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二次函数图像性质及应用

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二次函数图象性质及应用

一选择题

1.已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3，下列判断正确的是（）

A.开口方向向上，y 有最小值是﹣2

B.抛物线与x轴有两个交点

C.顶点坐标是（﹣1，﹣2）

D.当x＜1 时，y 随x增大而增大

2.若二次函数y=x2+bx+5 配方后为y=（x-2）2+k，则b、k 的值分别为（）

A.0、5

B.0、1

C.﹣4、5

D.﹣4、1

3.将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是

A. B. 3

(52+

=x D.3

y2-

y C. 3

4.把抛物线y=﹣2x2+4x+1 图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位,所得的抛物线函数关系式是（）

A.y=﹣2(x-1)2+6

B.y=﹣2(x-1)2﹣6

C.y=﹣2(x+1)2+6

D.y=-2(x+1)2-6

5.函数y=ax+b 和y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（）

A. B. C. D.

6.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图,则a bc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c 这四个式子中，值为正数的有（）

A.4 个

B.3 个

C.2 个

D.1 个

第6题图第8题图

7.二次函数y=ax2+bx+c 对于x的任何值都恒为负值的条件是（）

A.a＞0，△＞0

B.a＞0，△＜0

C.a＜0，△＞0

D.a＜0，△＜0

8.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）

A.y=x2-x-2

B.y=﹣x2﹣x+2

C.y=﹣x2﹣x+1

D.y=﹣x2+x+2

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1 2 1 2

9.已知A(2,1)在二次函数(m 为常数)的图像上,则点A关于图像对称轴对称点坐标是（）

A.（4,1）

B.（5,1）

C.（6,1）

D.（7,1）

10.抛物线y=﹣x2+x﹣1 与坐标轴（含x轴、y 轴）的公共点的个数是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

11.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③当m≠1时，a+b>am2+bm;④a﹣b+c＞0;

2 2

⑤若a x

1 +bx1

=ax2 +bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（）

A.①②③

B.②④

C.②⑤

D.②③⑤

第11 题图第12 题图

12.如图所示：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且经过点（﹣1，0），依据图象写出了四个结论：

①如果点（﹣，y ）和（2，y ）都在抛物线上，那么y

＜y

；②b2﹣4ac＞0；

③m（am+b）＜a+b（m≠1 的实数）；④=﹣3

所写的四个结论中，正确的有（）

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

二填空题:

13.在函数①y=ax2+bx+c;②y=(x-1)2﹣x2;③y=5x2﹣;④y=﹣x2+2 中，y 关于x的二次函数是．

14.当m= 时，函数y(m 4)x m 5m 6 +3x 是关于x的二次函数．

15.二次函数y=x2﹣2x+6 的最小值是

16.已知抛物线y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是．

17.若函数y=mx2﹣2x+1 的图象与x轴只有一个交点，则m= ．

18.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B 两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为

直线x=2，则线段A B 的长为

19.有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点．

甲：对称轴是直线x=4；

乙：与x轴两交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3；

请写出满足上述全部特点的二次函数解析式：．

20.如图,已知⊙P 的半径为2，圆心P在抛物线y=x2﹣1 上运动,当⊙P 与x轴相切时,圆心P坐标为．

第22 题图第23 题图

21.如图,以扇形O AB 的顶点O为原点,半径O B 所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,点B的坐标为(2,0).

若抛

物线y=x2＋k 与扇形O AB 的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是

三解答题:

22.如图，过点A（-1，0）、B（3，0）的抛物线y=-x2+bx+c 与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E.

（1）求抛物线解析式；

（2）求抛物线顶点D的坐标；

（3）若抛物线的对称轴上存在点P使，求此时D P 的长.

23.如图，已知□ABCD 的周长为8 cm，∠B=30°，若边长A B 为x cm.(1)写出□ABCD 的面

积y(cm2)与x(cm)的函数关系式，并求自变量x的取值范围.(2)当x取什

么值时，y 的值最大？并求出最大值.

24.如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且O M=ON=4，矩形A BCD 的顶点A、B 在抛物线上，C、D 在x轴上.

(1)求抛物线的解析式;

(2)设点A的横坐标为t(t＞4)，矩形A BCD 的周长为L,求L与t之间函数关系式.

25.已知抛物线y=x2+bx+c 经过点（2，﹣3）和（4，5）．

（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；

（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，求图象G的表达式；

（3）在（2）的条件下，当﹣2＜x＜2 时，直线y=m 与该图象有一个公共点，求m的值或取值范围．26．如图12所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水

位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．

（1）在如图12的坐标系中求抛物线所对应的函数关系式；

（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持

续多少小时就能到达拱桥顶？

27．南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x 万元，每辆汽车的销售利润为y万元．（销售利润＝销售价－进货价）

（1）求y与x的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；

（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；

（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？

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参考答案1、D 2、D ．3、A 4、C 5、C 6、B 7、D 8、D 9、C 10、B 11、D 12、D

13、④14、1 ．15、5．16、x ＜﹣1 或 x ＞5 ．17、0 或 1 18、8

．

19、

y=（x ﹣3）（x ﹣5）．20、（，2）或（﹣

，2）．21、－2＜k ＜．

22、解：（1）y=-x 2+2x+3；（2）D （1，4）；（3）1 或 7.

23、1)过 A 作 A E ⊥B C 于 E ，∵∠B=30°，AB=x ，∴A E =

x ，又∵平行四边形 A BCD 的周长为 8 cm ，

∴BC =4-x ，∴y=AE · B C=x （4-x ）,即 y =-x 2+2x （0＜x ＜4）.

(2)y=-

x 2+2x=-

(x-2)2+2， ∴当 x =2 时，y 有最大值，其最大值为 2.

24、

25、【解答】解：（1）根据题意得

，解得，所以抛物线的解析式为 y =x 2﹣2x ﹣3．

∵抛物线的解析式为 y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．（2）根据题意，﹣y=x 2﹣2x ﹣3，所以 y=﹣x 2+2x+3．

（3）∵抛物线 y =x 2﹣2x ﹣3 的顶点为（1，﹣4），当 x =﹣2 时，y=5，抛物线 y =﹣x 2+2x+3 的顶点（1，4），当 x=﹣2 时，y=﹣5．

∴当﹣2＜x ＜2 时，直线 y =m 与该图象有一个公共点，则m=3或﹣5＜m ＜3． 26．解：（1）设所求抛物线的函数关系式为：2

y ax =，设(56)D ，，(103)B b -，，

把D B ，的坐标分别代入2

y ax =，得25100 3.

a b a b =??

=-?，

解得1251.a b ?

=-???=-，

所以2125y x =-．