2013届中考数学方程(组)与不等式(组)复习知识点总结
及经典考题选编
一、方程 【知识梳理】
1、知识结构
方程?????????
???????????????????????????????????????分式方程的应用分式方程的解法分式方程的概念分式方程的关系根的判别式,根与系数一元二次方程的解法念一元二次方程的有关概一元二次方程二元一次方程组的应用二元一次方程组的解法二元一次方程组一元一次方程的应用一元一次方程的解法一元一次方程整式方程 2、知识扫描
(1)只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的整式方程,叫做一元一次方程。
(2)含有 2 个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 次,这样的方程叫二元一次方程.
(3)含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.
(4)二元一次方程组的解法有 法和 法.
(5)只含有 1 个未知数,并且未知数的最高次数是2且系数不为0的整式方程,叫做一元二次方程,其一般形式为 )0(02
≠=++a c bx ax 。
(6)解一元二次方程的方法有:
① 直接开平方法;②配方法;③ 公式法;④ 因式分解法
例:(1)042=-x (2)0342=--x x (3)4722=+x x (4)0232=+-x x
(7)一元二次方程的根的判别式: ac b 42-=?叫做一元二次方程的根的判别式。
对于一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax
当△>0时,有两个不相等的实数根;
当△=0时,有两个相等的实数根;
当△<0时,没有实数根; 反之也成立。
(8)一元二次方程的根与系数的关系:
如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x 那么
a b x x -=+21, a
c x x =?21 (9)一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式:
)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x
(10) 分母 中含有未知数的方程叫分式方程.
(11)解分式方程的基本思想是 将分式方程通过去分母转化为整式方程 .
◆ 解分式方程的步骤
◆ 1、去分母, 化 分式方程 为 整式方程 ;
◆ 2、解这个 整式方程 ;
◆ 3、验 根。
注意:(1)解分式方程的基本思想是“转化”,即把分式方程化为我们熟悉的整式方程,转化的途径是“去分母”,即方程两边都乘以最简公分母.
(2)因为解分式方程时可能产生增根,所以解分式方程必须检验,检验是解分式方程必要的步骤.
二、不等式 【知识梳理】
1、知识结构
??
???解法性质概念不等式
2、知识扫描
(1) 只含有 一个 未知数,并且未知数的次数是 1 ,系数不为 0 的不等式,叫做一元一次不等式。
(2)不等式的基本性质:
①不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向 ; ②不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向 ;
③不等号的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向 。
(3). 解一元一次不等式的一般步骤是:
①去分母②去括号③移项、合并同类项④系数化为1。
◆注意:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,要 不等号的方向.
【
】
一、选择题
1.已知2 x b +5y 3a 与-4 x 2a y 2-4b 是同类项,则b a 的值为( )
(A )2 (B )-2 (C )1 (D )-1
2. x x 22=的解是( )
A.2=x B.21-=x ,02=x C.0,221==x x D.0=x
3.下列方程中,是分式方程的是( )
A 、()6131=-x
B 、5172+=+x x
C 、1=+b x a x (x 为未知数)
D 、01=-x
x 4.下列说法中错误的是( )
A、分式方程的解等于0,就说明这个分式方程无解;
B 、 解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程;
C 、检验是解分式方程必不可少的步骤;
D 、能使分式方程的最简公分母等于零的未知数的值不是原分式方程的根.
5.若关于x 的方程x
m x -+=-4342有增根,则m 的值为( ) A、2- B 、2 C 、2± D 、4
6.二元一次方程组320x y x y -=-??+=?
的解是( ) (A )12x y =-??=? (B)12x y =??=-? (C )12x y =-??=-? (D )21
x y =-??=? 7.不等式组24010x x -?+?
≥的解集在数轴上表示正确的是( )
?
??<b
x a x b x a << ???>
8.(2008湘潭)在一幅长为80cm ,宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同的金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图1所示,如果要使整个挂图的面积是54002cm ,设金色纸边的宽为x cm ,那么x 满足的方程是( )
(A)213014000x x +-= (B)2653500x x +-=
(C)213014000x x --= (D)2653500x x --=
9.已知二元一次方程组???=-=-3
242n m n m ,则n m +的值是( )
A 、1
B 、0
C 、-2
D 、-1
10.计算:262393m m m m -÷+--的结果为( ) A.1 B.33m m -+ C.33m m +- D.33
m m + 二、选择题
11.若不等式组???>->-0
x 2b 2a x 的解集是1x 1<<-,则=+2006)b a (___________。 12.不等式x 8x 25-≤-的负整数解是_________________。
13.小明在解关于x 的方程135=-x a 时,误将x -看作x +,解得方程的解是2-=x ,则原方程的解为 .
14.若05232=-+kx x 是关于x 的一元一次方程,则k = .
15.若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根,则m 的取值范围是 .
16.(2008大连)轮船顺水航行40千米所需的时间和逆水航行30千米所需的时间相同.已知水流速度为3千米/时,设轮船在静水中的速度为x 千米/时,可列方程为_________________________________.
17.符号“a b
c d ”称为二阶行列式,规定它的运算法则为:a b
ad bc c d =-,请你根
据上述规定求出下列等式中x 的值. 2
111111x
x =--
18.一个三位数,若百位上的数为x ,十位上的数为y ,个位上的数是百位与十位上的数的差的2倍,则这个三位数是_______________.
19.下列各式中,能用平方差公式分解的是 ( )
A.229b a +
B.122+-b a
C.229b a +-
D.2
29b a --
20. 杭州市政府计划2年内将市区人均住房面积由现在的a 平方米提高到b 平方米。设每年
人均住房面积增长率为x ,则x 满足的方程是 ( )
A. b x a =+)1(
B. b x a =+)21(
C. b x a =+2)1(
D. b x a x a a =++++2)1()1(
21. 将二次函数2247y x x =-+配方成2()y a x m k =++的形式,则a,m,k 分别为多少( )
A.2,2,7
B.2,1,7
C.2,-1,5
D.2,-1,6
三、解答题
22. 解方程组42 5.x y x y +=??-=?, 23。解方程组???=++=)2(5)1(122y x x y
24.解分式方程12211x x x +=-+. 25。.解分式方程11322x x x
-=--- 26.解不等式:x 12
1x ≥+-,并把解集表示在数轴上。 27.解不等式组,并在数轴上把解集表示出来。?????-<--≥+-)2(x 8)1x (31)
1(x 323x
28.解不等式组??
???+<-≤-②①)1x (42x 121x ,并写出不等式组的正整数解。
29.小刚、小明一起去精品文具店买同种钢笔和同种练习本,根据下面的对话解答问题: 小刚:阿姨,我买3支钢笔,2个练习本,共需多少钱?
售货员:刚好19元.
小明:阿姨,那我买1支钢笔,3个练习本,需多少钱呢?
售货员:正好需11元.
(1)求出1支钢笔和1个练习本各需多少钱?
(2)小明现有20元钱,需买1支钢笔,还想买一些练习本,那么他最多可买练习本多少个?
30.某班到毕业时共结余经费1 800元,班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品,其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念品.已知每件文化衫比每本相册贵9元,用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册.
(1)求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元?
(2)有几种购买文化衫和相册的方案?哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足?
31.已知关于x 的一元二次方程032
=-+kx x .
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)取k 的一个整数值,使得原方程有两个整数解,并求出解.
32.今年,苏州市政府的一项实事工程就是由政府投入1000 万元资金,对城区4万户家庭的老式水龙头和13升抽水马桶进行免费改造,某社区为配合政府完成该项工作,对社区内
1200 户家庭中的120户进行了随机抽样调查,并汇总成下表:
(1)改造后,一只水龙头一年大约可节省5吨水,一只马桶一年大约可节省15吨水,试估计该社区一年共可节约多少吨自来水?
(2)抽样的120户家庭中,既要改造水龙头又要改造马桶的家庭共有多少户?
33. A 、B 两地相距20千米,甲、乙两人分别从A 、B 两地同时相向而行,两小时后在途中相遇.然后甲返回A 地,乙继续前进,当甲回到A 地时,乙离A 地还有2千米,求甲、乙两人的速度.
34.市政公司为绿化一段沿江风光带,计划购买甲、乙两种树苗共500株。甲种树苗50元/株,乙种树苗80元/株,有关统计说明:甲、乙两种树苗的成活率分别为90%和95%。
(1)若购买树苗的钱不超过34000
元,应如何选购树苗?
(
2)若希望树苗的成活率不低于92%,且购买树苗的费用最低,应如何选购树苗?
35.“五一”黄金周期间,某学校计划组织385名师生租车旅游;现知道出租公司有42座和60座两种客车,42座客车的租金每辆为320元,60座客车的租金每辆为460元,若学校同时租用这两种客车8辆(可以坐不满),而且要比单独租用一种车辆节省租金,请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案。
36. 王女士看中的商品甲乙两商场均有售且标价相同,但两商场采用的促销方式不同, 甲商场:一次性购物超过100元,超过的部分八折优惠;
乙商场:一次性购物超过50元,超过的部分九折优惠;
那么她在甲商场购物超过多少元就可比乙商场购物优惠?
37. 将一箱苹果分给若干小朋友,若每位小朋友分5个苹果,则还剩12个苹果;若每位小朋友分8个苹果,则有一个小朋友分不到8个苹果,求这箱苹果的个数与小朋友的人数。
38.某文化用品商店用2000元购进一批学生书包,面市后发现供不应求,商店又购进第二批同样的书包,所购数量是第一批购进数量的3倍,但单价贵了4元,结果第二批用了6300元。
(1)求第一批购进书包的单价是多少元?
(2)若商店销售这两批书包时,每个售价都是120元,全部售出后,商店共盈利多少元?
39.甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏,商定:用球拍托着乒乓球从起跑线l 起跑,绕过P 点跑回到起跑线(如图所示);途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑,用时少者胜.结果:甲同学由于心急,掉了球,浪费了6秒钟,乙同学则顺利跑完.事后,甲同学说:“我俩所用的全部时间的和为50秒”,乙同学说:“捡球过程不算在内时,甲的速度是我的1.2倍”.根据图文信息,请问哪位同学获胜?
30米
40. 5月12日14时28分,四川汶川发生了8.0级大地震,震后两小时,武警某师参谋长王毅奉命率部队乘车火速向汶川县城开进.13日凌晨1时15分,车行至古尔沟,巨大的山体塌方将道路完全堵塞,部队无法继续前进,王毅毅然决定带领先遣分队徒步向汶川挺进,到达理县时为救援当地受灾群众而耽误了1小时,随后,先遣分队将步行速度提高91,于13日23时15分赶到汶川县城.
⑴设先遣分队从古尔沟到理县的步行平均速度为每小时x 千米,请根据题意填写下表:
所走路程 (千米) 速度 (千米/小时) 时间 (小时) 古尔沟
到理县
30 x 理县
到汶川 60
⑵根据题意及表中所得的信息列方程,并求出先遣分队徒步从理县到汶川的平均速度是每小时多少千米?
41.某一工程,在工程招标时,接到甲、乙两个工程队的投标书.施工一天,需付甲工程队工程款1.2万元,乙工程队工程款0.5万元.工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算,有如下方案:
(1)甲队单独完成这项工程刚好如期完成;
(2)乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天;
(3)若甲、乙两队合做3天,余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.
试问:在不耽误工期的前提下,你觉得哪一种施工方案最节省工程款?请说明理由.
42.某公司开发生产的1200件新产品需要精加工后才能投放市场,现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品.公司派出相关人员分别到这两间工厂了解生产情况,获得如下信息: 信息一:甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天; 信息二:乙工厂每天比甲工厂多加工20件.
根据以上信息,求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品?
43.椐报道,2007年“五一”黄金周宜昌市共接待游客约80万人,旅游总收入约2.56亿元.其中县区接待的游客人数占全市接待的游客人数的60%,而游客人均旅游消费(旅游总收入÷旅游总人数)比城区接待的游客人均旅游消费少50元.
(1)2007年“五一”黄金周,宜昌市城区与县区的旅游收入分别是多少万元?
(2)预计2008年“五一”黄金周与2007年同期相比,全市旅游总收入增长的百分数是游客
人均旅游消费增长百分数的2.59倍,游客人数增长的百分数是游客人均旅游消费增长百分数的1.5倍.请估计2008年“五一”黄金周全市的旅游总收入是多少亿元?(保留3个有效数字)
第二章 方程与不等式答案:
1.C .2.C .3.D 4.A 5.A 6.A 7.B 8.B 9.D 10.A
11.解:解原不等式组得:??
???<+>2
b x a 2x 因为不等式组的解集为:1x 1<<- ???=-=∴?????=-=+∴2b 3a ,12
b 12a 1)23()b a (20062006=+-=+∴ 12. 3-,2-,1- 13. 2=x 14. 0=k 15 49≤m 16. 3
30340-=+x x 17. x =4 18. 100 x +10 y +2(x -y ). 19. C .20.C .21.C .
22.31x y =??=?, 23。???==211
1y x ,???-=-=1222y x . 24解:(1)2(1)2(1)(1)x x x x x ++-=+-.
22
12222x x x x ++-=-. 3x =.
经检验3x =是原方程的解. 所以原方程的解是3x =.
25.解:方程两边同乘(2)x -,得1(1)3(2)x x =----.
解这个方程,得2x =.
检验:当2x =时,20x -=,所以2x =是增根,原方程无解
26.解: x 221x ≥+-
1
x -≥- 1x ≤
27。解:解不等式(1)得:3x ≤ 解不等式(2)得:2x ->
∴原不等式的解集为:3x 2≤<- 在数轴上表示如下:
28.解:解不等式①得:3x ≤ 解不等式②得:2x ->
3,2,13
x 2不等式组的正整数解是不等式组的解集是∴≤<-∴
29.分析:第(1)问利用二元一次方程组求钢笔和练习本的单价,第(2)问通过一元一次不等式求出最多可买多少个练习本.
解:(1)设买一支钢笔需x 元,买一个练习本需y 元,依题意:3219311x y x y +=??+=?
解之得52
x y =??=?.
(2)设买的练习本为z 个,
则15220z ?+≤,得7.5z ≤.
因为z 为非负整数,所以z 的最大值为7.
答:(1)买1支钢笔需5元,1个练习本需2元.(2)小明最多可买7个练习本.
30.解:(1)设文化衫和相册的价格分别为x 元和y 元,则925200
x y x y -=??+=? 解得3526x y =??=?
. 答:一件文化衫和一本相册的价格分别为35元和26元.
(2)设购买文化衫t 件,则购买相册(50)t -本,
则15003526(50)1530t t +-≤≤,
解得
20023099
t ≤≤. ∵t 为正整数,∴t =23,24,25,即有三种方案.
第一种方案:购文化衫23件,相册27本,此时余下资金293元;
第二种方案:购文化衫24件,相册26本,此时余下资金284元;
第三种方案:购文化衫25件,相册25本,此时余下资金275元; 所以第一种方案用于购买教师纪念品的资金更充足.
31.(1)证明:012)3(1422>+=-??-=?k k
∴原方程有两个不相等的实数根.
第2小题,略(答案不唯一)
32.解:(1)抽样的120户家庭一年共可节约用水:
()()13122832141251692215?+?+?+??+?+??198573152085=?+?=. (吨)20580120
12002085=?。
答:该社区一年共可节约用水20850吨.
(2)设既要改造水龙头又要改造马桶的家庭共有x 户,则只改造水龙头不改造马桶的家庭
共有()92x -户,只改造马桶不改造水龙头的家庭共有()71x -户.
()()9271100x x x ∴+-+-=,63x ∴=(户)
. 答:既要改造水龙头又要改造马桶的家庭共有63户.
33.【提示】由题意,相遇前甲走了2小时,及“当甲回到A 地时,乙离A 地还有2千米”,可得列方程组的另一个相等关系:甲、乙同向行2小时,相差2千米.设甲、乙两人的速度分别为x 千米/时,y 千米/时,则
???=-=+.
2)(220)(2y x y x 【答案】甲的速度为5.5千米/时,乙的速度为4.5千米/时
34.解:(1)设购买甲种树苗x 株,则购买乙种树苗)x 500(-株。
由题意得:34000)x 500(80x 50≤-+ 解这个不等式,得:200x ≥
(2)设见(1),由题意得 500%92)x 500%(95x %90?≥-+
解这个不等式,得:300x ≤
又设购买两种树苗的费用之和为y 元,则 )x 500(80x 50y -+=
即:40000x 30y +-=
由一次函数的增减性知:当300x =时,所用的购树费用最少,费用是31000元。
35.解:单租42座客车:2.942385≈÷ 故应租10辆。共需租金320010320=?(元) 单租60座客车:4.660385≈÷ 故应租7辆,共需租金32207460=?(元)
设租用42座客车x 辆,则60座的客车租)x 8(-辆
由题意得???≤-+≥-+3200
)x 8(460x 320385)x 8(60x 42 解之得:1855x 733≤≤ ∵x 只能取整数,故x=4,5
当x=4时,租金为:312044604320=?+?(元)
当5x =时,租金为:298034605320=?+?(元)
答:租用42座客车5辆,60座客车3辆时,所用租金最少。
36. 解:设购买价格为x 元的商品,甲商场优惠,显然 100>x
由题意,得9.0)50x (508.0)100x (100?-+-+
解之得:150x >
答:王女士在甲商场购物超过150元就可比乙商场购物优惠。
37.解:设共有x 个小朋友,则苹果共有)12x 5(+个,依题意得:8)1(8)125(0<--+ 20x 4<< ∵x 只能为正整数,∴x 只能取5,6 当x=5时,苹果有37125512x 5=+?=+(个) 当x=6时,苹果有42126512x 5=+?=+(个) 答:当有5个小朋友时,苹果有37个;当有6个小朋友时,苹果有42个。 38。 39.解一:设乙同学的速度为x 米/秒,则甲同学的速度为1.2x 米/秒, 根据题意,得60606501.2x x ??++= ???, 解得 2.5x =. 经检验, 2.5x =是方程的解,且符合题意. ∴甲同学所用的时间为: 606261.2x +=(秒), 乙同学所用的时间为:6024x =(秒) 2624>Q ,∴乙同学获胜. 解二:设甲同学所用的时间为x 秒,乙同学所用的时间为y 秒, 根据题意,得5060601.26x y x y +=???=??-? , 解得2624.x y =??=?, 经检验,26x =,24y =是方程组的解,且符合题意. x y >Q ,∴乙同学获胜. 40. 解:⑴表中依次填入:x 30,x ??? ??+911,x ?? ? ??+91160. ⑵依题意,列出方程得 219116030=?? ? ??++x x . 解得:4=x . 经检验,4=x 是所列方程的根. 9 409114=??? ?? +?. 答:部队徒步从古尔沟到理县平均速度是每小时4千米,理县到汶川的途中平均速度分别是每小时9 40千米 41.解:设规定日期为x 天.由题意,得 163=++x x x . 解之,得 x =6.经检验,x =6是原方程的根. 显然,方案(2)不符合要求; 方案(1):1.2×6=7.2(万元); 方案(3):1.2×3+0.5×6=6.6(万元). 因为7.2>6.6, 所以在不耽误工期的前提下,选第三种施工方案最节省工程款. 42.解:设甲工厂每天能加工x 件新产品, 则乙工厂每天能加工(20)x +件新产品. 依题意得方程 120012001020 x x -=+. 解得40x =或60x =-(不合题意舍去), 经检验40x =是所列方程的解, 2060x ∴+=. 答:甲工厂每天能加工40件新产品,乙工厂每天能加工60件新产品. 43.(1)解: 2.56亿=25600万 设县区游客人均消费x 元,则城区游客人均消费(x +50)元,依据题意可列方程: 80×60%x+80×(1-60%)(x+50)=25600,解得:x =300 350×80×(1-60%)=11200(万元),25600-11200=14400(万元) 答:城区与县(市)区的旅游收入分别是11200万元和14400万元. (2)设2008年与2007年相比,游客人均旅游消费增长的百分数为z ,则旅游总收入增长的百分数为2.59z ,旅游人数增长的百分数为1.5z , 依据题意可列方程: 2560080 (1+z )×80(1+1.5z )=25600(1+2.59z ) 化简并整理得:1.5z 2-0.09z =0,解得:z =0.06或z =0(舍去) 2008年“五一”黄金周宜昌市的旅游总收入为: 25600(1+2.59z )=25600×(1+0.1554)=29578.24(万元) =2.957824(亿元)≈2.96(亿元) 答:估计2008年“五一”黄金周全市的旅游总收入是2.96亿元. 弹性学制数学讲义 不等式(4课时) ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >?> ②(传递性),a b b c a c >>?> ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a <>0, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >><> ⑥(平方法则) 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧(倒数法则) b a b a b a b a 110;110>?<< >> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2a b ab +≤ ②(基本不等式) 2a b ab +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号). ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号) 0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1,(其中000)a b m n >>>>,, 规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 22. x a x a a x a -<< ⑨绝对值三角不等式 . a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式:22 11222a b a b ab a b --++≤≤≤+,,a b R +∈(,当且仅当a b =时取 ""=号). (即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均). 变形公式: 2020年中考数学总复习:方程与不等式 一、单选题 1.(2019·辽宁省中考真题)不等式5131x x +≥-的解集在数轴上表示正确的是( ) A . B . C . D . 2.(2019·辽宁省中考真题)若关于x 的一元二次方程2304kx x -- =有实数根,则实数k 的取值范围是( ) A .0k = B .1 3k ≥- C .13k ≥-且0k ≠ D .13 k >- 3.(2019·辽宁省中考真题)为推进垃圾分类,推动绿色发展.某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类.用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同,两型号机器人的单价和为140万元.若设甲型机器人每台x 万元,根据题意,所列方程正确的是( ) A .360480140x x =- B . 360480140x x =- C .360480140x x += D .360480140x x -= 4.(2018·辽宁省中考真题)一元二次方程2x 2-x+1=0的根的情况是 ( ( A .两个不相等的实数根 B .两个相等的实数根 C .没有实数根 D .无法判断 5.(2019·辽宁省中考真题)某施工队承接了60公里的修路任务,为了提前完成任务,实际每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前60天完成了这项任务.设原计划每天修路x 公里,根据题意列出的方程正确的是( ) A .60(125%)6060x x ?+-= B .6060(125%)60x x ?+-= C .606060(125%)x x -=+ D .606060(125%)x x -=+ 6.(2016·辽宁省中考真题)下列一元二次方程中有两个相等实数根的是( ) A .2x 2(6x(1(0 B .3x 2(x(5(0 C .x 2(x(0 D .x 2(4x(4(0 7.(2015·辽宁省中考真题)已知k 、b 是一元二次方程(21)(31)0x x +-=的两个根,且k >b ,则函数y kx b =+的图象不经过( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 8.(2019·辽宁省中考真题)不等式组2x 12x 40->??+≥? 的解集,在数轴上表示正确的是( ) A . B . C . D . 1.不等式的解法 (1)同解不等式((1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解; (2)m f x g x >>0,()()与mf x mg x ()()>同解, m f x g x <>0,()()与mf x mg x ()()<同解; (3) f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解); 2.一元一次不等式 ax b a a a >?>=?? ?? 分()()()102030 情况分别解之。 3.一元二次不等式 ax bx c a 200++>≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之,还要注意?=-b ac 2 4的三种情况,即?>0或 ?=0或?<0,最好联系二次函数的图象。 4.分式不等式 分式不等式的等价变形: )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0,) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5.简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形: |x|0), |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<-a(a>0)。 一般地有: |f(x)| 一、选择题 1.PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm (1μm =0.000001m )的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们还有一定量的有毒、有害物质,对人体健康和大气环境质量有很大影响.2.3μm 用科学记数法可表示为( ) A .23×10﹣5m B .2.3×10﹣5m C .2.3×10﹣6m D .0.23×10﹣7m 2.计算1÷ 11m m +-(m 2 -1)的结果是( ) A .-m 2-2m -1 B .-m 2+2m -1 C .m 2-2m -1 D .m 2-1 3.如图,设k= 甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 (a >b >0),则有 ( ) 甲 乙 甲 (A )k >2 (B )1<k <2 (C )121< 10.若分式 的值为零,则x 的值为( ) A .0 B .﹣2 C .2 D .﹣2或2 11.分式 (a 、b 均为正数),字母的值都扩大为原来的2倍,则分式的值( ) A .扩大为原来的2倍 B .缩小为原来的 C .不变 D .缩小为原来的 12.在 2x ,1()3x y +,3ππ-,5a x -,24x y -中,分式的个数为( ) A .1 B.2 C.3 D .4 13.若a =-0.3-2 ,b =-3-2 ,c =(- 13)-2,d =(-13 )0 ,则( ) A .a <d <c <b B .b <a <d <c C .a <d <c <b D .a <b <d <c 14.如果为整数,那么使分式 2 22 21 m m m +++的值为整数的的值有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 15.下列代数式y 2、x 、13π、11 a -中,是分式的是 A . y 2 B . 11 a - C .x D . 13π 16.把分式2n m n +中的m 与n 都扩大3倍,那么这个代数式的值 A .不变 B .扩大3倍 C .扩大6倍 D .缩小到原来的 13 17.已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3,则用科学记数法表示该数为( )g /cm 3. A .1.239×10﹣3 B .1.2×10﹣3 C .1.239×10﹣2 D .1.239×10﹣4 18.无论a 取何值,下列分式总有意义的是( ) A . 2 1 a a + B . 21 1 a a -+ C . 21 1 a - D . 11 a + 19.下列式子:2222 2213,, ,,,x y a x x a b a xy y π----其中是分式的个数( ). A .2 B .3 C .4 D .5 20.若分式 的值为0,则x 的值是( ) A .3 B -3 C .4 D .-4 21.已知实数 a , b ,c 均不为零,且满足 a + b +c=0,则 不等式总结 一、不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a > (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a <>0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则:b a a b b a 110, >> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意:一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式:如果a,b 是正数,那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数),即 2 112a b a b ++(当a = b 时取等) 四、含有绝对值的不等式 1.绝对值的几何意义:||x 是指数轴上点x 到原点的距离;12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式:如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3.当0c >时, ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-, ||ax b c c ax b c +-<+<; 当0c <时,||ax b c x R +>?∈,||ax b c x φ+∈. 4、解含有绝对值不等式的主要方法: ①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式(组)进行求解; ②去掉绝对值的主要方法有: (1)公式法:|| (0)x a a a x a <>?-<<,|| (0)x a a x a >>?>或x a <-. (2)定义法:零点分段法;(3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方. 五、其他常见不等式形式总结: 一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空: 当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示) (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE. ①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值. (3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标. 【答案】(1)CB的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4. 【解析】 【分析】 (1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2) ①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标. 【详解】 (1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b, ∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b, 故答案为CB的延长线上,a+b; (2)①CD=BE, 理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB, 高中数学不等式专题教师版 一、 高考动态 考试内容: 不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式. 考试要求: (1)理解不等式的性质及其证明. (2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用. (3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法. (5)理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ 二、不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 (1) 不等(等)号的定义:.0;0;0b a b a b a b a b a b a <-=?=->?>- (2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3) 同向不等式与异向不等式. (4) 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 (1)a b b a >(对称性) (2)c a c b b a >?>>,(传递性) (3)c b c a b a +>+?>(加法单调性) (4)d b c a d c b a +>+?>>,(同向不等式相加) (5)d b c a d c b a ->-?<>,(异向不等式相减) (6)bc ac c b a >?>>0,. (7)bc ac c b a <>0,(乘法单调性) (8)bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向不等式相乘) (9)0,0a b a b c d c d >>< >(异向不等式相除) 11(10),0a b ab a b >>? <(倒数关系) (11))1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(平方法则) (12))1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(开方法则) 3.几个重要不等式 (1)0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 (2))2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若(当仅当a=b 时取等号) (3)如果a ,b 都是正数,那么 .2 a b +(当仅当a=b 时取等号) 极值定理:若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则: ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时,S 的值最小; ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时,P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等. 方程与不等式 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.已知关于的方程的解满足方程,则的值是( ) A. B. C. 2 D. 3 2.已知两数之和是10,比y的3倍大2,则下面所列方程组正确的是( ) A. B. C. D. 3.下列关于的方程中,有实数根的是( ) A. B. C. D. 4.分式方程的解为( ) A. B. C. D. 5.关于的不等式的解集如图,那么的值是() A.-4 B.-2 C.0 D. 2 6.甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市先降价20%,后又降价10%;乙超市连续两次降价15%;丙超市一次降价30%.那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算() A.甲 B.乙 C.丙 D.一样 7. 在=-4,-1,0,3中,满足不等式组的值是() A.-4和0 B.-4和-1 C.0和3 D.-1和0 8. ,是关于的一元二次方程的两个实数根,是否存在实数使成立则正确的是结论是( ) A.时成立 B.时成立 C.或2时成立 D.不存在 二、填空题(每小题3分,共24分) 9. 已知关于的一元一次方程的解是=2,则的值为. 10.小明星期天到体育用品商店购买一个篮球花了120元,已知篮球按标价打八折,那么篮球的标价是元. 11. 已知是二元一次方程组的解,则的值为 . 12.已知关于的方程有一个根是,则的值为 . 13.若,是方程的两实数根,那么的值为 . 14.若关于的分式方程有增根,则的值是 . 15.已知直线经过点(1,﹣1),那么关于的不等式的解集是 . 16.小红在解方程组的过程中,错把看成了6,其余的解题过程没有出错,解得此方程组的解为,又已知直线过点(3,1),则的正确值应该是. 三、解答题(本大题共8个小题,满分52分,需要有必要的推理与解题过程). 17.(本题4分)解方程 18.(本题4分)解方程组: 19.(本题6分,每小题3分)解方程: ⑴. ⑵. 20.(本题6分)解不等式组,并将其解集在数轴上表示出来. 1 1.不等式的解法 (1)同解不等式((1)与同解; (2)与同解,与同解; (3)与同解); 2.一元一次不等式 情况分别解之。 3.一元二次不等式 或分及情况分别解之,还要注意的三种情况,即或或,最好联系二次函数的图象。 4.分式不等式 分式不等式的等价变形: )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0,) () (x g x f ≥0????≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5.简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形: |x|0), |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<-a(a>0)。 一般地有: |f(x)| 1 线哪一侧的平面区域。特别地,当0C ≠时,通常把原点作为此特殊点。 (2)有关概念 引例:设2z x y =+,式中变量,x y 满 足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ,求z 的最大值和最 小值。 由题意,变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些 平面区域的公共区域。由图知,原点(0,0)不在公共区域内,当 0,0x y ==时,20z x y =+=,即点(0,0)在直线0l :20x y +=上, 作一组平行于0l 的直线l :2x y t +=,t R ∈,可知:当l 在0l 的右上方时,直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>,即0t >,而且,直线l 往右平移时,t 随之增大。 由图象可知,当直线l 经过点(5,2)A 时,对应的t 最大, 当直线l 经过点(1,1)B 时,对应的t 最小,所以, max 25212z =?+=,min 2113z =?+=。 在上述引例中,不等式组是一组对变量,x y 的约束条件,这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式,所以又称 为线性约束条件。2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式,叫目标函数。又由于2z x y =+是 ,x y 的一次解析式,所以又叫线性目标函数。 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值的问题,统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解。 O y x A C 430x y -+= 1x = 35250x y +-=高中数学不等式知识点总结
2020年中考数学总复习:方程与不等式
高中不等式知识点总结
中考数学—分式的易错题汇编含解析
必修五不等式知识点总结
历年中考数学易错题汇编-旋转练习题及答案
关于高级高中数学不等式知识点总结归纳教师版
中考数学专题练习方程与不等式
高中不等式知识点总结(2020年九月整理).doc
中考数学易错题汇编及答案