2019届高三数学入学调研考试卷(二)理

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库 1 2019届高三入学调研考试卷 理 科 数 学（二） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目

的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合{}2|230A x x x =--≥，{}2|4B x x =≤，则A B =（ ）

A ．[]2,1--

B ．[)1,2-

C ．[]1,1-

D ．[)1,2

2．i 为虚数单位，复数2i

i 1z =-在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第二象限 B ．第一象限 C ．第四象限 D ．第三象限 3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为甲x

、

乙x ，标准差分别为,甲乙σσ，则（ ）

A ．甲乙x x <，甲乙σσ<

B ．甲乙x x <，甲乙σσ>

C ．甲乙x x >，甲乙σσ<

D ．甲乙x x >，甲乙σσ> 4．已知函数()324x f x x =+，则()f x 的大致图象为（ ） A ． B ． C ． D ． 5．已知向量()3,1=a ，()0,1=-b ，(),3k =c ，若()2-⊥a b c ，则k 等于（ ）

A ．23

B ．2

C ．3-

D ．1 6．已知函数()()2sin f x x ω?=+，()0,0ω?><<π的部分图像如图所示，则ω，?的值分别是（ ） A ．31,4π B ．2,4π C ．34ππ, D ．24ππ, 此卷只装订不密封 班

级

姓

名

准考证号

考

场号

座位

号

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库 2 7．若过点()2,0有两条直线与圆222210x y x y m +-+++=相切，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．(),1-∞-

B ．()1,-∞+

C ．()1,0-

D ．()1,1-

8．运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为21-，则判断框中可以填（ ）

A ．64?a <

B ．64?a ≤

C ．128?a <

D ．128?a ≤

9．抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，点()0,2A ，若线段AF 的中点B 在抛物线上，则BF =（ ）

A ．5

4 B ．5

2 C ．22 D ．32

4

10．将半径为3，圆心角为23π

的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为

（ ）

A ．2π

B ．3

π C ．43π

D ．2π

11．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 1sin sin A

b

B C a c +=++，

则C 为（ ）

A ．6π

B ．3π

C ．23π

D ．56π

12．已知可导函数()f x 的定义域为(),0-∞，其导函数()f x '满足

()()20xf x f x -'>，则不等式()()()22017201710f x x f +-+-<的解集为（ ）

A ．(),2018-∞-

B ．()2018,2017--

C ．()2018,0-

D ．()2017,0- 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．已知实数x ，y 满足约束条件2060 230x y x y x y -≥???+-≤-≤??-，则23z x y =-的最小值是_____． 14．春节期间,某销售公司每天销售某种取暖商品的销售额y （单位：万元）与当天的平均气温x （单位：℃）有关．现收集了春节期间这个销售公司4天的x 与y 的数据列于下表： 平均气温（℃） 2- 3- 5- 6- 销售额（万元） 20 23 27 30 根据以上数据，求得y 与x 之间的线性回归方程y b x a =+的系数125b =-， 则a =________． 15．已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱最大侧面的面积为__________． 16．在直角坐标系xOy 中，如果相异两点(),A a b ，(),B a b --都在函数()y f x =的图象上，那么称A ，B 为函数()f x 的一对关于原点成中心对称的点（A ，B 与B ，A 为同一对）函数()6sin 0 2log 0

x x f x x x π?≤?=??>?的图象上有____________对关于原点成

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3 中心对称的点．

三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()2

*2n n n

S n +=∈N ．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设()*3n a n n b a n =?∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

18．（12分）某少儿游泳队需对队员进行限时的仰卧起坐达标测试．已知队员的测

试分数与仰卧起坐个数x 之间的关系如下：0,030

60,304080,4050

100,50

x x y x x ≤

队员最多进行三组测试，每组限时1分钟，当一组测完，测试成绩达到60分或以

上时，就以此组测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行三组；根据以往的训练统计，队员“喵儿”在一分钟内限时测试的频率分布直方图如下： （1）计算a 值； （2）以此样本的频率作为概率，求 ①在本次达标测试中，“喵儿”得分等于80的概率； ②“喵儿”在本次达标测试中可能得分的分布列及数学期望． 19．（12分）如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点． （1）求证：AB 1⊥平面A 1BD ； （2）求锐二面角A －A 1D －B 的余弦值；

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4

20．（12分）已知()23f x x =--，()21n g x x x ax =-且函数()f x 与()g x 在1x =处的切线平行．

（1）求函数()g x 在()()1,1g 处的切线方程；

（2）当()0,x ∈+∞时，()()0g x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围．

21．（12分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的5，13AB =． （1）求椭圆的方程； （2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．

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5

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程是()30,12x m m t y t ????=+?>=??为参数，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．

（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；

（2）若直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于点A ，B ，且1PA PB ?=，求实数m 的值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

设函数()212f x x x =--+．

（1）解不等式()0f x >；

（2）若0x ?∈R ，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．

1 2019届高三入学调研考试卷

理 科 数 学（二）答 案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】A

【解析】由一元二次不等式的解法可得， 集合{}{}223031A x x x x x x =--≥=≥≤-或，{}{}2|4|22B x x x x =≤=-≤≤， 所以{}[]212,1A B x x =-≤≤-=--，故选A ．

2．【答案】C

【解析】()

()2

i 12i i 11i i 1i 1z --===--=---，复数2i

i 1z =-在复平面内对应坐标为

()1,1-，所以复数2i

i 1z =-在复平面内对应的点在第四象限，故选C ． 3．【答案】C

【解析】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知甲乙x x >，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故甲乙σσ<． 故选C ．

4．【答案】A

【解析】因为()()3

24x f x f x x --==-+，所以函数为奇函数，排除B 选项，

求导：()()42

221204x x f x x '+=≥+，所以函数单调递增，故排除C 选项，

令10x =，则()1000

104104f =>，故排除D ．故选A ．

5．【答案】C

【解析】因为()2-⊥a b c ，)23,3-=a b 3330k +=，3k =-，故选C ．

6．【答案】C 【解析】因为51244T =-，2T ∴=，2T ωπ∴==π，又因为324f ??=- ???， 所以32sin 24???π+=- ???，3sin 14???∴π+=- ???，()3242k k ?π∴π+=-+π∈Z ， ()524k k ?π∴=-+π∈Z ，0?<<π，34?π∴=，故选C ． 7．【答案】D 【解析】由已知圆的方程满足2240D E F +->，则()44410m +-+>解得1m <； 过点有两条直线与圆相切，则点在圆外，代入有4410m -++>，解得1m >-， 综上实数m 的取值范围11m -<<，故选D ． 8．【答案】A 【解析】运行程序如下：1a =，0S =，1S =，2a =-，12S =-，4a =，124S =-+，8a =-，1248S =-+-，16a =，124816S =-+-+，32a =-，1248163221S =-+-+-=-，64a =，故答案为A ． 9．【答案】D 【解析】点F 的坐标为,02p ?? ???，所以A 、F 中点B 的坐标为,14p ?? ???，因为B 在抛物线上，所以将B 的坐标代入抛物线方程可得：212p =，解得：2p =2-（舍）， 则点F 坐标为2?????，点B 的坐标为2?????，由两点间距离公式可得32BF =D ． 10．【答案】A 【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则2233r ππ=?，1r ∴=，23122h =- 设内切球的半径为R 1322R =-，2R ∴=，33442233V R =π=π=??，

故选A ． 11．【答案】B

2 【解析】∵由正弦定理可得：sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =， ∴sin 1sin sin A

b

a

b

B C a c b c a c +=+=++++，整理可得：222a b c ab +-=，

∴由余弦定理可得：222

1

cos 22a b c C ab +-==，∴由()0,C ∈π，可得：3C π

=．

故选B ．

12．【答案】B

【解析】令()()2,0f x g x x x =<，()()()()()

243220x f x xf x xf x f x g x x x '--∴'==<'，

因为()()()22017201710f x x f +-+-<，

所以()()()()2220172017201710x g x x g +--<++，

因为()g x 在(),0-∞单调递减，

所以()()20170

20170

201820172017120171x x x g x g x +<+????-?，故选B ．

二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）

13．【答案】8-

【解析】实数x ，y 满足约束条件20

60 230

x y x y x y -≥???+-≤-≤??-的可行域如图：

目标函数23z x y =-，点()2,4A ，z 在点A 处有最小值：22348z =?-?=-，

故答案为8-． 14．【答案】775 【解析】由题意可得：235644x ----==-，20232730254y +++==， ∴()12772?5455a y b x -=+?-==．故答案为775． 15．【答案】5 【解析】正视图、侧视图为长方形，俯视图为三角形的几何体为三棱柱，由图形可知面DA '的面积最大为5． 16．【答案】3 【解析】()y f x =关于原点的对称图像的解析式为()y f x =--， 因此()f x 关于原点对称的点的个数实际上就是()()f x f x =--在()0,+∞上解的个数． 又当0x >时，()sin 2f x x π--=，考虑sin 2y x π=与6log y x =在()0,+∞上的图像的交点的个数．如下图所示，它们有3个公共点，从而()f x 有3对关于原点对称的点．

3

三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．【答案】（1）n a n =；（2）1313424n n n T +??=+-? ???．

【解析】（1）当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=；当1n =时，111a S ==，符合上式． 综上，n a n =．

（2）3n n b n =?，则1231323333n n T n =?+?+?+???+?，

234131323333n n T n +=?+?+?+???+?，

∴()

2311313233333313n n n

n n T n n ++--=+++???+-?=-?-，

∴1

3

13424n n n

T +??=+-? ???．

18．【答案】（1）0.03a =；（2）见解析．

【解析】（1）()0.010.010.05101a +++?=，∴0.03a =．

（2）由直方图可知，“喵儿”的得分情况如下：

ξ 0 60 80 100

p 0.1 0.3 0.5 0.1

①在本次的三组测试中，“喵儿”得80分为事件A ，则“喵儿”可能第一组得80分，

或者第二组得80分，或者第三组得80分，

则()0.50.10.50.10.10.50.555P A =+?+??=； ②()00.10.10.10.001P δ==??=， ()600.30.10.30.10.10.30.333P δ==+?+??=， ()10010.0010.3330.5550.111P δ==---=， 分布列如下： δ 0 60 80 100 p 0.001 0.333 0.555 0.111 数学期望()00.001600.333800.5551000.11175.48E ξ=?+?+?+?=． 19．【答案】（1）见解析；（2）6． 【解析】（1）取BC 中点O ，连结AO ．∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC ． ∵在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∴AO ⊥平面BCC 1B 1． 取B 1C 1中点O 1，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系： O xyz -，如图所示，则B (1，0，0)，D (-1，1，0)， A 1(0，23，A (0，03，B 1(1，2，0)，

4 ∴(11,2,3AB =-，()2,1,0BD =-，(13BA =-．

∴10AB BD ?=，110AB BA ?=，

∴1AB BD ⊥，11AB BA ⊥，∴AB 1⊥平面A 1BD ．

（2）设平面A 1AD 的法向量为(),,x y z =n ．

1,1,3(AD =--，1,2,0(0)AA =．

∵AD ⊥n ，1AA ⊥n ，∴100AD AA ?=?????=?n n ，∴

3020x y z y ?-+-==????，0

3y x z ==-?????，

令1z =得(3,,1)0=n 为平面A 1AD 的一个法向量．

由（1）知AB 1⊥平面A 1BD ，1AB 为平面A 1BD 的法向量， ∴11133

6

cos 222AB

AB AB ?--===??n n,n

∴锐二面角A －A 1D －B 的大小的余弦值为6

．

20．【答案】（1）220x y ++=；（2）(],4-∞．

【解析】（1）()2f x x '=-，()21n 2g x x a =+'-

因为函数()f x 与()g x 在1x =处的切线平行

所以()()11f g '='解得4a =，所以()14g =-，()12g '=-， 所以函数()g x 在()()1,1g 处的切线方程为220x y ++=．

（2）解当()0,x ∈+∞时，由()()0g x f x -≥恒成立得()0,x ∈+∞时， 221n 30x ax x -++≥即3

21n a x x x ≤++恒成立，

设()3

21n (0)h x x x x x =++>，

则()()()2223123x x x x h x x x +='-+-=， 当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以()()min 14h x h ==，所以a 的取值范围为(],4-∞． 21．【答案】（1）22194x y +=；(2)12-． 【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =． 由2213AB a b =+3a =，2b =． 所以椭圆的方程为22194x y +=． （2）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ， 由题意，210x x >>，点Q 的坐标为()11,x y --． 由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ， 从而()21112x x x x -=--????，即215x x =． 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236x y y kx +==???，消去y ，可得2632x k =+． 由方程组22194x y y kx ?+==????，消去y ，可得1294x k =+ 由215x x =()294532k k ++，两边平方，整理得2182580k k ++=， 解得89k =-，或12k =-． 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去； 当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．

5 所以，k 的值为12-． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．【答案】（1）见解析；（2）12m =或1．

【解析】（1）直线l 的参数方程是()30,12x m m t y t ????=+?>=??为参数， 消去参数t 可得3x m =+． 由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，可得C 的直角坐标方程：222x y x +=．

（2）把()312

x m t y t ???????=+=为参数，代入222x y x +=， 得223320t m t m m ++-=． 由0?>，解得13m -<<，∴2122t t m m =-， ∵121PA PB t t ?==，∴221m m -=±，解得12m =或1． 又满足0?>，0m >，∴实数12m =+或1．

23．【答案】（1）1|33x x x ???<>??

-?或；（2）1522m -<<． 【解析】

（1）函数()3,21212=31,2213,2

x x f x x x x x x x ??-+<-??=--+---≤≤???->??， 令()0f x =，求得13

x =-，或3x =， 故不等式()0f x >的解集为1|33x x x ???<>??

-?或； （2）若存在0x ?∈R ，使得()2024f x m m +<，即()2042f x m m <-有解，

由（1）可得()f x 的最小值为11531222f ??=-?-=- ???， 故25422

m m -<-，解得1522m -<<．