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一、排列合的基本理和公式，排列与元素的序有关，合与序无关。如 231 与 213 是两个排列， 2＋ 3＋ 1 的和与 2＋ 1＋3 的和是一个合。

(一 )两个基本原理是排列和合的基：

(1)加法原理：做一件事，完成它可以有 n 法，在第一法中有 m1种不同的方法，在第二法中有 m2种不同的方法，??，在第n 法中有 m n种不同的方法，那么完成件事共有 N＝ m1＋ m2＋m3＋?＋ m n种不同方法。

(2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，??，做第 n 步有 m n种不同的方法，那么完成件事共

有N＝m1×m2×m3×?×m n种不同的方法。

里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有

n法，是分，第一中的方法都是独立的，因此

用加法原理；做一件事，需要分n 个步，步与步之是

的，只有将分成的若干个互相系的步，依次相完成，

件事才算完成，因此用乘法原理。

完成一件事的分“ ”和“步”是有本区的，因此

也将两个原理区分开来。

C53表示从5 个元素中取出 3 个，共有多少种不同的取

法。这是组合的运算。例如：从 5 个人中任选三个人去参加

比赛，共有几种选法这就是从 5 个元素中取出 3 个的组合运算。可表示为C53。其计算过程是C53=5!/[3!× (5-3)!]叹号代表阶乘， 5!=5 ×4×3×2×1=120，3!=3 ×2×1=6，（ 5-3）！

=2！

=2

×，所以 C53=5!/[3! × (5-3)!]=120/(6

×针2)=10对上

面

1=2

例子，就是从 5 个人中任选三个人去参加比赛，共有10 几种选法。

排列组合公式：

公式 P 是指排列，从N 个元素取 R 个进行排列。

公式 C 是指组合，从N 个元素取 R 个，不进行排列。

n—元素的总个数；r—参与选择的元素个数。

！—阶乘，如9！＝ 9×8×7×6×5×4×3。×2×1

举例：

Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多

少个三位数

A1: 123 和 213 是两个不同的排列数。即对排列顺序

有要求的，既属于“排列P”计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现

988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9 种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9×8×7个三位数。计算公式＝P93＝9×8×7。

Q2:有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”

A2: 213 组合和312 组合，代表同一个组合，只要有

三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复

的个数即为最终组合数 C 39= 9！ /3！×6！ =9× 8×7/3 2×1

小学奥数排列组合常见题型及解题策略备选题

小学奥数排列组合常见题型及解题策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重 复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”， 则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策 略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数 【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）43（2）34（3）34 【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ 【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案. 【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38A D、3 8 C 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。所以选A 二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 【例1】,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有 【解析】：把,A B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4 424 A 种【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3

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高中数学排列组合公式大全_高中数学排列 组合重点知识 高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识 高中数学排列组合公式大全 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2) (n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).

排列(Pnm(n为下标，m为上标)) Pnm=n (n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标，m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m 高中数学排列组合公式记忆口诀 加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。 两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。 排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。 不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。 关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。 高中数学排列组合重点知识 1.计数原理知识点 ①乘法原理：N=n1 n2 n3 nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+ +nM (分类) 2. 排列(有序)与组合(无序) Anm=n(n-1)(n-2)(n-3) (n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m!

小学五年级奥数专题之排列组合题一及答案

1、7个人站成一排，若小明不在中间，共有_______________种站法；若小明在两端，共有_________________种站法。 2、4个男生2个女生共6人站成一排合影留念，有________________种不同的排法；要求2个女生紧挨着有________________种不同的排法；如果要求2个女生紧挨着排在正中间有____________________种不同的排法。 3、A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻，请问共有________________________种不同的排法。 4、6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排，若A、B两人必须相邻，一共有________________________种不同的站法；若A、B两人不能相邻，一共有________________________种不同的站法；若A、B、C三人不能相邻，一共有________________________种不同的站法。 5、10个相同的球完全分给3个小朋友，若每个小朋友至少得1个，那么共有__________________种分法；若每个小朋友至少得2个，那么共有__________________种分法。 6、小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有______________________种不同的吃法。 7、5个人站成一排，小明不在两端的排法共有__________________种。 8、停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，一共有________________________种不同的停车文案。 9、将3盆同样的红花和4盆同样的黄花摆放在一排，要求3盆红花互不相邻，共有____________________种不同的放法。 10、12个苹果分给4个人，每人至少1个，则共有____________________种分法。 11、四年级三班举行六一儿童节联欢活动，整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成，请问如果要求同类型的节目连续演出，那么共有____________________种不同的出场顺序。

排列组合公式排列组合计算公式----高中数学!

排列组合公式/排列组合计算公式 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 ！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r 举例： Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？ A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。 上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积） Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？ A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。 上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每

名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？ 解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法． （2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法． 点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算． 例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？ 解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出： ∴ 符合题意的不同排法共有9种． 点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型． 例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果． （1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？ （2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？ （3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？ （4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？ 分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析． （1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）． （2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法． （3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积． （4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法． 例４证明． 证明左式

小学奥数~排列组合

5 数的一半，即 A = 60 种，选 B . 奥数解排列组合应用题 排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握， 实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效 途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略 . 1.相邻问题捆绑法 :题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排 列. 例 1. A, B, C , D, E 五人并排站成一排，如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边，那么不同的 排法种数有 A 、60 种 B 、48 种 C 、36 种 D 、24 种 解析：把 A, B 视为一人，且 B 固定在 A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列，A 4 = 24 种， 4 答案： D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列， 再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440 种 B 、3600 种 C 、4820 种 D 、4800 种 解析：除甲乙外，其余 5 个排列数为 A 5 种，再用甲乙去插 6 个空位有 A 2 种，不同的排 5 6 法种数是 A 5 A 2 = 3600 种，选 B . 5 6 3.定序问题缩倍法 :在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数 的方法. 例 3. A, B, C , D, E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A 的右边（ A, B 可以不相邻）那 么不同的排法种数是 A 、24 种 B 、60 种 C 、90 种 D 、120 种 解析： B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是 5 个元素全排列 1 2 5 4.标号排位问题分步法 :把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步 再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例 4.将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个 方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A 、6 种 B 、9 种 C 、11 种 D 、23 种 解析：先把 1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填 入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3 ×1=9 种填法，选 B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例 5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是 A 、1260 种 B 、2025 种 C 、2520 种 D 、5040 种 解析：先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务， 第三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务，不同的选法共有C 2 C 1C 1 = 2520 种，选C . 10 8 7

小学奥数~排列组合

奥数解排列组合应用题 排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种 解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排 法种数是52 5 63600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数 的方法. 例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是 A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列 数的一半，即5 51602 A =种，选 B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是 A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种 解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务， 第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110 872520C C C =种，选C .

排列组合公式

排列组合公式 1．分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++ . 2．分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =??? . 3．排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n =！！ )(m n n -.(n ，m ∈N*，且m n ≤)． 注:规定1!0=. 4．排列恒等式 (1)1 (1)m m n n A n m A -=-+; (2) 1 m m n n n A A n m -= -; (3) 1 1m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-; (5)11m m m n n n A A mA -+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?++?=+- . 5．组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N*，m N ∈，且m n ≤). 6．组合数的两个性质 (1)m n C =m n n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定 10 =n C . 7．组合恒等式 (1) 1 1m m n n n m C C m --+= ;

(2) 1 m m n n n C C n m -= -; (3) 1 1m m n n n C C m --= ; (4)∑=n r r n C =n 2; (5) 1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . (6)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9) r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)n n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ . 8．排列数与组合数的关系 m m n n A m C =?！ . 9．单条件排列 以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有11--m n A 种； ②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1 111---=m n n A A （着眼位置）1 1111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种. ②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 1 1+-+-种. 注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的 一组互不能挨近的所有排列数有 k h h h A A 1+种. （3）两组元素各相同的插空

小学奥数专题排列组合

?排列问题题型分类： 1.信号问题 2.数字问题 3.坐法问题 4.照相问题 5.排队问题 ?组合问题题型分类： 1.几何计数问题 2.加乘算式问题 3.比赛问题 4.选法问题 ?常用解题方法和技巧 1.优先排列法 2.总体淘汰法 3.合理分类和准确分步 4.相邻问题用捆绑法 5.不相邻问题用插空法 6.顺序问题用“除法” 7.分排问题用直接法 8.试验法 9.探索法 10.消序法 11.住店法 12.对应法 13.去头去尾法 14.树形图法 15.类推法 16.几何计数法 17.标数法 18.对称法

分类相加，分步组合，有序排列，无序组合 ?基础知识（数学概率方面的基本原理） 一.加法原理：做一件事情，完成它有N类办法， 在第一类办法中有M1中不同的方法， 在第二类办法中有M2中不同的方法，……， 在第N类办法中有M n种不同的方法， 那么完成这件事情共有M1+M2+……+M n种不同的方法。 二.乘法原理：如果完成某项任务，可分为k个步骤， 完成第一步有n1种不同的方法， 完成第二步有n2种不同的方法，…… 完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法， 那么完成此项任务共有ｎ １×ｎ ２ ×……×ｎ ｋ 种不同的方法。 三.两个原理的区别 ?做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。 每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) ?做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步 骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理． 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同

排列组合公式_排列组合计算公式

排列组合公式/排列组合计算公式 排列P------和顺序有关 组合C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!).

k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n为下标，m为上标)） Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n 分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n为下标，m为上标)） Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m 2008-07-08 13:30 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 ！-阶乘，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r 举例： Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？ A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。 上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积） Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？ A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。 上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？ 解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．

小学奥数--排列组合教案

小学奥数-----排列组合教案 加法原理和乘法原理 排列与组合:熟悉排列与组合问题。运用加法原理和乘法原理解决问题。在日常生活中我们经常会遇到像下面这样的两类问题:问题一：从 A 地到 B 地，可以乘火车，也可以乘汽车或乘轮船。一天中，火车有 4 班，汽车有 3 班，轮船有 2 班。那么从 A 地到 B 地共有多少种不同的走法？问题二：从甲村到乙村有两条道路，从乙村去丙村有 3 条道路（如下图）。从甲村经乙村去丙村，共有多少种不同的走法？解决上述两类问题就是运用加法原理和乘法原理。加法原理：完成一件工作共有N类方法。在第一类方法中有m 1 种不同的方法， 在第二类方法中有m 2种不同的方法，……，在第N类方法中有m n 种不同的方法， 那么完成这件工作共有N＝m 1＋m 2 ＋m 3 ＋…＋m n 种不同方法。 运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。 乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m 1 种方法，完成第 二个步骤有m 2种方法，…，完成第N个步骤有m n 种方法，那么，完成这件工作 共有m 1×m 2 ×…×m n 种方法。 运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N 步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。 这两个基本原理是排列和组合的基础，与教材联系紧密（如四下《搭配的规律》），教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。 运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。小学阶段只学习两个原理的简单应用。 【例题一】每天从武汉到北京去，有 4 班火车，2 班飞机，1 班汽车。请问：每天从武汉到北京去，乘坐这些交通工具共有多少种不同的走法？ 【解析】运用加法原理，把组成方法分成三类：一类乘坐火车,二类乘坐飞机,三类乘坐洗车.

排列组合的基本理论和公式

排列组合的基本理论和公式 排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合． (一)两个基本原理是排列和组合的基础 (1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法． (2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1 种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理． 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来． (二)排列和排列数 (1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法． (2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列 当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n！ (三)组合和组合数 (1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个

排列组合公式 全

排列组合公式 排列定义??? 从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式

3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！ 集合B为数字不重复的六位数的集合。 把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！ 这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！ 这就是我们用以前的方法求出的P（9，6） 例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？ 设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的

(word完整版)小升初奥数—排列组合问题

小升初奥数—排列组合问题 一、 排列组合的应用 【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？ （1）七个人排成一排； （2）七个人排成一排，小新必须站在中间. （3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人. （7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。 【解析】 （1）775040P =（种）。 （2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P =（种）. （3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×6 6P =1440(种)． （4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P ?= (种)． （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，25552400P P ?=（种）. （6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P =（种）. （7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×55P ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。 【例 2】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9， 那么确保打开保险柜至少要试几次？ 【解析】 四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3， 3；2，2，2，3六种。 第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择； 第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4312?=(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择． 综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456+++++=(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次． 【例 3】 一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24：30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个 数字都不相同的时刻一共有多少个? 【解析】 设A :BC DE 是满足题意的时刻，有A 为8，B 、D 应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不 同的数字，所以有2 6P 种选法，而C 、E 应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有2 7P 种选法，所以共有2 6P ×27P =1260种选法。 从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个。 【例 4】 4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法： ⑴ 甲不在中间也不在两端； ⑵ 甲、乙两人必须排在两端；

排列组合公式排列组合计算公式定稿版

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排列组合公式/排列组合计算公式2008-07-08 13:30 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。N-元素的总个数 R参与选择的元素个数！-阶乘，如?9！＝ 9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r 举例： Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？ A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。 上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟” A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺

序的，属于“组合C”计算范畴。 上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数 C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？ 解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法． （2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法． 点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算． 例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？ 解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出： ∴ 符合题意的不同排法共有9种． 点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树

奥数：排列组合的基本理论及公式.docx

一、排列合的基本理和公式，排列与元素的序有关，合与序无关。如 231 与 213 是两个排列， 2＋ 3＋ 1 的和与 2＋ 1＋3 的和是一个合。 (一 )两个基本原理是排列和合的基： (1)加法原理：做一件事，完成它可以有 n 法，在第一法中有 m1种不同的方法，在第二法中有 m2种不同的方法，??，在第n 法中有 m n种不同的方法，那么完成件事共有 N＝ m1＋ m2＋m3＋?＋ m n种不同方法。 (2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，??，做第 n 步有 m n种不同的方法，那么完成件事共 有N＝m1×m2×m3×?×m n种不同的方法。 里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有 n法，是分，第一中的方法都是独立的，因此 用加法原理；做一件事，需要分n 个步，步与步之是 的，只有将分成的若干个互相系的步，依次相完成， 件事才算完成，因此用乘法原理。 完成一件事的分“ ”和“步”是有本区的，因此 也将两个原理区分开来。 C53表示从5 个元素中取出 3 个，共有多少种不同的取

法。这是组合的运算。例如：从 5 个人中任选三个人去参加 比赛，共有几种选法这就是从 5 个元素中取出 3 个的组合运算。可表示为C53。其计算过程是C53=5!/[3!× (5-3)!]叹号代表阶乘， 5!=5 ×4×3×2×1=120，3!=3 ×2×1=6，（ 5-3）！ =2！ =2 ×，所以 C53=5!/[3! × (5-3)!]=120/(6 ×针2)=10对上 面 1=2 例子，就是从 5 个人中任选三个人去参加比赛，共有10 几种选法。 排列组合公式： 公式 P 是指排列，从N 个元素取 R 个进行排列。 公式 C 是指组合，从N 个元素取 R 个，不进行排列。 n—元素的总个数；r—参与选择的元素个数。 ！—阶乘，如9！＝ 9×8×7×6×5×4×3。×2×1 举例： Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多

小学数学排列组合公式大全

小学数学排列组合公式大全 小学是我们整个学业生涯的基础，所以小朋友们一定要培养良好的学习习惯，查字典数学网为同学们特别提供了数学排列组合公式大全，希望对大家的学习有所帮助! 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n 个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数 =p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.

n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n 个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为 c(m+k-1,m). 排列(Pnm(n为下标，m为上标)) Pnm=n(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标，m为上标))

小学奥数专题排列组合

排列问题题型分类： 1.信号问题 2.数字问题 3.坐法问题 4.照相问题 5.排队问题 组合问题题型分类： 1.几何计数问题 2.加乘算式问题 3.比赛问题 4.选法问题 常用解题方法和技巧 1.优先排列法 2.总体淘汰法 3.合理分类和准确分步 4.相邻问题用捆绑法 5.不相邻问题用插空法 6.顺序问题用“除法” 7.分排问题用直接法 8.试验法 9.探索法 10.消序法 11.住店法 12.对应法 13.去头去尾法 14.树形图法 15.类推法 16.几何计数法 17.标数法 18.对称法 分类相加，分步组合，有序排列，无序组合基础知识（数学概率方面的基本原理）

一.加法原理：做一件事情，完成它有N类办法， 在第一类办法中有M1中不同的方法， 在第二类办法中有M2中不同的方法，……， 在第N类办法中有M n种不同的方法， 那么完成这件事情共有M1+M2+……+M n种不同的方法。 二.乘法原理：如果完成某项任务，可分为k个步骤， 完成第一步有n1种不同的方法， 完成第二步有n2种不同的方法，…… 完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法， 那么完成此项任务共有ｎ １×ｎ ２ ×……×ｎ ｋ 种不同的方法。 三.两个原理的区别 做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。 每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理． 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来． 四.排列及组合基本公式 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 P m n 表示.