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实变函数引论参考答案_曹怀信_陕师大版第一到第四章

习题1.1

1．证明下列集合等式．

(1) ()()()C A B A C B A \\=； (2) ()()()C B C A C B A \\\ =； (3) ()()()C A B A C B A \\\=．证明 (1) )()C \B (c C B A A =

)()( c c C B A A B A = c C A B A )()( = )(\)(C A B A = .

(2) c C B A A )(C \B)(=

)()(c c C B C A = =)\()\(C A C A .

(3) )(\C)\(B \c C B A A = c c C B A )( =

)(C B A c =

)()(C A B A c = )()\(C A B A =.

2．证明下列命题．

(1) ()A B B A = \的充分必要条件是：A B ?； (2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是：=B A ?； (3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是：=B ?．

证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ==== )()()()\(的充要条

是：.A B ?

(2) c c c c B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)(

必要性. 设A B B A =\)( 成立，则A B A c = , 于是有c B A ?, 可得.?=B A 反之若,?≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ?∈且与c B A ?矛盾.

充分性. 假设?=B A 成立, 则c B A ?, 于是有A B A c = , 即.\)(A B B A =

(3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\c C A B A B A == 若,?≠B 取,B x ∈ 则,c B x ? 于是,c B A x ? 但,B A x ∈ 与c C A B A =矛盾.

充分性. 假设?=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =.

3．证明定理1.1.6．

定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列,

即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞=∞

→=1;lim n n n n A A (2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且

∞=∞

→=1.lim n n n n A A

证明 (1) 设),1(1≥??+n A A n n 则对任意 ∞=∈1,n n A x 存在N 使得,N A x ∈ 从

而),(N n A x N ≥?∈ 所以,lim n n A x ∞→∈ 则.lim 1n n n n A A ∞→∞=? 又因为 ∞

=∞→∞→??1,l i m l i m n n n n n n A A A 由此可见{}n A 收敛且 ∞=∞→=1;lim n n n n A A (2) 当)1(1≥??+n A A n n 时, 对于,lim n n A x ∞

→∈存在)1(1≥?<+k n n k k 使得),1(≥?∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0

, 从而,0n n A A x k ?∈ 可见.l i m 1 ∞=∞→?n n n n A A 又因为,lim lim 1n n n n n n A A A ∞→∞→∞=?? 所以可知{}n A 收敛且 ∞=∞

→=1.l i m n n n n A A 4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明： (1) ??????+≥=>∞=n c f E c f E n 1][1 ； (2) ??????+<=≤∞=n c f E c f E n 1][1 ； (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞

→，则对任意实数c 有 ??????->=??????->=≥∞→∞=∞=∞=∞=k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 ．

证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+∈Z n 使得n c x f 1)(+≥成立. 即,1??????+≥∈n c f E x 那么.11 ∞=??????

+≥∈n n c f E x 故[];11 ∞=??????+≥?>n n c f E c f E 另一方面, 若,11 ∞=

??????+≥∈n n c f E x 则存在+∈Z n 0使得,110 ∞=??????+≥∈n n c f E x 于是c n c x f >+≥01)(, 故[]c f E x >∈. 则有[].11 ∞=?????

?+≥?>n n c f E c f E

(2) 设[]c f E x ≤∈, 则c x f ≤)(, 从而对任意的+

∈Z n , 都有n c x f 1)(+<, 于是 ∞=??????+<∈11n n c f E x , 故有[];11 ∞=??????+

x x f x f n n ∈?=∞

→ 可得对于任意的+∈Z k , 存在N 使得)(1|)()(|N n k x f x f n ≥?<-, 即)1(11)()(≥-≥->k k c k x f x f n , 即k c x f n 1)(->, 故)1(1lim ≥???????->∈∞→k k c f E x n n , 所以 ∞=∞→??????->∈11lim k n n k c f E x , 故[] ∞=∞→??????->?≥11lim k n n k c f E c f E ；另一方面, 设 ∞=∞→??????->∈101lim k n n k c f E x , 则对任意+∈Z k 有??????->∈∞→k c f E x n n 1lim 0. 由下极限的定义知：存在1N 使得当1N n ≥时, 有)(10+∈???????->∈Z k k c f E x n , 即对任意+∈Z k 有k c x f n 1)(0->; 又由

),)(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞→ 知),()(lim 00x f x f n n =∞

→ 即对任意的+∈Z k , 存在2N 使得当2N n ≥时, 有k x f x f n 1|)()(|00<-. 取},m ax {21N N N =, 则有k c x f n 1)(0-

>与k x f x f n 1|)()(|00<-同时成立,

于是有k c x f k x f n 1)(1)(00->>+, 从而k c x f 2)(0->, 由k 的任意性知：

c x f ≥)(0, 即[]c f E x ≥∈0, 故有 [] ∞=∞→??????->?≥11lim k n n k c f E c f E ; 综上所述：[].11lim 111 ∞=∞=∞=∞=∞→??????->=??????->=≥k N N n n n n n k c f E k c f E c f E 5．证明集列极限的下列性质． (1) c

n n c n n A A ∞→∞→=??? ??lim lim _____

；

(2) c n

n c n n A A _____lim lim ∞→∞→=??? ?

?； (3) ()n n n n A E A E ∞→∞→=lim \\lim ； (4) ()n n n n A E A E ∞→∞→

=lim \\lim ．证明 (1) c n n n n m c m n c n m m c n n m m c n n A A A A A ∞→∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→====??? ??lim )()(lim 111_____ . (2) c n n n n n m c m c n m m c n n m m c n n A A A A A _____111lim )()(lim ∞→∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→====??? ?? . (3) () ∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→===111))(()()\(\lim n n m n n m c m c m n n m m n n A E A E A E A E c n n m m n c n m m n n m c m A E A E A E )())(()(111 ∞=∞=∞=∞=∞=∞==== ∞=∞=∞

→==1lim \\n n m n n m A E A E . (4) () ∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞

→===111))(()()\(\lim n n m c m n n m n n m c m m n n A E A E A E A E c n n m m n c n m m n n m c m A E A E A E )())(()(11

1 ∞=∞=∞=∞=∞=∞==== ∞=∞=∞→==1lim \\n n m n n m A E A E . 6．如果}{},{n n B A 都收敛，则}\{},{},{n n n n n n B A B A B A 都收敛且

(1) ()n n n n n n n B A B A ∞

→∞→∞→=lim lim lim ；

(2) ()n n n n n n n B A B A ∞

→∞→∞→=lim lim lim ； (3) ()n n n n n n n B A B A ∞

→∞→∞→=lim \lim \lim ．

习题1.2

1．建立区间)1,0(与]1,0[之间的一一对应．

解令 1111{,,,,}2345E =, 111{0,1,,,}234F =,(0,1)\D E =, 则(0,1)E D =,[0,1]F D =. 定义:(0,1)[0,1]φ→为: ;1

1();

(1,2,)210;2x x D x x n n

n x φ??∈??===?+??

=?? 则φ为(0,1)[0,1]→之间的一个一一对应. 2．建立区间],[b a 与],[d c 之间的一一对应，其中d c b a <<,．解定义: :[,][,]a b c d φ→为:

()().([,])d c d c bc ad x x a c x x a b b a b a b a φ---=-+=+?∈---

可以验证: :[,][,]a b c d φ→为一个一一对应. 3．建立区间),(b a 与],[d c 之间的一一对应，其中d c b a <<,．解令{,,,}234b a b a b a E a a a ---=+++，{,,,,}23d c d c F c d c c --=++ (,)\D a b E =. 定义:(,)[,]a b c d φ→为: ;();(1,2.)2;.2d c bc ad x x D b a b a d c b a x c x a n n n b a c x a φ--?+∈?--?--?=+=+=?+?

=+??

可以验证: :(,)[,]a b c d φ→为一个一一对应. 4．试问：是否存在连续函数，把区间]1,0[一一映射为区间)1,0(?是否存在连续函数，把区间]1,0[一一映射为]4,3[]2,1[ ? 答不存在连续函数把区间[0,1]一一映射为(0,1); 因为连续函数在闭区间

[0,1]存在最大、最小值.

也不存在连续函数把区间[0,1]一一映射为[1,2][3,4]; 因为连续函数在闭区间[1,2]上存在介值性定理, 而区间[1,2][3,4]不能保证介值性定理永远成立.

5．证明：区间2~)1,0()1,0(~)1,0(R ?且?=2R ．

证明记(0,1)A =,则(0,1)(0,1)A A ?=?.

任取(,)x y A A ∈?, 设1231230.,0.,x a a a y b b b == 为实数,x y 正规无穷十进小数表示, 并令1122(,)0.f x y a b a b =, 则得到单射:f A A A ?→. 因此由定理1.2.2知A A A ?≤.

若令10.5A A =?, 则1~A A A A ??. 从而由定理1.2.2知: A A A ≤?. 最后, 根据Bernstein 定理知: (0,1)~(0,1)(0,1)?.

对于(,)(0,1)(0,1)x y ?∈?,定义2

:(0,1)(0,1)R φ?→为:

(,)((),())22x y tg x tg y ππφππ=--, 则φ为2(0,1)(0,1)R ?→的一个一一对应,即2(0,1)(0,1)

~R ?. 又因为: (0,1)~R , 则由对等的传递性知: 2(0,1)~(0,1)(0,1)~~R R ?且2R R ==?.

6．证明：{}1:),(22≤+=y x y x A 与{}1:),(22<+=y x y x B 对等并求它们的基数．证明令221

{(,):(1,2,3,)}E x y x y n n =+==, \D A E =, 22

1{(,):(1,2,3,)}1F x y x y n n =+==+. 则,A E D B F D ==. 定义: :A B φ→为:

2222(,);(,),(,)11;(1,2,3,),(,).1x y x y D x y x y x y n x y E n n φ∈??=?+=+==∈?+? 可以验证: :A B φ→为一一对应, 即~A B . 又因为2~(0,1)(0,1)~~B R R ?, 所以 A B ==?.

7．证明：直线上任意两个区间都是对等且具有基数?．证明对任意的,I J R ?，取有限区间(,)a b I ?，则(,)a b I R ?=≤≤=?, 则由Bernstern 定理知I =?, 同理J =?. 故I J ==?.

习题1.3

1．证明：平面上顶点坐标为有理点的一切三角形之集M 是可数集．证明因为有理数集Q 是可数集，平面上的三角形由三个顶点所确定，而每个顶点由两个数决定，故六个数可确定一个三角形，所以M 中的每个元素由Q 中的六个相互独立的数所确定，即Q},,,,:{621621∈=x x x a M x x x 所以M 为可数集.

2．证明：由平面上某些两两不交的闭圆盘之集M 最多是可数集．

证明对于任意的M O ∈, 使得Q ∈)(O f . 因此可得：Q →M f :. 因为1O 与2O 不相交，所以)()(21O f O f ≠. 故f 为单射，从而a M =≤Q .

3．证明：（1）任何可数集都可表示成两个不交的可数集之并；（2）任何无限集都可表成可数个两两不交的无限集之并．证明 (2) 当E 可数时，存在双射Q )1,0(:→E f . 因为 ∞=????

????????+=11,11)1,0(n n n Q Q

所以 ∞=∞=--=???? ????????+==11111,11))1,0((n n n A n n f f E Q Q . 其中：)(),3,2,1

(1,111j i A A n n n f A j i n ≠Φ==???? ????????+=- 且Q . 又因为 Q Q ??????+???? ????????+-n n n n f 1,11~1,111且Q ??

???+n n 1,11 可数，所以E 可表示成可数个两两不交的无限集之并．当E 不可数时，由于E 无限，所以存在可数集E E ?1, 且1\E E 不可数且无限，从而存在可数集12\E E E ?，且)(\\)\(2121E E E E E E =无限不可数. 如此

下去，可得),3,2,1( =n E n 都可数且不相交，从而

1011)()\(E E E E E E i i n i ==∞=∞=.

其中)0(≥i E i 无限且不交.

4．证明：可数个不交的非空有限集之并是可数集．

5．证明：有限或可数个互不相交的有限集之并最多是可数集．证明有限个互不相交的有限集之并是有限集；而可数个互不相交的有限集之并最多是可数集.

6．证明：单调函数的不连续点之集至多是可数集．

证明不妨设函数f 在),(b a 单调递增，则f 在0x 间断当且仅当

0)(lim )(lim )0()0(_0000>==--+→→+x f x f x f x f x x x x .

于是，每个间断点0x 对应一个开区间))0(),0(

(00+-x f x f . 下面证明：若x x '''<为()f x 的两个不连续点，则有(0)(0)f x f x '''+≤-. 事实上，任取一点1x ，使1x x x '''<<，于是

11(0)lim ()inf{()}()sup {()}lim ()x x x x x x x x x f x f x f x f x f x f x +-'

→→'''

<<'+==≤≤=，

从而x '对应的开区间((0),(0))f x f x ''-+与x ''对应的开区间((0),(0))f x f x ''''-+不相交，即不同的不连续点对应的开区间互不相交，又因为直线上互不相交的开区间所构成的集合至多是可数集，所以可知单调函数的不连续点之集至多是可数集.

7．证明：若存在某正数d 使得平面点集E 中任意两点之间的距离都大于d ，则E 至多是可数集．证明定义映射}:)3,{(:E x d x E f ∈→，即))(3,()(E x d

x D x f ∈=，其中)3,(d

x D 表示以E x ∈为中心，以3d 为半径的圆盘. 显然当y x ≠时，有?=)3,()3,(d y D d x D ，即)()(y f x f ≠，于是f 为双射，由第2题知：

a E x d x ≤∈}:)3,{(，故a E ≤.

习题1.4

1．直线上一切闭区之集具有什么基数？区间],[b a 中的全体有理数之集的基数是什么?

答直线上一切闭区间之集的基数是c . 这是因为：2

),(],[:R ∈→b a b a f 为单射，而R ∈→a b a f ],[:为满射，所以c M c =≤≤=2R R .

区间],[b a 中的全体有理数之集的基数是c ，这是因为：a b a a =≤≤Q Q ],[. 2．用],[b a C 表示],[b a 上的一切连续实值函数之集，证明： (1) 设},,,,{],[21 n r r r b a =Q ，],[,b a C g f ∈，则

?=g f ),2,1)(()( ==k r g r f k k ；

(2) 公式

)),(,),(),(()(21 n r f r f r f f =π

定义了单射)(],[:R S b a C →π；

(3) c b a C =],[．

证明 (1) 必要性. 显然.

充分性. 假设),2,1)(()( ==k r g r f k k 成立. 因为},,,{\],[321 r r r b a x ∈?，存在有理数列∞

=1}{n n x ，使得x x n n =∞

→lim ，由],[,b a c g f ∈，可得

)()lim ()(lim x f x f x f n n n ==∞→∞→及)()lim ()(lim x g x g x g n n n ==∞

→∞→. 又因为∞

=1}{n n x 为有理点列，所以有)()(n n x g x f =，故],[b a x ∈?，

都有)()(x g x f =. (2) ],[,b a c g f ∈?，设)()(g f ππ=，即

)),(,),(),(()),(,),(),((2121 n n r g r g r g r f r f r f =.

由(1)知：g f =. 故π为单射.

(3) 由(2)知：c R S b a c =≤)(],[；又由],[b a c ?R ，可得],[b a c c ≤=R . 故c b a C =],[.

3．设],[b a F 为闭区间]1,0[上的一切实值函数之集，证明： (1) ]},[:))(,{()(b a x x f x f ∈=π定义了一个单射

)(],[:2R P b a F →π；

(2) ]1,0[??E ，E E χα=)(定义了单射],[])1,0([:b a F P →α； (3) ],[b a F 的基数是c 2．

证明 (1) ],[,b a F g f ∈?，设)()(g f ππ=，即

]},[:))(,{(]},[:))(,{(b a x x g x b a x x f x ∈=∈.

从而]),[)(()(b a x x g x f ∈?=，故π为单射. (2) ]1,0[,??F E ，设)()(F E αα=，则F E F E χααχ===)()(，故α为单射.

(3) 由(1)知：c P b a F 2)(],[2=≤R ；又由(2)知：],[2])1,0([b a F P c

≤=，故c b a F 2],[=.

4．证明：c n =C ．证明因为R R C ?~，而c =?R R ，故c =C ；又由定理1..4.5知：c n =C . 5．证明：若E 为任一平面点集且至少有一内点，则c E =．

证明显然c E =?≤R R . 设00E x ∈，则0>?δ使得E x B ?),(0δ，可知E x B c ≤=),(0δ，故c E =.

第一章总练习题

.1 证明下列集合等式．

(1) ()()F F E F E E F E \\\ ==； (2) ()()()G F G E G F E \\\ =．证明 (1) 因为

\()()()()()\c c c c c E E

F E E F E E F E E E F E F ====, ()\()()()\c c c E F F E F F E F F F E F ===.

所以

\\()()\E F E E F E F F ==. (2) 因为

()\()()()(\)(\),

c c c c E F G E

F G E

G E G F

G E G F G ====

所以()()()G F G E G F E \\\ =.

.2 证明下列集合等式． (1) ()B A B A n n n n \\11∞=∞== ；(2) ()B A B A n n n n \\11∞

=∞== ．证明 (1) 1111\()()(\)c c n n n n n n n n A B A B A B A B ∞∞∞∞=======. (2) 1111\()()(\)c c n n n n n n n n A B A B A B A B ∞∞∞∞=======.

3．证明：22

[][][]c c

E f g c E f E g +≥?≥≥，其中g f ,为定义在E 的两个实值函数，c 为任一常数．证明若()()22c c x E f E g ?≥≥, 则有()2c f x <且()2c

g x <, 于是

()()()()f x g x f g x c +=+<, 故()x E f g c ?+≥. 所以()()()22c c

E f g c E f E g +≥?≥≥.

4．证明：n R 中的一切有理点之集n Q 与全体自然数之集对等．

证明因为0Q =?,所以0Q Q Q Q n

=???=?(推论 1.3.1). 又因为0N =?, 所以0Q n

N ==?, 故Q ~n N .

5．有理数的一切可能的序列所成之集)(Q S 具有什么基数？

6．证明：一切有理系数的多项式之集][x Q 是可数集．证明设

},Q ,,,,,0,][:][{][Q 1100111∈≠++++==---n n n n n n n n n n a a a a a a x a x a x a x P x P x

于是

.][Q ][Q 0 ∞==n n x x

显然,Q ~][Q 1

n +x n 所以,Q ][Q 1n a x n =

=+ 因此由定理1.3.5知：.][Q a x = 7．证明：一切实系数的多项式之集][x R 的基数为c ．证明记

},R ,,,,,0,][:][{][R 1100111∈≠++++==---n n n n n n n n n n a a a a a a x a x a x a x P x P x

于是

.][R ][R 0 ∞==n n x x

显然,R ~][R 1

n +x n 所以,R ][R 1n c x n ==+ 因此由定理1.4.3知：.][R c x =

8．证明：全体代数数(即可作为有理系数多项式之根的数)之集是可数集，并由此说明超越数(即不是代数数的实数)存在，而且全体超越数之集的基数是c ．

证明由于有理系数多项式的全体是可数集，设其元素为,,,,,,210 n P P P P 记多项式)(x P n 的全体实根之集为,n A 由于n 次多项式根的个数为有限个，故n A 为有限集，从而代数数全体 ∞==0n n A A 为可数个有限集的并，故A 为可数集，即

.a A =

设超越数全体所成之集为,B 即,\R A B = 则R,=B A 从而B 必为无限集，由于A 为可数集，而任一无限集添加一个可数集其基数不变，故.R c B A B ===

9．证明：A B B A \~\，则B A ~．证明因为

),()\(),()\(B A A B B B A B A A ==

又因为

,)(\)(\,~,\~\?==B A A B B A B A B A B A A B B A 所以由保并性知

),()\(~)()\(B A A B B A B A

即.~B A

10．证明：若,,D B B A <≤则D A <．

证明 (反证法) 假设,D A = 则由已知可得,B D ≤ 这与D B <矛盾. 故有D A <.

11．证明：若c B A = ，则c A =或c B =．

证明假设,a B A == 则有,a B A = 这与c B A = 矛盾，故有c A =或c B =.

12．证明：若c A k k =+∈Z ，则存在+∈Z k 使得c A k =．证明同上.

。习题2.1

1．若E 是区间]1,0[]1,0[?中的全体有理点之集，求b E E E E ,,,' ．解 E =?；[0,1][0,1]b E E E '===?。

2．设)}0,0{(1sin ,10:),( ????

=≤<=x y x y x E ，求b E E E E ,,,' ．

解 E =?；{(,):0,11}.b E E x y x y E E '==-≤≤==

3．下列各式是否一定成立? 若成立，证明之，若不成立，举反例说明．

(1) 11n n n n E E ∞∞=='??'

= ???； (2) )()(B A B A ''=' ；

(3) n n n n E E ∞

=∞==???

? ??1

1 ； (4) B A B A =； (5) ???=B A B A )(； (6) .)(???=B A B A

解 (1) 不一定。如设12={,,,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则

1()n n E ∞

=''==Q R , 而1.n n E ∞

='=?但是，总有11n n n n E E ∞

∞=='??'? ???

。 (2) 不一定。如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=? 而.A B ''=R R =R

(3) 不一定。如设12={,,

,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则

n n E ∞===Q R ,

而1

.n n E ∞

==Q 但是，总有11

n n n n E E ∞∞

==??? ???。 (4) 不一定。如(,)A a b =，(,)B b c =，则A B =?，而{}A B b =。 (5) 不一定。如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b =, (,)B b c =，而

()(,)A B a c =，(,)\{}A B a c b =.

(6) 成立。因为A B A ?, A B B ?, 所以()A B A ?, ()A B B ?。

因此，有()A B A B ?。设x A B ∈, 则存在10δ>，20δ>使得1(,)B x A δ?且2(,)B x B δ?,令12min(,)δδδ=,则(,)B x A B δ?。故有()x A B ∈，即

()A

B A B ?。因此，()A B A B =.

4．试作一点集A ，使得A '≠?，而?='')(A ．

解令1111

{1,,,,,,}234A n

=，则{0}A '=，()A ''=?.

5．试作一点集E ，使得b E E ?．解取E =Q ，则b E =R 。

6．证明：无聚点的点集至多是可数集．

证明因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集，所以只要证明：任一只有孤立点的点集A 是最多可数。对任意的x A ∈，都存在0x δ>使得

(,)

{}x B x A x δ=。有理开球（即中心为有理点、半径为正有理数的开球）

(,)(,)x x x B P r B x δ?使得(,)x x x B P r ∈，从而(,){}x x B P r A x =。显然，对于任意的

,x y A ∈，当x y ≠时，有(,)(,)x x y y B P r B P r ≠

，

从而(,)(,x x y y P r P r ≠。令

()(,)

x x f x P r =，则得到单射:n f A +→?Q Q 。由于n +?Q Q 可数，所以，A 是最多可数。

7．无聚点的点集与只有孤立点的点集是否相同?

答不相同。例如，点集1111

{1,,,,,,}234A n

=只有孤立，但是有一个聚点：

{0}A '=。

8．对无聚点的点集, 是否一定存在一个正数d , 使得该点集中任意二点间的距离大于d ?

答不一定。例如，取

1{(,0):1,2,}{(,):1,2,}A n n n n n -===，则A 无聚点。但是()11(,0),(,)0()d n n n n n --=→→∞，这说明：不存在一个正数d , 使得该点集中任意二点间的距离大于d 。

9．点集的聚点与点列的极限点有何异同? 证明：若E x '∈0，则存在E x n ?}{且),(m n x x m n ≠≠ 使得)(0∞→→n x x n ．

证明不同。聚点是针对点集的概念，而极限点（子列的极限）是针对点列

的概念。对于一个点列1{}n

k k x ∞=?R ，可以得到一个点集{:1,2,

}k E x k ==。如果0x E '∈, 则0x 必是点列1{}k k x ∞=的极限点。反之不真。如取1(1,2,)k x k ==，则1是点列1{}k k x ∞=的极限点，但它不是点集{:1,2,

}k E x k ==的聚点（因为{1}E =没有聚点）

。对于可数点集 12{,,

,,}(())n k i j E x x x x x i j =?≠≠R ，

得到点列1{}k k x ∞=。显然，点集E 的聚点与点列1{}k k x ∞

=的极限点是相同的。

设E x '∈0，则对11ε=, 01(,)B x ε中有E 的无限个点。任取一点

1001(\{})

(,)x E x B x ε∈。令1210min{(,),2}d x x ε-=，则02(,)B x ε中有E 的无限个

点。任取一点2002(\{})

(,)x E x B x ε∈。如此下去, 可得点列1{}k k x ∞=满足： 00(\{})

(,)k k x E x B x ε∈，110min{(,),2}k k k d x x ε-+-=(k +?∈Z ).

易见，1{}k k x ∞=是E 的各项互不相同的点列且0(,)2

0()k

k d x x k -<→→∞。可见，0()k x x k →→∞。

10．证明：E x '∈0的充要条件是对任意0>δ，),(0δx B 含有一个异于0x 的E

的点．

证明必要性显然.

充分性. 对11δ=, 在0(,1)B x 中有一点1x E ∈, 而10x x ≠。令

2101

min{(,),}2

d x x δ=,

在02(,)B x δ中有一点2x E ∈且21x x ≠。令

3201

min{(,),}3

d x x δ=,

在03(,)B x δ中有3x E ∈且30x x ≠。这样继续下去，得到E 中各项互不相同的点列

{}n x 使得10(,)0()k d x x k k -<→→∞。从而，0lim n n x x →∞

=，由上题知E x '∈0.

11．E x E x k ???∈}{0使得)(0∞→→k x x k ．

证明必要性。设0x E ∈，则1

0,(,)k k x E B x

k +-?∈?∈Z 。显然，{}k x E ?且

)(0∞→→k x x k 。

充分性设{}k x E ??使得)(0∞→→k x x k ，则0,N ε?>?使得当n N >时有

0(,)k d x x ε<，从而10(,)

N x B x E ε+∈。可见，0x E ∈。

12. 设点列)(∞→→n a x n ,)(∞→→n b x n ,证明: b a =.

证明由(),()n n x x n y y n →→∞→→∞可知：对任意的120,,N N ε>?使得当

1n N ≥时, 有(,)2

n d x a ε

; 当2n N ≥时, (,)2

n d x b ε

。令{}12max ,N N N =, 则

当n N ≥时, 有(,)2

n d x a ε

且(,)2

n d x b ε

. 从而，当n N ≥时，有

11(,)(,)(,)2

N N d a b d a x d x b ε

ε++≤+<

=。

所以(,)d a b ε<。由ε的任意性知，a b =.

13. 设点列)(∞→→n x x n ,)(∞→→n y y n ,证明: R ∈?βα,,有 (1) )(∞→+→+n y x y x n n βαβα; (2) ))(,(),(∞→→n y x d y x d n n .

证明（1）由(),()n n x x n y y n →→∞→→∞, 可知对任意的120,,N N ε>?使得当1n N >时，有(,)2||1

n d x x εα<+; 当2n N >时，有(,)2||1n d y y ε

β<+.令

{}12max ,N N N =, 则当n N >时, 有

(,)2||1

n d x x εα<

+且(,)2||1n d y y ε

β<+.

所以，当n N >，有

(,)||(,)||(,)2

n n n n d x y x y d x x d y y ε

αβαβαβε++≤+<

=。

从而n n x y αβ+x y αβ→+()n →∞.

（2）因为

(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,),

n n n n n n n n d x y d x x d x y d y y d x y d x x d x y d y y ≤++≤++

所以

|(,)(,)|(,)(,)0()n n n n d x y d x y d x x d y y n -≤+→→∞。

因此，))(,(),(∞→→n y x d y x d n n 。

习题2.2

1．点集E 为闭集当且仅当E 中的收敛点列的极限仍然属于E ．

证明必要性. 设E 为闭集, 即E E '?。取任一收敛点列{}n x E ?, 且

0n x x →()n →∞.

下证0x E ∈. 事实上, 若存在n 使得0n x x =, 则0x A ∈；否则，对任一N n +∈都有0n x x ≠。因为0()n x x n →→∞, 所以对任意0>δ，),(0δx B 中必有E 的异于0x 的点n x 。从而，由习题2.1.10可知:0x 是E 的聚点, 所以0x E ∈.

充分性. 设E 中任何一个收敛点列必收敛于E 中的一点, 则对任意的0x E '∈, 存在点列{}n x E ?使得0n x x →()n →∞, 由假设知0x E ∈。所以E E '?, 即E 为闭集.

2．证明：?E 是含于E 内的一切开集的并．

证明设{}F αα∈∧, 为所有含于E 内的开集所组成的集合, 则F E α?(任意的α∈∧).

记F F αα

=, 下证F E =。一方面, E 显然是一个含于E 的开集, 所以E F ?。

另一方面, α?∈Λ，有F E α?,从而F E α?。但是F F α=(F α为开集), 所以

F F E αα=?.因此，F F E αα

? 。因此E F =.

3．证明：E 是包含E 的一切闭集的交．

证明设{}F αα∈∧为所有包含了E 的闭集之集, 则E F α?(任意的α∈∧). 记F F αα

，下证F E =. 一方面，E 显然是一个含E 的闭集，所以E F ?。另

一方面, 对α?∈Λ，有E F α?，从而E F α?。但F F αα= (F α为闭集), 所以E F α?（α?∈Λ）

。因此，E F ?. 故F E =. 4．设R ?F 是非空有界闭集，令,sup ,inf F F a ==β证明：F a ∈β,．证明 F x ∈?>?,0ε使得εα+

x αεαε-<<+,

于是(,)x B αε∈，因此(,)B F αε=?. 再由ε的任意性知F F α∈=.

同理可得：,,0F y ∈?>?δ使得,y βδββδ-<≤<+ 所以(,)y B βδ∈. 因此，

知(,)B F βδ≠?. 由δ的任意性知F F β∈=.

5．设}{k G 是渐张开集列，令k k G G ∞

==1 ，点集F 是有界闭集且G F ?．证明：

存在自然数0k ，当0k k ≥时，有k G F ?．

证明由F 是有界集, ?

F 1

k k G ∞=, 必存在},,,{21n k k k 使得?

F 1

i n k k G =. 又

因为n k G G G ??? 21, 所以?F n i k n

i K G G == 1

. 取01,n k k =+则当0k k ≥时，有

k G F ?.

6．证明：n R 中的任何闭集F 都可表示为可数个开集的交；n R 中的任何开集G 都可表示为可数个闭集的并．

提示：考虑)1

,(n

x B G F x n ∈= ．

证明当F 为空集时，显然。下设F 为非空集。令)1

,(n

x B G F x n ∈= ，则

(1,2,)n F G n ?=，从而 ∞=?1

n n G F . 另一方面，设01

n n x G ∞

=∈

，则,n ?有0n x G ∈,

所以n x F ?∈,使得01(,)n x B x n ∈, 即01

(,)n d x x n

<. 当∞→n , 则0n x x →. 由于

F 是闭集, 必有0x F ∈. 因此 ∞=?1

n n F G . 综上可知：

n n G F ∞

==。

对n R 中的任何开集G ，:c

F G =为闭集，从而由已证结论知：存在一列开集

{}n G 使得

n n G F ∞

==，所以1

n n G F G ∞===

.显然，c n G 都是闭集。

7．设E 是n R 中的点集，证明：b E 是闭集．

证明因为b E E E

=__

且?=b E E

,所以c b

E E E E E )(\__

==,故b

E 是闭集.

8．设m n B A R R ??,是两个有界闭集，证明：

},:),{(B y A x y x B A ∈∈=?

是m n +R 中的有界闭集．

证明有界性. 因为,A B 有界, 所以存在,M N 0>使得对任意的x A ∈,有(,0),d x M ≤对任意的y B ∈, 有(,0)d y N ≤, 从而任意的(,)x y A B ∈?，有

2222((,),0)(,0)(,0)d x y d x d y M N =+≤+,

于是A B ?且有界的

闭性. 设1{(,)}k k k x y ∞=为A B ?中的收敛点列，且

(,)(,)()n m n m k k x y x y k +→??=→∞R R R .

由于

(,),(,)((,),(,))0()k k k k d x x d y y d x y x y k ≤→→∞,

可见()k x x k →→∞，()k y y k →→∞. 因为,A B 为闭集，所以x A ∈，y B ∈即

(,)x y A B ∈?, 故A B ?为闭集.

9．两个完备集的交集是否一定是完备集？两个完备集的并集是否一定是完备集？可数多个完备集的并集呢？

证明两个完备集的交集不一定是完备集，如}1{]2,1[]1,0[= 不完备. 两个完备集的并集是完备集. 事实上，设,n E F ?R 完备，则

,)(F E F E F E =''='

所以F E 是完备的.

可数个完备集的并集不一定是完备集. 如：)1,0(]211,11[1

=+-+∞

= n n n 不完备. 10．若G 是n R 中的开集，证明：G G '=．

11．设f 在整个数轴上有定义，其函数值只取整数，证明：f 的连续点之集f C 是开集，间断点之集f D 是闭集．

证明设A 表示f 的连续点之集, 则0x A ?∈, 有

0()f x n =)(为整数n 。

对于0.1ε=，0>?δ使得0(,),x B x δ?∈有0|()()||()|0.11f x f x f x n -=-<<. 因为

()f x 为整数，所以，0(,),x B x δ?∈有()f x n =。因此，0(,)B x A δ?, 故A 为开

集. 进而，f 的间断点之集c A 是闭集.

12．证明：直线上任何一列稠密开集的交集是稠密的δG 型集,即若

),2,1( =?k G k R 为开集且),2,1( ==k G k R ，则

k k G ∞==R .

证明设00(,)I a b =为直线上任一有限开区间，则由1G =R 知：1I G 为非空

开集，从而存在闭区间111[,]a b I

G ?使得111b a -<。再由2G =R 知：112

(,)a b G 为非空开集，从而存在闭区间22112[,](,)a b a b G ?使得1222b a --<。如此可得闭区间列{[,]}n n a b 满足：

1111[,](,),(1,2,)n n n n n n n a b a b G b a n n -+++?-<=。

根据闭区间套定理知：存在唯一一点[,](1,2,)n n c a b n ∈=。因为

[,](1,2,)n n n a b G n ?=，从而(1,2,

)n c G n ∈=，即1

n n c G ∞=∈

。又由111[,]c a b I G ∈?知，c I ∈。因此，

1n n c I G ∞=??∈ ???

。所以，1n n I G ∞=??

≠? ???。这就证明了1n n G ∞

==R 。

13. 全体有理点之集Q 不是δG 型集；全体无理点之集c Q 不是σF 型集。

证明假设全体有理点之集Q 是δG 型集，则存在开集(1,2,)n G n =使得

Q =1

n n G ∞=。由于n G ?Q ，所以),2,1( ==k G k R 。令2n n F G =+，则n F 为开集

且

22(1,2,)k k k F G G k =+=+==R ，且

(2)22c n n n n n n F G G ∞∞

∞====

+=+?Q Q 。

所以

11n n n n G F ∞∞==????

=? ? ?????

。记221,(1,2,)k k k k H F H G k -===，则k H 是开集且(1,2,)k H k ==R ，但是，

1n n H ∞

==11n n n n G F ∞∞==????

=? ? ?????

。这与习题12的结论矛盾. 这就证明了：全体有理点之集Q 不是δG 型集；从而，

全体无理点之集c Q 不是σF 型集。

14. 证明：]1,0[中的全体无理点之集[0,1]c Q 不是σF 型集．证明假设不然，则存在闭集(1,2,

)n F n =使得[0,1]c

Q =

n n F ∞=。令

()2n f x n x n =-，则()n n f F 为闭集(1,2,)n =，且

[,]([0,1])

()([0,1])c

c c

n n n n n f f f -===

Q Q Q 1

()n k k f F ∞=。

因此，

()1

[,]()c

n k n n k n n f F ∞∞∞

====

Q Q 。

实变函数习题解答(1)

第一章习题解答 1、证明 A (B C)＝(A B) (A C) 证明：设x∈A (B C)，则x∈A或x∈(B C)，若x∈A，则x∈A B，且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)。若x∈B C，则x∈B且x∈C，于是x∈A B且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)，因此 A (B C) ? (A B) (A C) (1) 设x∈(A B) (A C)，若x∈A，则x∈A (B C)，若x∈A，由x∈A B 且x∈A C知x∈B且x∈C，所以x∈B C，所以x∈A (B C)，因此 (A B) (A C) ? A (B C) (2) 由(1)、(2)得，A (B C)＝(A B) (A C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A B)＝(A B)－B ②A (B－C)＝(A B)－(A C) ③(A－B)－C＝A－(B C) ④A－(B－C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A C)－(B D) (A－B)＝A B A－(A B)＝A C(A B)＝A (CA CB) ＝(A CA) (A CB)＝φ (A CB)＝A－B (A B)－B＝(A B) CB＝(A CB) (B CB) ＝(A CB) φ＝A－B ②(A B)－(A C)＝(A B) C(A C) ＝(A B) (CA CC)＝(A B CA) (A B CC)＝φ [A (B CC)]＝ A (B－C) ③(A－B)－C＝(A CB) CC＝A C(B C) ＝A－(B C) ④A－(B－C)＝A C(B CC)＝A (CB C) ＝(A CB) (A C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A CB) (C CD) ＝(A C) (CB CD)＝(A C) C(B D) ＝(A C)－(B D)

实变函数论课后答案第三章1

实变函数论课后答案第三章1 第三章第一节习题 1.证明：若E 有界，则m E *<∞. 证明：若n E R ?有界，则存在一个开区间 (){}120,,;n M n E R I x x x M x M ?=-<< . （0M >充分大）使M E I ?. 故()()()111 inf ;2n n n n m n n i m E I E I I M M M ∞∞ * ===??=?≤=--=<+∞????∑∏ . 2.证明任何可数点集的外测度都是零. 证：设{}12,,,n E a a a = 是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零，故{}{}{}()12111 ,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞ ∞ ∞ * * * *===??==≤== ???∑∑ . 3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ，只要 0m E μ*≤≤，就有1E E ?，使1m E μ*=. 证明：因为E 有界，设[],E a b ?（,a b 有限），令()(),f x m E a x b *=?<< ，则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=?=?=== . 考虑x x x +?与，不妨设a x x x b ≤≤+?≤，则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +?=+?=+????? . 可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E ** +?≤++??? ()[]()(),f x m x x x f x x *≤++?=+?.

实变函数试题库(5)及参考答案

实变函数试题库及参考答案（5）本科一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立）二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（）（A ）()x ?是E 上的连续函数（B ）()x ?是E 上的单调函数（C ）()x ?在E 上一定不L 可积（D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（）（A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则（）（A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点，则（）（A ）E 是可数集（B ）E 是闭集（C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点

(0195)《实变函数论》网上作业题及答案

[0195]《实变函数论》第一次作业 [单选题]1.开集减去闭集是（） A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集参考答案：A [单选题]2.闭集减去开集是（） A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集参考答案：B [单选题]3.可数多个开集的交是（） A:开集 B:闭集 C:可测集参考答案：C [单选题]4.可数多个闭集的并是（） A:开集 B:闭集 C:可测集参考答案：C [单选题]6.可数集与有限集的并是（） A:有界集 B:可数集 C:闭集参考答案：B

[判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。参考答案：正确 [单选题]8.可数多个有限集的并一定是（） A:可数集 B:有限集 C:以上都不对参考答案：C [单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数，则f(x)的间断点集是（）A:开集 B:闭集 C:可数集参考答案：C [单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数，E=R(f>0),则E是 A:开集 B:闭集 C:有界集参考答案：A [单选题]10.波雷尔集是（） A:开集 B:闭集 C:可测集参考答案：C [判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。参考答案：正确 [单选题]1.开集减去闭集是（）。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集参考答案：A [单选题]5.可数多个开集的并是（） A:开集 B:闭集

C:可数集参考答案：A [判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。参考答案：错误 [判断题]6.闭集一定是可测集合。参考答案：正确 [判断题]10.开集一定是可测集合。参考答案：正确 [判断题]4.连续函数一定是可测函数。参考答案：错误 [判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。参考答案：正确 [判断题]2.有界集合的测度一定是实数。参考答案：正确 [判断题]1.可数集合是零测集参考答案：正确 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。参考答案：错误 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。参考答案：错误第二次作业 [单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：C [单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：A [单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（） A:0 B:1

实变函数与泛函分析基础(第三版)-----第三章_复习指导

主要内容本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质. 外测度和内测度是比较直观的两个概念，内外测度一致的有界集就是勒贝格可测集. 但是，这样引入的可测概念不便于进一步讨论. 我们通过外测度和卡拉皆屋铎利条件来等价地定义可测集（即定义），为此，首先讨论了外测度的性质（定理）. 注意到外测度仅满足次可列可加（而非可列可加）性，这是它和测度最根本的区别. 我们设想某个点集上可以定义测度，该测度自然应该等于这个集合的外测度，即测度应是外测度在某集类上的限制. 这就容易理解卡拉皆屋铎利条件由来，因为这个条件无非是一种可加性的要求. 本章详细地讨论了勒贝格测度的性质. 其中，最基本的是测度满足在空集上取值为零，非负，可列可加这三条性质. 由此出发，可以导出测度具有的一系列其它性质，如有限可加，单调，次可列可加以及关于单调集列极限的测度等有关结论. 本章还详细地讨论了勒贝格可测集类. 这是一个对集合的代数运算和极限运算封闭的集类. 我们看到勒贝格可测集可以分别用开集、闭集、型集和型集逼近. 正是由于勒贝格可测集，勒贝格可测集类，勒贝格测度具有一系列良好而又非常重要的性质，才使得它们能够在勒贝格积分理论中起着基本的、有效的作用. 本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子. 因为构造这样的例子要借助于策墨罗选择公理，其不可测性的证明还依赖于勒贝格测度的平移不变性. 限于本书的篇幅而把它略去. 读者只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集. 复习题一、判断题

1、对任意n E R ?，* m E 都存在。（√ ） 2、对任意n E R ?，mE 都存在。（× ） 3、设n E R ?，则* m E 可能小于零。（× ） 4、设A B ?，则** m A m B ≤。（√ ） 5、设A B ?，则** m A m B <。（× ） 6、* *1 1( )n n n n m S m S ∞ ∞===∑。（× ） 7、* *1 1 ( )n n n n m S m S ∞ ∞==≤∑。（√ ） 8、设E 为n R 中的可数集，则* 0m E =。（√ ） 9、设Q 为有理数集，则* 0m Q =。（√ ） 10、设I 为n R 中的区间，则* m I mI I ==。（√ ） 11、设I 为n R 中的无穷区间，则* m I =+∞。（√ ） 12、设E 为n R 中的有界集，则*m E <+∞。（√ ） 13、设E 为n R 中的无界集，则*m E =+∞。（× ） 14、E 是可测集?c E 是可测集。（√ ） 15、设{n S }是可测集列，则 1 n n S ∞=， 1 n n S ∞=都是可测集。（√ ） 16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。（√ ） 17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。（√ ） 18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。（√ ） 19、若E =?，则* 0m E >。（× ） 20、若E 是无限集，且*0m E =，则E 是可数集。（× ） 21、若mE =+∞，则E 必为无界集。（√ ） 22、在n R 中必存在测度为零的无界集。（√ ）

实变函数第一章答案

习题1.1 1．证明下列集合等式． (1) ()()()C A B A C B A \\=； (2) ()()()C B C A C B A \\\ =； (3) ()()()C A B A C B A \\\=．证明 (1) )()C \B (c C B A A = )()( c c C B A A B A = c C A B A )()( = )(\)(C A B A = . (2) c C B A A )(C \B)(= )()(c c C B C A = =)\()\(C A C A . (3) )(\C)\(B \c C B A A = c c C B A )( = )(C B A c = )()(C A B A c = )()\(C A B A =. 2．证明下列命题． (1) ()A B B A = \的充分必要条件是：A B ?； (2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是：=B A ?； (3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是：=B ?．证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ==== )()()()\(的充要条是：.A B ? (2) c c c c B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)( 必要性. 设A B B A =\)( 成立，则A B A c = , 于是有c B A ?, 可得.?=B A 反之若,?≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ?∈且与c B A ?矛盾.

充分性. 假设?=B A 成立, 则c B A ?, 于是有A B A c = , 即.\)(A B B A = (3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\c C A B A B A == 若,?≠B 取,B x ∈ 则,c B x ? 于是,c B A x ? 但,B A x ∈ 与c C A B A =矛盾. 充分性. 假设?=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =. 3．证明定理1.1.6．定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 ;lim n n n n A A (2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 . lim n n n n A A 证明 (1) 设),1(1≥??+n A A n n 则对任意 ∞ =∈ 1 ,n n A x 存在N 使得,N A x ∈ 从而 ),(N n A x N ≥?∈ 所以,lim n n A x ∞ →∈ 则.lim 1 n n n n A A ∞→∞ =? 又因为 ∞ =∞ →∞ →??1 ,lim lim n n n n n n A A A 由此可见{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 ;lim n n n n A A (2) 当)1(1≥??+n A A n n 时, 对于, lim n n A x ∞ →∈存 )1(1≥?<+k n n k k 使得 ),1(≥?∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0 n n A A x k ?∈ 可见.lim 1 ∞ =∞ →?n n n n A A 又因为,lim lim 1 n n n n n n A A A ∞ →∞ →∞ =?? 所以可知{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 .lim n n n n A A 4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明： (1) ??? ???+≥=>∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (2) ?? ? ???+<=≤∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞ →，则对任意实数c 有 ?????? ->=????? ?->=≥∞→∞=∞ =∞ =∞ =k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 ．证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+ ∈Z n 使得n c x f 1)(+ ≥成

实变函数测试题1-参考答案

本试题参考答案由08统计班15号李维提供有问题联系 1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ，集{} ()E x f x c =≥和 {}1()E x f x c =≤都是闭集。 3、设n R E ?是任意可测集，则一定存在可测集 δ G 型集 G ，使得 E G ?,且 ()0=-E G m 4、设,n A B R ?，A B ?可测，且()m A B ?<+∞，若()**m A B m A m B ?=+，则,A B 皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设)(x f 是E 上的可测函数，G 为开集，F 为闭集，试问])(|[G x f x E ∈与 ])(|[F x f x E ∈是否是可测集，为什么？ 7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0，而在0P 的余集中长为1 3n 的构成区间上定义为n （1,2,3,=L n ）,试证()f x 可积分，并求出积分值。 8、设{}n f 为E 上非负可积函数列，若lim ()0,n E n f x dx →∞=? 则()0n f x ?。 9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数，+∞?ε，存在E 上. 有界的可测函数)(x g ，使得 ε<>-]0|[|g f mE 。 10、求证 1 2 01 11 ln 1()∞ ==-+∑?p n x dx x x p n , (1)p >-。解答： 1. 解：()∞=∞ →,0lim n n A ；设()∞∈,0x ，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即n A x 2∈，所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集，从而x 属于无限多n A ，得n n A x ∞ →∈lim 又显然()∞?∞ →,0lim n n A ，所以()∞=∞ →,0lim n n A 。

实变函数与泛函分析基础第三版

书籍目录：第一篇实变函数第一章集合 1 集合的表示 2 集合的运算 3 对等与基数 4 可数集合 5 不可数集合第一章习题第二章点集 1 度量空间，n维欧氏空间 2 聚点，内点，界点 3 开集，闭集，完备集 4 直线上的开集、闭集及完备集的构造 5 康托尔三分集第二章习题第三章测度论 1 外测度 2 可测集 3 可测集类 4 不可测集 .第三章习题第四章可测函数 1 可测函数及其性质 2 叶果洛夫(EropoB)定理 3 可测函数的构造 4 依测度收敛第四章习题第五章积分论 1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介 2 非负简单函数的勒贝格积分 3 非负可测函数的勒贝格积分 4 一般可测函数的勒贝格积分 5 黎曼积分和勒贝格积分 6 勒贝格积分的几何意义·富比尼(Fubini)定理第五章习题第六章微分与不定积分 1 维它利(Vitali)定理 2 单调函数的可微性 3 有界变差函数 4 不定积分 5 勒贝格积分的分部积分和变量替换 6 斯蒂尔切斯(Stieltjes)积分 7 L-S测度与积分

第六章习题第二篇泛函分析第七章度量空间和赋范线性空间 1 度量空间的进一步例子 2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 3 连续映射” 4 柯西(CaHcLy)点列和完备度量空间 5 度量空间的完备化 6 压缩映射原理及其应用 7 线性空间 8 赋范线性空间和巴拿赫(Banach)空间第七章习题第八章有界线性算子和连续线性泛函 1 有界线性算子和连续线性泛函 2 有界线性算子空间和共轭空间 3 广义函数第八章习题第九章内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间 1 内积空间的基本概念 2 投影定理 3 希尔伯特空间中的规范正交系 4 希尔伯特空间上的连续线性泛函 5 自伴算子、酉算子和正常算子第九章习题第十章巴拿赫空间中的基本定理 l 泛函延拓定理 2 C[a,b)的共轭空间 3 共轭算子 4 纲定理和一致有界性定理 5 强收敛、弱收敛和一致收敛 6 逆算子定理 7 闭图像定理第十章习题第十一章线性算子的谱 1 谱的概念 2 有界线性算子谱的基本性质 3 紧集和全连续算子 4 自伴全连续算子的谱论 5 具对称核的积分方程第十一章习题附录一内测度，L测度的另一定义附录二半序集和佐恩引理附录三实变函数增补例题

实变函数试题库(4)及参考答案

实变函数试题库及参考答案（4）本科一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则（） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =

实变函数论与泛函分析曹广福1到5章课后答案

第一章习题参考解答 3．等式)()(C B A C B A --=?-成立的的充要条件是什么？解：若)()(C B A C B A --=?-，则 A C B A C B A C ?--=?-?)()(. 即，A C ?. 反过来, 假设A C ?, 因为B C B ?-. 所以, )(C B A B A --?-. 故, C B A ?-)(?)(C B A --. 最后证，C B A C B A ?-?--)()( 事实上，)(C B A x --∈?, 则A x ∈且C B x -?。若C x ∈，则C B A x ?-∈)(；若C x ?，则B x ?，故C B A B A x ?-?-∈)(. 从而,C B A C B A ?-?--)()(. A A C B A C B A C =?-?--=?-?)()(. 即 A C ?. 反过来，若A C ?，则因为B C B ?-所以)(C B A B A --?- 又因为A C ?，所以)(C B A C --?故 )()(C B A C B A --??- 另一方面，A x C B A x ∈?--∈?)(且C B x -?，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ?因为C B x -?，所以B x ?故B A x -∈. 则 C B A x ?-∈)(. 从而 C B A C B A ?-?--)()( 于是，)()(C B A C B A --=?- 4．对于集合A ，定义A 的特征函数为????∈=A x A x x A ,0,1)(χ，假设 n A A A ,,,21是一集列，证明：（i ）)(inf lim )(inf lim x x n n A n n A χχ= （ii ）)(sup lim )(sup lim x x n n A n n A χχ= 证明：（i ）)(inf lim n n m N n n n A A x ≥∈??=∈?，N ∈?0n ，0n m ≥?时，m A x ∈. 所以1)(=x m A χ，所以1)(inf =≥x m A n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x m n A n m N b A n χχ

实变函数试题库及参考答案

实变函数试题库及参考答案（1）本科一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ??是可数集，则*m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ?∈?，()E x f x a ??≥??是，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上二、选择题 1．下列集合关系成立的是（） 2．若n R E ?是开集，则（） 3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（）三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ??是无限集，则（） A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（） A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限

4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（） A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. （） 2. 可数个可测集的并是可测集. （） 3. 相等的集合是对等的. （） 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （）五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？ 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??，其中E 为[]0,1中有理数集，求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ，求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U 2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞ =，则实变函数试题库及参考答案（1）本科一、填空题

第三版实变函数论课后答案

1. 证明:()B A A B -=U 的充要条件就是A B ?、证明:若()B A A B -=U ,则()A B A A B ?-?U ,故A B ?成立、反之,若A B ?,则()()B A A B A B B -?-?U U ,又x B ?∈,若x A ∈,则 ()x B A A ∈-U ,若x A ?,则()x B A B A A ∈-?-U 、总有()x B A A ∈-U 、故 ()B B A A ?-U ,从而有()B A A B -=U 。证毕 2. 证明c A B A B -=I 、证明:x A B ?∈-,从而,x A x B ∈?,故,c x A x B ∈∈,从而x A B ?∈-, 所以c A B A B -?I 、另一方面,c x A B ?∈I ,必有,c x A x B ∈∈,故,x A x B ∈?,从而x A B ∈-, 所以 c A B A B ?-I 、综合上两个包含式得c A B A B -=I 、证毕 3. 证明定理4中的(3)(4),定理6(De Morgan 公式)中的第二式与定理9、证明:定理4中的(3):若A B λλ?(λ∈∧),则A B λλλλ∈∧ ∈∧ ?I I 、证:若x A λλ∈∧ ∈I ,则对任意的λ∈∧,有x A λ∈,所以A B λλ?(? λ∈∧)成立知x A B λλ∈?,故x B λλ∈∧ ∈I ,这说明A B λλλλ∈∧∈∧ ?I I 、定理4中的(4):()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U 、证:若()x A B λλλ∈∧ ∈U U ,则有' λ∈∧,使 ''()()()x A B A B λλλλλλ∈∧∈∧ ∈?U U U U 、反过来,若()()x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈U U U 则x A λλ∈∧ ∈U 或者x B λλ∈∧ ∈U 、不妨设x A λλ∈∧ ∈U ,则有' λ∈∧使'''()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈??U U U 、故()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ?U U U U U 、综上所述有()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U 、定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧∈∧ =I U 、证:() c x A λλ∈∧ ?∈I ,则x A λλ∈∧ ?I ,故存在' λ∈∧ ,'x A λ?所以 'c c x A A λλλ∈∧ ??U 从而有()c c A A λλλλ∈∧∈∧ ?I U 、反过来,若c x A λλ∈∧ ∈U ,则' λ?∈∧使'c x A λ?,故'x A λ?, x A λλ∈∧ ∴?I ,从而()c x A λλ∈∧ ∈I ()c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ ∴?I U 、证毕定理9:若集合序列12,,,,n A A A K K 单调上升,即1n n A A +?(相应地1n n A A +?)对一切n 都成立,则 1 lim n n n A ∞ →∞ ==U (相应地)1 lim n n n A ∞ →∞ ==I 、证明:若1n n A A +?对n N ?∈成立,则i m i m A A ∞ ==I 、故从定理8知

实变函数复习资料,带答案

《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（）（A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集（D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若 ()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则 ' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都 _________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”） 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例

实变函数论课后答案第四章

实变函数论课后答案第四章4第四章第四节习题 1．设于，于，证明：于证明：，（否则，若，而，矛盾），则（）从而 2．设于，，且于，证明于证明：由本节定理2（定理）从知的子列使于设，，于，从条件于，设，,于上令，则，且故，则令，故有，从而命题得证

3．举例说明时定理不成立解：取，作函数列显然于上，但当时，不故时定理不成立，即于不能推出于周民强《实变函数》P108 若是非奇异线性变换，，则（）表示矩阵的行列式的绝对值. 证明：记显然是个的平移集（）的并集，是个（）的并集，且有，现在假定（）式对于成立（）则因为，所以得到这说明（）式对于以及的平移集成立，从而可知（）式对可数个互不相交的二进方体的并集是成立的（对任意方体，）对一般开集，，为二进方体，互补相交则

1-1 ，连续，连续开，则开，从而可测于是应用等测包的推理方法立即可知，对一般点集（）式成立设为有界集，开，，则开，且不妨设有界，否则令有界，令即可. 连续，则开，开，可测（），，故（开）若为无界集，令，则，为有界集，线性，则若，则（后面证），则由注释书P69定理3，存在集，，若有界，则，故（1-1）则，故若无界，则，线性，若，则证明：为的基，，，,,令，则则（即是连续的）一边平行于坐标平面的开超矩体于

，开，连续，则是中开集从而可测，从而是中可测集，由归纳法知是可测集若（）式成立，则矩体，，为正方体，则对开集也有，特别对开区间这一开集有则可知，若，则事实上，，开区间，，令知若（）成立，则将可测集映为可测集，还要看（）证明过程是否用到将可测集映为可测集或推出这一性质！下面证（）成立.任一线性变换至多可分解为有限个初等变换的乘积（i）坐标之间的交换（ii） (iii) 在（i）的情形显然（）成立在（ii）的情形下，矩阵可由恒等矩阵在第一行乘以而得到从而可知（）式成立在（iii）的情形，此时（）

实变函数论课后答案第三版

1. 证明：()B A A B -=U 的充要条件是A B ?. 证明：若()B A A B -=U ，则()A B A A B ?-?U ，故A B ?成立. 反之，若A B ?，则()()B A A B A B B -?-?U U ，又x B ?∈，若x A ∈，则 ()x B A A ∈-U ，若x A ?，则()x B A B A A ∈-?-U .总有()x B A A ∈-U .故 ()B B A A ?-U ，从而有()B A A B -=U 。证毕 2. 证明c A B A B -=I . 证明：x A B ?∈-，从而,x A x B ∈?，故,c x A x B ∈∈，从而x A B ?∈-，所以c A B A B -?I . 另一方面，c x A B ?∈I ，必有,c x A x B ∈∈，故,x A x B ∈?，从而x A B ∈-，所以 c A B A B ?-I . 综合上两个包含式得c A B A B -=I . 证毕 3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理9. 证明：定理4中的（3）：若A B λλ?（λ∈∧），则A B λλλλ∈∧ ∈∧ ?I I . 证：若x A λλ∈∧ ∈I ，则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ?（?λ∈∧）成立知x A B λλ∈?，故x B λλ∈∧ ∈I ，这说明A B λλλλ∈∧∈∧ ?I I . 定理4中的（4）：()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U . 证：若()x A B λλλ∈∧ ∈U U ，则有'λ∈∧，使 ' ' ()()()x A B A B λλλλλλ∈∧∈∧ ∈?U U U U . 反过来，若()()x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈U U U 则x A λλ∈∧ ∈U 或者x B λλ∈∧ ∈U . 不妨设x A λλ∈∧ ∈U ，则有'λ∈∧使' ' ' ()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈??U U U . 故()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ?U U U U U .

完整word版,实变函数练习及答案

实变函数练习及答案一、选择题 1、以下集合，（）是不可数集合。 .A 所有系数为有理数的多项式集合； .B [0,1]中的无理数集合； .C 单调函数的不连续点所成集合； .D 以直线上互不相交的开区间为元素的集。 2、设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E A U 是（） .A 可测集且测度为零； .B 可测集但测度未必为零； .C 不可测集； .D 以上都不对。 3、下列说法正确的是（） .A ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b L —可积； .B ()f x 在[,]a b R —可积?()f x 在[,]a b R —可积； .C ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b R —可积； .D ()f x 在(],a +∞R —广义可积?()f x 在[,]a b L —可积 4、设{}n E 是一列可测集，12......,n E E E ???则有（） .A 1( )lim n n n n m E mE ∞→∞ =>U ； .B 1()lim n n n n m E mE ∞→∞==U ； .C 1 ()lim n n n n m E mE ∞→∞==I ； .D 以上都不对。 5、()()\\\A B C A B C =U 成立的充分必要条件是（） .A A B ?； .B B A ?； .C A C ?； .D C A ?。 6、设E 是闭区间[]0,1中的无理点集，则（） .A 1mE =； .B 0mE =； .C E 是不可测集； .D E 是闭集。 7、设mE <+∞， (){}n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数，则(){}n f x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x 的（）

实变函数论第三版课后答案高等教育出版社

1. 证明：()B A A B -=的充要条件是A B ?. 证明：若() B A A B -=，则()A B A A B ?-?，故A B ?成立. 反之，若A B ?，则() ()B A A B A B B -?-?，又x B ?∈，若x A ∈，则 ()x B A A ∈-，若x A ?，则()x B A B A A ∈-?-.总有() x B A A ∈-.故 ()B B A A ?-，从而有()B A A B -=。证毕 2. 证明c A B A B -=. 证明：x A B ?∈-，从而,x A x B ∈?，故,c x A x B ∈∈，从而x A B ?∈-，所以c A B A B -?. 另一方面，c x A B ?∈，必有,c x A x B ∈∈，故,x A x B ∈?，从而x A B ∈-，所以 c A B A B ?-. 综合上两个包含式得c A B A B -=. 证毕 3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理9. 证明：定理4中的（3）：若A B λλ?（λ∈∧），则A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 证：若x A λλ∈∧ ∈ ，则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ?（?λ∈∧）成立知x A B λλ∈?，故x B λλ∈∧ ∈，这说明 A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 定理4中的（4）： ()( )( )A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 证：若()x A B λ λλ∈∧ ∈ ，则有'λ∈∧，使 ''()( )( )x A B A B λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈?. 反过来，若()( )x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈则x A λλ∈∧ ∈ 或者x B λλ∈∧ ∈. 不妨设x A λλ∈∧ ∈，则有'λ∈∧使'' '()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈?? . 故( )()()A B A B λλλ λλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ? . 综上所述有 ()( )( )A B A B λ λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 定理6中第二式( )c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ = .

西南大学《实变函数论》网上作业及参考答案

1：[单选题]1.开集减去闭集是（） A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集参考答案：A 2：[单选题]2.闭集减去开集是（） A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集参考答案：B 3：[单选题] A:开集 B:闭集 C:可测集参考答案：C 4：[单选题]6.可数集与有限集的并是（） A:有界集 B:可数集 C:闭集参考答案：B 5：[判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。参考答案：正确 6：[单选题]1.开集减去闭集是（）。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集参考答案：A 7：[单选题]5.可数多个开集的并是（） A:开集 B:闭集 C:可数集

参考答案：A 8：[判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。参考答案：错误 9：[判断题]6.闭集一定是可测集合。参考答案：正确 10：[判断题]10.开集一定是可测集合。参考答案：正确 11：[判断题]4.连续函数一定是可测函数。参考答案：错误 12：[判断题] 参考答案：正确 13：[判断题]2.有界集合的测度一定是实数。参考答案：正确 14：[判断题]1.可数集合是零测集参考答案：正确 15：[判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。参考答案：错误 16：[判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。参考答案：错误 1：[单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：C 2：[单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：A 3：[单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（） A:0 B:1 C:2 参考答案：A