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九年级数学《一元二次方程》小结与复习学案

一元二次方程的概念

教学目标：

1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02

=++c bx ax （a ≠0） 2、能把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）。 3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。重点难点：

1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。 2．理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。教学过程：一、做一做：

问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比

宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？

问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.

思考、讨论

这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？

二、一元二次方程的概念

上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程通常可写成如下的一般形式：

ax 2

＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0)。其中2

ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b

叫做一次项系数，c 叫做常数项。. 三、例题讲解与练习巩固

例1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。

（1）3523-=+x x （2）42=x （3）2

112x x x =-+- （4）22)2(4+=-x x

例2、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：

（1）y y =26 （2）（x-2）(x+3)=8 （3）2

)2()43)(3(+=-+x x x

说明：一元二次方程的一般形式02

=++c bx ax （a ≠0）具有两个特征：

一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。

例3、方程（2a —4）x 2

—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一

次方程？

例4 、已知关于x 的一元二次方程(m-1)x 2

+3x-5m+4=0有一根为2，求m 。

练习一、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项

x x 3222-= 2x(x-1)=3(x-5)-4 ()()()()231122

-+=+--y y y y

练习二、关于x 的方程

0)3(2

=++-m nx x m ，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？

基础训练：

一、判断题（下列方程中，是一无二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”）

1、5x 2+1=0 （）

2、3x 2+

+1=0 （） 3、4x 2=ax (其中a 为常数) （） 4、2x 2+3x =0 （）

5、5

132+x =2x （） 6、22)(x x + =2x （）

7、｜x 2+2x ｜=4 （）二、填空题

1、一元二次方程的一般形式是__________.

2、将方程－5x 2+1=6x 化为一般形式为__________.

3、将方程(x +1)2=2x 化成一般形式为__________.

4、方程2x 2=－8化成一般形式后，一次项系数为__________，常数项为__________.

5、方程5(x 2－2x +1)=－32x +2的一般形式是__________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________.

6、若ab ≠0，则

a 1x 2+b

x =0的常数项是__________. 7、如果方程ax 2+5=(x +2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a __________.

8、关于x 的方程(m －4)x 2+(m +4)x +2m +3=0，当m __________时，是一元二次方程，当m ______时，

三、选择题

1、下列方程中，不是一元二次方程的是（）

A.2x 2+7=0

B.2x 2+23x +1=0

C.5x 2+

+4=0 D.3x 2+(1+x ) 2+1=0

2、方程x 2－2(3x －2)+(x +1)=0的一般形式是（） A.x 2－5x +5=0 B.x 2+5x +5=0 C.x 2+5x －5=0 D.x 2+5=0

3、一元二次方程7x 2－2x =0的二次项、一次项、常数项依次是（） A.7x 2,2x ,0 B.7x 2,－2x ，无常数项 C.7x 2,0,2x D.7x 2,－2x ,0

4、方程x 2－3=(3－2)x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是（） A.2

B.－2

C.32-

D.3221-+

5、若关于x 的方程（ax +b ）(d －cx )=m (ac ≠0)的二次项系数是ac ，则常数项为（） A.m B.－bd C.bd －m D.－(bd －m )

6、若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是（） A.2 B.－2 C.0 D.不等于2

7、若x =1是方程ax 2+bx +c =0的解，则（） A.a +b +c =1 B.a －b +c =0 C.a +b +c =0 D.a －b －c =0

8、关于x 2=－2的说法，正确的是（）

A.由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程

B.x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程

C.x 2=－2是一个一元二次方程

D.x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解

四、解答题

现有长40米，宽30米场地，欲在中央建一游泳池，周围是等宽的便道及休息区，且游泳池与周围部分面积之比为3∶2，请给出这块场地建设的设计方案，并用图形及相关尺寸表示出来。

提高训练：一、填空题

1、某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植树面积年平均增长率为x ，根据题意列方程_________.

2、某商品成本价为300元，两次降价后现价为160元，若每次降价的百分率相同，设为x ，则方程为_____________.

3、小明将500元压岁钱存入银行，参加教育储蓄，两年后本息共计615元，若设年利率为x ，则方程为_____________.

4、已知两个数之和为6，乘积等于5，若设其中一个数为x ，可得方程为_____________.

5、某高新技术产生生产总值，两年内由50万元增加到75万元，若每年产值的增长率设为x ，则方程为___________.

6、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，且不考虑利息税，到期后本息共计1320元，

7、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，第一季度共生产化工

原料60万吨，设一、二月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为_____________.

8、方程(4－x)2=6x－5的一般形式为_____________，其中二次项系数为_________，一次项系数为

_________，常数项为_________.

9、如果(a+2)x2+4x+3=0是一元二次方程，那么a所满足的条件为___________.

10、如图1，将边长为4的正方形，沿两边剪去两个边长为x的矩形，剩余部分的面积为9，可列出

方程为_____________，解得x=_________.

图1

二、选择题

11、某校办工厂利润两年内由5万元增长到9万元，设每年利润的平均增长率为x，可以列方程得（）

A.5(1+x)=9

B.5(1+x)2=9

C.5(1+x)+5(1+x)2=9

D.5+5(1+x)+5(1+x)2=9

12、下列叙述正确的是（）

A.形如ax2+bx+c=0的方程叫一元二次方程

B.方程4x2+3x=6不含有常数项

C.(2－x)2=0是一元二次方程

D.一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为0

13、两数的和比m少5，这两数的积比m多3，这两数若为相等的实数，则m等于（）

A.13或1

B.－13

C.1

D.不能确定

14、某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月的

增长率为x，则根据题意列出的方程应为（）

A.200(1+x)2=1000

B.200+200×2x=1000

C.200+200×3x=1000

D.200［1+(1+x)+(1+x)2］=1000

三、解答题

15、某商场销售商品收入款：3月份为25万元，5月份为36万元，该商场4、5月份销售商品收入款

平均每月增长的百分率是多少？

16、如图2，所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的

道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144 m2，求道路的宽度.？

图2

17、直角三角形的周长为2+6，斜边上的中线为1，求此直角三角形的面积.

一元二次方程的解法（1）

教学目标：

1、会用直接开平方法解形如

b k x a =-2

)(（a ≠0,ab ≥0）的方程； 2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。

3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。重点难点：

合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。教学过程：

一、怎样解方程

()2

1256

x +=的？

二、例题讲解与练习巩固例、解下列方程

（1）（x ＋1）2－4＝0；（2）12（2－x ）2

－9＝0.

练习一、解下列方程：

（1）（x ＋2）2－16＝0；（2）(x －1)2－18＝0；（3）(1－3x)2＝1；（4）(2x ＋3)2

－25＝0.

三、讨论、探索：解下列方程

（1）(x+2)2=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2)2

— x+2 =0

（4）(2x+1)2=(x-1)2

（5）49122

=+-x x

基础训练：一、填空题

1、如果两个因式的积是零，那么这两个因式至少有__________等于零；反之，如果两个因式中有__________等于零，那么它们之积是__________.

2、方程x 2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程____________或____________，分别解得：x 1=__________,x 2=__________.

3、填写解方程3x (x +5)=5(x +5)的过程

解：3x (x +5)__________=0 (x +5)(__________)=0 x +5=__________或__________=0

∴x 1=__________,x 2=__________

4、用因式分解法解一元二次方程的关键是（1）通过移项，将方程右边化为零

（2）将方程左边分解成两个__________次因式之积（3）分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程（4）分别解这两个__________，求得方程的解 5、x 2－(p +q )x +qp =0因式分解为____________. 二、选择题

1、方程x 2－x =0的根为（）

A.x =0

B.x =1

C.x 1=0,x 2=1

D.x 1=0,x 2=－1 2、方程x (x －1)=2的两根为（）

A.x 1=0,x 2=1

B.x 1=0,x 2=－1

C.x 1=1,x 2=－2

D.x 1=－1,x 2=2 3、用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（）

A.(2x －2)(3x －4)=0 ∴2－2x =0或3x －4=0

B.(x +3)(x －1)=1 ∴x +3=0或x －1=1

C.(x －2)(x －3)=2×3 ∴x －2=2或x －3=3

D.x (x +2)=0 ∴x +2=0 4、方程ax (x －b )+(b －x )=0的根是（）

A.x 1=b ,x 2=a

B.x 1=b ,x 2=

a 1 C.x 1=a ,x 2=b

1 D.x 1=a 2,x 2=b 2

5、已知a 2－5ab +6b 2=0，则

b a +等于（） 2

1331D.2 31321C.2 31B.3 21A.2或或

三、解方程

1、x 2－25=0

2、(x +1)2=(2x －1)2

3、x 2－2x +1=4

4、x 2=4x

提高训练

一、填空题

1、关于x 的方程(m －3)x

2-m －x =5是一元二次方程，则m =_________.

2、当x =______时，代数式x 2－3x 的值是－2.

3、方程x 2－5x +6=0与x 2－4x +4=0的公共根是_________.

4、已知y =x 2+x －6，当x =_________时，y 的值等于0；当x =_________时，y 的值等于24.

5、2－3是方程x 2+bx －1=0的一个根，则b =_________，另一个根是_________.

6、已知方程ax 2+bx +c =0的一个根是－1，则a －b +c =___________.

7、已知x 2－7xy +12y 2=0，那么x 与y 的关系是_________.

8、方程2x (5x －3)+2 (3－5x )=0的解是x 1=_________，x 2=_________. 9、方程x 2=x 的根为___________.

二、选择题

1、下列方程中不含一次项的是（）

A.3x 2－8=4x

B.1+7x =49x 2

C.x (x －1)=0

D.(x +3)(x －3)=0

2、2x (5x －4)=0的解是（）

A.x 1=2，x 2=

4 B.x 1=0，x 2=

45 C.x 1=0，x 2=5

4 D.x 1=

21，x 2=5

3、若一元二次方程(m －2)x 2+3(m 2+15)x +m 2－4=0的常数项是0，则m 为（）

A.2

B.±2

C.－2

D.－10 4、方程2x 2－3=0的一次项系数是（）

A.－3

B.2

C.0

D.3 5、方程3x 2=1的解为（）

A.±

B.±3

1 D.±

3 6、下列方程中适合用因式分解法解的是（）

A.x 2+x +1=0

B.2x 2－3x +5=0

C.x 2+(1+2)x +2=0

D.x 2+6x +7=0

7、若代数式x 2+5x +6与－x +1的值相等，则x 的值为（）

A.x 1=－1，x 2=－5

B.x 1=－6，x 2=1

C.x 1=－2，x 2=－3

D.x =－1

8、已知y =6x 2－5x +1，若y ≠0，则x 的取值情况是（）

A.x ≠

且x ≠1 B.x ≠

C.x ≠31

D.x ≠

且x ≠31

9、方程2x (x +3)=5(x +3)的根是（） A.x =

B.x =－3或x =

C.x =－3

D.x =－

或x =3 三、解下列关于x 的方程

1、x 2+2x －2=0

2、3x 2+4x －7=0

3、(x +3)(x －1)=5

4、(3－x )2+x 2=9

5、x 2+(2+3)x +6=0

6、(x －2)2+42x =0

四、解答题

随着城市人口的不断增加，美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容，某城市计划到20XX 年末要将该城市的绿地面积在20XX 年的基础上增加44%，同时要求该城市到20XX 年末人均绿地的占有量在20XX 年的基础上增加21%，当保证实现这个目标，这两年该城市人口的年增长率应控制在多少以内.（精确到1%）

一元二次方程的解法（2）

教学目标：

1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程．

2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。 3．在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。重点难点：

使学生掌握配方法，解一元二次方程。把一元二次方程转化为

q p x =+2

)( 教学过程：

一、复习提问解下列方程，（1）2

321x -= （2）()

160

x +-= （3）

()2

210

x --=

二、引入新课

我们知道，形如02=-A x 的方程，可变形为

)0(2≥=A A x ，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如2

0x bx c ++=的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．

三、探索：

例1、解下列方程：

2x ＋2x ＝5；（2）2x －4x ＋3＝0.

思考

能否经过适当变形，将它们转化为

()

= a 的形式，应用直接开方法求解？

三、归纳上面，我们把方程2

－4x ＋3＝0变形为

()2

2x -＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是

一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

注意：在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？四、试一试：对下列各式进行配方：

22_____)(_____8+=+x x x ； 2210_____(_____)x x x -=+

22_____)(______5-=+-x x x ； 229______(_____)x x x -+=-

22_____)(_____23

-=+-

x x x ；22

______(_____)x bx x ++=+

配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。

五、例题讲解与练习巩固例2、用配方法解下列方程：

（1）2

x －6x －7＝0；（2）2

x ＋3x ＋1＝0.

练习： ①.填空：（1）

(

)()

26x x ++= （2）2x －8x ＋（）＝（x －）

2 （3）2

x ＋x ＋（）＝（x ＋）2

；（4）42

x －6x ＋（）＝4（x －）2

② 用配方法解方程：

（1）2

x ＋8x －2＝0 （2）2

x －5 x －6＝0. （3）2

76x x +=-

六、试一试

用配方法解方程x 2

＋px ＋q ＝0(p2－4q ≥0).

思考：这里为什么要规定p2－4q ≥0？

基础训练一、填空题

1、方程x 2=16的根是x 1=_______,x 2=_______.

2、若x 2=225，则x 1=_______,x 2=_______

3、若x 2－2x =0，则x 1=________,x 2=________.

4、若(x －2)2=0，则x 1=_______,x 2=_______.

5、若9x 2－25=0，则x 1=_______,x 2=_______

6、若－2x 2+8=0，则x 1=_______,x 2=_______.

7、若x 2+4=0，则此方程解的情况是_________.

8、若2x 2－7=0，则此方程的解的情况是________

9、若5x 2=0，则方程解为____________.

10、由7，9两题总结方程ax 2+c =0(a ≠0)的解的情况是：当ac ＞0时__________________；

11、2a =__________，a 2的平方根是__________.

12、用配方法解方程x 2+2x －1=0时

①移项得_________________ ②配方得_________________即（x +__________）2=__________ ③x +__________=__________或x +__________=__________ ④x 1=__________,x 2=__________ 13、用配方法解方程2x 2－4x －1=0

①方程两边同时除以2得__________ ②移项得__________________

③配方得__________________ ④方程两边开方得__________________ ⑤x 1=__________,x 2=__________

二、选择题

1、方程5x 2+75=0的根是

A.5

B.－5

C.±5

D.无实根 2、方程3x 2－1=0的解是

A.x =±

1 B.x =±3 C.x =±

D.x =±3

3、方程4x 2－0.3=0的解是 A.075.0=x

B.3020

-=x C.27.01=x 27.02-=x

D.302011=x 3020

2-=x

4、方程

252-x =0的解是 A.x =

B.x =±

C.x =±535

D.x =±

5、已知方程ax 2+c =0(a ≠0)有实数根，则a 与c 的关系是 A.c =0 B.c =0或a 、c 异号 C.c =0或a 、c 同号 D.c 是a 的整数倍

6、关于x 的方程(x +m )2=n ,下列说法正确的是 A.有两个解x =±n

B.当n ≥0时，有两个解x =±n －m

C.当n ≥0时，有两个解x =±m n -

D.当n ≤0时，方程无实根 7、方程(x －2)2=(2x +3)2的根是 A.x 1=－

,x 2=－5 B.x 1=－5,x 2=－5 C.x 1=

,x 2=5 D.x 1=5,x 2=－5

三、解答题

1、将下列各方程写成(x +m )2=n 的形式

（1）x 2－2x +1=0 (2)x 2+8x +4=0 (3)x 2－x +6=0

2、将下列方程两边同时乘以或除以适当的数，然后再写成(x +m )2=n 的形式

（1）2x 2+3x －2=0 (2)

1x 2

+x －2=0

3、用配方法解下列方程

(1)x 2+5x －1=0 (2)2x 2－4x －1=0 (3)

1x 2

－6x +3=0

提高训练

一、填空题

1、填写适当的数使下式成立.

①x 2+6x +______=(x +3)2 ②x 2－______x +1=(x －1)2 ③x 2+4x +______=(x +______)2

2、将长为5，宽为4的矩形，沿四个边剪去宽为x 的4个小矩形，剩余部分的面积为12，则剪去小矩形的宽x 为_________.

3、如图1，在正方形ABCD 中，AB 是4 cm ，△BCE 的面积是△DEF 面积的4倍，则DE 的长为_________.

4、如图2，梯形的上底AD =3 cm ，下底BC =6 cm ，对角线AC =9 cm ，设OA =x ，则x =_________ cm.

图1 图2

5、如图3，在△ABC 中，∠B =90°点P 从点A 开始，沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，_________秒后△PBQ 的面积等于8 cm 2.

图3

二、选择题

6、一元二次方程x 2－2x －m =0，用配方法解该方程，配方后的方程为（）

A.(x －1)2=m 2+1

B.(x －1)2=m －1

C.(x －1)2=1－m

D.(x －1)2=m +1

7、用配方法解方程x 2+x =2，应把方程的两边同时（）

A.加

1 B.加

1 C.减

1 D.减

1 8、已知xy =9，x －y =－3，则x 2+3xy +y 2的值为（）

A.27

B.9

C.54

D.18

三、解答题

9、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，若商场平均每天盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？

10、一瓶100克的纯农药，倒出一定数量后加等量的水搅匀，然后再倒出相同数量的混合液，这时瓶内所剩的混合液中还有纯农药36克，问第一次倒出的纯农药为多少克？第二次倒出的混合液中纯农药多少克？

11、如图4，有一块梯形铁板ABCD ，AB ∥CD ，∠A =90°，AB =6 m ，CD =4 m ，AD =2 m ，现在梯形中裁

出一内接矩形铁板AEFG ，使E 在AB 上，F 在BC 上，G 在AD 上，若矩形铁板的面积为5 m 2，则矩形的一边EF 长为多少？

图4

一元二次方程的解法（3）

教学目标：

1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。

2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。

3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系。重点难点：

1、难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；

2、重点：系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。教学过程：

一、复习旧知，提出问题 1、用配方法解下列方程：

（1）x x 10152

=+ (2) 2

131203x x -+=

2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？

3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？二、探索

问题1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠转化为

2224()4b b ac x a a -+=呢？

问题2：当240b ac -≥，且0a ≠时，2244b ac

a -大于等于零吗？

问题3：在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论？

这说明方程的根是由方程的系数a 、b 、c 所确定的，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。三、例题

例1、解下列方程：

1、2

260x x +-=； 2、2

42x x +=； 3、254120x x --=； 4、2

441018x x x ++=-

例2、解方程210x x -+=

思考以上解题过程，归纳得到：

（1）当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；

（3）当2

40b ac -<时，方程没有实数根。

ac b 42

-叫一元二次方程

20(0)ax bx c a ++=≠根的判别式。例3、当k 取什么值时，关于x 的方程2x 2-(4k+1)x+2k 2

-1=0

(1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等实数根； (3)方程没有实数根．

例4、已知a ，b ，c 是△ABC 的三边的长，求证方程a 2x 2-(a 2+b 2-c 2)x+b 2

=0没有实数根．

练习：

1．若m ≠n ，求证关于x 的方程2x 2+2(m+n)x+m 2+n 2

=0无实数根．

2．求证：关于x 的方程x 2+(2m+1)x-m 2

+m=0有两个不相等的实数根．

基础训练一、填空题

1、用配方法解一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)时：

∵a ≠0,方程两边同时除以a 得__________________，

移项得__________________ 配方得__________________ 即（x +__________）2=__________

当__________时，原方程化为两个一元一次方程__________________和__________________ ∴x 1=__________,x 2=____________

2、利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为__________，确定__________的值，当__________时，把a ,b ,c 的值代入公式，x 1，2=____________求得方程的解.

3、方程3x 2－8=7x 化为一般形式是________，a =__________,b =__________,c =__________,方程的根x 1=__________,x 2=__________.

二、选择题

A.x1、2=

4 3

122?

B.x1、2=

4 3

122?

C.x1、2=

4 3

122?

D.x1、2=

)

(

)

2、方程x2+3x=14的解是

A.x=

265

3±

B.x=

265

3±

C.x=

223

3±

D.x=

223

3±

3、下列各数中，是方程x2－(1+5)x+5=0的解的有

①1+5②1－5③1 ④－5

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

4、方程x2+(2

3+)x+6=0的解是

A.x1=1,x2=6

B.x1=－1,x2=－6

C.x1=2,x2=3

D.x1=－2,x2=－3

三、用公式法解下列各方程

1、5x2+2x－1=0

2、6y2+13y+6=0

3、x2+6x+9=7

一元二次方程的应用

教学目标：

1、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程的应用题。

2、提高学生分析问题、解决问题的能力。

3、培养学生数学应用的意识。

重点难点：

认真审题，分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系，布列方程是本节课的重点，也是难点。教学过程：

一、复习旧知，提出问题

1、叙述列一元一次方程解应用题的步骤。

2、用多种方法解方程

22 (31)69 x x x

-=++

二、解决问题

例1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？

折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长。

解：设截去正方形的边长x 厘米，底面（图中虚线线部分）长等于厘米，

宽等于厘

米，S 底面= 。

例3、某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精

确到0.1%）

三、试一试

如图，ABC V 的边8BC cm =，高6AM cm =，长方形DEFG 的一边EF 落在BC 上，顶点D 、G 分别落在AB 和AC 上，如果这长方形面积2

12cm ，试求这长方形的边长。

想一想：长方形的面积最大。

一、考考你

1、有一个两位数，它的十位上的数学字比个位上的数字大3，这两个数位上的数字之积等于这个两位数的

，求这个两位数。 M G

F E D

B A

3、某种药品，原来每盒售价96元，由于两次降价；现在每盒售价54元。平均每次降价百分之几？

4、两个连续奇数的和为11，积为24，求这两个数.

5、如图，有一面积为150 m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果

竹篱笆的长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少米？

一元二次方程根与系数的关系

教学目标：

引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系及运用。

重点难点：

1、重点：一元二次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之间的关系。

2、难点：对根与系数这一性质进行应用。

教学过程：

一、提出问题

解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？（1）x2－2x＝0；（2）x2＋3x－4＝0；（3）x2－5x＋6＝0

思考：

1、一元二次方程的两个解的和与积和原来的方程有什么联系？

2、一般地，对于关于x方程

20(,

x px q p q

++=为已知常数，240)

p q

-≥，试用求根公式求出它的两

)的两根为

3、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0 b2－4ac0

由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”)

如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么

二、知识应用

例1、不解方程，求方程两根的和两根的积：

①2

310x x +-= ②2

2410x x -+=

例2、已知方程2

560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值。

例3、不解方程，求一元二次方程2

2310x x +-=两个根的①平方和；②倒数和。

例4、求一元二次方程，使它的两个根是

113,2

32-。

巩固练习

（1）下列方程两根的和与两根的积各是多少？

①2310x x -+=； ②2322x x -=； ③2230x x +=； ④

231x =；

（2）已知方程2

3190x x m -+=的一个根是1，求它的另一个根及m 的值。

x x 2

2)1(+

)

2(+

)3)(321)(3(--x x

)

)(4(212

x x -

x x x x 212

)5(?+? x

x x 2

)6(+

（4）求一个一元次方程，使它的两个根分别为：

①4,7-； ②13,13+-

（5）已知两个数的和等于6-，积等于2，求这两个数

基础练习一、填空题：

1、设1x 、2x 是方程0242

=+-x x 的两根，则①2

111x x +＝； ②21x x - ＝； ③)1)(1(21++x x ＝。

2、以方程0422

=--x x 的两根的倒数为根的一元二次方程是。 3、已知方程0452

=+-mx x 的两实根差的平方为144，则m ＝。

4、已知方程032

=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是，m 的值是。

5、已知1x 、2x 是方程0132

=+-x x 的两根，则1112422

1++x x 的值为。

二、选择题：

1、如果方程12

=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为（）

九年级数学下册28.2.1解直角三角形学案

28.2.1解直角三角形【学习目标】 1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系． 2.会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．【重点难点】重点：解直角三角形的解法．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．【新知准备】 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 、 ∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系．【课堂探究】一、自主探究探究1要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a 一般要满足50°≤a ≤75°.现有一个长6m 的梯子，问：（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m ）？（2）当梯子底端距离墙面2.4m 时，梯子与地面所成的角a 等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？问题（1）可以归结为：在Rt △ABC 中，已知∠A ＝75°，斜边AB ＝6，求∠A 的对边 BC 的长．问题（2）可以归结为在Rt △ABC 中，已知AC ＝2.4，斜边AB ＝6，求锐角a 的度数 A B α C

AD 探究2 （1）在直角三角形中，除直角外的5个元素之间有哪些关系？（2）知道5个元素中的几个，就可以求其余元素？解直角三角形： . 注意：二、尝试应用 1：在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b a ，解这个三角形． 2、在Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠B =35°，b =20，解这个三角形（结果保留小数点后一位）．三、补偿提高 1.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC =6， ∠BAC 的平分线解这个直角三角形。 2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据下列条件解直角三角形；（1）a = 30 , b = 20 ; (2) ∠B ＝72°，c = 14. 【学后反思】 1.通过本节课的学习你有那些收获? 2. 你还有哪些疑惑？ A B C 26 A B C a b =20 c 35° A C A B C b=20 a =30 c B A B C b a c=14

人教版九年级数学下册全册导学案

学科数学课题26.1.2反比例函数的图象和性质班级授课者时间审核者课型学习目标 1.通过画反比例函数图象，训练作图能力 2.通过从图象中获取信息.训练识图能力.3.通过对图象性质的研究，训练探索能力和语言组织能力. 重点会确定一个单项式的系数和次数；难点会确定一个单项式的系数和次数；探究新知（一）小组合作学习自学主题一：自学教材P4页．做—做观察反比例函数y=x 2 ，y=x 4 ,y=x 6 的图象它们有什么共同点? 总结它们的共同特征. (1)函数图象分别位于哪几个象限? (2)在每一个象限内，随着x值的增大.y的值是怎样变化的?能说明这是为什么吗？ (3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗?可能与y轴相交吗？为什么？请大家先独立思考，再互相交流得出结论. 对于问题 (3)，可能会有学生认为图象在逐渐接近x轴,y轴，所以当自变量取很小或很大的数时，图象能与x轴y轴相交.可以从函数式的定义域、函数与方程等角度进行解释。总结：当k>0时，函数图象分别位于第象限内，并且在每一个象限内，y随x 的增大而 . 主题二：议一议用类推的方法来研究y＝- x 2 ，y＝- x 4 ,y=- x 6 的图象有哪些共同特征?

结论：反比例函数y ＝ x k 的图象，当k>0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而；当k<0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而 . 对学对子间检查自学内容并相互讨论群学 1、组长带领组员进行讨论上述的相关问题，并检查本组成员的完成情况。 2、组长组织好本组要展示的内容和展示人员的安排。（二）展示展示一：主题一：反比例函数的图像展示二：主题一：反比例函数的性质课堂练习 1．已知反比例函数x k y -= 3，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围：（1）函数图象位于第一、三象限（2）在第二象限内，y 随x 的增大而增大 2．函数y ＝－ax ＋a 与x a y -= （a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（） 3．在平面直角坐标系内，过反比例函数x k y = （k ＞0）的图象上的一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6，则函数分析式为课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获和体会？还有什么疑惑？课后练习 1．若函数x m y )12(-=与x m y -= 3的图象交于第一、三象限，则m 的取值范围是 2．反比例函数x y 2 - =，当x ＝－2时，y ＝；当x ＜－2时；y 的取值范围是；当x ＞－2时；y 的取值范围是

人教版数学九年级下册全册课堂同步导学案

人教版数学九年级下册全册课堂同步导学案第二十六章反比例函数 26.1 反比例函数 26.1.1 反比例函数一、课前预习 1.什么是函数？ 2.什么是一次函数？ 3.什么是正比例函数？ 4.乘法表中乘积为12的两个因数之间存在什么关系？二、创设情境 1.问题1 京沪线铁路全程为 1463 km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化．问题2 某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长 y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化. 问题3 已知北京市的总面积为1.68×104km2，人均占有面积 S（单位:km2/人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化．三、形成概念反比例函数定义：四、概念辨析下列函数中哪些是反比例函数?并说出它的k。哪些是一次函数? ;; ; ; ;;

; ;. 五、例题探究例1.当m ＝时，关于x的函数y=(m+1)是反比例函数？例2.已知y是x的反比例函数，并且当x=2时,y=6．（1）写出y关于x的函数解析式；（2）当x=4时,求y的值. （3）当y =8 时，求x的值. 例3.画出的图像.（思考：画出的图像）

六、拓展练习 1．已知y与x2成反比例，并且当x=3时，y=4．（1）写出y关于x的函数解析式；（2）当x=1.5时，求y的值；（3）当y=6时，求x的值. 2.已知y-1与成反比例，且当x=1时y=4，求y与x的函数表达式，并判断是哪类函数？ 26.1.2 反比例函数的图象和性质第1课时反比例函数的图象和性质学习目标： 1.能用描点法画出反比例函数的图象. 2.掌握反比例函数的图象和性质，并会用性质解决问题. 学习重难点：重点：反比例函数的图象和性质难点：理解反比例函数的性质，并能灵活运用学习过程：一、温故知新 1．反比例函数的反比例函数的表达式是 ____________ _______；解析式中自变量x的取值能为0吗？为什么？_______________ _______。 2．一次函数和二次函数的图象分别是，它们性质分别是：。 3. 画函数图象的一般步骤是（1）；（2）；（3）。

人教版九年级上册数学《概率》导学案

25.1.2 概率教学目标: 〈一〉知识与技能 1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值 2.在具体情境中了解概率的意义〈二〉教学思考让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频率与概率的关系. 〈三〉解决问题在分组合作学习过程中积累数学活动经验，发展学生合作交流的意识与能力.锻炼质疑、独立思考的习惯与精神，帮助学生逐步建立正确的随机观念. 〈四〉情感态度与价值观在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲.体验数学的价值与学习的乐趣.通过概率意义教学，渗透辩证思想教育. 【教学重点】在具体情境中了解概率意义. 【教学难点】对频率与概率关系的初步理解【教具准备】壹元硬币数枚、图钉数枚、多媒体课件【教学过程】一、创设情境，引出问题教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票，小强与小明都是班里的篮球迷，两人都想去.我很为难，真不知该把球给谁.请大家帮我想个办法来决定把球票给谁. 学生：抓阄、抽签、猜拳、投硬币，…… 教师对同学的较好想法予以肯定.（学生肯定有许多较好的想法，在众多方法中推举出大家较认可的方法.如抓阄、投硬币）追问，为什么要用抓阄、投硬币的方法呢？由学生讨论：这样做公平.能保证小强与小明得到球票的可能性一样大在学生讨论发言后，教师评价归纳. 用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件，尽管事先不能确定“正面朝上”

还上“反面朝上”，但同学们很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的可能性是一样的，各占一半，所以小强、小明得到球票的可能性一样大. 质疑：那么，这种直觉是否真的是正确的呢？引导学生以投掷壹元硬币为例，不妨动手做投掷硬币的试验来验证一下. 说明：现实中不确定现象是大量存在的，新课标指出：“学生数学学习内容应当是现实的、有意义、富有挑战的”，设置实际生活问题情境贴近学生的生活实际，很容易激发学生的学习热情，教师应对此予以肯定，并鼓励学生积极思考，为课堂教学营造民主和谐的气氛，也为下一步引导学生开展探索交流活动打下基础. 二、动手实践，合作探究 1．教师布置试验任务. （1）明确规则. 把全班分成10组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学观察试验必须在同样条件下进行. （2）明确任务，每组掷币50次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上”的频数及“正面朝上”的频率，整理试验的数据,并记录下来.. 2．教师巡视学生分组试验情况. 注意：（1）．观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关注学生是否积极思考、勇于克服困难. （2）．要求真实记录试验情况.对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控. 3.各组汇报实验结果. 由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与先前的猜想有出入. 提出问题：是不是我们的猜想出了问题？引导学生分析讨论产生差异的原因. 在学生充分讨论的基础上，启发学生分析讨论产生差异的原因.使学生认识到每次随机试验的频率具有不确定性，同时相信随机事件发生的频率也有规律

人教版九年级数学下册数学活动(导学案)

数学活动 ——利用测角仪测量物高一、导学 1.活动导入请同学们准备如下学具：半圆形量角器一个，细线一根，小挂件(或其他小重物)，软尺一个. 这节课我们利用测角仪测量物高. 2.活动目标（1）能自制测角仪，根据实际情况设计测量物高的方案. （2）能运用解直角三角形的知识根据测量的数据计算物高. 3.活动重、难点重点：自制测角仪，测量物高. 难点：测量活动. 二、活动过程 1.活动指导（1）活动内容：教材P81活动1、2：制作测角仪，测量树的高度；利用测角仪测量塔高. （2）活动时间：45分钟. （3）活动方法：完成活动参考提纲. （4）活动参考提纲： ①自制测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小挂件，如图1、2所示，制成的一个简单测角仪. 图1 图2 图3 ②探索测角仪的使用方法：如图3所示，仰角的度数是多少？ ③测量原理探讨:

a.测量底部可以到达的物体的高度，如图4： b.测量底部不可以直接到达的物体的高度，如图5： ④探讨测量方案，设计活动报告: a.测量树高 (底部可以到达的物高)，如图6： b.测量塔高(底部不可到达的物高)，如图7：图6 图7 ⑤活动实施: a.设计测量方案. b.实际测量，记录数据. c.整理数据计算物高. d.填写活动报告. 课题测量示意图测量数据测量项目第一次第二次平均值计算过程结论 3.助学

（1）师助生： ①明了学情：了解学生是否能制作测角仪、设计测量方案，并积极参与活动. ②差异指导：全班学生每6人一组分组活动，指导学生制作测角仪、设计测量方案，督促学生认真完成活动. （2）生助生：小组内互相交流. 4.强化（1）底部可以到达的物高的测量原理. （2）底部不可到达的物高的测量原理. 三、评价 1.学生学习的自我评价：这节课你有什么收获？有哪些不足？ 2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生参与活动的积极性、动手操作能力等方面进行评价. （2）纸笔评价：活动报告评价检测. 3.教师的自我评价（教学反思）. 本课时的数学活动是利用测角仪测量物高.整个活动过程应充分发挥学生的主动性，指导学生利用半圆形量角器、细线、小挂件制作一个简单的测角仪，对于在活动过程中有问题的学生及时给予帮助，增强与学生的互动和交流，将实际问题转化为数学模型，利用解直角三角形的知识进行解答. 一、基础巩固（60分） 1. (20分)某校九年级四个数学活动小组参加测量操场旗杆高度的综合实践活动，如图是四个小组在不同位置测量后绘制的示意图，用测角仪测得旗杆顶端A的仰角记为α，CD为测角仪的高，测角仪CD的底部C处与旗杆的底部B处之间的距离记为CB，四个小组测量和记录数据如下表所示：

人教版九年级下册数学学案：26.1.1反比例函数

26.1.1反比例函数课型：新授课一课时课前自主学习学习内容：1．反比例函数的概念学习目标：1.理解反比例函数的概念（什么是反比例函数），会求比例系数学习重点：反比例函数的概念学习难点：反比例函数的概念一、课前预习：回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？动手试试： 1．体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？ 2．电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式U=IR ，当U ＝220V 时，（1）你能用含有R 的代数式表示I 吗？ R/Ω 20 40 60 80 100 I/A 怎样变化？越来越小呢？从上面函数的形式归纳：反比例函数：如果两个变量x,y 之间的关系可以表示成的形式，那么y 是x 的反比例函数，其中x 是自变量，反比例函数的自变量x 的取值范围是。反比例函数的变形：1、 2、反比例函数的注意点：学练提升： 1．下列等式中，哪些是反比例函数（1）3 x y = （2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23-= （6）31+=x y （7）y ＝x －4 （8）y=31x - 例1：已知y 是x 的反比例函数，且当x=2时，y=9. （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当132 x =时，求y 的值；（3）当y=5时，求x 的值。例2．当m 取什么值时，函数2 3)2(m x m y --=是反比例函数？

针对变式： 1、已知函数22(1)m y m x -=+ (1)当m 为何值时，y 是x 的正比例函数？并求出函数的解析式。 (1)当m 为何值时，y 是x 的反比例函数？并求出函数的解析式。 2、．已知y-3与x+2 成反比例，且x=2时，y=7, 求：（1）y 与x 的函数关系式。（2）求y=5时，x 的值。学习成果展示（时量：10分钟满分：10分）得分： 1．对于函数y=m －1x ，当m 时，y 是x 的反比例函数，比例系数是_____。 2．下列函数中，y 与x 成反比例函数关系的是（） A. x (y －1)=1 B. y = 1x +1 C. y = 1x 2 D. y = 13x 3.下列关系式中的y 是x 的反比例函数吗？如果是，比例系数k 是多少？ (1)y ＝x 15 ；(2)y ＝2x －1 ；(3)y ＝－ 3x ；(4)y ＝1x －3；(5)y ＝ 2＋1x ；(6)y ＝x 3 ＋2；(7)y ＝－12x . 4.函数2 1+-=x y 中自变量x 的取值范围是 5．已知函数||2(1)a y a x -=+是反比例函数，求a 的值。

数学人教版九年级上册学案

24.2.2切线的判定学案【学习目标】能判定一条直线是否为圆的切线，会用切线的判定定理解决简单问题．【学习重点】探索圆的切线的判定方法，并能运用．【学习难点】探索圆的切线的判定方法．一、复习回顾 1.已知圆的直径是13cm ，圆心到直线l 的距离是6.5cm ，则直线l 和这个圆的公共点有______个，它们的位置关系是________. 2.如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO 与⊙O 相交于点C ，∠ BAO=40°，则∠BOC 的度数为________. 二、探索新知活动一：在纸上画一个圆，标出圆心O 和半径OA ．把一支笔所在直线记为l ，笔绕半径OA 上的点转动．思考：（1）若笔绕除了A 点之外的点转动，⊙O 与直线l 有怎样的位置关系？（2）若笔绕A 点转动，⊙O 与直线l 有怎样的位置关系? （3）什么情况下，⊙O 与直线l 相切．为什么？切线的判定定理： _______________并且______________的直线是圆的切线．符号表示：∵ ____________，_________ ∴ l 是⊙O 的切线．三、理解应用活动二：已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB ．求证：直线AB 是⊙O 的切线． O

四、课堂练习练习1、如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，腰AB 与⊙O 相切于点D ．求证： AC 是⊙O 的切线．五、课堂小结六、课后巩固 1、如图一，A 、B 是⊙O 上两点，AC 是过点A 的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB=_______ 时，AC 才能成为⊙O 的切线。 2、如图二、⊙O 的半径为5厘米，圆内弦AB ＝8厘米，O 为圆心，3厘米为半径作小圆.求证：小圆与直线AB 相切. 3、如图三，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，且BD=OB ，点C 在⊙O 上，∠CAB=30°．求证：DC 是⊙O 的切线．（图一）（图三）（图二）

2019-2020九年级数学上册全册导学案

第二十一章一元二次方程 21．1 一元二次方程 1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题． 2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)及有关概念． 3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10分钟) 问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为__(100－2x)cm __，宽为__(50－2x)cm __．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x 2－75x ＋350＝0__．① 问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他__(x －1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x （x －1）2__场．列方程__x （x －1） 2＝28__，化简整理，得__x 2－x －56＝0__．② 探究： (1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__． (2)它们最高次数分别是几次？__2次__．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程． 1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax 2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a ≠0是一个重要条件，不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)

华师大版九年级数学下第章《圆》全章导学案

学校_______ 班级_______小组_______ 姓名________小组评价______教师评价_____ 27.1 圆的认识第1课时 27.1.1 圆的基本元素【学习目标】 1．理解圆的两种定义，理解并掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧、圆心角等基本概念，能够从图形中识别； 2．理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等模糊概念； 3．能应用圆的有关概念解决问题. 【学习重难点】重点：理解圆的定义，并掌握圆的基本元素，能从图形中识别；难点：理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等模糊概念；【学法指导】通过生活中圆形物体的感性认识，并自己动手操作画图，理解圆的定义，通过阅读教材理解圆的相关概念并在图中识别，澄清相关概念，并能用相关概念来解决问题．【自学互助】一、自学教材P36-37 （一）知识链接 1．自己回忆一下，小学学习过圆的哪些知识？（图1）2．结合生活实际，说说生活中有哪些物体是圆形的？并思考圆有什么特征？（二）根据以下题目自主学习并完成 1．理解圆的定义：（自己动手画圆）（1）描述性定义：____________________________________________________。从圆的定义中归纳：①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于____ __； ②到定点的距离等于定长的点都在____ _. （2）集合性定义：__________________________________________________。（3）圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作______，读作______. （4）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是______，另一个是_____，其中_____ 确定圆的位置，______确定圆的大小. 2．圆的相关概念：（1）弦、直径；（2）弧及其表示方法；(3)等圆、

北师大版九年级数学上册导学案

北师大版九年级数学上册课程纲要平陌镇初级中学 ?课程类型：国家课程，必修课 ?设计教师：九年级数学组 ?适用年级：九年级 ?授课时间：48—53课时【课程目标】第一章证明（二） 1.了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式； 2.结合实例体会反证法的含义； 3.能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论； 4.能够用综合法证明等腰三角形的判定定理； 5.会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明问题； 6.掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理； 7.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立； 8.能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理既解决实际问题； 9.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论； 10.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形； 11.能够证明角平分线的性质定理、判定定理及相关结论； 12.能够利用尺规作已知角的平分线； 13.根据中垂线判定定理证明三角形三边中垂线共一点；根据角平分线判定定理证明三角形三内角角平分线共一点；第二章一元二次方程 14.会用开平方法解形如(x+m)2=n (n≥0)的方程； 15.理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程； 16.体会转化的数学思想，用配方法解一元二次方程的过程； 17.利用配方法解数字系数的一般一元二次方程；

18.经历到方程解决实际，问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，培养学生数学应用的意识和能力； 19.进一步掌握用配方法解题的技能； 20.通过推导求根公式，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力； 21.会用公式法解一元二次方程； 22.会用分解因式法解系数简单的一元二次方程； 23.掌握黄金分割中黄金比的来历； 24.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力；第三章证明（三） 25.体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法； 26.能运用综合法证明平行四边形的性质定理，及其它相关结论； 27.能运用综合法证明平行四边形的判定定理； 28.能运用综合法证明矩形性质定理和判定定理； 29.能运用综合法证明菱形的性质定理和判定定理； 30.能运用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论；第四章视图与投影 31.通过具体活动，积累数学活动经验，进一步增强学生的动手实践能力和数学思维能力，发展学生的空间观念； 32.通过学习和实践活动，激发学生对视图与投影学习的好奇心，体会数学与生活的联系； 33.通过实例能够判断简单物体的三视图，能根据三种视图描述基本几何体或实物原型，实现简单物体与其三种视图之间的相互转化； 34.会画圆柱、三棱柱、四棱柱、圆锥、球的三视图； 35.通过实例了解中心投影和平行投影的含义及其简单应用，初步进行物体与其投影之间的相互转化； 36.通过实例了解视点、视线、盲区的含义及其在生活中的应用；第五章反比例函数 37.经历在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，抽象出反比例函数的概念，并结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型的意义； 38.能画出反比例函数的图象，根据图像和解析表达式探索并理解反比例函数的主要性质； 39.逐步提高观察和归纳分析能力，体验数形结合的数学思想方法；

人教版九年级下册数学学习探究诊断_第二十七章__相似学案

第二十七章相似测试1 图形的相似学习要求 1．理解相似图形、相似多边形和相似比的概念． 2．掌握相似多边形的两个基本性质． 3．理解四条线段是“成比例线段”的概念，掌握比例的基本性质．课堂学习检测一、填空题 1．________________________是相似图形． 2．对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果____________与____________(如 d c b a =)，那么称这四条线段是成比例线段，简称__________________． 3．如果两个多边形满足____________，____________那么这两个多边形叫做相似多边形． 4．相似多边形____________称为相似比．当相似比为1时，相似的两个图形____________．若甲多边形与乙多边形的相似比为k ，则乙多边形与甲多边形的相似比为____________． 5．相似多边形的两个基本性质是____________，____________． 6．比例的基本性质是如果不等于零的四个数成比例，那么___________．反之亦真．即?=d c b a ______(a ，b ， c ， d 不为零)． 7．已知2a －3b ＝0，b ≠0，则a ∶b ＝______． 8．若,571=+x x 则x ＝______． 9．若 ,5 32z y x ==则=-+x z y x 2______． 10．在一张比例尺为1∶20000的地图上，量得A 与B 两地的距离是5cm ，则A ，B 两地实际距离为______m ．二、选择题 11．在下面的图形中，形状相似的一组是( ) 12．下列图形一定是相似图形的是( ) A ．任意两个菱形 B ．任意两个正三角形 C ．两个等腰三角形 D ．两个矩形 13．要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为 50cm ，60cm ，80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，那么，符合条件的三角形框架乙共有( ) A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种三、解答题 14．已知：如图，梯形ABCD 与梯形A ′B ′C ′D ′相似，AD ∥BC ，A ′D ′∥B ′C ′，

九年级数学上册全部学案(青岛版)

青岛版数学九年级上册学案 1.1平行四边形及其性质（1）审核人：张宏学习目标：1、理解并掌握平行四边形的定义 2、掌握平行四边形的性质定理1及性质定理2 3、提高综合运用知识的能力学习重点：平行四边形的定义，对角、对边相等的性质，以及性质的应用．学习难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．预习指导： 1、在四边形中，最常见、价值最大的是平行四边形，生活中也常见平行四边形的实例，如_______________________________________________________等，都是平行四边形。 2、____________________________________是平行四边形。 3、平行四边形的性质是：_________________________________________. 学习过程：一、学习新知 1、平行四边形的定义（1）定义：________________________________________叫做平行四边形。（2）几何语言表述: ∵ AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形（3）定义的双重性: 具备__________________的四边形，才是平行四边形，反过来，平行四边形就一定具有性质。（4）平行四边形的表示：平行四边形ABCD记作_________,读作___________. 2、平行四边形的性质平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？已知：如图ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD．分析：要证AB＝CD，CB＝AD．我们可以考虑只要证明四条线段所在的两个三角形全等，因此我们可以作辅助线 __________________,它将平行四边形分成_________和__________，我们只要证明这两个三角形全等即可得到结论．证明：总结：本题提供了证明线段相等的方法，也体现了数学中的转化思想。在上题中你能证明∠B=∠D, ∠BAD=∠BCD吗？利用我们学过的方法试一试。证明：通过上面的证明，我们得到了平行四边形的性质定理1是：_______________________________________. 平行四边形的性质定理2是：_______________________________________.

九年级英数学下册【学案】平移

A ' C A 平移【学习目标】：1、通过具体实例认识平移，并能理解平移的含义、理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等的性质;2、经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括的过程；经历探索图形平移性质的过程及与他人合作交流的过程，进一步发展空间观念，增强审美意识; 【学习重点】：图形平移的特征【学习难点】：认识、探究图形平移的特征 1. 【自主探究】（一）预习自我检测（阅读课本27-29页，把不懂的问题记录下来，课堂上我们共同讨论！）观察课本图 5.4-1 它们有什么共同的特点?能否根据其中的一部分绘制出整个图案? (1)把一个图形（）沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的（）和（）完全相同. (2)新图形中的每一点,都是由原图形中的某一个点移动后得到的,这两个点是（）. (3)连接各组对应点的线段（）且（）.图形的这种变换,叫做（）,简称（）（二）我的疑难问题: 二、【合作探究】如图，平移三角形ABC,使点A 移动到点A ′.画出平移后的三角形A ′B ′C ′. 三、【归纳总结】四、【达标测试】 1、图形经过平移后，_______图形的位置，________图形的形状，________图形的大小.(填“改变”或“不改变”) 2.在平移过程中,平移后的图形与原来的图形________和_________都相同,?因-此对应线段和对应角都________. 3.如图所示,平移△ABC 可得到△DEF,如果∠A=50°,∠C=60°,那么∠ E=?____, ∠EDF=_______,∠F=______,∠DOB=_______ 4.如图所示,△FDE 经过怎样的平移可得到△ABC.( ) A.沿射线EC 的方向移动DB 长; B.沿射线EC 的方向移动CD 长 O F E C B A D F E D C B A

九年级数学《一元二次方程》小结与复习学案

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