不循环小数叫无理数 3. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数 4. 负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类： 5. 实数与数轴上点的关系： 每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来， 数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数， 实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。 与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大 6. 7. 实数的绝对值：一个正实数的绝对值是本身； 初二数学讲义 课题: 实数 实数易错题与典型题讲解： 课时1．实数的有关概念 【课前热身】 1.2的倒数是 ． 2.若向南走2m 记作2m -，则向北走3m 记作 m ． 的相反数是 ． 4. 3-的绝对值是（ ） A ．3- B ．3 C ．13 - D ． 13 5．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 7 （毫米2 ），这个数用科学记数法表示为（ ） A.7×10－6 B. 0.7×10－6 C. 7×10－7 D. 70×10－8 【考点链接】 1．有理数的意义 ⑴ 数轴的三要素为 、 和 . 数轴上的点与 构成一一对应. ⑵ 实数a 的相反数为________. 若a ，b 互为相反数，则b a += . ⑶ 非零实数a 的倒数为______. 若a ，b 互为倒数，则ab = . ⑷ 绝对值?? ? ? ?<=>=)0( )0( )0( a a a a ． ⑸ 科学记数法：把一个数表示成 的形式，其中1≤a ＜10的数，n 是整数. ⑹ 一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.这时，从左边第一个不是 的 数起，到 止，所有的数字都叫做这个数的有效数字． 2.数的开方 ⑴ 任何正数a 都有______个平方根,它们互为________.其中正的平方根a 叫 _______________. 没有平方根，0的算术平方根为______. ⑵ 任何一个实数a 都有立方根，记为 . ⑶ =2 a ? ? ? <≥=) 0( ) 0( a a a . 3. 实数的分类 和 统称实数. 4．易错知识辨析 （1）近似数、有效数字 如0.030是2个有效数字（3,0）精确到千分位；3.14×105 是3个有效数字；精确 到千位.3.14万是3个有效数字（3,1,4）精确到百位． （2）绝对值 2x =的解为2±=x ；而22=-，但少部分同学写成 22±=-． （3）在已知中，以非负数a 2 、|a|、 a (a ≥0)之和为零作为条件，解决有关问题. 【典例精析】 找家教，到 阳光家教网 全国最大家教平台 一、填空题： 1．. 在7.5-，4，-π，0.15 ，722 ，23 中，无理数有 个； 2．62的立方根是______． 3．平方根是2±的数是_____________ 4．(－4)2的算术平方根是______， 5. 平方根等于它本身的数是 ． 6.13-x 有意义，则x 的取值范围是________. 7. 若0942=-x ，则x= 8．15-的相反数是 ． 9．25的平方根是__________． 10．16的四次方根是 。 11．近似数0.0250有 个有效数字。 12．330-的小数部分是 13．计算：32 8-= 14．在数轴上表示3- 的点离原点的距离是 。 15.25-的绝对值是 。 16．在数轴上点A 、点B 对应的数分别是52-和3， 则A 、B 两点之间的距离为______． 17．若y x 262++ -=0，则x ＋y 的立方根是________． 二、选择题： 18. 22 不是…………………………………………………………（ ） A ．实数 B ．小数 C ．无理数 D ．分数 19．下列说法中正确的是……………………………………………（ ） A ．带根号的数是无理数 B ．无限小数是无理数 北京家教 找家教上阳光家教网 找家教，到 阳光家教网 全国最大家教平台 D ．无理数包括正无理数、零、负无理数 20.在数轴上，原点和原点左边的所有点表示的数是………………..（ ） A ．零和负有理数 B ．负实数 C ．负有理数 D ．零和负实数 21.a 、b 是两个实数，在数轴上的位置如图所示，下面结论正确的是…（ ） A ． B ． C ． D ． a 、b 互为相反数 22.若a -有意义，则a 是……………………………………………（ ） A ．不存在 B ．非正数 C ．非负数 D ．负数 23.下列式子正确的是…………………………………………………..（ ） A ． B ． C ． D ． 24.下列各式正确的是…………………………………………………..（ ） A ． B ． C ． D ． 25.已知 为实数，那么下列结论中正确的是……………….（ ） A ．若 ，则 B ． ，则 C ．若 ，则 D ．若 ，则 26．若11a a -=-，则a 的取值范围为………………………….（ ） A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．1a > D ．1a < 27.若a 与它的绝对值之和为0，则 的值是….（ ） A ．－1 B ． C ． D ． 1 三、计算题： 28． 0213)13()41(512--+-- 29．312121)425(- 北京家教 找家教上阳光家教网 《实数》复习与回顾 一、知识梳理 1.平方根 （1）算术平方根的定义：一个正数x的平方等于a,即_____，那么这个正数x就叫做a的________.0的算术平方根是_____。 （2）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即_____，那么这个数x就叫做a的_______。 （3）平方根的性质：一个正数有_____个平方根，它们________；0只有_____个平方根，它是_____；负数_____平方根。 （4）开平方：求一个数a的________的运算，叫做开平方。 2.立方根 （1）立方根的定义：如果一个数x的_____等于a，即_____，那么这个数x就叫做a的立方根。 （2）立方根的性质：每个数a都只有_____个立方根。正数的立方根是_____；0的立方根是_____；负数的立方根是_____。 （3）开立方：求一个数a的________的运算叫做开立方。 3.实数 （1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_____。 （2）实数的定义：_____和_____统称实数。 （3）实数的分类：①按定义分：________________________；②按性质分：________________________。 （4）实数与数轴上的点的对应关系：_____与数轴上的点是_____对应的。 （5）有关概念：在实数围，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数 围的意义_____。 4.实数的运算： （1）实数的加、减、乘、除、乘方运算和_______一样，而且有理数的运算律对__________仍然适用。 （2）两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根， 算术平方根的商等于这两个数商的算术平方根，用式子表示为 __________；__________。 二、考点例析 考点1 平方根、立方根的定义与性质 例1 （1）下列各数是否有平方根？若有，求出其平方根；若没有，说明理由。 ①625 ②（－2）2 ③（－1）3 （2）下列各数是否有立方根？若有，求出其立方根。 ①27 1 ②－343 ③－2 2 分析：（1）要判断一个对象有无平方根，首先要对这个对象进行转 化，直到能看出它的符号，然后依据平方根的性质进行判断。 （2）因为正数、0、负数均有立方根，所以所给各数都有立方 根。 解：（1）①因为625>0，故其平方根有两个，即±625=±25；② 因为（－2）2=4>0，故其平方根有两个，即±2)2( =±2； ③因为（－1）3=－1<0, 故其不存在平方根。 （2）由立方根的性质可知，所给各数均有立方根。 《实数》易错题和典型题 一、平方根、算术平方根、立方根的基本概念和区别 1.25的平方根是±5的数学表达式是（ ） 525±= B.525= C.525±=± D.525-= 81的算数平方根是 ；16的平方根是 ，=338- ，64-的立方根是 。 如果x 是23-） （的算数平方根，y 是16的算数平方根，则1xy x 2++= 。 若2x =729，则x= ；若2x =2 4-）（，则x= 。 已知2x-1的负的平方根是-3，3x+y-1的算数平方根是4，求x+2y 的平方根。 一个数的平方根等于这个数，那么这个数是 。 下列语句及写成的式子正确的是（ ） A.8是64的平方根，即864= B.864648=±的平方根，即是 C.864648±=±的平方根，即是 D.88-8-822=）（的算数平方根，即）是（ 已知有理数m 的两个平方根是方程4x+2y=6的一组解，则m= 。 已知=±x 11-x 232，则的平方根是）（ 。 对21-a ） （ 的化简：去绝对值符号 化解=22-1）（ ；=23-2） （ ；=22-3）（ 。 如果4m 2=，则m= ；如果1-a 1-a 2=）（，则a 的取值范围是 。 已知b a a -b b -a 10b 6a 2 +===，则且，= 。 实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化解23 3c -a b a -b -c a ）（）（+++ 被开方数的小数位移动与结果的关系 已知==200414.12，那么 ；=02.0 。 已知==23604858.0236.0，那么（ ） A.4858 B.485.8 C.48.58 D.4.858 若===x 68.28x 868.26.233,3，那么， 。 已知853.32.57,788.172.58301.0572.033,3===，，，则=357200 ；=300572.0 ； =35720 ；3572 。 四、平方根有意义的条件 实数知识点总结 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8 等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现） 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数 小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 -a （a <0） ；注意a 的双重非负性： a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个 实数易错题汇编及答案 一、选择题 1．如图，数轴上的点P 表示的数可能是( ) A 5 B ．5 C ．－3.8 D ．10-【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 5 2.2≈，所以P 点表示的数是5- 2．规定用符号[]n 表示一个实数的小数部分，例如:[]3.50.5,22 1.??= ??=按照此规 定, 101????的值为（ ） A 101 B 103 C 104 D 101+ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据310＜410的小数部分，根据用符号[n]表示一个实数的小数部分，可得答案． 【详解】 解：由3104，得 410+1＜5． 1010103-， 故选：B ． 【点睛】 本题考查了估算无理数的大小，利用了无理数减去整数部分就是小数部分． 34的平方根是( ) A ．2 B 2 C ．±2 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】 4，然后再根据平方根的定义求解即可． 【详解】 ∵4=2，2的平方根是±2， ∴4的平方根是±2． 故选D ． 【点睛】 本题考查了平方根的定义以及算术平方根，先把4正确化简是解题的关键，本题比较容易出错． 4．规定用符号[m]表示一个实数m 的整数部分，例如：[ 23 ]＝0，[3.14]＝3.按此规定[10＋1]的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：根据91016<<，则3104<<，即41015<+<，根据题意可得：1014??+=?? . 考点：无理数的估算 5．下列各数中最小的是（ ） A ．22- B ．8- C ．23- D ．38- 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据有理数的乘方、算术平方根、立方根、负整数指数幂进行计算，再比较数的大小，即可得出选项． 【详解】 解：224-=-，2139 -=，382-=-， 143829-<-<-<-< Q ， ∴最小的数是4-， 故选：A ． 【点睛】 本题考查了实数的大小比较法则，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键． 6． -2的绝对值是（ ） A ． B ． C ． D ．1 实数易错点和易错题 一、 学习目标与考点分析： 掌握实数的概念，平方根，立方根以及运算。能区分出有理数和无理数。 知道绝对值和倒数的概念，并运算。掌握科学技术；能得出实数在题目中的变化规律。 二、 教学内容： 考点.绝对值的概念、性质 例.(1)若=++ 《实数》 实数运算技巧与典型例题 考点1.实数概念 例1. 下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？ －3, 2 －1， 3， － 0．3， 3－1 ， 1 + 2 ， 31 3 互为相反数： 互为倒数： 互为负倒数： 练习：(1)ａ,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的绝对值是2.求|a+b| 2m 2+1 +4m-3cd 的值. (2)若有理数a 等于它的相反数,有理数b 等于它的倒数, 求1999199919991999b a b a -++的值. 考点2.实数的运算 例2. 计算:｛12 ×（－2）2－(12 )2＋11－ 13 ｝÷| 21996·(-1 2 )1995| 练习: 1. 0.3－1－（－ 16 ）－2＋43－3－1＋（π－3）0 2. 3223)1.0()1 .01 ()43()971()52(-÷---?--?- 人教版第六章 实数单元 易错题难题测试综合卷检测试题 一、选择题 1．设n 为正整数，且20191n n <<+，则n 的值为（ ） A ．42 B ．43 C ．44 D ．45 2．在下面各数中无理数的个数有( ) -3.14，23， 227，0.1010010001．．．，+1.99，-3π A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．下列说法正确的是（ ） A ．有理数是整数和分数的统称 B ．立方等于本身的数是0，1 C ．a -一定是负数 D ．若a b =，则a b = 4．若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！ =4×3×2×1，…，则7×6！的值为( ) A ．42！ B ．7！ C ．6！ D ．6×7！ 5．对于任意不相等的两个实数a ，b ，定义运算：a ※b ＝a 2﹣b 2+1，例如3※2＝32﹣22+1＝6，那么（﹣5）※4的值为（ ） A ．﹣40 B ．﹣32 C ．18 D ．10 6．按照下图所示的操作步骤，若输出y 的值为22，则输入的值x 为（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．±9 7．下列命题中，①81的平方根是9；②16的平方根是±2；③?0.003没有立方根；④?64的立方根为±4；⑤5，其中正确的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．设42-的整数部分为a ，小整数部分为b ，则1a b - 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．21+ D ．21- 9．4的平方根是（ ） A ．2 B ．2± C ．±2 D ．2 10．在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A ，B 两点对应的实数分别是2和﹣1，则点C 所对应的实数是（ ） A ．12 B ．22+ C ．221 D ．221 二、填空题 《 实数》知识点比较： 例1、求下列各数的算术平方根。 （1）100 （2） 6449（3）16 9 1（4）0.0025（5）0（6）2（7）()26- 例2、求下列各数的平方根。 （1）100（2） 6449（3）16 9 1（4）0.0025（5）0（6）2（7）()26- 例3、求下列各数的立方根。 （1）1000（2） 27 8 （3）27102（4）0.001（5）0（6）2（7）()36- 类型二：化简求值 例1、 求下列各式的值。 （1）22=（2）256 169 -=（3）0196.0= （4）2224-25-=（5）327--=（6）33512729+= 例2、求下列各式的值 （1）222-4-25）（+（2）22 42.06-100001.0?+?）（ 类型三：算术平方根的双重非负性???≥≥0 0a a 一、 被开方数的非负性0≥a 例1、下列各式中，有意义的有哪些？ 例2、若下列各式有意义，在后面横线上写出x 的取值范围。 （1）x _________（2）x -5__________ 例3、若x 、y 都是实数，且833+-+-=x x y ，求y 3x +的立方根。 二、 算术平方根的非负性 0≥a 例4、（1）21++a 的最小值是______,此时a 的取值是______。 （2）2-1+a 的最大值是______,此时a 的取值是______。 例5、若031x 2=+++y ，求2 y x ）（+的值。 例6、已知027y 33)2(222=-+-x ，求2 ）（y x -的平方根。 类型四、 算术平方根：被开方数的小数点向右（左）每移动两位，算术平方根的小数点向右（左）移动一位。 立方根：被开方数的小数点向右（左）每移动三位，立方根的小数点向右（左）移动一位。 例1、 观察：已知84.227.521284.2217.5==， 填空：______52170______05217.0== 例2、 令858.46.23536.136.2==，则 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 第二章《实数》知识点梳理及题型解析 一、知识归纳 （一）平方根与开平方 1. 平方根的含义 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。 即a x =2 ，x 叫做a 的平方根。 2.平方根的性质与表示 ⑴表示：正数a 的平方根用a ±表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫做a 的负平方根。 ⑵一个正数有两个平方根：a ± （根指数2省略） 0有一个平方根，为0，记作00= ，负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算 开平方：求一个数a 的平方根的运算。 a a =2==???-a a 00<≥a a ()a a =2 （0≥a ） ⑷a 的双重非负性 0≥a 且0≥a （应用较广） 例：y x x =-+-44 得知0,4==y x ⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地 向右或向左移动一位。 区分：4的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=4开平方后， 得____ 3.计算a 的方法????? ?? ??精确到某位小数 ＝非完全平方类 ＝完全平方类 773 294 *若0>>b a ，则b a > （二）立方根和开立方 1．立方根的定义 如果一个数的立方等于a ，呢么这个数叫做a 的立方根，记作3a 2. 立方根的性质 任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０. 3. 开立方与立方 开立方：求一个数的立方根的运算。 ()a a =3 3 a a =3 3 33a a -=- （a 取任何数） 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 *０的平方根和立方根都是０本身。 （三）推广： n 次方根 １. 如果一个数的n 次方（n 是大于１的整数）等于a ，这个数就叫做a 的n 次方 根。 当n 为奇数时，这个数叫做a 的奇次方根。 当n 为偶数时，这个数叫做a 的偶次方根。 ２. 正数的偶次方根有两个：n a ±；０的偶次方根为０：00=n ；负数没有偶次方根。 正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。 （四）实 数 1. 实数：有理数和无理数统称为实数 实数的分类： （4）《实数》知识点总结及典型例题练习题 第一节、平方根 1. 平方根与算数平方根的含义 平方根：如果一个数的平方等于a ，那么数x 就叫做a 的平方根。即a x =2，记作x=a ± 算数平方根:如果一个正数x 的平方等于a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，即x 2=a ，记作x=a 。 ２.平方根的性质与表示 ⑴表示：正数a 的平方根用a ±表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫做a 的负平方根。 ⑵一个正数有两个平方根：a ±（根指数２省略） ０有一个平方根，为０，记作00= 负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算 开平方：求一个数a 的平方根的运算。 a a =2==???-a a 0<≥a a ()a a =2 （0≥a ） ⑷a 的双重非负性：0≥a 且0≥a （应用较广） 例：y x x =-+-44 得知0,4==y x ⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。 区分：４的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=４开平方后，得____ (6)若0>>b a ，则b a > (7)() ) 0,0(0,0>≥=≥≥=?b a b a b a b a ab b a 典型习题： （1）求算数平方根与平方根 1:求下列数的平方根 36 （-4）2 0 10 2:求eg1中各数的平方根 （2）解简单的二次方程 3:2 81250x -= 4 :4(x+1)2=8 （3）被开方数的意义 5:若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －a 2 B. －( a +1)2 C.－2a D.－(a -+1) 6:实数a 在数轴上的位置如图所示, 化简:2)2(1-+-a a （4）:有关x 的取值范围目前中考的所有考点 考点： 例题：求使得下列各式成立的x 的取值范围 7:53-x 8: 当______m 时，m -3有意义；当______m 时，3 3-m 有意义 9: x -11 10.等式1112-=+?-x x x 成立的条件是（ ）. A 、1≥x B 、1-≥x C 、11≤≤-x D 、11≥-≤或x (5)非负性 知识点：总结：若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用． 人教版第六章 实数单元 易错题难题检测试题 一、选择题 1．2(4)-的平方根与38-的和是（ ） A ．0 B ．﹣4 C ．2 D ．0或﹣4 2．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222÷÷， (3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作2③，读作“2的圈 3次方”，把(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作(3)-④，读作“3-的圈4次方”，一般地，把 (0)a a a a a a ÷÷÷ ÷÷≠记作a ?，读作“a 的圈c 次方”，关于除方，下列说法错误的 是（ ） A ．任何非零数的圈2次方都等于1 B ．对于任何正整数a ，21()a a =④ C ．3=4④④ D ．负数的圈奇次方结果是负数，负数的圈偶次方结果是正数. 3．如图，数轴上的,,A B C 三点所表示的数分别为a b c 、、，其中AB BC =，如果||||||a c b >>那么该数轴的原点O 的位置应该在（ ） A ．点A 的左边 B ．点A 与点B 之间 C ．点B 与点C 之间 D ．点C 的右边 4．将不大于实数a 的最大整数记为[]a ，则33??=??（ ） A ．3- B ．2- C ．1- D ．0 5．对于两数a 、b ，定义运算：a*b=a+b —ab ，则在下列等式中，①a*2=2*a ；②（-2）*a=a*（-2）；③（2*a ）*3=2*（a*3）；④0*a=a ，正确的为（ ） ①a*2=2*a ②（-2）*a=a*（-2） ③（2*a ）*3=2*（a*3） ④0*a=a A ．① ③ B ．① ② ③ C ．① ② ③ ④ D ．① ② ④ 6．下列五个命题： ①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等； ②内错角相等； ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ④两个无理数的和一定是无理数； ⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 其中真命题的个数是（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 7．下列各式中，正确的是（ ） A () 2 33-=- B 42=± C 164= D 393= 8．如图．已知//AB CD ．直线EF 分别交,AB CD 于点,,E F EG 平分BEF ∠．若(完整版)北师大版八年级上实数易错题
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