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电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤曹伟)第3章习题测验解答

第3章习题解答

3.1 对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度：

(1)()2,,x y z Ax Bx C Φ=++； (2)(),,x y z Axyz Φ=；

(3)()2,,sin z A B z Φρ?ρ?ρ=+； (4)()2,,sin cos r Ar Φθ?θ?=。

解：已知空间的电位分布，由E Φ=-?和2

0/Φρε?=-可以分别计算出电场强度和体电荷密度。

(1) ()2x E e Ax B Φ=-?=-+ 0202εερA -=Φ?-= (2) ()

x y z E A e yz e xz e xy Φ=-?=-++ 020=Φ?-=ερ (3) (2sin )cos z E e A Bz e A e B ρ?Φρ?ρ?ρ??=-?=-+++??

20004sin sin 3sin Bz

Bz A A A ρεΦε??ε?ρρ????

=-?=-+

-=-+ ? ????

? (4) ()2sin cos cos cos sin r E e Ar e Ar e Ar θ?Φθ?θ??=-?=-+-

200cos 2cos cos 6sin cos sin sin A A A θ??ρεΦεθ?θθ??

=-?=-+

- ??

3.5 如题3.5图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为0S ρ的面电荷。

试求球心处的电位。解：上顶面在球心产生的电位为

22001111100

()()22S S d R d R d ρρ

Φεε=

+-=- 下顶面在球心产生的电位为

002222200

()()22S S d R d R d ρρΦεε=

+-=- 侧面在球心产生的电位为

030

014π4πS S S

ρρΦεε=

式中2

12124π2π()2π()2π()S R R R d R R d R d d =----=+。因此球心总电位为

1230

S R ρΦΦΦΦε=++=

3.6有02εε=和05εε=的两种介质分别分布在0z >和0z <的半无限大空间。已知0z >时，

201050x y z E e e e =-+V /m 。试求0z <时的D 。

解：由电场切向分量连续的边界条件可得

1t 2t E E =? 000520510x y z D D εε<=?=-? 代入电场法向方向分量满足的边界条件可得 1n 2n

D D =? 050z z D <=

于是有

0001005050x y z z D e e e εε<=-+

3.9 如题 3.9图所示，有一厚度为2d 的无限大平面层，其中充满了密度为

()0πcos x

x d

ρρ=的体电荷。若选择坐标原点为零电位参考点，试求平面层

之内以及平面层以外各区域的电位和电场强度。

解：由对称性可知

0y z

ΦΦ??==??，即22222

2222d d x y z x ΦΦΦΦΦ????=++=???。设各区域中的电位和电场强度分别为1Φ，2Φ，3Φ和1E ，2E

，3E 。由电位所满足的微分方程

2012d πcos d x x d ρΦε??

=- ???

222

d 0d x Φ= 232d 0d x Φ= 解得

011d πsin d πd x C x d ρΦε??

=-+ ??? 22d d C x

Φ=

33d d C x Φ= 201112πcos πd x C x D d ρΦε??=++ ???

222C x D Φ=+ 333C x D Φ=+

由于理想介质分界面没有面电荷，所以边界条件为

d x =时 12ΦΦ= 12

d d d d x x

ΦΦε

ε= d x -=时 13ΦΦ= 31

0d d d d x x

ΦΦε

ε= 又根据对称性可知，在0=x 的平面上，电场强度是为零的，即0=x 时，1

d 0d x

Φ=。最后再选择零电位参考点使得0=x 时，()100Φ=。联立解得

0321===C C C 2

012

d D ρε=- 202322πd D D ρε==-。只要利用d d x

E e x

=-?Φ=-就可以得到 d x -<时， 2032

2πd ρΦε=- 3

3d 0d x E e x

Φ=-= d x d ≤≤-时 2200122

πcos ππd x d d ρρΦεε??=- ??? 011d πsin d πx x d x E e e x d ρΦε??

=-= ???

d x >时， 2

022

2πd ρΦε=- 22d 0d x E e x

Φ=-= ? 选择不同的零电位参考点，得到的电位不同，但电场强度仍是相同的。 ? 根据对称性只需求出0>x 的解，即1Φ和23ΦΦ=。

3.10 位于0x =和x d =处的两个无限大导电平面间充满了()01x d ρρ=+的体电荷。若将0x =处的导电平

板接地，而将x d =处的导电平板加上电压0U 。试求板间的电位分布及电场强度为零的位置。

解：由于无限大导体极板之间电荷分布是只与x 有关，忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与x 有关，且满足

一维泊松方程

202

0d (1)d x x d

ρΦε=-+ 其通解为

001200

()62x x x C x C d ρρΦεε=-

-++ 由(0)0Φ= ? 02=C 而由0()d U Φ= ? 0

00132ερd

d U C +

= 因此板间电位分布为

3200000002()623U d x x x x d d

ρρρΦεεε??

-++ ??? 板间电场强度为

200000002()23x U d E e x x d

d ρρρΦεεε??

=-?=+-+????

从该式可以求出电场强度为零的位置为

20000022

0000

000000024()23224 1()3U d

d d U d b b ac x d d d d d

ρρρρεεεεερρρεε-±++-±-===-±++

由于我们是讨论极板内电场强度，因此零点位置为

)32(210

0000ερρεd

d U d d d x ++

+-= 3.11 如题3.11图所示的平板电容器中，分别以两种不同的方式填充两种不同的介质1ε和2ε。当两极板之间外

加电压0U 时，试求电容器中电位和电场的分布以及电容器的电容。

解：对于图a ：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与x 有关，均满足一维拉普拉斯方程。且由介质分界面的

边界条件可知，两种介质中的电位分布是相同的，其通解为

Cx D Φ=+

根据已知条件00x Φ==和02x d U Φ==，解得0D =和

2U C d

，即平板电容器中的电位分布为 02U x d

Φ=

根据E Φ=-?，可以得到平板电容器中的电场分布为

0d d 2x x U E e e x d

Φ=-?=-=-

对0=x 平板上n x e e =，面电荷密度分别为 ()

01n n 02 2 2S U y S d

e D e E U y S d ερεε?-∈??=?=?=??-∈??

上下

总电量为

()001

2120222U U S

Q S S U d d d

εεεε=-?-=-+ 电容器的电容为

()

120

2Q S

C U d

εε=

对于图b ：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与x 有关，均满足一维拉普拉斯方程。两种介质中的电位分布的通解可以分别设为

111C x D Φ=+ 和 222C x D Φ=+

根据已知条件100x Φ==和202x d

U Φ==，以及分界面处的边界条件12x d x d ΦΦ===和

12x d

x d

ΦΦ==??=

??可

以解得

20112U x d εΦεε=

+ 和 20

2012U x d

U d

εΦεε-=++ 根据E Φ=-?，可以得到平板电容器中两种介质中的电场分布为

0121112d d x

x U E e e x d ΦεΦεε=-?=-=-+ 和 0212212d d x x U E e e x d

ΦεΦεε=-?=-=-+ 对0=x 平板上n x e e =，面电荷密度为

()0

12n n 112 S x

U e D e E e d

εερεεε=?=?=-+

总电量为 1201222S S

Q S U d

εερεε=?=-+

电容器的电容为 120

122Q S

C U d

εεεε=

3.12 已知在半径为a 的无限长圆柱形体内均匀分布着电荷密度为0ρ的体电荷。圆柱体内外的介电常数分别为ε和0ε。若取圆柱体的表面为零电位的参考面，试利用直接积分法求出圆柱体内外的电位和电场强度。解：取定圆柱坐标系，使z 轴与圆柱体的中心轴线相重合，由电位和电场的对称性可知Φ与?和z 无关。圆柱

体内外的电位1Φ和2Φ分别满足

01d 1d d d ρΦρρρρε??=- ??? 和 020

d 1d d d ρΦρρρρε??=- ?

?? 它们的通解可以分别表示式为

()2

0111ln 4C D ρΦρρρε

++ 和 222ln C D Φρ=+ 由轴线上的电位应为有限值可得10C =。而由圆柱体的表面电位为零可得

0104a D ρε

+= 和 22ln 0C a D += 即 2

014D a ρε= 和 22ln D C a =-

于是有 ()()22

014a ρΦρρε=-- 和 22ln C a

ρΦ=

代入圆柱体表面电位的法向导数的边界条件1

r a

ΦΦε

ε==??=??得到0202a

C a ρε=-，即2

0202a C ρε=-。最后得到圆柱体内外的电位分别为

()()22

014a ρΦρρε=- 和 2020ln 2a a

ρρΦε=-

而圆柱体内外的电场强度分别为

01110d d 2E e e ρρρρΦΦρε=-?=-= 和 202

220d d 2a E e e ρρ

ρΦΦρερ

=-?=-=

3.13 如题3.13图所示，半径为a 的无限长导体圆柱，单位长度的带电量为l ρ。其

一半埋于介电常数为ε的介质中，一半露在空气中。试求各处的电位和电场强度。解：根据题意，空间中电位分布与?和z 无关，均满足一维的拉普拉斯方程，即

()()

211222d 1d 0d d d 1d 0d d r r ΦΦρρρΦΦρρρ??

?== ?????

= ???

介质中空气中

将上述两方程分别直接积分两次，得出通解为

111ln C D Φρ=-+ 和 222ln C D Φρ=-+

根据不同介质分界面电位的连续性可知12C C C ==和12D D D ==，即

12ln C D ΦΦΦρ===+

若设无限长导体圆柱上电位为0，也即()0a Φ=，可得ln D C a =-，即

ln C a

Φ=

导体圆柱的面电荷密度为

()()

0S C

εΦρε

ερ?-??=-=?-???介质中空气中

单位长度导体圆柱的电量为

0ππl C a C a ρεε=--

即

0π()

C ρεε=-

于是得到导体圆柱外的电位和电场强度分别为

0ln

π()

ρΦεερ

+ 和 0π()l

E e ρ

ρΦεερ

=-?=+

3.14 如题3.14图所示同轴电容器，其中部分填充了介质ε，其余是空气。当外加电压0U 时，试求电容器中的电位和电场强度的分布以及单位长度的电容。解：根据题意，空间中电位分布与?和z 无关，均满足一维的拉普拉斯方程，即

()

211222d 1d 0d d d 1d 0d d r r ΦΦρρρΦΦρρρ??

?== ?????

= ???

介质中空气中

将上述两方程分别直接积分两次，得出通解为

111ln C D Φρ=-+ 和 222ln C D Φρ=-+

根据不同介质分界面电位的连续性可知12C C C ==和12D D D ==，即

12ln C D ΦΦΦρ===+

由0a

ρΦ

==和0b

U ρΦ

==可得到

ln D C a =- 和 0ln U C b D =+

可以解得

0/ln b C U a ??= ??? 和 0ln /ln b D U a a ??

=- ???

因此电容器内电位和电场强度的分布分别为

0ln ln U a b a ρΦ?? ?

??=?? ??? 和 0d 1d ln U E e e b a ρρ

ΦΦρρ=-?=-=-??? ?

利用n S e D ρ=?可以计算出电容器内面电荷密度分布为

()00

ln S U b b a ερ?θ=

???? ??? 和 ()01 ln S U b b a ερ?θ=?∈?? ?

那么单位长度总电荷为

()00000(2π)111

2πln ln ln U U U Q b b b b b b

a a a θεθεεθεθ-=

?+?=?-+?????????? ? ? ???????

因此单位长度的电容为

()00

2πln Q

C b U b a εθεθ=

=?-+?????? ???

3.15在介电常数为ε的无限大介质中，均匀分布体密度为0ρ的电荷。若在该介质中挖了一个半径为0R 的球形

空腔（腔中的介电常数可视为0ε）。利用直接积分法求出各处的电位分布Φ和电场强度E 。（以球面为零电

位参考点）解：根据场的对称性可知

0=??=???ΦθΦ，即2221d d d d r r r r ΦΦ??

?= ???

。设球形空腔内外的电位分别为1Φ和2Φ。解

212d 1d 0d d r r r r Φ??= ???和2022d 1d d d r r r r ρΦε

=- ???得 11

1D r

C +-=Φ 和 222026

D r C r +--=ερΦ 考虑到0→r 时，场应是有界的，即01=C 。再利用边界连续条件0R r =时，21ΦΦ=，12

0d d d d r r

ΦΦεε

=以及给定的零电位参考点，即0R r =时，021＝ΦΦ=，联立解得

011=D C ＝,ερ33

002R C =和ε

ρ22

002R D = 由此可得

01=Φ，ε

ρερερΦ2362

003

00202R r R r +--= 011=?-=Φ E ，???? ??-=-=?-=230

0022233r R r e dr d e E r r ερε

ρΦΦ 3.16 顶端夹角为02θ的带电导体圆锥垂直于无限大的接地导体平面，但两者之间有一缝隙。当圆锥所加电压为

0U 时，试求圆锥体与导体平面之间的电位分布及电场强度。

解：由于圆锥体与导体平面之间的电位分布均仅为坐标θ的函数，满足一维的拉普拉斯方程

21sin 0sin r Φ

θθθθ

????

?????

即

sin 0Φθθ

θ????= ?????

将上述方程分别直接积分两次，得出通解为

ln tan 2

C D θΦ?

?=+ ??

利用边界条件()00U Φθ=和()π/20Φ=解得

00ln tan 2U C θ=

? 和 0D =

由此可得圆锥体与导体平面之间的电位和电场强度的分布分别为

0ln tan 2ln tan 2U θΦθ?

????? ??? 和 0011sin ln tan 2U E e e r r θθΦΦθθθ?=-?==??? ?

? 3.17如题3.17图所示，由两块形状相同的不相连矩形导体槽构成的无限长的矩

形管，内填空气，但两者之间有一缝隙。当外加电压0U 时，利用直角坐标系分离变量法求出矩形管内的电位分布。解：定解问题为02

=?Φ，00

==y Φ

，0y b

U Φ

==以及

/20

0/2

x U

d y d y d Φ

0/2

x a

U d y d y d Φ

设0

01212U y b

ΦΦΦΦΦΦ=++=

++，其中1Φ和2Φ的满足的定解问题分别为 012=?Φ，001==y Φ，10y b Φ==，100x Φ==和0010/20/2x a U U y b y b

U y y b b Φ=?-<

?-<

220Φ?=，200y Φ==，20y b Φ==，20x a Φ==和00200/20/2

x U U y b y b

U y y b b Φ=?-<

?-<

由定解问题的边界条件100y Φ==和10y b Φ==很容易得到

1111πππsinh

cosh sin n n x n x n y

A B b b b

Φ∞

=??=+ ??

?∑ 由100x Φ==，则20A =，因此上式变成

ππsinh

sin n n n x n y

A b b

Φ∞

==∑

代入边界条件

001

0/20/2x a

U U y b y b b U y y b b Φ=?-<

，则得到

0010/2ππsinh sin 0/2

n n U U y b y b n a n y b A U b b y y b b ∞

=?-<

∑ 利用正弦函数的正交性可以得到

/200

00/2π2ππsinh

sin d sin d b b n b U U n a n y

n y A U y y y y b b b b b b ??

???=-+-?? ? ???????

积分得到 ()/2

021ππsinh

n n U A n a

n b

由定解问题2

20Φ?=，2

0y Φ==，2

0y b Φ==，20x a Φ==可知

()21

ππsinh sin n n n a x n y

C b b Φ∞

=-=∑

代入边界条件002

0/20/2x U U y b y b b U y y b b Φ=?

，则得到 ()/2

021ππsinh

n n U C n a

n b

=- 最后得到电位分布为

()

2,4,6,

πsinh 12πππcosh 1cosh sin ππ

sinh n n n x U y n x n a n y b U n a d n

b b b b Φ∞

???-??=++-?? ?

???

?∑

3.18 求题3.18图所示矩形空间区域内的电位分布，已知边界条件为：

（1）10U Φ=，2340ΦΦΦ===；

（2）20U Φ=，1

0n Φ?=?，340ΦΦ==；（3）303ππsin cos y y

U b b

Φ=，1240ΦΦΦ===；（4）2

0E y Φ?-

=?，140ΦΦ==，30n

Φ?=?。解：（1）根据给定的边界条件可以将通解直接选为

()()()1212,sinh cosh sin cos y y y y x y C k x C k x D k y D k y Φ=++

由边界条件240ΦΦ==可以得到

20D = 和 π

1,2,3,y n k n b

即

()112πππ,sin

sinh cosh n y n x n x x y D C C b b b Φ??

=+ ???

为了求解方便可以将上式改写为

()()()112πππ,sin

sinh cosh n a x n a x n y x y D C C b b b Φ--??=+????

如此一来，由边界条件30Φ=可以直接得到20C =，于是有

()()ππ,sin

sinh

n n a x n y

x y E b b

Φ-= 式中，11D C E n =。将上式对n 求和，可将此边值问题的解写成

()1,2,3,

ππsin

sinh

n n n a x n y

E b b

Φ=-=

∑

最后，将边界条件10U Φ= 代入上式，得

01,2,3,

ππsin

sinh n n n y n a

U E b b

∑

利用三角函数的正交性可以得到

00041,3,5,

π2ππsinh sin d πsinh

02,4,6,

b n U n n a U n y n E y n a b b b n b ?=??==??=??

最后得到电位分布为

()0

1,3,5,

π4πsin sinh ππsinh n n a x U n y

n a b b n b

Φ=-=

∑

（2）根据给定的边界条件可以将通解直接选为

()()()1212,sin cos sinh cosh x x x x x y C k x C k x D k y D k y Φ=++

由边界条件

Φ?=?和30Φ=可以得到 ()212πππ,cos

sinh cosh 222n x n y n y x y C D D a a a Φ??

=+ ???

1,2,3,n

由边界条件40Φ=可以得到

()ππ,cos

sinh 22n n x n y

x y E a a

Φ=1,2,3,n

式中，11D C E n =。将上式对n 求和，可将此边值问题的解写成

()1,2,3,

ππ,cos

sinh

22n n n x n y

x y E a a

Φ==

∑

最后，将边界条件20U Φ= 代入上式，得

01,2,3,

ππcos

sinh

22n n n x n y

U E a a

∑

利用三角函数的正交性可以得到

()1

0200411,3,5,

2ππsinh sin d π2sinh

02,4,6,

2n a n U n n b U n x n E x n b a a b n a π-?-=??

==??=??

最后得到电位分布为

()

1,3,5,

4ππ1cos sinh

22πsinh 2n n U n x n y

n b a a n a

Φπ-==

-∑ （3）根据给定的边界条件可以将通解直接选为

()()()1212,sinh cosh sin cos y y y y x y C k x C k x D k y D k y Φ=++

由边界条件240ΦΦ==可以得到

()112πππ,sin

sinh cosh n y n x n x x y D C C b b b Φ??

=+ ???

1,2,3,n

由边界条件10Φ=可以得到

()ππ,sinh

sin n n x n y

x y E b b

Φ=1,2,3,n

式中，11D C E n =。将上式对n 求和，可将此边值问题的解写成

()1,2,3,

ππ,sinh

sin

n n n x n y

x y E b b

Φ==

∑

最后，将边界条件0303ππ2π4πsin

cos sin sin 2U y y y y U b b b b Φ??

==+ ???

代入上式，得 01,2,3,2π4πππsin sin sinh

sin 2n n U y y n x n y

E b b b b

=??+= ???∑ 比较系数可以得到

0212π2sinh U E a b =

和 041

4π2sinh U E a b

= 其余的系数均为零。最后得到电位分布为

04π4π2π2πsinh sin sinh sin 4π2π2sinh sinh

x y x y U b b b b a a b b Φ????=+??????

（4）根据给定的边界条件可以将通解直接选为

()()()1212,sin cos sinh cosh x x x x x y C k x C k x D k y D k y Φ=++

由边界条件10Φ=

和

Φ?=?可以得到 ()112πππ,sin

sinh cosh 222n x n y n y x y C D D a a a Φ??

=+ ???

1,2,3,n =

由边界条件40Φ=可以得到

()ππ,sin

sinh 22n n x n y

x y E a a

Φ=1,2,3,n =

式中，11D C E n =。将上式对n 求和，可将此边值问题的解写成

()1,2,3,

ππ,sin

sinh

22n n n x n y

x y E a a

Φ==

∑

最后，将边界条件2

0E y

Φ?-

=? 代入上式，得 01,2,3,

πππsin cosh

222n

n n n x n y

E E a a a

=-=

∑

利用三角函数的正交性可以得到

0220081,3,5,

2ππcosh sin d ππcosh

02,4,6,

22a n aE n n b E n x n E x n n b a a b n a a π?

-=??=-=??=??

最后得到电位分布为

0221,3,5,

8ππsin sinh 22πcosh

n aE n x n y n b a a n a Φπ=??

??=

-??????

∑

3．21两平行的无限大导体平板，距离为d ，其间有一薄片，如题3.21图所示。

当上板电位为0U ，下板电位为零，薄片电位为()01/U y d +时，利用直角坐标系中的分离变量法求板间0x >区域的电位分布。解：定解问题为02

=?Φ，00

==y Φ

，0y b

U Φ

==以及()00

1/x U y d Φ

==+

设0

1U y d

ΦΦ=+

，则其中1Φ的满足的定解问题为012=?Φ，00

==y Φ0 1==b y Φ 100x U Φ==

由定解问题的边界条件1

0y Φ==和10y b Φ==很容易得到

ππ1111πe e sin n x n x

d d

n n y A B d Φ∞

-=??=+ ???

∑

由1x Φ→∞=有限，则10A =，因此上式变成

π111

πe

sin

n x

n n y

B d

Φ∞

==∑ 代入边界条件100x U Φ==，则得到

πsin

n n n y

U B d

∞

==∑ 利用正弦函数的正交性可以得到

41,3,5,2πsin d π

2,4,6,

n U n U n y E y n d

b n ?=?=

=??=??

最后得到电位分布为

π001,3,5,4πe sin

πn x d n U y n y

U d n d

Φ∞

-==+∑ 3.22 如题 3.22图所示，已知矩形导体盒子顶面的电位分布为

()02π3π,sin

sin

x y U x y U a b

=，其余的面上电位均为零。试求盒内的电位分布。解：根据盒子的边界条件，利用分离变量法及边界条件可以求出

()πsin

n x X x a =，()πsin m y

Y y b

=，()z k B z k A z Z z z |||ch |sh += 式中2

??+??? ??=b m a n k z ππ。由于(,,0)0x y Φ=，因此0=B ，于是问题的解为

,ππππ(,,)sin sin sh nm n m

n x m y n m x y z A z a b a b Φ∞

????

=+ ? ?????∑

由02π3π(,,)sin sin

x y

x y c U a a

Φ=的边界条件，也即 22

0,2π3πππππsin sin sin sin sh nm n m

x y n x m y n m U A c a a a b a b ∞????=+ ? ?????∑

比较系数法得到2=n ，3=m ，0

2322

2π3πsh A c

a b =????+ ? ?????

，因此问题的解为

2π3π2π3π(,,)sin sin sh 2π3πsh x y x y z z a b a b c

a b Φ????=

+ ? ?????

????+ ? ?????

3.23 半径为a 的无限长圆柱面上分布着密度为0cos S S ρρ?=的面电荷。试求圆柱面内、外的电位分布。解：取定圆柱坐标系，使z 轴与圆柱体的轴相重合。在此坐标系下，诸场量均与z 坐标无关，圆柱内部电位1Φ和

圆柱外部电位2Φ均满足二维的拉普拉斯方程，其通解表示式可分别写为

()()()1121,ln sin cos sin cos n n

n n n n n P P A n B n C n D n Φρ?ρρ??ρ??∞

-=??=+++++??∑

()()()2121,ln sin cos sin cos n n

n n n n n P P A n B n C n D n Φρ?ρρ??ρ??∞

-=''''''??=+++++??∑

上列两式的待定系数可以利用下列的边界条件来确定：（1）在圆柱体的轴线上，电位为有限值，即

10ρΦ=<∞

（2）圆柱体表面的电荷在ρ→∞的地方所建立的电场已减弱至零，故ρ→∞时的电位边界条件为

20ρΦ→∞=

（3）在介质圆柱体的表面上满足电位边界条件，即

12a a ρρΦΦ=== 和 120

0cos S a

ρρΦΦεερ?ρ

==??-=??

由于边界条件（1）和（2）可得

20P =，0n C =，0n D = 和 10P '=，20P '=，0n A '=，0n B '= 即

()()111,sin cos n

n n n P A n B n Φρ?ρ??∞

==++∑

()()21

,sin cos n n

n n C n D n Φρ?ρ??∞

-=''=+∑ 代入边界条件（3）得到

()()11

sin cos sin cos n

n n n n n n n P a

A n

B n a

C n

D n ????∞

∞

-==''++=+∑∑

和

()()21

2101

cos sin cos sin cos n n S n n n n n n n a

A n

B n n a

C n

D n ρ?

????ε∞

∞

---==''+++=

∑∑ n n n n

a A a C -'=，n n n n a B a D -'= 和首先比较上两式中常数项以及cos ?和sin ?项对应的系数，得出

10P =，111aA a C -'=，111aB a D -'=，2

0110

S A a C ρε-'+=

，2

0B a C -'+= 将这些式子联立求解，得到

10P =，0102S A ρε=

，2

010

2S a C ρε'=，10B =，10D '=。再比较cos n ?和sin n ?(2,3,4,n =)各项的系数，得出

n n n n

a A a C -'=，n n n n a B a D -'=，20n n A a C -'+=，20n n B a C -'+= 将这些式子联立求解，得到

01n n n

n A B C D n ''====≠

最后得到圆柱内外的电位分布函数分别为

010cos 2S ρΦρ?ε= 和 2020cos 2S a ρΦ?ερ

3.24 如题3.24图所示半径为a 、长为l 的圆柱形空间，其内的场是轴对称的，

试求该空间的电位分布，已知其边界条件为：

（1）10U Φ=，230ΦΦ==；（2）20U Φ=，130ΦΦ==；（3）202πsin

U l

Φ=，130ΦΦ==。解：(1)问题的解与?无关，因此，定解问题为

(,0)0(,)(,)0l U a z ΦΦρΦρΦ?====，

解法一：首先把上下边界齐次化，也即令0

1U z l

ΦΦ=+

，其中的1Φ满足定解问题为 2011110

(,0)0(,)0(,)U

l a z z l

ΦΦρΦρΦ?====，

由分离变量法可得

1001πππ(

)()sin n n n n n n z A I B K l l l Φρρ∞

=??=+???

∑ 由于0→ρ，1Φ为有限的，那么0=n B 。则上式变成

101

ππ(

)sin n n n n z

A I l l

Φρ∞

==∑ 由侧面的边界条件可得

001

ππ()sin n n U n n z z A I a l l l ∞

==∑ 由三角函数的正交性可得

00000

221πsin cos πππ(π/)

()l n U U n z

A z dz n n a l l l n I n a l I l

=??=-?

即

000102ππcos π()sin π(π/)

n U U n n z z n I l n I n a l l l Φρ∞

==-∑

解法二：直接由侧面的边界条件将电位的通解写成

[][]001

()()sinh cosh n z n z n z n z n A J k B N k C k z D k z Φρρ∞

==++∑

由于0→ρ，Φ为有限的，那么0=n B ，则上式变成

[]01

sinh cosh ()n z n z z n C k z D k z J k Φρ∞

==+∑。

由底面的边界条件可得

()sinh n z z n C J k k z Φρ∞

==∑

而由侧面的边界条件，可得

()a

k a k a k J n

z n z z 000 0μμ=

?=?=

式中n 0μ为零阶Bessel 函数第n 个零点值。因此

0001

(

)sinh

n n n n z

C J a

μρ

μΦ∞

==∑

利用顶面的边界条件可得

00001

(

)sinh

n n n n l

U C J a

μρ

μ∞

==∑

两边同乘ρρ

μ)(

00a

J m ，并对),0(a 积分，那么

000000000

(

)d sinh

(

)(

)d a

m n n m n n l

U J C J J a

μρ

μμρ

μρ

ρρρρ∞

==∑?

式中

000022

00 ()()d 1[()] 2

n m m m n

J J a a a J m n μρμρ

ρρμ≠??

=?'=???

于是得到

[]0000

0000

222000

000

1010220000

00100

001022

(

)d ()d()

[()]sinh [()]sinh 22()()

[()]sinh [()]sinh

2()sinh

m m m m m m m m m m m m m m m m m m U C U J J x x x l l a

a J J a

U U xJ x J l

l J J a

U l J a

μμμρρρμμμμμμμμμμμμμμμμ=

''=

由此可得空间的电位分布为

()

000001010J sinh 2J sinh n n n n n n z U a a l a

μρμΦμμμ∞

=??

???=∑

(2)问题的解与?无关，根据边界条件可将通解选为

001πππ(

)()sin n n n n n n z A I B K l l l Φρρ∞

?=+???

∑ 由于0→ρ，Φ为有限的，那么0=n B 。则上式变成

ππ(

)sin n n n n z

A I l l

Φρ∞

==∑ 由侧面的边界条件可得

001

2πππsin ()sin n n z n n z

U A I a l l l ∞==∑

利用三角函数的正交性可得

00000

41,3,5,

π21ππsin π()02,4,6,

l n U n n a U n z n I A dz n a l l l I l n ?

=???

?=?= ?

?????=?

由此可得

001,3,5,

0π4πsin ππn n I U n z l n a n l I l ρΦ=??

???=

???

∑

(3)问题的解与?无关，根据边界条件可将通解选为

001πππ(

)()sin n n n n n n z A I B K l l l Φρρ∞

=??=+???

∑ 由于0→ρ，Φ为有限的，那么0=n B 。则上式变成

ππ(

)sin n n n n z

A I l l Φρ∞

==∑ 由侧面的边界条件可得

001

ππ(

)sin n n n n z U A I a l l

∞

==∑ 由三角函数的正交性可得

002

2π02

n U n a I A l n ?=????= ?

?????≠?

由此可得

0002π2πsin 2πI z l U a l I l ρΦ?? ???=?? ???

3.25 如题3.25图所示横截面为扇形的柱形空间，场沿轴线方向不变。已知

00??βΦΦ====，0a

U ρΦ

==-，0b

U ρΦ

==，试求此扇形区域内的

电位分布。解：定解问题为

0002

U U b

=-====?====ρρβ??Φ

ΦΦΦ。

解法一：由于问题解与z 无关，则02=z

k ，则问题的通解可以选为 1111(,)()(sin cos )k

k A B C k D k ??

??Φρ?ρρ

??-=++

由0

0?Φ

==得到01=D ，则

11(,)()sin k

k A B k ??

?Φρ?ρρ

?-=+

由0?βΦ==得到sin 0k ?β=，即

n k ?β

， ,2,1=n

于是有

π(,)()sin

n n n n n n A B ββ

Φρ?ρρ

∞

==+∑

由0a

U ρΦ

==-和0 b

U ρΦ

==分别得到下列

ππ01πsin n n n n n n A a B a U ββ?β∞

-=??+=- ? ???∑ ππ01πsin n n n n n n A b B b U ββ

?β∞-=??+= ? ???

∑ 利用正弦函数的正交性可以得到系数n A 和n B 。

解法二：根据场的叠加性，可设12ΦΦΦ=+，其中的1Φ和2Φ满足的定解问题分别为

211111000

00 a b U ??βρρΦΦΦΦΦ====?=====

和

222220200

0 0 a b U ??βρρΦΦΦΦΦ====?====-=

1Φ的通解可以选为

11111(,)(sinh cosh )(sin cos )A k B k C k D k ????Φρ?ρρ??=++

由100?Φ==得到01=D ，则

11(,)(sinh cosh )sin A k B k k ???Φρ?ρρ?=+

由10?βΦ==得到sin 0k ?β=，即

n k ?β

， ,2,1=n

于是有

1111

πππ(,)(sinh

cosh

)sin

n n n n A B ρ

Φρ?β

∞

==+∑

由10a ρΦ==得到10B =，即

ππ(,)sinh

sin

n n n n E ρ

Φρ?β

∞

==∑

最后利用三角函数的正交性，由0b

U ρΦ

==得到

011,3,5,

4ππ(,)sinh

sin

ππsinh

n U n n n a

n ρ

Φρ?β

∑

类似地，可以得到

()()021,3,5,

π4π(,)sinh sin

ππsinh

n n b U n n b a n ρ?

Φρ?βββ

=-=-

-∑

即

()()12

001,3,5,

1,3,5,

π44πππsinh

sin

sinh sin

πππsinh

πsinh

n n n b U U n n n n a

n b a n n ΦΦΦρρ

?β

βββ

===+-=

-∑

∑

3.34如题3.34图所示，在由无限大平面和突起的半球构成的接地导体上方距离平面为d 处有一个点电荷0q ，利用镜像法求导体以外的电位分布。解：由导体平面和导体球面的镜像法可知，为了满足所有的边界条件，需

要有三个镜像电荷10q q =-，20a q q d =-

和30a

q q d

=+。

它们分别位于()0,0,d -，20,0,a d ?? ??

?和20,0,a d ??

- ???。于是所要求的电位分布为

0123

00012311114πq a a R R d R d R ΦΦΦΦΦε=+++??=--+ ???

其中

()()()()()()2

222202

222212

222222232cos 2cos 2cos 2cos R x y z d r d rd R x y z d r d rd R x y z a d r a d r a d R x y z a d r a d r a d θθ

=++-=+-=+++=++=++-=+-=+++=++

电磁场与电磁波波试卷3套含答案

《电磁场与电磁波》试卷1 一. 填空题（每空2分,共40分） 1．矢量场的环流量有两种特性：一是环流量为0，表明这个矢量场无漩涡流动。另一个是环流量不为0，表明矢量场的流体沿着闭合回做漩涡流动。 2．带电导体内静电场值为 0 ，从电位的角度来说，导体是一个等电位体，电荷分布在导体的表面。 3．分离变量法是一种重要的求解微分方程的方法，这种方法要求待求的偏微分方程的解可以表示为 3个函数的乘积，而且每个函数仅是一个坐标的函数，这样可以把偏微分方程化为常微分方程来求解。 4．求解边值问题时的边界条件分为3类，第一类为整个边界上的电位函数为已知，这种条件成为狄利克莱条件。第二类为已知整个边界上的电位法向导数，成为诺伊曼条件。第三类条件为部分边界上的电位为已知，另一部分边界上电位法向导数已知，称为混合边界条件。在每种边界条件下，方程的解是唯一的。 5．无界的介质空间中场的基本变量B 和H 是连续可导的，当遇到不同介质的分界面时，B 和H 经过分解面时要发生突变，用公式表示就是 12()0n B B ?-=，12()s n H H J ?-=。 6．亥姆霍兹定理可以对Maxwell 方程做一个简单的解释：矢量场的旋度，和散度都表示矢量场的源，Maxwell 方程表明了电磁场和它们的源之间的关系。二．简述和计算题（60分） 1．简述均匀导波系统上传播的电磁波的模式。（10分）答：（1）在电磁波传播方向上没有电场和磁场分量，即电场和磁场完全在横平面内，这种模式的电磁波称为横电磁波，简称TEM 波。（2）在电磁波传播方向上有电场和但没有磁场分量，即磁场在横平面内，这种模式的电磁波称为横磁波，简称TM 波。因为它只有纵向电场分量，又成为电波或E 波。（3）在电磁波传播方向上有磁场但没有电场分量，即电场在横平面内，这种模式的电磁波称为横电波，简称TE 波。因为它只有纵向磁场分量，又成为磁波或M 波。从Maxwell 方程和边界条件求解得到的场型分布都可以用一个或几个上述模式的适当幅相组合来表征。 2．写出时变电磁场的几种场参量的边界条件。（12分）解：H 的边界条件 12()s n H H J ?-= E 的边界条件

电磁场与电磁波理论概念归纳

A．电磁场理论B基本概念 1．什么是等值面？什么是矢量线？等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过； ★所有的等值面均互不相交； ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。矢量线（通量线）---- 一系列有方向的曲线。线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？（图）右手定则是指当食指指向矢量A的方向，中指指向矢量B的方向，则大拇指的指向就是矢量积C=A*B的方向。右手法则又叫右手螺旋法则，即矢量积C=A*B的方向就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。本课程中的应用： ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向和传播方向。 3．什么是电偶极子？电偶极矩矢量是如何定义的？电偶极子的电磁场分布是怎样的？电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量和间距的乘积，方向由负电荷指向正电荷。

4.麦克斯韦积分和微分方程组的瞬时形式和复数形式；积分形式：微分方式：（1）安培环路定律（2）电磁感应定律（3）磁通连续性定律（4）高斯定律 5.结构方程

6.什么是电磁场边界条件？它们是如何得到的？（图）边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发，得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式（近似式）。边界条件是在无限大平面的情况得到的，但是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7.不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义；（1）导电媒质分界面的边界条件 ★ 导电媒质分界面上不存在传导面电流，但可以有面电荷。在不同媒质分界面上，电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量永远是连续的（2）理想导体表面的边界条件 ★ 理想导体内部，时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流和面电荷。

电磁场与电磁波习题及答案

. 1 麦克斯韦方程组的微分形式是：.D H J t ???=+?u v u u v u v ,B E t ???=-?u v u v ,0B ?=u v g ,D ρ?=u v g 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? u v u u v g ? S D ds ρ =?u v u u v g ? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为： 3.00n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H r r r r r r r r r 4线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 4.D E ε=u v u v ,B H μ=u v u u v ,J E σ=u v u v 5电流连续性方程的微分形式为： 5. J t ρ??=- ?r g 6电位满足的泊松方程为 2ρ?ε?=- ；在两种完纯介质分界面上电位满足的边界。 12??= 1212n n εεεε??=?? 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理论依据是: 唯一性定理。 8.电场强度E ?的单位是V/m ，电位移D ? 的单位是C/m2 。 9．静电场的两个基本方程的微分形式为 0E ??= ρ?=g D ； 10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A u v ，并令 B A =??u v u v 的依据是（ 0B ?=u v g ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ? ” 的说法是（错误的）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ )ln( 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于（整个空间）。三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω=r r 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-?r r r 其振幅值为：3 04510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510.dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分）四、解：由高斯定理 D S u u v u u v g ?S d q =?得2 4q D r π= 24D e e u u v v v r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e u u v u u v v r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r u u v u u v v u u v g g g r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε==

电磁场与电磁波试题及答案

1.麦克斯韦的物理意义：根据亥姆霍兹定理，矢量场的旋度和散度都表示矢量场的源。麦克斯韦方程表明了电磁场和它们的源之间的全部关系：除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为,,0,D B H J E B D t t ρ????=+ ??=-??=??=??，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1.简述集总参数电路和分布参数电路的区别： 2.答：总参数电路和分布参数电路的区别主要有二：（1）集总参数电路上传输的信号的波长远大于传输线的几何尺寸；而分布参数电路上传输的信号的波长和传输线的几何尺寸可以比拟。（2）集总参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位可近似认为相同，无分布参数效应；而分布参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位均不相同，呈现出电路参数的分布效应。 1.写出求解静电场边值问题常用的三类边界条件。 2.答：实际边值问题的边界条件可以分为三类：第一类是整个边界上的电位已知，称为“狄利克莱”边界条件；第二类是已知边界上的电位法向导数，称为“诺依曼”边界条件；第三类是一部分边界上电位已知，而另一部分上的电位法向导数已知，称为混合边界条件。 1.简述色散效应和趋肤效应。 2.答：在导电媒质中，电磁波的传播速度（相速）随频率改变的现象，称为色散效应。在良导体中电磁波只存在于导体表面的现象称为趋肤效应。 1.在无界的理想媒质中传播的均匀平面波有何特性？在导电媒质中传播的均匀平面波有何特性？ 2. 在无界的理想媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电场、磁场的振幅不随传播距离增加而衰减，幅度相差一个实数因子η（理想媒质的本征阻抗）；时间相位相同；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为TEM 波。在导电媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电磁场的振幅随传播距离增加而呈指数规律衰减；电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为色散的TEM 啵。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。 2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。 (或矢量式2n D σ=、20n E ?=、 2s n H J ?=、20n B =) 1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 2. 答矢量位,0B A A =????=；动态矢量位A E t ??=-?- ?或A E t ??+=-??。库仑规范与洛仑兹规范的作用都是限制A 的散度，从而使A 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。 1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2. s A ds φ=??? 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。 1. 证明位置矢量 x y z r e x e y e z =++ 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。 2. 证明在直角坐标系里计算，则有 ()()x y z x y z r r e e e e x e y e z x y z ? ? ?????=++?++ ?????? 3x y z x y z ???= ++=??? 若在球坐标系里计算，则 23 22 11()()()3r r r r r r r r r ????===??由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。 1. 在直角坐标系证明0A ????= 2.

电磁场与电磁波理论基础自学指导书

电磁场与电磁波理论基础自学指导书课程简介：电磁场理论是通信技术的理论基础，是通信专业本科学生必须具备的知识结构的重要组成部分之一。使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生对"场"与"路"这两种既密切相关又相距甚远的理论有深刻的认识，并学会用"场"的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。为以后的学习和工作打下坚实的理论基础。第一章矢量分析场论初步 1主要内容本章从矢量分析入手，介绍了标量场和矢量场的基本概念，学习了矢量的通量、散度以及散度定理，矢量的环流、旋度以及斯托克斯定理，标量的梯度，以及上述的物理量在圆柱和球坐标系下的表达形式，最后介绍了亥姆霍兹定理，该定理说明了研究一个矢量场从它的散度和旋度两方面入手。通过本章的学习，使学生掌握场矢量的散度、旋度和标量的梯度的概念和数学计算为以后的电磁场分析打下基础。 2学习要求深刻理解标量场和矢量场的概念；深刻理解散度、旋度和梯度的概念、物理意义及相关定理；熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算；了解亥姆霍兹定理的内容。 3重点及难点重点：在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。难点：正确理解和掌握散度、旋度和梯度的概念及定理，可以借助流体的流量和涡旋等自然界中比较具体而形象的相似问题来理解。 4思考题合作业 1.4, 1.8, 1.9, 1.11, 1.14, 1.16, 1.24 第二章静电场 1主要内容本章我们从点电荷的库仑定律发，推导出静电场的基本方程（微分表达及积分表达），该基本方程第一组与静电场的散度和通量有关（高斯定律），第二组有关静电场的环量和旋度，推导的过程运用了叠加原理。由静电场的基本方程中的环量和旋度的基本方程，我们引入了电位的概念，并给出了电场强度与电位之间的关系以及电位的计算公式。运用静电场的基本方程及电位可以解决静电场中的场源互求问题（已知源求场或已知场求源）。然后介绍了电偶极子的概念，推导了电偶极子的电场强度与电位的表达式。接着介绍了介质的极化，被极化的分子可等效为电偶极子，所以介质极化产生的电位就可以借用电偶极子的相关结论。由极化介质的电位公式我们推导了介质中的高斯定律，在该定律中引入了一个新的量—

电磁场与电磁波例题详解

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第1章矢量分析例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为 0)(0200=-+=z y x φ。其等值面方程为： 0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z += 例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x ++=的矢量线方程。解：矢量线应满足的微分方程为： z y dz y x dy xy dx 222== 从而有 ???????==z y dz xy dx y x dy xy dx 2222 解之即得矢量方程???=-=2 2 21c y x x c z ，c 1和c 2是积分常数。例1.3 求函数xyz z xy -+=22?在点（1，1，2）处沿方向角 3 ,4 ,3 π γπ βπ α= = = 的方向导数。解：由于 1) 2,1,1(2) 2,1,1(-=-=??==M M yz y x ?, 02) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xz xy y ?, 32) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xy z z ?, 2 1cos ,22cos ,21cos === γβα 所以

1cos cos cos =??+??+??= ??γ?β?α??z y x l M 例1.4 求函数xyz =?在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为 1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l ++=-+-+-= 其单位矢量 3147 31433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5, 10, 2) 2,1,5()2,1,5()2,1,5() 2,1,5() 2,1,5() 2,1,5(==??==??==??xy z xz y yz x ? ?? 所求方向导数 314 123 cos cos cos = ??=??+??+??=?? l z y x l M ?γ?β?α?? 例1.5 已知z y x xy z y x 62332222--++++=?，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。解：由于)66()24()32(-+-++++=?z a x y a y x a z y x ? 所以 623) 0,0,0(z y x a a a ---=?? ，36) 1,1,1(y x a a +=?? 例1.6 运用散度定理计算下列积分： ??++-+=S z y x S d z y xy a z y x a xz a I )]2()([2322 S 是0=z 和2 2 22y x a z --=所围成的半球区域的外表面。解：设：)2()(2322z y xy a z y x a xz a A z y x ++-+= 则由散度定理???=??τ τs S d A d A 可得

电磁场与电磁波试题及答案

1.麦克斯韦的物理意义：根据亥姆霍兹定理，矢量场的旋度和散度都表示矢量场的源。麦克斯韦方程表明了电磁场和它们的源之间的全部关系：除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为,,0,D B H J E B D t t ρ????=+ ??=-??=??=??，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1.简述集总参数电路和分布参数电路的区别： 2.答：总参数电路和分布参数电路的区别主要有二：（1）集总参数电路上传输的信号的波长远大于传输线的几何尺寸；而分布参数电路上传输的信号的波长和传输线的几何尺寸可以比拟。（2）集总参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位可近似认为相同，无分布参数效应；而分布参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位均不相同，呈现出电路参数的分布效应。 1.写出求解静电场边值问题常用的三类边界条件。 2.答：实际边值问题的边界条件可以分为三类：第一类是整个边界上的电位已知，称为“狄利克莱”边界条件；第二类是已知边界上的电位法向导数，称为“诺依曼”边界条件；第三类是一部分边界上电位已知，而另一部分上的电位法向导数已知，称为混合边界条件。 1.简述色散效应和趋肤效应。 2.答：在导电媒质中，电磁波的传播速度（相速）随频率改变的现象，称为色散效应。在良导体中电磁波只存在于导体表面的现象称为趋肤效应。 1.在无界的理想媒质中传播的均匀平面波有何特性？在导电媒质中传播的均匀平面波有何特性？ 2. 在无界的理想媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电场、磁场的振幅不随传播距离增加而衰减，幅度相差一个实数因子η（理想媒质的本征阻抗）；时间相位相同；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为TEM 波。在导电媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电磁场的振幅随传播距离增加而呈指数规律衰减；电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为色散的TEM 啵。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。 2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。 (或矢量式2n D σ=、20n E ?=、 2s n H J ?=、20n B =) 1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 2. 答矢量位,0B A A =????=；动态矢量位A E t ??=-?- ?或A E t ??+=-??。库仑规范与洛仑兹规范的作用都是限制A 的散度，从而使A 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。 1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2. s A ds φ=??? 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。 1. 证明位置矢量 x y z r e x e y e z =++ 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。 2. 证明在直角坐标系里计算，则有 ()()x y z x y z r r e e e e x e y e z x y z ? ? ?????=++?++ ?????? 3x y z x y z ???= ++=??? 若在球坐标系里计算，则 23 22 11()()()3r r r r r r r r r ????= ==??由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。

电磁场与电磁波试题

?电磁场?试卷1 一、单项选择题 1. 静电场是( ) A. 无散场 B. 旋涡场 C.无旋场 D. 既是有散场又是旋涡场 2. 已知(23)()(22)x y z D x y e x y e y x e =-+-+-，如已知电介质的介电常数为0ε，则自由电荷密度ρ为( ) A. B. 1/ C. 1 D. 0 3. 磁场的标量位函数的单位是( ) A. V/m B. A C. A/m D. Wb 4. 导体在静电平衡下，其内部电场强度( ) A.为零 B.为常数 C.不为零 D.不确定 5. 磁介质在外部磁场作用下，磁化介质出现( ) A. 自由电流 B. 磁化电流 C. 传导电流 D. 磁偶极子 6. 磁感应强度与磁场强度的一般关系为( ) A.H B μ= B.0H B μ= C.B H μ= D.0B H μ= 7. 极化强度与电场强度成正比的电介质称为( )介质。 A.各向同性 B. 均匀 C.线性 D.可极化 8. 均匀导电媒质的电导率不随( )变化。 A.电流密度 B.空间位置 C.时间 D.温度 9. 磁场能量密度等于( ) A. E D B. B H C. 21E D D. 2 1B H 10. 镜像法中的镜像电荷是( )的等效电荷。 A.感应电荷 B.原电荷 C. 原电荷和感应电荷 D. 不确定二、填空题(每空2分，共20分) 1. 电场强度可表示为_______的负梯度。 2. 体分布电荷在场点r 处产生的电位为_______。 3. 一个回路的自感为回路的_______与回路电流之比。 4. 空气中的电场强度5sin(2)x E e t z πβ=-V/m ，则位移电流密度d J = 。 5. 安培环路定律的微分形式是，它说明磁场的旋涡源是。 6. 麦克斯韦方程组的微分形式是，，，。三、简答题(本大题共2小题，每小题5分，共10分) 1.写出电荷守恒定律的数学表达式，说明它揭示的物理意义。 2.写出坡印廷定理的微分形式，说明它揭示的物理意义。四、计算题(本大题) 1.假设在半径为a 的球体内均匀分布着密度为0ρ的电荷，试求任意点的电场强度。 2.一个同心球电容器的内、外半径为a 、b ，其间媒质的电导率为σ，求该电容器的漏电电导。 3.已知空气媒质的无源区域中，电场强度100cos()z x E e e t z αωβ-=-，其中βα,为常数，求磁场强度。 0ε0ε

《电磁场与电磁波》经典例题

一、选择题 1、以下关于时变电磁场的叙述中，正确的是（） A 、电场是无旋场 B 、电场和磁场相互激发 C 、电场与磁场无关 2、区域V 全部用非导电媒质填充，当此区域中的电磁场能量减少时，一定是（） A 、能量流出了区域 B 、能量在区域中被消耗 C 、电磁场做了功 D 、同时选择A 、C 3、两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的的是（） A 、线圈的尺寸 B 、两个线圈的相对位置 C 、线圈上的电流 D 、空间介质 4、导电介质中的恒定电场E 满足（） A 、0??=E B 、0??=E C 、??=E J 5、用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（） A 、镜像电荷是否对称 B 、电位方程和边界条件不改变 C 、同时选择A 和B 6、在静电场中，电场强度表达式为3(32)()y x z cy ε=+--+x y z E e e e ，试确定常数 ε的值是（） A 、ε=2 B 、ε=3 C 、ε=4 7、若矢量A 为磁感应强度B 的磁矢位，则下列表达式正确的是（） A 、=?B A B 、=??B A C 、=??B A D 、2=?B A 8、空气（介电常数10εε=）与电介质（介电常数204εε=）的分界面是0z =平面，若已知空气中的电场强度124= +x z E e e 。则电介质中的电场强度应为（） A 、1216=+x z E e e B 、184=+x z E e e C 、12=+x z E e e 9、理想介质中的均匀平面波解是（） A 、TM 波 B 、TEM 波 C 、TE 波 10、以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是（） A 、不再是平面波 B 、电场和磁场不同相 C 、振幅不变 D 、以T E 波的形式传播二、填空 1、一个半径为α的导体球作为电极深埋地下，土壤的电导率为 σ，略去地面的影响，则电极的接地电阻R = 2、内外半径分别为a 、b 的无限长空心圆柱中均匀的分布着轴向电流I ，设空间离轴距离为()r r a <的某点处，B= 3、自由空间中，某移动天线发射的电磁波的磁场强度

电磁场与电磁波试题及答案

1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为 ,,0,D B H J E B D t t ρ????=+??=-??=??=??v v v v v v v ，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。 2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。 (或矢量式2n D σ=v v g 、20n E ?=v v 、2s n H J ?=v v v 、20n B =v v g ) 1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 2. 答矢量位,0B A A =????=v v v ；动态矢量位A E t ??=-?-?v v 或A E t ??+=-??v v 。库仑规范与洛仑兹规范的作用都是限制A v 的散度，从而使A v 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。 1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2. s A ds φ=???v v ò 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。 1. 证明位置矢量x y z r e x e y e z =++r r r r 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择

《电磁场与电磁波》习题参考答案

《电磁场与电磁波》知识点及参考答案第1章矢量分析 1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。 2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无旋场，由散度源所产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。 3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是：散度（高斯）定理：S V FdV F dS ??=?? ?和斯托克斯定理： s C F dS F dl ???=??? 。 4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。（ √ ） 5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（ √ ） 6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（ √ ） 7、梯度的方向是等值面的切线方向。（ × ） 8、标量场梯度的旋度恒等于0。（ √ ） 9、习题, 。

第2章电磁场的基本规律（电场部分） 1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。 2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。 3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是： V V s D dS dV Q ρ?==? ?和 0l E dl ?=?。 4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ??=和0E ??=。 5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。 6、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→ B 的法向分量 B 1n －B 2n ＝0。 7、在介电常数为的均匀各向同性介质中，电位函数为 22 11522 x y z ?= +-,则电场强度E =5x y z xe ye e --+。 8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。 9、电荷只能在分子或原子范围内作微小位移的物质称为( D )。 A.导体 B.固体 C.液体 D.电介质 10、相同的场源条件下，真空中的电场强度是电介质中的( C )倍。 A.ε0εr B. 1/ε0εr C. εr D. 1/εr 11、导体电容的大小( C )。 A.与导体的电势有关 B.与导体所带电荷有关 C.与导体的电势无关 D.与导体间电位差有关 12、z ＞0半空间中为ε=2ε0的电介质，z ＜0半空间中为空气，在介质表面无自由电荷分布。

电磁场与电磁波试题集

《电磁场与电磁波》试题1 填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为μ ，则磁感应强度B 和磁场H 满足的方程为：。 2．设线性各向同性的均匀媒质中， 02=?φ称为方程。 3．时变电磁场中，数学表达式H E S ?=称为。 4．在理想导体的表面，的切向分量等于零。 5．矢量场 )(r A 穿过闭合曲面S 的通量的表达式为：。 6．电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。 8．如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。二、简述题（每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为 t B E ??-=?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？三、计算题（每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目（1）判断矢量函数y x e xz e y B ??2+-= 是否是某区域的磁通量密度？（2）如果是，求相应的电流分布。 16．矢量z y x e e e A ?3??2-+= ，z y x e e e B ??3?5--= ，求（1）B A + （2）B A ? 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为（1）试写出其时间表达式；（2）说明电磁波的传播方向；四、应用题（每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为a ，带电量为Q 。试求（1）球内任一点的电场强度（2）球外任一点的电位移矢量。

电磁场与电磁波试题及参考答案

2010-2011-2学期《电磁场与电磁波》课程彳片?k 8.复数场矢量E = E -e^ je y e Jz，则其极化方式为（A ）。考试试卷参考答案及评分标准命题教师：李学军审题教师：米燕一、判断题（10分）（每题1分） 1?旋度就是任意方向的环量密度 2.某一方向的的方向导数是描述标量场沿该方向的变化情况 3?点电荷仅仅指直径非常小的带电体 4. 静电场中介质的相对介电常数总是大于1 5. 静电场的电场力只能通过库仑定律进行计算 6. 理想介质和导电媒质都是色散媒质 7. 均匀平面电磁波在无耗媒质里电场强度和磁场强度保持同相位 8. 复坡印廷矢量的模值是通过单位面积上的电磁功率 9. 在真空中电磁波的群速与相速的大小总是相同的 10趋肤深度是电磁波进入导体后能量衰减为零所能够达到的深度二、选择填空（10分）. 4 1.已知标量场u的梯度为G,则勺沿l方向的方向导数为（ A. G l B. G l ° C. G l A.左旋圆极化 B.右旋圆极化 C.线极化 9.理想媒质的群速与相速比总是（C）。 A.比相速大 B.比相速小 C.与相速相同 10.导体达到静电平衡时，导体外部表面的场Dn可简化为（B) (: X) (V) (X) (V) (X) (X) (V) (X) (V) (X) B )。 A. Dn=0 B. D n C. D n = q 三、简述题（共10分）（每题5分） 1.给出亥姆霍兹定理的简单表述、说明定理的物理意义是什么（5分）答：若矢量场F在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中, 则矢量场由其散度、旋度和边界条件唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和；（3分）物理意义：分析矢量场时，应从研究它的散度和旋度入手，旋度方程和散度方程构成了矢量场的基本方程。 (2 分) 2.写出麦克斯韦方程组中的全电流（即推广的安培环路）定律的积分表达式，并说明其物 2.半径为a导体球，带电量为Q,球外套有外半径为b,介电常数为S的同心介质球壳, 壳外是空气，则介质球壳内的电场强度E等于（ C ）。理意义。（5分）. 答：全电流定律的积分表达式为：J|H d 7 = s（: 工）d S。（3分）全电流定律的物理意义是：表明传导电流和变化的电场都能产生磁场。（2分）四、一同轴线内导体的半径为a,外导体的内半径为b,内、外导体之间填充两种绝缘材料，a

电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤,曹伟)第2章习题解答

第2章习题解答 2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0V a ρρρρ =， ()0a ρ≤≤。试求总电量Q 。解：2π20000 2d d d d π3 l a V V Q V z la a ρρ ρρρ?ρ= ==? ? ?? 2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求其表面上的面电流密度。解：面电荷密度为 2 04πS Q R ρ= 面电流密度为 002 00 sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθ ρρωθωθ=?== = 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ?=。已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试求0S J 。解：每根导线的体电流密度为 00 22 4π(/2)πI I J d d = = 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04πS I J Jd d == 因此，等效面电流密度为 04πS I J e d ?= 2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。为使中间的点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为 12 214πq F x ε= 实验电荷受0q 的排斥力为 022 1 4π()q F d x ε= - 要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由0022 211 4π4π() q q x d x εε=-，可以解得 d d x 585.01 22=+= 如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.01 22=+=。只是这时实验电荷与0q 和02q 不是排斥力，而是吸引力。 2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电场为 ( ) ( 00 2 22 00001114π4π4π221x y y x x y q q q E e e e e a a q e e εεε? =+++ ?+=+

电磁场与电磁波试题及答案

《电磁场与电磁波》试题2 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为ε，则电位移矢量D ?和电场E ? 满足的方程为：。 2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为φ，媒质的介电常数为ε，电荷体密度为V ρ，电位所满足的方程为。 3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为。 4．在理想导体的表面，电场强度的分量等于零。 5．表达式()S d r A S ? ????称为矢量场)(r A ? ?穿过闭合曲面S 的。 6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生。 7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。 8．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互。 9．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。二、简述题（每小题5分，共20分） 11．试简述磁通连续性原理，并写出其数学表达式。 12．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 13．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???????-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微分形式。 14．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？三、计算题（每小题10分，共30分） 15．矢量函数 z x e yz e yx A ??2+-=? ，试求（1）A ? ?? （2）A ? ?? 16．矢量 z x e e A ?2?2-=? ， y x e e B ??-=? ，求（1）B A ? ?- （2）求出两矢量的夹角

电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤曹伟)第3章习题测验解答

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