2013三校联考一试试题
江苏省海安高级中学
2013届 南京外国语学校 高三调研测试
南京市金陵中学
数学Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 命题“1x ?>，x 2≥3”的否定是 ▲ ．
2. 设复数1a +=-i z i
（i 是虚数单位，a ∈R ）．若z 的虚部为3，则a 的值为 ▲ ．
3． 右图是小王所做的六套数学附加题的得分的茎叶图（满分40分），则其平均得分 为 ▲ ． 4．
设集合{A x y ==，{}
(0)m B y y x m x A x ==+>∈R e，，
若B ，则m 取值范围是 ▲ ． 5． 右图是一个算法的伪代码，输出结果是 ▲ ．
6．在区间[0，1]间随机取出2个数（可以相同），它们的差的绝对值大
于12的概率为 ▲ ．
7． 在平面直角坐标系xOy 中，过点M （1，0）的直线x +y -c =0与圆
22
5x y +=交于A ，B 两点，则AM MB
= ▲ ．
8． 常用的复印纸的型号有A 1，A2，A3等，它们的长?宽（单位：mm ）理想设计尺寸分别为840594?，
594420?，420297?，据此可推得，A4型号的复印纸的理想设计尺寸应为 ▲ ．
9． 已知0πy x <<<，且tan tan 2x y =，1sin sin x y =，则x y -= ▲
.
1 8
2 8
3 0 2 8
4 0 （第3题） S ←0 a ←1 For I From 1 to 3 a ←2×a
S ←S ＋a End For Print S
（第5题）
P A B
C O
M （第16题） 10．设函数()2f x x c =+，()x g x ae =的图象的一个公共点为()2,P t ，且曲线()y f x =，()y g x =在点P 处有相同的切线，函数()()f x g x -的负零点在区间(),1k k +()k ∈Z ，则k =
▲ .
11． 设数列{}n a 满足1a =0n a ≠时，11n n a a +??
=????
；当0n a =时，10n a +=．则2013a = ▲ ．
（注：[x ]为不超过实数x 的最大整数，记{x }=x -[x ]．）
12．已知直角三角形ABC 的三个顶点都在抛物线212
y x =上，且斜边AB // x 轴，则斜边上的高等于
▲ ．
13．已知平面向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角余弦为15，b 与c 的夹角余弦为13
-，
1=b ，则?a c 的值为 ▲ ．
14．设t ∈R ，对任意的n ∈*N ，不等式ln 20ln ln 20ln nt n t nt t n ++≥，则t 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
在△ABC 中，A π∠=，BC =3，点D 在BC 边上．
（1）若AD 为A ∠的平分线，且BD =
1，求△ABC 的面积；
（2）若AD 为△ABC 的中线，且AD =，求证：△ABC 为等边三角形．
16．(本小题满分14分)
如图，在三棱锥P ABC -中，除棱PC 外，其余棱均等长，M 为棱AB 的中点，O 为线段MC 上 靠近点M 的三等分点．
（1）若PO MC ⊥，求证：PO ⊥平面ABC ；
（2）试在平面PAB 上确定一点Q ，使得//OQ 平面PAC ，且//OQ 平面PBC ，并给出证明．
17．(本小题满分14分)
如图所示，直立在地面上的两根钢管AB 和CD ，
AB =，CD =，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：
（1）如图（1）设两根钢管相距1m ，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处，形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？ （2）如图（2）设两根钢管相距，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处，再将钢丝绳依次固定在D 处、B 处和E 处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？
18．(本小题满分16分)
定义：如果两个椭圆，它们的离心率相同，那么称这两个椭圆相似，它们的长轴之比（大于1）叫做这两个椭圆的相似比．
（1）设,m n *
∈N ，试判断椭圆221:
11x y C m m +=+和椭圆22
2:11
x y C m n m +=++能否相似？相似时求出它们的相似比；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆1C ：22221(0)y x a b a b +=>>和椭圆2C ：22112211
1(0)y x a b a b +=>>相似，过椭圆1C 的右焦点F 且不垂直于x 轴的直线l 与这两个椭圆自上而下依次交于点A ，B ，C ，D ，
射线OB ，OC 与椭圆2C 分别交于点M ，N ，连MN ． 求证：① MN ∥l ；
②△ABM 和△CDN 的面积相等．
A E D C A E
D C B F 图1 图2
19．(本小题满分16分)
已知各项均为正数的两个无穷数列{}n a 、{}n b 满足1112(N )n n n n n a b a b na n *++++=∈．
（1）当数列{}n a 是常数列（各项都相等的数列），且112
b =时，求数列{}n b 的通项公式；
（2）设{}n a 、{}n b 都是公差不为．．0．
的等差数列，求证：数列{}n a 有无穷多个，而数列{}n b 惟一确定； （3）设2121n n n n a a a a ++=
+()
n *
∈N ，21
n
n i i S b ==∑，求证：226n S n <<．
20．(本小题满分16分)
设函数()1|||1|x x
f x e a e
=-+-，其中a ，x ∈R ，e 是自然对数的底数， 2.71828e =??? . （1）当a =0时，解不等式()2f x <； （2）求函数()f x 的单调增区间；
（3）设43a ≥，讨论关于x 的方程()()14f f x =的解的个数．