数学物理方法 刁元胜 第13.14章课后答案

数学物理方法第八章作业答案

P 175 8.1在0x =的邻区域内，求解下列方程： (1) 2 (1)0x y''xy'y -+-= 解：依题意将方程化为标准形式2 2 10(1) (1) x y''y'y x x + - =-- 2 ()(1) x p x x = -，2 1()(1) q x x =- - 可见0x =是方程的常点． 设方程的级数解为0 ()n n n y x c x ∞ == ∑，则1 1 ()n n n y'x nc x ∞ -== ∑，2 2 ()(1)n n n y''x n n c x ∞ -== -∑ 代入原方程得2 2 2 1 2 2102 2 2 1 (1)(1)0(1)(1)0 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c x x n n c x x nc x c x n n c x n n c x nc x c x ∞ ∞ ∞ ∞ ---====∞ ∞ ∞ ∞ -====---+- =? -- -+ - =∑∑∑∑∑∑∑∑ 由0 x 项的系数为0有：202012102 c c c c ?-=?= 由1 x 项的系数为0有：311313200 (0)c c c c c ?+-=?=≠ 由2x 项的系数为0有：42224201143212012 24 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由3 x 项的系数为0有：533355432300c c c c c ?-?+-=?= 由4x 项的系数为0有：64446403165434010 80 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由5 x 项的系数为0有：755577654500c c c c c ?-?+-=?= 由6 x 项的系数为0有：866686025587656056 896 c c c c c c c ?-?+-=?== …… ∴ 方程的级数解为 2 4 6 8 0100000 1115()2 24 80 896 n n n y x c x c c x c x c x c x c x ∞== =++ + + + +???∑

数学物理方法第三章答案完整版

第三章答案 1. (6分)已知齐次状态方程Ax x =&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其逆矩阵)(1 t -Φ和系统矩阵A 。 ??? ???+-+---=Φ--------2t t 2t t 2t t 2t t 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t (。 解： ??????+-+---=-Φ=Φ-2t t 2t t 2t t 2t t 1 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t ()t ( （3分） ? ? ? ? ??=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 2. (8分)求定常控制系统的状态响应。 ()()()()()()0101,0,0,11210x t x t u t t x u t t ??????=+≥== ? ? ?--?????? & 解：11t t t At t t t t t t e te te e e t t te e te -------+??+??== ? ?----?? ?? （4分） 0()()(0)()()10t t t t t x t t x Bu t d e te e d te e e ττττττ τττ------=Φ+Φ-????+??=+=??????--?????? ?? （4分） 3．(3分) 已知齐次状态方程Ax x =&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其系统矩阵A 。 ?? ? ???+-+---=Φ--------2t t 2t t 2t t 2t t 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t (。 解：? ? ? ? ??=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 4．(8分)已知系统的状态方程为： u x x ?? ????+??????=111101&， 初始条件为1)0(1=x ，0)0(2=x 。求系统在单位阶跃输入作用下的响应。 解：解法1：?? ? ???=??? ? ????????---=Φ--t t t e te e s s L t 01101)(1 1； （4分） ?? ????-=??????-+??????=??? ?????????-+????????????=?---t t t t t t t t t t t t t te e te e te e d e e t e e te e x 212111)(00100τττττ。 （4分） 解法2： ?? ????--=??????--+??????--=+-=-s s s s s s s s s s x s Bu A s s x 21)1(1 11)1(11)1(1)}0()({)I ()(22221 ；

数学物理方法习题答案[1]

数学物理方法习题答案： 第二章： 1、（1）a 与b 的连线的垂直平分线；以0z 为圆心，2为半径的圆。 （2）左半平面0,x <但是除去圆22(1)2x y ++=及其内部；圆2211()416x y -+= 2、2 ,cos(2)sin(2)i e i π ππ+； 32,2[cos(sin(3)i e i π ππ+； ,(cos1sin1)i e e e i ?+ 3、22k e ππ--； (623)i k e ππ+； 42355cos sin 10cos sin sin ?????-+； 11()sin ()cos 22b b b b e e a i e e a --++- 1 ()cos 2 y y ay b e e x e ---- 4、（1） 2214u υ+= 变为W 平面上半径为1 2的圆。 （2）u υ=- 平分二、四象限的直线。 5、(1) z ie iC -+; 2(1) 2i z -; ln i z - (2) 选取极坐标 ,, ()2 2 u C f z ?? υ==+=6、ln C z D + 第三章： 1、 （1） i π （2）、 i ie π-- （3）、 0 （4）、i π （5）、6i π 2、 设 ()!n z z e f n ξ ξ= z 为参变数，则 () 1 220 1 1 () 1(0)2!2! 1()()!!! ! n z n n n l l n n n n z z n z e d f d f i n i n z d z z e e n n d n n ξξξξξξξξπξξπξ ξ +=== ====? ? 第四章： 1、（1） 23 23 ()()ln 22z i z i z i i i i i ---+-+- （2）23313 (1) 2!3!e z z z ++++ （3） 211111()()[(1)(1)](1)11222k k k k k k z z i i i z z z i z i z i ∞=---=-=--++--<+-+∑ 2、(1) 1 n n z ∞ =--∑ (2) 11()43f z z z =--- ①3z <时 11011()34k k k k z ∞ ++=-∑ ， 34z <<时

数学物理方法典型习题

典型习题 一、填空题： 1 的值为 ， ， 。 2 、1-+的指数表示为_________ ,三角表示为 。 3、幂级数2 k k=1(k!)k z k ∞ ∑的收敛半径为 。 4、ln(5)-的值为 。 5、均匀介质球，半径为0R ，在其中心置一个点电荷Q 。已知球的介电常数为 ε，球外为真空，则电势所满足的泛定方程为 、 。 6、在单位圆的上半圆周，积分1 1||__________z dz -=?。 7、长为a 的两端固定弦的自由振动的定解问问题 。 8、具有轴对称性的拉普拉斯方程的通解为 。 9、对函数f(x)实施傅里叶变换的定义为 ，f （k ）的傅里叶逆变换为 。 10、对函数f(x)实施拉普拉斯变换的定义为 。 二、简答题 1、已知()f z u iv =+是解析函数，其中22 v(x,y)=x y +xy -，求 (,)u x y 。 2、已知函数1w z = ，写出z 平面的直线Im 1z =在w 平面中的,u v 满足的方程。 3、将函数21()56f z z z =-+在环域2||3z <<及0|2|1z <-<内展开成洛朗级数． 4、长为L 的弹性杆，一端x=0固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长p 后静止（在弹性限度内），突然放手后任其振动。试写出杆的泛定方程及定解条件。 三、计算积分： 1. ||22(1)(21)z zdz I z z ==-+? 2．||2sin (3)z zdz I z z ==+? 3.22202(1)x I dx x ∞ =+? 4.||1(31)(2) z zdz I z z ==++? 5. ||23cos z zdz I z ==? 6. 240x dx 1x I ∞=+? 7、0sin x dx x ∞ ? 8、20cos 1x dx x ∞+? 四、使用行波法求解下列方程的初值问题

数学物理方法第08章习题

第八章 习题答案 8.1-1 证明递推公式： （1）()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'- （2）()()()()x l x x x l l l P 1P P 1+=' -'+ （3）()()()()x l x x l l l P 12P P 11+=' -'-+ 证明：基本递推公式 ()()()()()x l x l x x l l l l 11P 1P P 12+-++=+ ① ()()()()x x x x x l l l l ' -'+'=-+P 2P P P 11 ② （1）将①式对x 求导后可得： ()()()()()()()x l x l x l x x l l l l l '++'=++'++-11P 1P P 12P 12 ③ 由③-()?+1l ②可得 （目的：消去()x l ' +1P ） ()()()()()()x l x l x x l l l l P 1P 12P 12+-++'+ ()()()()()x l x x l x l l l l '++'+-'=--P 12P 1P 11 整理可得：()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'- （2）将()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'-乘以l 得： ()()()x l x l x lx l l l P P P 21=' -'- ④ 由③-④得 （目的：消去()x l ' -1P ） ()()()()()()x l x l x x l l l l '+=++'++12P 1P 1P 1 整理可得：()()()()x l x x x l l l P 1P P 1+=' -'+ （3）由2×③-()12+l ×②可得： （目的：消去()x l ' P ） ()()()()()()x l x l x l l l l '++'+++-+11P 12P 12P 24 ()()()()()x l x l x l l l l P 12P 22P 211++' ++'+- 整理可得：()()()()x l x x l l l P 12P P 11+=' -'-+

数学物理方法123章作业解答

另：()y x u u ,=，()y x v v ,=，?? ?==? ρ?ρsin ,cos y x ? ?ρ ρ ρ sin cos y u x u y y u x x u u ??+ ??= ????+ ????= ?? ρ ?????ρ?ρρ??ρ? ρ??= ??+ ??= ??+ ??- =??? ? ????+-??=???? ??????+????= ??u x u y u y v x v y v x v y y v x x v v cos sin cos sin cos )sin (111 ? ?ρ ρ ρ sin cos y v x v y y v x x v v ??+ ??= ????+ ????= ?? ρ ?????ρ?ρρ??ρ? ρ??- =??- ??- =??+ ??- =??? ? ????+-??=???? ??????+????= ??v x v y v y u x u y u x u y y u x x u u cos sin cos sin cos )sin (111 所以，有 ?????? ???-=????=??ρ?ρ?ρρv u v u 11 第18页 第2题

第27页 指出下列多值函数的支点及其阶。 （1） ) (a z - 解：根式的可能支点是∞点和根式内多项式的零点，现在来逐个考察这些点的性质。 ① a z =：在此点的邻域内任取一点 1 11φρi e a z +=（11 <<ρ），则有 2 11)(φ φ ρρi i e e a z = = - 当保持 1ρ不变 π φφ211+→（绕 a z =一周）时，有

数学物理方法习题及解答

2. 试解方程：()0,04 4 >=+a a z 44424400000 ,0,1,2,3 ,,,,i k i i z a a e z ae k ae z i i πππ π ωωωωω+=-=====--若令则 1．计算： （1） i i i i 524321-+ -+ （2） y = （3） 求复数2 12?? + ? ??? 的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ (1) 原式= ()()()12342531081052 916 2525255 i i i i i i +?+-?+-++=+=-+-- （2） 3 32( )10205 2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式 (3) 2 223 221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,223 i i i e r π πππππ θπ??==+=+==- ?????=-===+=±±L 原式所以：， 3．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数. (1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++- 3.

()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u e x y y y e y x u e x y y y y y v e y y x y e y y x v e y y y x y y u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+?=-+??=---??=++??=-+?????==-????=+?'= ?证明：所以：。 由于在平面上可微 所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v i e x y y y e y i e y y x y e y x x ?+=-++++? 由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-= 解： ()()()()()()()222222222212,2,21 2,2,,,2112, 2211 1,0,1,1,, 221112. 222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ??????==+∴=++?????''=+=-=-+∴=-=-+?????=-+++-+ ??? =-+==+==? ?=-++-++ ?? ?而即所以由知带入上式，则则解析函数 2. ()21,3,,.i i i i i i e ++试求

2018物理二轮复习100考点第十七章物理思维方法专题17.13数学物理方法

专题17.13 数学物理方法 1．（2008·上海）如图所示为研究电子枪中电子在电场中运动的简化模型示意图。在Oxy 平面的ABCD区域内，存在两个场强大小均为E的匀强电场I和II，两电场的边界均是边长 为L的正方形（不计电子所受重力）。 （1）在该区域AB边的中点处由静止释放电子，求电子离开ABCD区域的位置。 （2）在电场I区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能从ABCD区域左下角D处离开，求所有释放点的位置。 （3）若将左侧电场II整体水平向右移动L/n（n≥1），仍使电子从ABCD区域左下角D处离开（D不随电场移动），求在电场I区域内由静止释放电子的所有位置。 （2）设释放点在电场区域I中，其坐标为（x，y），在电场I中电子被加速到v1，然后进入 电场II做类平抛运动，并从D点离开，有，， 解得xy＝，即在电场I区域内满足议程的点即为所求位置。 （3）设电子从（x，y）点释放，在电场I中加速到v2，进入电场II后做类平抛运动，在高度为y′处离开电场II时的情景与（2）中类似，然后电子做匀速直线运动，经过D点，则有

，，，。 解得，即在电场I区域内满足方程的点即为所求位置。 【点评】大于题述要求的单个或分离位置，可以用位置坐标表示；对于连续位置则需要用方程表示。 2．（2008·四川）A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当B车在A车前84 m处时，B 车速度为4 m/s，且正以2 m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零。A车一直以20 m/s的速度做匀速运动。经过12 s后两车相遇。问B车加速行驶的时间是多少？ 3．（2014·四川省雅安三诊）如题79B图所示，质量为m的小球从四分之一光滑圆弧轨道顶端静止释放，从轨道末端O点水平抛出，击中平台右下侧挡板上的P点。以O为原点在竖直面内建立如图所示的平面直角坐标系，挡板形状满足方程 y=6-x2（单位：m），小球质量m=0.4 kg，圆弧轨道半径R=1.25m，g 取10 m/s2；求： （1）小球对圆弧轨道末端的压力大小； （2）小球从O点到P点所需的时间（结果可保留根号）。

数学物理方法

数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数

第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开

数学物理方法第二章习题及答案整理

第二章答案 一、 简述 1． 简述状态空间描述与输入/输出描述的不同。 解：输入/输出描述是系统的外部描述，是对系统的不完全描述，用微分方程及其对应传递函数表征；状态空间描述是系统的内部描述，是对系统的完全描述，用状态空间表达式表征。 2． 线性定常系统经非奇异线性变换哪些量和性质不变？（至少列举3项） 解：特征值不变，传递矩阵不变，可控性及可观测性不变。 二、 多选题 1.对于n 阶线性定常系统 x Ax Bu =+&，下列论述正确的是（ ABD ） A 当系统矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量12,,,n υυυL 时，则矩阵A 可化为对角线规范形； B 系统矩阵A 的n 个特征值12,,,n λλλL 两两互异，则矩阵A 可化为对角 线规范形； C 系统矩阵A 有重特征值，则矩阵A 不能化为对角线规范形； D 系统矩阵A 有重特征值，但重特征值的几何重数等于其代数重数，则 矩阵A 可以化为对角线规范形。 三、 求状态空间描述 1、 给定系统的传递函数为 1 ()(4)(8)G s s s s = ++ （1）写出系统的可控标准型状态空间描述。 解：由传递函数 32 11 ()(4)(8)1232g s s s s s s s ==++++ 可写出原系统的能控标准形 01000010032121u ???????????? ????--????x =x +& 2．已知系统的传递函数为 2325 ()1510 s s G s s s ++=++ 分别写出系统的能控、能观状态空间表达式。 解：

能控标准型： 01000010101501[521]x x u y x ???? ????=+????????--????=& （2分） 能观标准型： 00105101520101[0 01]x x u y x -???? ????=-+????????????=& 3．已知系统的传递函数为 2323 ()510 s s G s s s ++=++ 分别写出系统的能控、能观状态空间表达式。 解：能控标准型： 0100001010501[321]x x u y x ???? ????=+????????--???? =& （2分） 能观标准型： 010*********[0 01]x x u y x -???? ????=-+???????????? =& 3．已知系统的传递函数为 32 20 ()43G s s s s = ++ （1）写出系统的可控标准型状态空间描述。 解：（1）由传递函数 3220 ()43G s s s s =++可写出原系统的可控标准型 []01 00001003412000u y x ???? ????????????--????=&x =x + 4．已知系统的传递函数为 210 ()1 G s s = +

数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】

3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上

数学物理方法第二篇第3章

第三章 行波法和通积分法 §2.3.1一维波动方程哥西问题达朗贝尔公式 无限长均匀弦的自由振动归结为一维齐次波动方程的哥西问题： ?? ?==>+∞<<-∞=-) ()0,(),()0,() 0,(,02x x u x x u t x u a u t xx tt ψ? 这个方程的特征方程为 0 )( 2 2 =-a t x d d ， 所以波动方程是双曲型方程，有两组实的特征线 1c at x =-，2c at x =+， 作自变量的变换，令 at x -=ξ，at x +=η， 应用复合函数求导法则，有 η ξηξau au a u a u u t +-=?+-=)(, ηξηξu u u u u x +=?+?=11, ηηξηξξu a u a u a u tt 2 2 2 2+-=, ηη ξηξξu u u u xx ++=2, 代入波动方程中，化简得 0=ξηu ， 利用偏导数的意义，得通解

)()()()(),(at x G at x F G F t x u ++-=+=ηξ， 其中F 和G 是任意二阶连续可微函数. 由),(t x u 满足的初始条件来确定F 和G 的具体形式，于是 得函数方程 ? ? ?='+'-=+)()()(), ()()(x x G a x F a x x G x F ψ? 积分第二式得 C a x G x F x x += +-?α αψd 0 )(1)()(，C 为积分常数. 从而得 2)(21)(21)(0C a x x F x x - - = ?ααψ?d ， 2 )(21)(2 1)(0 C a x x G x x + + =?ααψ?d 故得一维齐次波动方程哥西问题的解 ααψ??d ?+-+ ++-= at x at x a at x at x t x u )(21)]()([2 1),(, 这就是著名的达朗贝尔公式. 通常称)(at x F -为右传播波（或右行波），称)(at x G +为左传播波（或左行波），a 为速度.所以这种解波动方程哥西问题的方法称为行波法，在数学上又叫通积分法.

数学物理方法第二篇第2章

第二章 数学物理方程和二阶线性偏微分方程分类 §2.2.1数学物理方程 数学物理方程（简称数理方程）通常是指从物理模型中导出的函数方程，特别是偏微分方程，我们这里着重讨论二阶线性偏微分方程. 数学物理方程一般可以按照所代表的物理过程（或状态）分为三类： 1.振动与波（机械的、电磁的）称为波动方程.例如，在各向同性的固体中传播的横波或者纵波的方程.有一维波动方程xx tt u a u 2=（自由振动方程），),(2t x f u a u xx tt +=（强迫振动方程），这里u =u (x ,t )代表平衡时坐标为x 的点在t 时刻的横向或者纵向位移，a 是波的传播 速度.tt u 表示22t u ??，xx u 表示22x u ??；二维波动方程u a u tt ?=2，?是拉普拉斯算符2222y x ??+??≡?（二维的），22 2222z y x ??+??+??≡?（三维的）. 2.输运过程称为扩散方程，热传导方程.例如，有一维的热传导方程xx t u a u 2=其中u =u (x ,t )表示x 点在t 时刻的温度，2a 称为扩散率或温度传导率.方程),(2t x f u a u xx t +=表示有热源的传导方程. 3.稳定（或者静止、平衡）过程（或状态）称为拉普拉斯方程. 02222=??+??≡?y u x u u . 在数学中，把二阶线性偏微分方程进行分类，其中有三种最重要

的类型，分别称为双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程，而上面所指出的那些数理方程都是二阶线性偏微分方程.波动方程可以作为研究双曲型方程的模型，热传导方程可以作为研究抛物型方程的模型，拉普拉斯方程可以作为研究椭圆型方程的模型. 对于仅有数理方程这类偏微分方程还不足以确定物体的运动，因为物体的运动还与起始状态以及通过边界所受到外界作用有关.从数学的角度考虑，物体运动的起始状态称为初始条件，物体运动的边界情况称为边界条件.求一个微分方程的解满足一定的初始条件或边界条件的问题称为定解问题.而初始条件、边界条件称为定解条件.若定解条件仅有初始条件的，则称该定解问题为初值问题，又叫哥西(Cauchy)问题；若定解条件为边界条件的，则称为边值问题. 边界条件一般有三种类型，以一维的为例：在x =0点的第一边界条件：)(),0(t t u μ=；第二边界条件：)(),0(t v t u x =；第三边界条件：)(),0(),0(t t hu t u x θ=-，这里h 为已知常数，)(t μ，)(t v ，)(t θ为已知函数.如果)(t μ，)(t v ，)(t θ恒为零的边界条件称为齐次边界条件，一般将边界条件写成)()],(),([t f t M n u t M u D M =??+?∈βα，D ?表示区域D 的边界，n 是D ?的外法线方向，这里α，β不同时为零的常数，则是这三种边界条件的综合表述. 如果一个定解问题中既有初始条件又有边界条件，则称为混合问题. 例1．在杆的纵向振动时，假设(1)端点固定；(2)端点自由；(3)

数学物理方法习题答案

第11章综合习题 11.1，设弦的初始位移为，初始速度为，求解无限长弦的自由振动. [答案：解即为答朗贝尔公式 ()x ?()x ψ11(,)[()()]()d 22x at x at u x t x at x at a ??ψξξ+-=++-+?

pause(0.0000001); end; 11.2 半无限长弦的初始位移和速度都是零，端点作微小振动0|sin x u A t ω==，求解弦的振动. 【答案 0,();sin (),()x x x u t u A t t a a a ω=<=->】 11.3 求解细圆锥形均质杆的纵振动. 【提示 作变换 u x =v/】 【答案 12()()f x at f x at u x -++= 】 11.4 半无限长杆的端点受到纵向力()sin F t A t ω=作用，求解杆的纵振动. 【答案 00()()1,()d 221 ()d cos ()2x at at x x at at x x t u a a aA x aA t a YS a YS ??ψξξψξξωωω +-++->=+++--??】 11.5已知初始电压分布为cos A kx ， cos kx ，求解无线长理想传输线上电压和电流的传播情况， 【答案 cos (),cos ()A k x at i k x at -=-v =】 11.6 在GL CR =条件下求无限长传输线上的电报方程的通解. 【答案 11{[()()]()d 22R x at t L x at e x at x at a ??ψξξ+--++-+?】 11.7已知端点通过电阻R 而相接，初始电压分布为cos A kx ，初始电流分布 为cos kx .求解半无限长理想传输线上电报方程的解；在什么条件下端点没有反射（遮住情况叫作匹配）？ 【答案 匹配的条件是 0R = 本章计算机仿真 11.8 试用计算机仿真的方法，将11.2的弦振动规律以图形的分式表示出来. 【解】计算机仿真程序 w=pi; a=2; A=1.2; x=0:0.01:10; for t=1:0.5:25 u=A*sin(pi*(t-x/a)); plot(x,u); title('弦振动') xlabel('x') ylabel('u')

数学物理方法(刘连寿第二版)第07章习题

第七章 习题答案 7.1-1将Helmholtz 方程0=+?u u λ在柱坐标系中分离变量。 解：0112 2 22 2=+??+??+???? ??????=+?u z u u u u u λ?ρρρρρλ 设)()()(),,(z Z R z u ?φρ?ρ=代入上面的方程有: 0d d d d d d d d 2 2 22 2=Φ+Φ+Φ+???? ??ΦZ R z Z R RZ R Z λ?ρρρρρ 两边同时除以Z R Φ，并移项得： λ?ρρρρρ--=ΦΦ+???? ??2 2 22 2d d 1d d 1d d d d 1 z Z Z R R 上式左边与z 无关，右边与?ρ,无关，令左右两边都等于μ-,即： 右边为：0)(d d d d 12 2 22 =-+? -=-- Z u z Z z Z z λμλ ① 而左边有：μ? ρρρρρ-=ΦΦ+???? ??2 2 2d d 1d d d d 1 R R 两边同时除以2ρ，并移项得: 2 2 2 2 d d 1d d d d m R R =ΦΦ- =+??? ? ?? ? μρρρρρ 0d d d d 12 2 2 2 2 2 =Φ+Φ? =ΦΦ- m m ? ? ② 和： 2 2 d d d d m R R =+??? ? ?? μρρ ρρρ 2 2 2 2 d d d d m R R R =+??? ? ??+ μρρρρρ 0d d 1d d 2 2 22 =??? ? ??-++R m R R ρ μρρρ ③ Helmholtz 方程在柱坐标系下可分解为①②③三个常微分方程。 7.1-2 将三维热传导方程 02 =?-??u a t u 在球坐标系中分离变量。

数学物理方法第14章

第14章 第14.1节 一、二阶线性偏微分方程的通解 例题14.1.1求偏微分方程 X 2u xx +2xyu xy +y 2u yy =0 )0(≠y 的通解 解：判别式?=B 2?4AC=4x 2y 2-4x 2y 2=0,所以方程为抛物型的，其 特征方程为（xdy-ydx ）2=0因此，特征曲线为 )(常数c x y =若令 y x y == ηξ,，做自变量变换，原方程化为如下标准形式： ）即（或0y 00 2 ≠≠==ηηηηηηu u 将上式对η积分两次，得u(ζ,η)=ηf(ζ)+g （ζ) 其中，f(ζ)和g(ζ)是两个任意连续二次可微函数。 恢复到原来x 、y,就得到原方程的通解 u(x,y)=yf(y/x)+g(y/x) 例题14.1.2求偏微分方程x 2u xx -y 2u yy =0 (x>0,y>0)的通解。 解：因为方程的判别式?=B 2?4AC=x 2y 2>0,所以方程为双曲型的， 其特征方程为（xdy+ydx ）(xdy-ydx)=0因此特征曲线是如下两族曲线： Xy=c 1)（常数），y/x=c 2(常数) 做自变量变换 x y xy = =ηξ, 则题设方程可化为如下标准形式：)0,0(21>>=ηξξη ξη u u

再作代换v=u η,将上述方程化简为v u ξ ξη 21= 这个方程经过分离变量很容易积分。对ζ积分后，我们有)(ηξf v = 再将上式对η积分，即得u(ζ,η)=G(ζ)+ ) (ηξf 其中f(η),F(η),G(ζ)是三个任意二次连续可微函数。 恢复到原来变量x,y,就得到原方程的通解 u(x,y)=G(x,y)+ )(x y F xy (14.1.2) 再求上述方程适合如下条件的解： )3.1.14() (),(),() ,(1 1 x y y x u x y x u y y ψ?=??=== 将式(14.1.2)代入式(14.1.3) ) 5.1.14()()1(1)1(2)() 4.1.14() ()1 ()('' x x F x x F x x xG x x F x x G ψ?=++ =+ 微分式(14.1.4),得 )()1(1)1(21 )(' '' x x F x x x F x x G ?=-+ （14.1.6） 式（14.1.5）与式（14.1.6），解出 因此）（为常数） （为常数8.1.14) () (2 ) (2 )()(G 7.1.14)c () (2 1 ) (21 )1 (0 2 /3' 2 /3' c x c dz z z x dz z z x x x c dz z z dz z z x F x x x x x x x x -+ -=+- = ? ? ?? ????? 于是

数学物理方法第四章习题及答案

第四章习题及答案 1．(10分)确定使下列系统状态完全能控的待定参数的a ，b ，c 取值范围 （1）u c 10x 0000b a 010x ?? ?? ??????+??????????--=& （2）u c b a ????? ?????+??????????--=x 1861201640120x & 解：（1）0ac ≠ b 任意 （5分） （2）a,b,c 为任何值都不能控（此题用PBH 秩判据较容易，特征值为18） （5分） 2．(10分)判断下列系统的能观性 07A （1）[]x 001y u 321x 501101200x =???? ? ?????+??????????-=& （2） x 04 2021y x 30 002000 1x ?? ??? ?=??????????-=& 解： （1）不能观 （5分） （2）不能观 3．（8分）判断下列系统中,a b 的取值对可控性、可观测性的影响。 1）（4分）2 ()6s a G s s s b +=++ 该系统状态完全可控且完全可观测，确定,a b 的关系。 解：化成可控标准型为： []010611x x u b y a x ????=+????--????=& （2分） 可观测性判别阵为：16c a V cA b a ????==????--???? （2分） 2det 60V a a b ∴=-+≠，即(6)b a a ≠-时系统完全可控且完全可观测。 2）（4分）1102101000020x x a u b -???? ? ? ? ?=-+ ? ? ? ?-????& 设该系统完全可控，试确定,a b 。 解：因系统矩阵为约当标准型，由约当标准型判据知：

《数学物理方法》第八章作业(边界条件)

第八章习题和部分定解问题。 P201：1，2，5，6，11，12，13，16，17，20 1.长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后突然撇除这力，求解弦的振动。 解：此题的定解问题为 200000000,(0),(0,)(,)0,,(0),(,0)(),(),0.tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l u x F x l x x x l T l u =?-=<

数学物理方法习题及解答1

试题1 一、单项选择题 1.复通区域柯西定理 （ ） （A ） 0)(=?dz z f l （B ）0)(1 =∑?=n i l i dz z f （C ）0)()(1=+∑??=n i l l i dz z f dz z f （l 是逆时针方向，i l 也是逆时针方向） (D)0)()(1=+∑??=n i l l i dz z f dz z f （l 是逆时针方向，i l 是顺时针方向） 2.周期偶函数:,cos )(1 0为其中k k k a l x k a a x f ∑∞ =+=π： （ ） （A ）?=l k d l k f l a 0cos )(1ξπξξ （B ）?-=l l k d l k f l a ξπξξcos )(1（C ） ? = l k k d l k f l a 0 cos )(1 ξπξξδ （D ）? = l k k d l k f l a 0 cos )(2 ξπξ ξδ 3.柯西公式为： （ ） （A ）ξξξπd z f i n z f l ?-= )(2!)( (B) ξξξπd z f i z f l ?-=)(21)( (C) ξξξπd z f i z f l n ?-=)()(21)( (D) ξξξπd z f i n z f l n ?-=) () (2!)( 4.在00=z 的邻域上把()=z f 2z z )(sin 展开为 （ ） （A ）???+-+-!6!4!216 42 z z z (B) +-+-!7!5!316 4 2 z z z (C) ???+-+-6 4216 42 z z z (D) ???+-+-!7!5!31864z z z 5.求()z z f sin 1=在z 0=πn 的留数为 （ ） （A ） ! 1 n （B ）n （C ）n )1(- （D ） n 1 6.以下那一个是第一类边界条件 （ ） （A ）)() ,(t f t x u a x == （B ）)(,() t f t x u a x n == （C ）)() (t f H u a x n u =+= （D ）l x tt l x x u Mg t x u ==-=) ,( 7.下列公式正确的为： （A ） )()()(0 x f dx x x f t =-?+∞ ∞ -δ （B ）0)()(0 =-?+∞ ∞ -dx x x f t δ （C ）∞=-?+∞ ∞ -dx x x f t )()(0 δ （D ）)()()(0 t t f dx x x f =-?+∞ ∞ -δ 8.勒让德方程为 （A ）0)1(2)1(222 =++--y l l dx dy x dx y d x （B ）0]1)1([2)1(2 222 2=--++--y x m l l dx dy x dx y d x （C ）0)(2222 2 =-++y dx dy x dx y m x d x （D ）0)(2222 2=+-+y dx dy x dx y m x d x 9.m 阶贝塞尔方程为： （A ）0)(22222 =--+R m x dx dR x dx R d x （B ）0)(22222=-++R m x dx dR x dx R d x （C ）0)(22222=+-+R m x dx dR x dx R d x （D ）0)(2 2 22 =-++R m x dx dR x dx R d x 上 10Z 0是方程W ‘’+P （Z ）W ‘+Q （Z ）W=0的正则奇点，用级数解法求解时，这个方程的“判定方程“为 （A ）0)1(21=++---q sp s s （B ）0)1(21=++--q sp s s （C ）0)1(11=++---q sp s s （D ）0)1(22=++---q sp s s 二、填空题 1、已知解析函数22),()(y x y x u z f -=的实部，则这个解析函数为 。 2、z z f -= 11 )(（其中1