初中函数综合试题附答案

二次函数与其他函数的综合测试题

一、选择题：（每小题3分，共45分）

1．已知h 关于t 的函数关系式为2

2

1gt h =，（g 为正常数，t 为时间），则函数图象为（ ）

（A ） （B ） （C ） （D ）

2．在地表以下不太深的地方，温度y （℃）与所处的深度x （k m ）之间的关系可以近似用关

系式y ＝35x ＋20表示，这个关系式符合的数学模型是（ ） （A ）正比例函数 （B ）反比例函数． （C ）二次函数 （D ）一次函数 3．（A ）m ＜0 （B ）m ＞0 （C ）m ＜

21 （D ）m ＞2

1

4．函数y = k x + 1与函数

x

y k =

在同一坐标系中的大致图象是（ ）

（A ） （B ） （C ） （D ）

5．下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2

与一次函数y ＝a x ＋c

的大致图像，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）

（A ） （B ） （C ） （D ） 6．抛物线1)1(22

+-=x y 的顶点坐标是（ ）

A ．（1，1）

B ．（1，－1）

C ．（－1，1）

D ．（－1，－1）

7．函数y =a x +b 与y =a x 2

+bx +c 的图象如右图所示，则下列选项中正确的是（ ） A ． a b >0， c>0 B ． a b <0， c>0 C ． a b >0， c<0 D ． a b <0， c<0 8．已知a ，b ，c 均为正数，且k=

b

a c

c a b c b a +=

+=+，在下列四个点中，正比例函数kx y = 的图像一定经过的点的坐标是（ ） A ．（l ，

21） B ．（l ，2） C ．（l ，－2

1

） D ．（1，－1） 9．如图，在平行四边形ABCD 中，AC=4，B D=6，P 是BD 上的任

一点，过P 作EF ∥AC ，与平行四边形的两条边分别交于点E ，F ．设BP =x ，EF =y ，则能反映y 与x 之间关系的图象为……………（ ）

10．如图4，函数图象①、②、③的表达式应为（ ）

A B

C

D

E

F

P

（A ）x y 25-

=，2+=x y ，x y 4-= （B ）x y 25=， 2+-=x y ，x y 4

=

（C ）x y 25-=，2-=x y ，x y 4

=

（D ）x y 25-=，2-=x y ，x

y 4

-=

11．张大伯出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，看了10分钟报纸后，

用了15分钟返回到家，下面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系（ ）

12．二次函数y =x 2

-2x +2有 （ ）

的图象与x 轴无交点．

5．二次函数)1()12(22-+++=m x m x y 有最小值，则m ＝_________；

6．抛物线322--=x x y 向左平移5各单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析

式为___________； 7．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可 盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价__________；

8．某学生在体育测试时推铅球，千秋所经过的路线是二次函数图像的一部分，如果这名学

生出手处为A （0，2），铅球路线最高处为B （6，5），则该学生将铅球推出的距离是________； 9．二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y 的图像与x 轴交点横坐标为－2，b ，图像与y 轴交点到圆点距离为3，则该二次函数的解析式为___________； 10．如图，直线)0(2?-=k kx y 与双曲线x

k

y =

在第一象限内的交点R ，与x 轴、y 轴的交点分别为P 、Q ．过R 作RM ⊥x 轴，M 为垂足，若△OPQ 与△PRM 的面积相等，则k 的值等于 ．

三、解答题：（1－3题，每题7分，计21分；4－6题每题8

分，计24分；本题共45分）

1已知二次函数c bx x y ++=2

的图像经过A （0，1），B （2，－1）两点． （1）求b 和c 的值；

（2）试判断点P （－1，2）是否在此函数图像上？ 2．已知一次函数y kx k =+的图象与反比例函数8

y x

=

的图象交于点P (4，n )． （1）求n 的值．（2）求一次函数的解析式． 3．看图，解答下列问题．

（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；

（2）通过配方，求该抛物线的顶点坐标和对称轴；

（3）用平滑曲线连结各点，画出该函数图象．

4．已知函数y =x 2

+bx -1的图象经过点（3，2） （1） 求这个函数的解析式；

（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3）当x >0时，求使y ≥2的x 的取值范围．

5．某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时间的每天销售统计

每件销售价（元） 50

60

70

75

80

85

… 每天售出件数

300 240 180 150 120 90

…

假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律．

（1）观察这些统计数据，找出每天售出件数y 与每件售价x （元）之间的函数关系，并写出该函数关系式．

（2）门市部原设有两名营业员，但当销售量较大时，在每天售出量超过168件时，则必须增派一名营业员才能保证营业有序进行，设营业员每人每天工资为40元．

求每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大（纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的余额，其它开支不计）

6．如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状．

（1） （2）

（1）一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离；

（2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0.4米的木板，除掉系木板用去的绳子后，两边的绳长正好各为2米，木板与地面平行．求这时木板到地面的距离（供选用数据：36.3≈1.8，64.3≈1.9，36.4≈2.1） 7．已知抛物线y ＝－x 2

＋mx －m ＋2．

（Ⅰ）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB ＝5，试求m 的值；

（Ⅱ）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值．

参考答案：

一、选择题： 1．A 2．D 3．D 4．B 5．D 6．A 7．D 8．A 9．A 10．C 11．D 12．C 13．C 14．A 15．C 二、填空题：1．2p ，21p -，p ，21p - ． 2 y =x 2-

3． 1 4．2或－1 5． 4

5

- 6．1082++=x x y 7．10元或20元

8．6＋52 9． 3412--=

x x y 或 34

1

2+=-=x x y 10．22 三、解答题：

1．

2．解：（1）由题意得：8

4

n =

， 2.n ∴= （2）由点P （4，2）在y kx k =+上，24,k k ∴=+ 2

5

k ∴=． ∴一次函数的解析式为2255

y x =

+． 3．解：（1）由图可知A （－1，－1），B （0，－2），C （1，1） 设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2

＋bx ＋c

依题意，得121

a b c c a b c -+=-??

=-??++=?

，

， 解得212a b c =??=??=-?，， ∴ y ＝2x 2＋x －2．

（2）y ＝2x 2

＋x －2＝2（x ＋41）2－8

17 ∴ 顶点坐标为（－

41，817），对称轴为x ＝－4

1 （3）图象略，画出正确图象

4．解：（1）函数y =x 2

+bx -1的图象经过点（3，2）

之

6．

（1） （2）

解：（1）如图，建立直角坐标系， 设二次函数解析式为 y ＝ax 2

＋c

∵ D （－0.4，0.7），B （0.8，2.2）， ∴ ?

??．＝＋，

＝＋2.264.07.016.0c a c a

∴ ???

??．

＝，＝2.0528c a ∴绳子最低点到地面的距离为0.2米．

（2）分别作EG ⊥AB 于G ，FH ⊥AB 于H ， AG ＝

21（AB －EF ）＝2

1

（1.6－0.4）＝0.6． 在Rt △AGE 中，AE ＝2，EG ＝

22AG AE －＝226.02-＝64.3≈1.9．

∴ 2.2－1.9＝0.3（米）． ∴ 木板到地面的距离约为0.3米．

1. 如图，已知点A （tan α，0），B （tan β，0）在x 轴正半轴上，点A 在点B 的左边，α、β 是以线段AB 为 斜边、顶点C 在x 轴上方的Rt △ABC 的两个锐角． （1）若二次函数y ＝－x 2

－

2

5

kx ＋（2＋2k －k 2）的图象经过A 、B 两点，求它的解析式； （2）点C 在（1）中求出的二次函数的图象上吗？请说明理由． 解：（1）∵ α，β是Rt △ABC 的两个锐角，

∴ tan α·tan β＝1．tan α＞0，tan β＞0． 由题知tan α，tan β是方程

x 2

＋2

5

kx －（2＋2k －k 2）＝0的两个根，

∴ tanx ·tan β＝（2＝2k －k 2）＝k 2－2k －2，∴ k 2

－2k －2＝1．

解得，k ＝3或k ＝－1． 而tan α＋tan β＝－

2

5

k ＞0， ∴ k ＜0．∴ k ＝3应舍去，k ＝－1． 故所求二次函数的解析式为y ＝－x 2

＋

5

x －1．

10255

∴ 点C 不在（1）中求出的二次函数的图象上．

2．已知抛物线2

y x kx b =++经过点(23)(10)P Q --，

，，． （1）求抛物线的解析式．

（2）设抛物线顶点为N ，与y 轴交点为A ．求sin AON ∠的值． （3）设抛物线与x 轴的另一个交点为M ，求四边形OANM 解：（1）解方程组01342k b

k b

=-+??

-=++?

图9

B C

O

y

x

A 得23

k b =-??

=-?，2

23y x x ∴=--．

（2）顶点17

(1

4)17sin 17

N ON AON -==，，，∠． （3）在2

23y x x =--中，令0x =得3y =-，(03)A ∴-，， 令0y =得1x =-或3，(30)M ∴，．

S 四边形67.52OAN ONM S S =+=

+=△△（面积单位） 3．如图9，抛物线y=ax 2

+8ax+12a 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC.

(1) 求线段OC 的长.

(2) 求该抛物线的函数关系式．

(3) 在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？ 若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在， 请说明理由.

解：（1）32；（2）343

38332-+-=x x y ；（3）4个点： 4．已知函数y=

x

2

和y=kx+l(k≠O)． (1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a 和k 的值； (2)当k 取何值时，这两个函数的图象总有公共点?

解；(1) ∵两函数的图象都经过点(1，a)，∴???

??+==1

12k a a ∴??

?==12k a (2)将y ＝

x

2

代人y=kx+l ，消去y ．得kx 2

+x 一2=0．

∵k≠O，∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可． ∵△＝1＋8k ， ∴1+8k≥0，解得k≥一8

1 ∴k≥一

8

1

且k≠0． 5．已知如图，矩形OABC 的长3OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。

（1）填空：∠PCB=____度，P 点坐标为（ ， ）；

（2）若P ，A 两点在抛物线y=－3

4 x 2

+bx+c 上，求b ，c 的值，

并说明点C 在此抛物线上；

（3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP

的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由. （1）30,（

23,2

3

）; （2）∵点P （

23,23），A （3，0）在抛物线上，故 -34×43

+b ×23 +c=23,-3

4×3+b ×3 +c=0, ∴b=3,c=1. ∴抛物线的解析式为y=-3

4x 2

+3x+1,C 点坐标为（0，1）. ∵

-3

4×02

+3×0+1=1，

∴ 点C 在此抛物上.

6.如图，二资助函数c bx x y ++=2

的图象经过点M （1，—2）、N （—1，6）.

（1）求二次函数c bx x y ++=2

的关系式.

（2）把Rt △ABC 放在坐标系内，其中∠CAB = 90°，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5。将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在抛物线上时，求△ABC 平移的距离.

解：（1）∵M （1，－2），N （－1，6）在二次函数y = x 2

+bx+c 的图象上，

∴??

?=+--=++.

61,21c b c b 解得???=-=.1,

4c b

二次函数的关系式为y = x 2

－4x+1.

（2）Rt △ABC 中，AB = 3，BC = 5，∴AC = 4，

解得.722

12

164±=+±=

x

∵A （1，0），∴点C 落在抛物线上时，△ABC 向右平移71+个单位. 7.如图，在平面直角坐标系中，两个函数62

1

,+-

==x y x y 的图象交于点A 。动点P 从点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ ∥x 轴交直线BC 于点Q ，以PQ 为一边向下作正方形PQMN ，设它与△OAB 重叠部分的面积为S. （1）求点A 的坐标.

（2）试求出点P 在线段OA 上运动时，S 与运动时间t （秒）的关系式.

（3）在（2）的条件下，S 是否有最大值？若有，求出t 为何值时，S 有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由.

（4）若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN 与△OAB 重叠部分面积最大时，运动时间t 满足的条件是____________.

解：（1）由??

?

??+-==,621

,

x y x y 可得???==.4,4y x ∴A （4，4）。

（2）点P 在y = x 上，OP = t ，

则点P 坐标为).2

2,22(

t t 点Q 的纵坐标为

t 22，并且点Q 在62

1

-x 上。 ∴

t x x t 212,62

1

22-=+-=， 即点Q 坐标为)2

2

,

212(t t -。 t PQ 2

2

312-

=。 当t t 2

2

22312=-

时，23=t 。 当时230

≤＜t ， 当点P 到达A 点时，24=t ，

当242

3＜t＜时， 1442362

92

+-=

t t 。 （3）有最大值，最大值应在230

≤＜t 中， 当22=t 时，S 的最大值为12.

（4）212≥t .

8．已知一次函数y=3+m(O

(1)直线AC 的解析式为________，直线l '的解析式为________ (可以含m)；

(2)如图，l 、l '分别与△ABC 的两边交于E 、F 、G 、H ，当m 在其范围内变化时，判断

四边形EFGH 中有哪些量不随m 的变化而变化?并简要说明理由；

(3)将(2)中四边形EFGH 的面积记为S ，试求m 与S 的关系式，并求S 的变化范围； (4)若m=1，当△ABC 分别沿直线y=x 与y=3x 平移时，判断△ABC 介于直线l ，l '之间部分的面积是否改变?若不变请指出来．若改变请写出面积变化的范围．(不必说明理由) 解： (1)y=x 3 +2 y=x 3-m

(2)不变的量有：

①四边形四个内角度数不变， 理由略；

②梯形EFGH 中位线长度不变(或EF+GH 不变)，理由略．

343

4? 把A(6，0)，D(2，4)代人得24

k b ?

+=?，

解得1

6

k b =-??

=?，

∴ 直线AD 的解析式为y=-x+6 . (3)存在．

Q 1(-32，32)； Q 2(32，-32)； Q 3(3，-3) ；

Q 4(6，6) .

10. 在平面直角坐标系中,已知A (0,2),B (4,0),设P 、Q 分别是线段AB 、OB 上的动点,它们同时出发,点P 以每秒3个单位的速度从点A 向点B 运动,点Q 以每秒1个单位的速度从点B 向点O 运动.设运动时间为t (秒).

(1)用含t 的代数式表示点P 的坐标; (2)当t 为何值时,△OPQ 为直角三角形?

(3)在什么条件下,以Rt △OPQ 的三个顶点能确定一条对称轴平行于y 轴的抛物线?选择一种情况,求出所确定的抛物线的解析式. 解:(1)作PM ⊥y 轴,PN ⊥x 轴.∵OA =3,OB =4,∴AB =5.

∵PM ∥x 轴,∴

OB AB

=

.∴45=.∴PM =5t . ∵PN ∥y 轴,∴PN PB OA AB =.∴5335

PN t

-=

.∴PN =3-95t . ∴点P 的坐标为(12

5

t ,3-95t ).

(2)①当∠POQ =90°时,t =0,△OPQ 就是△OAB ,为直角三角形. ②当∠OPQ =90°时,△OPN ∽△PQN ,∴PN 2

=ON ?NQ .(3-95t )2=125t (4-t -12

5

t ). 化简,得19t 2

-34t +15=0.解得t =1或t =

15

19. ③当∠OQP =90°时,N 、Q 重合.∴4-t =125t ,∴t =20

17

.

综上所述,当t =0,t =1,t =1519,t =20

17

时,△OPQ 为直角三角形.

(3)当t =1或t =15

19

时,即∠OPQ =90°时,以Rt △OPQ 的三个顶点可以确定一条对称轴平行于y 轴

的抛物线.当t =1时,点P 、Q 、O 三点的坐标分别为P (125,6

5

),Q (3,0),O(0,0).设抛物线的

解析式为y =a (x -3)(x -0),即y =a (x 2

-3x ).将P (125

,65)代入上式,得

a =-56.∴y =-5

6(x 2-3x ).

即y =-56x 2+5

2

x .

说明:若选择t =1519时,点P 、Q 、O 三点的坐标分别是P (3619,3019),Q (61

19,0),O (0,0).求得

抛物线的解析式为y =-1930x 2+61

30

x ,相应给分. 11．已知：抛物线m x x y --=22

（m>0）与y 轴交于点C ，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′点.

（1）求C 点、C ′点的坐标（可用含m 的代数式表示）

（2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 点的坐标（可用含m 的代数式表示） （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长. 12．抛物线y=3(x-1)+1的顶点坐标是（ A ）

A ．（1，1）

B ．（-1，1）

C ．（-1，-1）

D ．（1，-1） 13．如图，△OAB 是边长为23+的等边三角形，其中O 是坐标原点，顶点B 在y 轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A 落在边OB 上，记为A ′，折痕为EF.

（1）当A ′E//x 轴时，求点A ′和E 的坐标； （2）当A ′E//x 轴，且抛物线2

16

y x bx c =-

++经过点A ′和E 时，求抛物线与x 轴的交点的坐标；

（3）当点A ′在OB 上运动，但不与点O 、B 重合时，能否使△A ′EF 成为直角三角形？若能，请求出此时点A ′的坐标；若不能，请你说明理由.

解：（1）由已知可得∠A ，OE=60o , A ，

E=AE

由A ′E//x 轴,得△OA ，

E 是直角三角形，

设A ，

的坐标为（0，b ）

AE=A ，

E=3b ,OE=2b

所以b=1，A ，

、E 的坐标分别是（0，1）与（3，1）

（2）因为A ，

、E 在抛物线上，所以

所以1

36c b =??

?=

??

，函数关系式为213166y x x =-++ 由2131066

x x -

++=得123,23x x =-= 与x 轴的两个交点坐标分别是（3-，0）与（23，0）

（3）不可能使△A ′EF 成为直角三角形. ∵∠FA ，E=∠FAE=60o ,若△A ′EF 成为直角三角形,只能是∠A ，EF=90o 或∠A ，FE=90

o

若∠A ，EF=90o ,利用对称性,则∠AEF=90o , A ，

、E 、A 三点共线，O 与A 重合，与已知矛盾；

同理若∠A ，FE=90o

也不可能

所以不能使△A ′EF 成为直角三角形. 14.已知抛物线y=x2—4x+1.将此抛物线沿x 轴方向向

左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线. ⑴求平移后的抛物线解析式;

⑵若直线y=m 与这两条抛物线有且只有四个交点,求实数m 的取值范围;

O y

x

⑶若将已知的抛物线解析式改为y=ax2+bx+c(a ＞0，b ＜0)，并将此抛物线沿x 轴方向向左平移 -

b

a

个单位长度，试探索问题⑵． (1)解：142

+-=x x y 配方，得3)2(2

--=x y ，

向左平移4个单位，得3)2(2

-+=x y ∴平移后得抛物线的解析式为142++=x x y

(2)由(1)知，两抛物线的顶点坐标为(2，3)，(－2，－3)

解?????++=+-=1

4142

2

x x y x x y ，得???==10y x

∴两抛物线的交点为（0，1）

由图象知，若直线y ＝m 与两条抛物线有且只有四个交点时， m ＞－3且m ≠1

（3）由c bx ax y ++=2

配方得，a

b a

c a b x a y 44)2(2

2-++= 向左平移a

b

-

个单位长度得到抛物线的解析式为 ∴两抛物线的顶点坐标分别为)44,2(2a b ac a b --，)44,2(2

a

b a

c a b - 解???

????-+-=-++=a b

ac a b x a y a b ac a b x a y 44)2(44)2(2

2

得，???==c y x 0

∴两抛物线的交点为（0，c ） 由图象知满足（2）中条件的m 的取值范围是：

m ＞a

b a

c 442-且m ≠c

15.直线3

13

y x =-

+分别与x 轴、y 轴交于B 、A 两点． ⑴求B 、A 两点的坐标；

⑵把△AOB 以直线AB 为轴翻折，点O 落在平 面上的点C 处，以BC 为一边作等边△BCD 求D 点的坐标．

解：如图（1）令x=0，由13

3

+-

=x y 得 y=1 令y=0，由13

3

+-

=x y 得3=x ∴B 点的坐标为（3，0），A 点的坐标为（0，1） （2）由（1）知OB=3，OA=1

∴点E 坐标为（

233，2

3

） ∴D 点的坐标为（0，0）或（

233，2

3

） 16．已知抛物线y=ax 2

+bx+c 经过A ，B ，C 三点，当x≥0时，其图象如图所示．

(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；

(2)画出抛物线y=ax 2

+bx+c 当x<0时的图象；

(3)利用抛物线y=ax 2+bx+c,写出x 为何值时，y>0．

解：(1)由图象，可知A(0,2)，B(4,0)，C(5,-3)，

得方程组

解得

∴抛物线的解析式为

顶点坐标为

(2)所画图如图．

(3)由图象可知，当-10．

17．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，B(5，0)，M 为等腰梯形OBCD 底边OB 上一点，OD=BC=2，∠DMC=∠DOB=60°． (1)求直线CB 的解析式： (2)求点M 的坐标；

(3)∠DMC 绕点M 顺时针旋转α(30°<α<60°)后，得到∠D 1MC 1(点D 1，C 1依次与点D ，C 对应)，射线MD 1交直线DC 于点E ，射线MC 1交直线CB 于点F ，设DE=m ，BF=n ． 求m 与n 的函数关系式．

解：(1)过点C 作CA⊥OB，垂足为A ．在Rt△ABC 中，∠CAB=90°，∠CBO=60°， 0D=BC=2，∴CA=BC·sin∠CBO=3, BA=BC·cos∠CBO=1． ∴点C 的坐标为(4，3)．

设直线CB 的解析式为y=kx+b ，由B(5，0)，C(4，3)，

得

解得

∴直线CB 的解析式为y=-3x+53．

(2)∵∠CBM+∠2+∠3=180°，∠DMC+∠1+∠2=180°，∠CBM=∠DMC=∠DOB=60° ∴∠2+∠3=∠1+∠2,∴∠1=∠3． ∴△ODM∽△BMC． ∴OD·BC=BM·OM．

∵B 点为(5，0)，∴OB=5． 设OM=x ，则BM=5-x ．

∵OD=BC=2，∴2×2=x(5-x)．

解得x 1=1，x 2=4．

∴M 点坐标为(1，0)或(4，0)． (3)(I)当M 点坐标为(1，0)时，

(第25题)

(第28题) (第(1)小

(第(2)小

(第(3)小题

如图①，OM=1，BM=4．

∵DC∥OB，∴∠MDE=∠DMO． 又∠DMO=∠MCB,∴∠MDE=∠MCB． ∵∠DME=∠CMF=a,∴△DME∽△CMF.

∴CF=2DE ．

∵CF=2+n ，DE=m ， ∴2+n=2m ，即m=1+

2

n

(0

同理可得△DME∽△CMF， ∴DE=2CF.

∵CF=2-n ，DE=m ，∴m=2(2-n)，即m=4-2n(

2

1

(1) 当31

=

t 时，分别求出点D 和点E 的坐标； (2) 当3

1

=t 时，求直线DE 的函数表达式；

(3)如果记四边形MNPQ 的面积为S ，那么请写出面积S 与变量t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，是否存在s 的最大值？若存在，求出这个最大值及此时t 的值；若不存在，请说明理由。

19．如图，在ABC △中，1AB AC ==，点D ，E 在直线BC 上运动，设BD x =，CE y =． （1）如果30BAC ∠=o

，105DAE ∠=o

，试确定y 与x 之间的函数关系式；

（2）如果BAC ∠的度数为α，DAE ∠的度数为β，当αβ，满足怎样的关系式时，（1）中y 与x 之间的函数关系式还成立，试说明理由．

解：（1）在ABC △中，1

30AB AC BAC ===?，∠， 75ABC ACB ∴==?∠∠， 105ABD ACE ==?∠∠． 又105DAE =?∠，

75DAB CAE ∴+=?∠∠．

又75DAB ADB ABC +==?∠∠∠， CAE ADB ∴=∠∠．

ADB EAC ∴△∽△．

(第(3)小题

Ｂ Ｃ Ｅ

Ａ

Ｄ

（第22题

图）

AB BD

EC AC

∴=

． 即

11x y =，所以1

y x

=． （2）当αβ，满足关系式902

α

β-

=?时，函数关系式1

y x

=

仍然成立． 此时，DAB CAE βα+=-∠∠． 又90DAB ADB ABC α

βα+==?-

=-

∠∠∠，

S ∴的最大值为3

2

，此时2x =．

（3）延长MP 交CB 于Q ，则有PQ BC ⊥． ①若NP CP =，

PQ BC NQ CQ x ⊥==Q ，．

34x ∴=，

43

x ∴=．

②若CP CN =，则35

444

CN x PQ x CP x =-=

=，，， 516

449

x x x -=

∴=，． ③若CN NP =，则4CN x =-．

3

424PQ NQ x ==-Q ， ，

Q 在Rt PNQ △中，222PN NQ PQ =+．

2223(4)(42)()4

x x x ∴-=-+，128

57x ∴=． 综上所述，43x =，或169x =，或128

57

x =．

21. （2006·北京市海淀区）已知抛物线y x x c 12

2=-+的部分图象如图1所示。 图1 图2

（1）求c 的取值范围；

（2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线y x x c 12

2=-+的解析式；

（3）若反比例函数y k

x

2=

的图象经过（2）中抛物线上点（1，a ），试在图2所示直角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较y 1与y 2的大小.22. 解：（1）根据图象可知c <0 且抛物线y x x c 12

2=

-+与x 轴有两个交点 所以一元二次方程x x c 220

-+=有两个不等的实数根。 所以()?=--

=->244402

c c ，且c <0 所以c <1

（2）因为抛物线经过点（0，-1） 把x y ==-011，代入y x x c 12

2=-+ 得c =-1

故所求抛物线的解析式为y x x 12

21=-- （3）因为反比例函数y k x

2=

的图象经过抛物线y x x 12

21=

--上的点（1，a ） 把x y a ==11，代入y x x 12

21=--，得a =-2

把x a ==-12，代入y k

x

2=

，得k =-2

所以y x 22=

- 画出y x

22

=-的图象如图所示.

观察图象，y y 12与除交点（1，-2）外，还有两个交点大致为()-

12，和()

21，- 把x y =-=

122，和x y ==-212，分别代入y x x 12

21=--和y x

22

=-可知， ()-12，

和()21，-是y y 1

2与的两个交点

的∴b 、c 是一元二次方程x 2

－(2－a)x ＋4a ＝0的两实根．

∴△＝（2－a ）2

－4×4a

≥0，

∴a 3

－4a 2

＋4a －16≥0, 即（a 2

＋4）(a －4)≥0，故a ≥4. ∵abc ＞0，∴a 、b 、c 为全大于０或一正二负．

①若a 、b 、c 均大于０，∵a ≥4，与a ＋b ＋c ＝2矛盾； ②若a 、b 、c 为一正二负，则a ＞0，b ＜0，c ＜0,

则|a|＋|b|＋|c|＝a －b －c ＝a －(2－a)＝2a －2， ∵ a ≥4，故2a －2≥6