第十四讲 薄板小挠度弯曲(一)汇总
第十四讲 薄板小挠度弯曲理论（一）
概念和假定
薄板：板的厚度远小于中面最小尺寸的板。 荷载
纵向荷载：作用在板中面以内的荷载，可以认为沿板的厚度均布，按平面应力计算。
横向荷载：使薄板弯曲，按薄板弯曲问题计算。 中面弯曲所形成的曲面称为薄板的 弹性曲面，中面内各点的横向位移 称为挠度。
薄板弯曲的基本假设（基尔霍夫假设）
（1）垂直于中面方向的正应变εz 可以不计，由?w /?z = 0得到 w = w (x , y )
板厚度内各点具有相同的挠度。 放弃物理方程：)]([1
y x z z E
σσμσε+-= 目地：允许σz -μ(σx +σy ) ≠ 0
（2）应力分量τxz 、τyz 、σz 远小于其余三个应力分量，它们所引起的应变可以不计（它们本身是平衡所需，不能不计），即认为γxz = γyz = 0（一般，薄板弯曲问题中，τxz 、τyz 是次要应力，σz 则为更次要应力） 0=??+??x w z u ，x
w
z u ??-=??
0=??+??y w z v ，y
w z v ??-=??
x
放弃物理方程：xz xz E τμγ)1(2+=
，yz yz E
τμγ)
1(2+= 即：允许γxz 和γyz 等于零，但τxz 和τyz 不为零。 只有三个物理方程
)(1
y x x E μσσε-=
)(1
x y y E
μσσε-=
xy xy E
τμγ)
1(2+=
与平面应力问题相同。
（3）薄板中各点都没有平行于中面的位移，(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0，因此，(εx )z = 0 = 0，(εy )z = 0 = 0，(γxy )z = 0 = 0 薄板弯曲后，在xy 平面的投影形状不变。
弹性曲面微分方程
按位移求解，基本未知量为挠度w ，需将其它物理量用w 表示，由
x w z u ??-=??，y
w z v ??-=?? 积分得到：),(1y x f z x w u +??-
=，),(2y x f z y
w
v +??-= 由：(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0得到：f 1(x , y ) = f 2(x , y ) = 0，因此 z x w u ??-
=，z y
w v ??-= 则： z x w x u x 22??-=??=ε，z y w y v y 22??-=??=ε，z y
x w
x v y u xy ???-=??+??=22γ
将应力分量σx 、σy 、τxy 用w 表示
???
?
????+??--=+-=2222221)(1y w x w Ez E y x x μμμεεμσ
????
????+??--=+-=2222221)(1x w y w Ez E x y y μμμεεμσ y
x w
Ez E xy xy ???+-
=+=21)1(2μγμτ w 仅为x 、y 的函数，因此应力分量与z 成正比。 将应力分量τxz 和τyz 用w 表示
不考虑纵向荷载，f x = f y = 0，由平衡方程
0=??+??+??z
y x xz
xy x ττσ
0=??+
??+
??z
y
x
yz y xy τστ
w x Ez y x w x w Ez y x z xy x xz 2
2
2333211???-=???? ?????+??-=??-??-=??μμτστ w y
Ez y x w y w Ez x y z xy
y
yz
2
22333211???-=???? ?????+??-=??-??-=??μμτστ 因w = w (x , y )，以上二式积分得
),()1(212
22y x F w x Ez xz +???-=μτ
),()1(222
2
2y x F w y
Ez yz +???-=μτ 由板的上下边界条件(τxz )z = ±δ/2 = 0，(τyz )z = ±δ/2 = 0，得到
w x
z E
xz 22224)1(2??????? ??--=δμτ w y
z E
yz
22224)1(2??????? ??--=δμτ 最后，将应力分量σz 用w 表示，设f z = 0（如果f z ≠ 0，可以将板的单位面积内的体力归入板面上的面力，只对σz 产生影响）
0=??+??+??z
y x z
yz xz σττ w z E y x z yz xz z 4
2224)1(2????? ??--=??-??-=??δμττσ ),(34)1(234
322y x F w z z E z +????
? ??--=δμσ 在板的下边有边界条件(σz )z = δ/2 = 0，因此
w z z E z 42
2121)1(6???
? ??
+??
?
??---=δδμσ 在板的上边有边界条件(σz )z = -δ/2 = -q
q w E =?-4
2
3)
1(12μδ 或： q w D =?4
薄板的弹性曲面微分方程，薄板小挠度弯曲问题的基本方程。
)
1(122
3
μδ-=E D 称为薄板的弯曲刚度
横截面上的内力和应力
薄板弯曲问题中，要求应力分量在板的侧面上处处满足应力边界条件有困难，需应用圣维南原理，使板在厚度方向上的应力分量整体满足边界条件。
三边长度分别为dx 、dy 和δ 的六面体，在x 为常数的横截面上σx 和τxy 的合力（积分）为零，分别合成弯矩M x 和扭矩M xy ，考虑单位宽度上的内力
x
????
????+??-=???? ????+??--==?-22222222232
2
)1(12y w x w D y w x w E zdz M x x μμμδσδδ y x w
D y x w
E zdz M xy xy
???--=???+-==?-2232
2
)1()1(12μμδτδδ
剪应力τxz 合成横向剪力F Sx
w x D w x E dz F xz Sx 2
22
32
)1(12???-=???--==?-μδτδδ 同理，在y 为常数的横截面上
???? ????+??-=???? ????+??--=2222222223)1(12x w y w D x w y w E M y μμμδ xy yx M y x w
D y x w
E M =???--=???+-=223)1()1(12μμδ
w y
D w y
E
F Sy 2
223)1(12???-=???--=μδ
1. 内力为单位宽度的力，弯矩和扭矩的量纲为[力]，剪力的量纲为[力][长度]-1；
2. 内力的符号规定：按右图为正；
3. 薄板弯曲问题中主要计算弯矩 和扭矩，横向剪力一般不计算。
各应力分量可由内力表示为 z M x
x 3
12δσ=，z M y
y 3
12δσ=
， ??
? ??
+?
?
?
??--=δδσz z q z 12122
z M xy
xy 3
12δτ=
，???? ??-=22346z F Sx xz δδτ，???
? ??-=22346z F Sy yz δδτ
按各应力分量对薄板作用效应
σx ，σy ：弯应力；τxy ：扭应力；τxz ，τyz ：横向剪应力；σz ：挤压应力。
边界条件，扭矩的等效剪力
矩形薄板OABC ，OA 边是夹支边，OC 边是简支边，AB 、BC 边是自由边
1. 夹支边OA
(w )x = 0 = 0，(?w /?x )x = 0 = 0 (?w /?y )x = 0 = 0不是独立边界条件 2. 简支边OC
(w )y = 0 = 0，(M y )y = 0 = 0 或写为 0)(0
==y w ，00
2222=????
????+??=y x w y w μ
如(w )y = 0 = 0得到满足，则必有?2w /?x 2 = 0，简支边的边界条件简化为 0)(0
==y w ，00
22=???? ????=y y w
3. 自由边AB
自由边的弯矩、扭矩和横向剪力均为零，三个边界条件 (M y )y = b = 0，(M yx )y = b = 0，(F Sy )y = b = 0 简化：将扭矩变换为等效横向剪 力，与第三式合并。设任意边界 上的微段EF = dx 上作用有扭矩
x
M yx dx ，可以变换为等效的两个力M yx ，分别作用于E 点和F 点。 相邻微段FG = dx 上作用有扭矩dx dx x M M yx
yx ???
?
??
??+
，可以变换为等效的两个力dx x
M M yx yx ??+
，分别作用于F 点和G 点。 在F 点合成向下的dx x
M yx ??，边界上的分布扭矩M yx 变换为等效分布剪
力
x
M yx ??，自由边AB 上的总剪力：x
M F F yx Sy Sy
??+='。
角点（A 点和B 点）还有未被低消的集中力 F SA = (M yx )A ，F SB = (M yx )B
自由边AB 的边界条件（不包括角点）最终可简化为 0)(==b y y M ，0=???? ??
??+=b
y yx Sy x M F
或写为
02222=???? ????+??=b y x w y w μ，0)2(2333=???
??????-+??=b
y y x w y w μ
4. 自由边BC
与AB 边类似，边界条件 0)(==a x x M ，0=????
??
??+
=a
x xy Sx y M F 或写为
02222=???? ????+??=a x y w x w μ，0)2(2333=???
??????-+??=a
x y x w x w μ
角点（B 点和C 点）还有未被低消的集中力 F SB = (M xy )B ，F SC = (M xy )C
两自由边的交点B ，总的集中反力（注意方向定义）
B
B xy B yx SB y x w D M M F ????
?????--=+=2)1(2)()(μ
注意：按内力方向的规定，F SB 沿z 轴的负向为正，同理，F SO 也沿z 轴的负向为正，F SA 和F SC 则沿z 轴的正向为正。 如B 点无集中力作用，则
0,22=?
???
?????=???? ?????==b
y a x B y x w y x w B 点有沿z 轴正向的集中力F ，则
)1(2,22μ-=???? ?????=???? ?????==D F
y x w y x w b
y a x B 讨论：
1. B 点有支撑时，角点条件 (w )B = 0 或 (w )B = ζ
其中ζ为支柱沉陷，解出w 后，可由上式求支柱反力。
2. 与梁刚性连接的板，梁的弯曲和扭转刚度都很大时，板边可作为夹支边。
3. 梁的弯曲和扭转刚度都很小时，板边可作为自由边。
4. 梁的弯曲刚度大而扭转刚度小，板边可作为简支边。
例一，两边简支，两边自由的矩形薄板，边长分别为OC = a ，OA = b ，试求板的内力和角点反力；
（1）在角点B 处受向下的集中力F 作用；
（2）在角点B 处设有支柱，且支柱有一微小沉陷δ。
解：
（1）考虑板的边界x = 0和y = 0时要求挠度为零，可设板的挠度为 w = mxy
可满足AO 和OC 两边简支条件
容易验证，挠度w 满足弹性曲面微分方程 04==?q w D 板的内力
02222=????
????+??-=y w x w D M x μ
02222=???
?
????+??-=x w y w D M y μ
m D y
x w
D M xy )1()1(2μμ--=???--=
02=???-=w x D
F Sx ，02=???
-=w y
D F Sy 自由边界上
0=??+='y
M F F xy Sx Sx
，0=??+='x
M F F yx Sy Sy
满足薄板的全部边界条件
角点B 处作用有沿z 轴正向的集中力F ，则
F y x w D F b
y a x SB -=?
???
?????--===,2)1(2μ x
x
得到：)
1(2μ-=
D F
m
板的挠度和内力 xy D F
w )
1(2μ-=
0====Sy Sx y x F F M M ，2
F M xy -= F M F A xy SA -==)(2，F M F B xy SB -==)(2 F M F C xy SC -==)(2，F M F O xy SO -==)(2 （2）仍设挠度表达式为 w = mxy 板的内力表达式同上
角点B 处的位移边界条件，(w )B = δ，得到 ab
m δ
=
板的挠度和内力 xy ab w δ
=
0====Sy Sx y x F F M M ，ab
D M xy δ
μ)1(--=
ab
D F F F F SO SC SB SA δ
μ)1(2--====
例二，半椭圆形薄板，边界AB 为简支边，ACB 为夹支边，受荷载q = q 0x /a 作用，试证
2
22221???
?
??-+=b y a x m x w
能满足一切边界条件，并求挠度及最大值。 解：在简支边x = 0上，板的边界条件要求
x
0)(0==x w ，0)(0
22220
=???? ????+??-===x x x y w x w D M μ
容易验证，挠度w 满足边界条件 在夹支边ACB 上，要求 (w )ACB = 0，(?w /?n )ACB = 0
n 为椭圆边界的外法线方向，第一式恒满足，第二式要求
0=????
??????+????=?
??
????ACB
ACB
n y y w n x x w n w 015122222222=?????????? ??-+???? ??-+=???
????ACB ACB b y a x b y a x m x w 01422
222=?????????? ??-+=???? ????ACB
ACB b y a x b xy m y w 因此第二式也满足。
由薄板弯曲基本方程：q w D =?4 得到：a x
q b b a a Dmx 04224
2448120=??
? ??++ ]
/1)/(2/5[244
2240
b b a a aD q m ++=
板的挠度
2
2222422401]/1)/(2/5[24???
? ??-+++=b y a x b b a a aD x
q w 求最大挠度，需要解联立方程求驻点
015122222222=???? ??-+???? ??-+=??b y a x b y a x m x w
01422222=???
? ??-+=??b y a x b xy m y w 1. 板的全部边界挠度为零，最大挠度不可能发生在板边界上；
2. 板的几何形状、约束和荷载关于x 轴对称，则最大挠度必发生在x 轴的某点。 因此有
015122220=???
? ??-???? ??-=??=a x a x m x w
y （0 < x < a ） 最大挠度发生在点)0,5/(a 处 ]
/1)/(2/5[375524
2240
max b b a a D q w ++= 分析：
周边固定的椭圆形薄板受均布荷载 作用时，可设挠度函数为 2
22
22
1???
?
??-+=b y
a x m w 可以满足全部边界条件。
x
弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理(16K
第6章 弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理 平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度t 不大于板中面最小尺寸的5/1时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。1850年，G.R.基尔霍夫（Kirchhoff Gustav Robert ，基尔霍夫 古斯塔夫·罗伯特，德国物理学家，1824-1887年）除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力z σ与应力x σ,y σ和xy τ相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。 用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。 本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。 §6.1 基本方程与边界条件回顾 取坐标平面oxy 与中面重合，z 轴垂直于中面，x ,y 和z 轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。变形后的板内各点沿x ,y 和z 轴方向的位移分别用u ,v 和w 表示。由Kirchhoff 假设，可以得到 x w z z y x u ??-=),,(，y w z z y x v ??-=),,(，),(),,(y x w z y x w = （6-1） 并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为 22x w z x ??-=ε，22y w z y ??-=ε，y x w z xy ???-=γ22 （6-2） 其余3个应变分量z ε,xz γ和yz γ根据假设都等于零，即 0=εz ，0=γxz ，0=γyz （6-3） 由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷),(y x q 与剪力x Q ,y Q 以及弯矩 x M ,y M 和扭矩xy M （x M ,y M ,xy M 统称 为内力矩）与x Q ,y Q 之间的关系式。这里要注意，x M ,y M ,xy M 是单位中面宽度内的内力矩，它们的因次是千克力，x Q ,y Q 是单位中面宽度内的内力，它们的因次是千克力
第12章 薄板的小挠度弯曲问题
第十二章薄板的小挠度弯曲问题知识点 薄板的基本概念 薄板的位移与应变分量 薄板广义力 薄板小挠度弯曲问题基本方程薄板自由边界条件的简化 薄板的莱维解 矩形简支薄板的挠度基尔霍夫假设 薄板应力 广义位移与薄板的平衡 薄板的典型边界条件 薄板自由边界角点边界条件挠度函数的分解 一、内容介绍 薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。 根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。 根据基尔霍夫假设，采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。 对于薄板问题，边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同，典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。 二、重点 1、基尔霍夫假设； 2、薄板的应力、广义力和广义位移； 3、薄板小 挠度弯曲问题的基本方程；4、薄板的典型边界条件及其简化。 §12.1 薄板的基本概念和基本假设
学习要点: 本节讨论薄板的基本概念和基本假设。 薄板主要几何特征是板的中面和厚度。首先，根据几何尺寸，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。 根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。 薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。 根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。实践证明是完全正确的。 学习思路： 1、薄板基本概念； 2、基尔霍夫假设 1、薄板基本概念 薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板 薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。 薄板的上下两个平行面称为板面，垂直于平行面的柱面称为板边，如图所示。两个平行面之间的距离称为板厚，用δ 表示。平分板厚的平面称为板的中面。 设薄板宽度为a、b，假如板的最小特征尺寸为b，如果δ/b≥1/5，称为厚板；
第十四讲 薄板小挠度弯曲(一)汇总
第十四讲 薄板小挠度弯曲理论（一） 概念和假定 薄板：板的厚度远小于中面最小尺寸的板。 荷载 纵向荷载：作用在板中面以内的荷载，可以认为沿板的厚度均布，按平面应力计算。 横向荷载：使薄板弯曲，按薄板弯曲问题计算。 中面弯曲所形成的曲面称为薄板的 弹性曲面，中面内各点的横向位移 称为挠度。 薄板弯曲的基本假设（基尔霍夫假设） （1）垂直于中面方向的正应变εz 可以不计，由?w /?z = 0得到 w = w (x , y ) 板厚度内各点具有相同的挠度。 放弃物理方程：)]([1 y x z z E σσμσε+-= 目地：允许σz -μ(σx +σy ) ≠ 0 （2）应力分量τxz 、τyz 、σz 远小于其余三个应力分量，它们所引起的应变可以不计（它们本身是平衡所需，不能不计），即认为γxz = γyz = 0（一般，薄板弯曲问题中，τxz 、τyz 是次要应力，σz 则为更次要应力） 0=??+??x w z u ，x w z u ??-=?? 0=??+??y w z v ，y w z v ??-=?? x
放弃物理方程：xz xz E τμγ)1(2+= ，yz yz E τμγ) 1(2+= 即：允许γxz 和γyz 等于零，但τxz 和τyz 不为零。 只有三个物理方程 )(1 y x x E μσσε-= )(1 x y y E μσσε-= xy xy E τμγ) 1(2+= 与平面应力问题相同。 （3）薄板中各点都没有平行于中面的位移，(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0，因此，(εx )z = 0 = 0，(εy )z = 0 = 0，(γxy )z = 0 = 0 薄板弯曲后，在xy 平面的投影形状不变。 弹性曲面微分方程 按位移求解，基本未知量为挠度w ，需将其它物理量用w 表示，由 x w z u ??-=??，y w z v ??-=?? 积分得到：),(1y x f z x w u +??- =，),(2y x f z y w v +??-= 由：(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0得到：f 1(x , y ) = f 2(x , y ) = 0，因此 z x w u ??- =，z y w v ??-= 则： z x w x u x 22??-=??=ε，z y w y v y 22??-=??=ε，z y x w x v y u xy ???-=??+??=22γ 将应力分量σx 、σy 、τxy 用w 表示 ??? ? ????+??--=+-=2222221)(1y w x w Ez E y x x μμμεεμσ
第五章弹性薄板小挠度弯曲问题的变分原理(16K)
第五章 弹性薄板小挠度弯曲问题的变分原理 平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度t 不大于板中面最小尺寸的5/1时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。1850年，G .R.Kirchhoff 除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力z σ与应力x σ,y σ和xy τ相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。 用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。 本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。 §5.1 基本方程与边界条件回顾 取坐标平面oxy 与中面重合，z 轴垂直于中面，x ,y 和z 轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。变形后的板内各点沿x ,y 和z 轴方向的位移分别用u ,v 和w 表示。由Kirchhoff 假设，可以得到 x w z z y x u ??-=),,(，y w z z y x v ??-=),,(，),(),,(y x w z y x w = （5-1） 并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为 22x w z x ??-=ε，22y w z y ??-=ε，y x w z xy ???-=γ22 （5-2） 其余3个应变分量z ε,xz γ和yz γ根据假设都等于零，即 0=εz ，0=γxz ，0=γyz （5-3） 由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷),(y x q 与剪力x Q ,y Q 以及弯矩 x M ,y M 和扭矩xy M （x M ,y M ,xy M 统称为内力矩）与x Q ,y Q 之间的关系式。这里要注 意，x M ,y M ,xy M 是单位中面宽度内的内力矩，它们的因次是千克力，x Q ,y Q 是单位中
圆形薄板在均布载荷作用下的挠度
第四节平板应力分析平板应力分析 3.4.1概述 3.4.2圆平板对称弯曲微分方程 3.4.3圆平板中的应力 3.4.4承受对称载荷时环板中的应力 3.4.1概述 1、应用：平封头：常压容器、高压容器； 贮槽底板：可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板； 板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板； 反应器触媒床支承板等。 2、平板的几何特征及平板分类 几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸。 t/b≤1/5时(薄板) w/t≤1/5时（小挠度）按小挠度薄板计算 3、载荷与内力
载荷：①平面载荷：作用于板中面内的载荷 ②横向载荷垂直于板中面的载荷 ③复合载荷 内力：①薄膜力——中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形 ②弯曲内力——弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形 ◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以， 大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。 ◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论。 4、弹性薄板的小挠度理论基本假设---克希霍夫K i r c h h o f f ①板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法 线w的挠度。只有横向力载荷 ②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上 各点间的距离不变。 类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍 然垂直于变形后的梁轴线。 ③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。 ◆研究:弹性,薄板/受横向载荷/小挠度理论/近似双向弯曲问题 3.4.2圆平板对称弯曲微分方程 分析模型
挠度定义
挠度 挠度定义：结构构件的轴线或中面由于弯曲引起垂直于轴线或中面方向的线位移。 应用学科：水利科技（一级学科）；工程力学、工程结构、建筑材料（二级学科）；工程力学（水利）（三级学科） 本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布 挠度（德语 Durchbiegung，法语la flèche）——弯曲变形时横截面形心沿与轴线垂直方向的线位移称为挠度，用y表示。简言之就是指梁、桁架等受弯构件在荷载作用下的最大变形，通常指竖向方向y轴的,就是构件的竖向变形。 挠曲线——如图，平面弯曲时，梁的轴线将变为一条在梁的纵对称面内的平面曲线，该曲线称为梁的挠曲线。 挠度与荷载大小、构件截面尺寸以及构件的材料物理性能有关。 挠度——弯曲变形时横截面形心沿与轴线垂直方向的线位移称为挠 度，用 y表示。 转角——弯曲变形时横截面相对其原来的位置转过的角度称为转角，用θ表示。 挠曲线方程——挠度和转角的值都是随截面位置而变的。在讨论弯曲变形问题时，通常选取坐标轴x向右为正，坐标轴y向上为正。选定坐标轴之后，梁各横截面处的挠度y将是横截面位置坐标x的函数，其表达式称为梁的挠曲线方程，即 y = f ( x ) 。 显然，挠曲线方程在截面x处的值，即等于该截面处的挠度。 根据微积分知识，挠曲线的斜率为 因工程实际中梁的转角θ之值十分微小，可近似认为 可见，挠曲线在截面位置坐标x处的斜率，或挠度y对坐标x的一阶导数，等于该截面的转角。 关于挠度和转角正负符号的规定：在如图6-1选定的坐标系中，向上的挠度为正，逆时针转向的转角为正。
挠度的检测方法 传统的桥梁挠度测量大都采用百分表或位移计直接测量，目前在我国桥梁维护、旧桥安全评估或新桥验收中仍广泛应用。该方法的优点是设备简单，可以进行多点检测，直接得到各测点的挠度数值，测量结果稳定可靠。但是直接测量方法存在很多不足，该方法需要在各个测点拉钢丝或者搭设架子，所以桥下有水时无法进行直接测量；对跨线桥，由于受铁路或公路行车限界的影响，该方法也无法使用；跨越峡谷等的高桥也无法采用直接方法进行测量；另外采用直接方法进行挠度测量，无论布设还是撤消仪表，都比较繁杂耗时较长。
横向变形挠度
横向变形挠度 1．原理 本试验通过测定300 x 50 x 3mm砂浆棱柱试件的挠度，评定砂浆的变形性能。 2．试验器具 ⑴试验机：以2mm/min的速度进行试验的压力机。 ⑵试验测试头：该测试头的金属构造和尺寸见下图3-1。 图3-1 测试头的金属构造和尺寸 ⑶试验支架：两个直径为（10±0.1）mm，最小长度为60mm的圆形支架，其中心距为（200±1）mm ，见图3-2。 1－圆柱型支架，直径为（10±0.1）mm，最小长度为60mm。 2－胶粘剂厚度为（3±0.3）mm。 图3-2 试验支架 ⑷试验模具 一个刚性光滑防粘的矩形框架，其内部尺寸为（280±1）mm×（45±1）mm，厚度为（3±0.1）mm，由聚四氟乙烯（PTFE）制成。见图3-3。
注：建议在内部每个角落钻一个直径为2mm的圆洞以方便制备测试样品，见图3-3。 图3-3 试验模具 ⑸实验天平：精确度：± 0.1g。 ⑹砂浆搅拌机：满足JC/T681-2005行星式水泥胶砂搅拌机的要求。 ⑺秒表。 3．辅助材料 ⑴试验用基材：厚度最小为0.2mm的聚乙烯薄膜。 ⑵试验用密封袋：一定尺寸的聚乙烯袋，与试件有100mm的间隙。 4．备样 ⑴拌合过程 ①将水或液体倒入锅中。 ②将干粉撒入。 ③低速搅拌30秒； ④取出搅拌叶； ⑤60秒内清理搅拌叶和搅拌锅壁上的胶粘剂； ⑥重新放入搅拌叶，再低速搅拌60秒。 ⑦放置5min使胶粘剂熟化，然后继续搅拌15秒。 ⑵制备 ①试验基材准备 将聚乙烯膜固定在刚性垫座上，确保胶粘剂将要粘贴的表面不会发生扭曲变形，即没有皱纹。 ②试件制备 将模具紧密压在聚乙烯膜上。将足够的胶粘剂涂抹在模具内，然后涂抹均匀，使其完全平整地装填入模具内，最后小心地垂直移走模具。对每一种胶粘剂制备三块试件。根据试验要求将试件在标准试验条件下养护。
薄板的小挠度弯曲问题
第十二章薄板的小挠度弯曲问题 一.内容介绍 薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。 根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。 根据基尔霍夫假设，采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。 对于薄板问题，边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同，典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。 二.重点 1. 基尔霍夫假设； 2. 薄板的应力、广义力和广义位移； 3. 薄板小挠度弯曲问题的基本方程； 4. 薄板的典型边界条件及其简化。 知识点 薄板的基本概念、薄板的位移与应变分量、薄板广义力、薄板小挠度弯曲问题基本方程、薄板自由边界条件的简化、薄板的莱维解、矩形简支薄板的挠度、基尔霍夫假设、薄板应力、广义位移与薄板的平衡、薄板的典型边界条件、薄板自由边界角点边界条件、挠度函数的分解
§12.1 薄板的基本概念和基本假设 学习要点: 本节讨论薄板的基本概念和基本假设。 薄板主要几何特征是板的中面和厚度。首先，根据几何尺寸，定义薄板为0.5≤ /b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。 根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。 薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。 根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。实践证明是完全正确的。 学习思路： 1. 薄板基本概念； 2. 基尔霍夫假设； 薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。