2014年全国高考江苏省数学试卷及答案【精校版】

2014年江苏高考数学试题

数学Ⅰ试题

参考公式:

圆柱的侧面积公式:S圆柱=cl, 其中c是圆柱底面的周长，l为母线长.

圆柱的体积公式:V圆柱=Sh,其中S是圆柱的底面积，h为高.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置

．．．．．．．上．.

1．已知集合，，则．

【答案】

2．已知复数(i为虚数单位)，则z的实部为．

【答案】21

3．右图是一个算法流程图，则输出的n的值是．

【答案】5

4．从这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的

概率是．

【答案】

5．已知函数与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是．

【答案】

6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的

底部周长（单位：cm），所得数据均在区间上，其频率分

布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株

树木的底部周长小于100 cm．

【答案】24

7．在各项均为正数的等比数列中，若，，

则的值是．

【答案】4

8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是．

【答案】

9．在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为．【答案】

10．已知函数，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是．

【答案】

11．在平面直角坐标系xOy中，若曲线(为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是．

【答案】

12．如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，则的

值是．

【答案】22

13．已知是定义在R上且周期为3的函数，当时，．若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是．

【答案】

14．若的内角满足，则的最小值是．

【答案】

二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内

．．．．．．．．作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．(本小题满分14 分)已知，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能

力. 满分14分.

（1）∵，

∴

；

（2）∵

∴．

16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥中，分别为棱的中点．已知．

（1）求证：直线P A∥平面DEF；

（2）平面BDE⊥平面ABC．

【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，

考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.

（1）∵为中点∴DE∥P A

∵平面DEF，DE平面DEF∴P A∥平面DEF

（2）∵为中点∴

∵为中点∴

∴∴，∴DE⊥EF

∵，∴

∵∴DE⊥平面ABC

∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．

17．(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy中，分别是椭圆

的左、右焦点，顶点B的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结．

（1）若点C的坐标为，且，求椭圆的方程；

（2）若，求椭圆离心率e的值．

【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运

算求解能力. 满分14分.

（1）∵，∴

∵，∴，∴

∴椭圆方程为

（2）设焦点

∵关于x轴对称，∴

∵三点共线，∴，即①

∵，∴，即②

①②联立方程组，解得∴

∵C在椭圆上，∴，

化简得，∴, 故离心率为

18．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离

均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C

位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，．

（1）求新桥BC的长；

（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分.

解法一：

(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.

由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，

直线BC的斜率k BC=－tan∠BCO=－.

又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k AB=.

设点B的坐标为(a,b)，则k BC=

k AB=

解得a=80，b=120. 所以BC=.

因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60).

由条件知，直线BC的方程为，即

由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，

即.

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

所以即解得

故当d=10时,最大，即圆面积最大.

所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.

解法二:(1)如图，延长OA, CB交于点F.

因为tan∠BCO=.所以sin∠FCO=，cos∠FCO=.

因为OA=60,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO=.

CF=,从而.

因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==，

又因为AB⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB==，从而BC=CF－BF=150.

因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).

因为OA⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，

故由(1)知，sin∠CFO =所以.

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

所以即解得

故当d=10时,最大，即圆面积最大.

所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.

19．(本小题满分16分)已知函数其中e是自然对数的底数．（1）证明：是上的偶函数；

（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；

（3）已知正数a满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．

【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数

学思想

方法分析与解决问题的能力.满分16分.

（1），，∴是上的偶函数

（2）由题意，，即

∵，∴，即对恒成立

令，则对任意恒成立

∵，当且仅当时等号成立

∴

（3），当时，∴在上单调增

令，

∵，∴，即在上单调减

∵存在，使得，∴，即

∵

设，则

当时，，单调增；

当时，，单调减

因此至多有两个零点，而

∴当时，，；

当时，，；

当时，，．

20．(本小题满分16分)设数列的前n项和为．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”．

（1）若数列的前n项和，证明：是“H数列”；

（2）设是等差数列，其首项，公差．若是“H数列”，求d的值；

（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立．

【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分16分.

（1）当时，

当时，

∴时，，当时，

∴是“H数列”

（2）

对，使，即

取得，

∵，∴，又，∴，∴

（3）设的公差为d

令，对，

，对，

则，且为等差数列

的前n项和，令，则

当时；

当时；

当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，

因此对，都可找到，使成立，即为“H数列”．

的前ｎ项和，令，则

∵对，是非负偶数，∴

即对，都可找到，使得成立，即为“H数列”

因此命题得证.

数学Ⅱ(附加题)

21.【选做题】本题包括A, B,C,D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.

若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.

A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)

如图，AB是圆O的直径，C、 D是圆O上位于AB异侧的两点

证明:∠OCB=∠D.

本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分10分.

证明：因为B, C是圆O上的两点，所以OB=OC.

故∠OCB=∠B.

又因为C, D是圆O上位于AB异侧的两点，

故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，

所以∠B=∠D.

因此∠OCB=∠D.

B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)

已知矩阵，，向量，为实数，若，求

的值．

【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.

，，由得解得

C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛

物线交于两点，求线段AB的长．

【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.

直线l：代入抛物线方程并整理得

∴交点，，故

D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分)

已知x>0, y>0,证明：(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.

本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分.

证明：因为x>0, y>0, 所以1+x+y2≥，1+x2+y≥，

所以(1+x+y2)(1+x2+y)≥=9xy.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22．(本小题满分10分)

盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；

（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为，随机变量X表示中的最大数，求X的概率分布和数学期望．

22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.

（1）一次取2个球共有种可能情况，2个球颜色相同共有种可能情况

∴取出的2个球颜色相同的概率

（2）X的所有可能取值为，则

∴X的概率分布列为

X 2 3 4

P

故X的数学期望

23．(本小题满分10分)

已知函数，设为的导数，．

（1）求的值；

（2）证明：对任意的，等式成立．

23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.

(1)解：由已知，得

于是

所以

故

(2)证明：由已知，得等式两边分别对x求导，得，即，类似可得

，

，

.

下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.

(i)当n=1时，由上可知等式成立.

(ii)假设当n=k时等式成立, 即.

因为

，

所以.

所以当n=k+1时,等式也成立.

综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.

令，可得().

所以().