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2010年考研数学三真题及答案

2010年考研数学三真题一.选择题

1.若1])1(1[lim =--→x

x e a x

x 则a =

A0 B1 C2 D3

2.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使

21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则

A 21,21==

μλ B 21

,21-=-=μλ C 31,32==μλ D 3

2,32==μλ

3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是

A 0)(<'a f

B 0)(>'a f

C 0)(<''a f

D 0)(>''a f 4设10

)(,)(,ln )(x e x h x x g x x f ===则当x 充分大时有 Ag(x)

5设向量组线性表示，，，：，可由向量组s I βββααα??21r 21II ,,:，下列命题正确的是： A 若向量组I 线性无关，则s r ≤ B 若向量组I 线性相关，则r>s C 若向量组II 线性无关，则s r ≤ D 若向量组II 线性相关，则r>s 6.设A 为4阶实对称矩阵，且02

=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于

A ??????? ??0111

B ??????? ??-0111

C ??????? ??--0111

D ?????

? ??---0111 7.设随机变量X 的分布函数?????≥-<≤<=-1

,110,21

,0)(x e x x x F x

，则P （X=1)=

A0 B 21 C 12

1--e D 1

1--e

8.设)(1x f 为标准正态分布概率密度，)(2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若

???<>≥≤=)0,0(0

),(0),()(21b a x x bf x x af x f 为概率密度，则a,b 满足：

A2a+3b=4 B3a+2b=4 Ca+b=1 Da+b=2 二.填空题

9.设可导函数y=y(x),由方程??

=+-x

x t dt t x dt e 0

sin 2

确定，则

____________0

==x dx

10.设位于曲线)()

ln 1(12

+∞<≤+=

x e x x y 下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x

轴旋转一周所得空间区域的体积为____________

11.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为3

1p +，其中p 为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________

12.若曲线12

3+++=bx ax x y 有拐点(-1,0),则b=_____________

13.设A ，B 为3阶矩阵，且2,2,31=+==-B A B A ，则_________1

=+-B A

14.设

__________ET ,

1T )0)(,(N ,,1

321==>?∑=则计量的简单随机样本。记统是来自总体n i i X n X X X σσμ 三.解答题

15.求极限x

x x ln 11

)

1(lim -+∞

→

16.计算二重积分

dxdy y x 3

)(，其中D 由曲线21y x +=与直线围成及0202=-=+y x y x 。

17.求函数u=xy+2yz 在约束条件102

=++z y x 下的最大值和最小值。 18. （1）比较

[]??

?=+1

),2,1(ln )1ln(ln n dt t t dt t t n n

与的大小，说明理由。

（2）记[]?

?=+=1

),2,1()1ln(ln n dt t t u n

n ,求极限.lim n n u ∞

→

19.设

f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且

)3()2()()0(22

f f dx x f f +==?

（1）证明：存在);0()(),2,0(f f =∈ηη使（2）证明：存在0)(),3,0(=''∈ξξf 使 20

.的通解。

求方程组、）求（个不同的解。

存在已知线性方程组设b Ax a b Ax a b A ==???

?? ??=????? ??-=)2(.12.11,1101011λλλλ 21.设???

??--=0431410a a A ，正交矩阵Q 使得AQ Q T 为对角矩阵，若Q 的第一列为

T )1,2,1(6

，求a 、Q. 22.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为+∞

<<-∞+∞<<-∞=-+-y x Ae y x f y xy x ,,),(2

222求常数A 及条件概率密度).(x y f X Y

23.箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1，2，3个。现从箱中随机地取出2个球，记X 为取出的红球个数，Y 为取出的白球个数。（1）求随机变量（X,Y ）的概率分布；（2）求Cov （X,Y ）.

答案：CABC ADCA

9.-1 10.4

2π 11 )1(313

-p pe 12.3 13.3 14.2

2μσ+

三解答题 15.解：

ln 11ln 2ln ln )

1(lim 1

ln ln 1lim ln 1ln lim ln )1ln(lim

,0ln ,,ln 11lim ln )1ln(lim

ln ln -+∞

→+∞→+∞→+∞→∞→∞→=-∴-=-=-?=-→+∞→-?-=-e x x

x x x

x e x e x

x x x e xe x e x

x x x

x x x x x x

x x x x

x x

x 故而当

)(3)321(2

1)3(2)3()33(1

1210104

242232332232=

-+-+=

+=+=+++=??

??????+y y

dy y y dy y y dx xy x dy dxdy

xy x dxdy y y x xy x 原式 17.

解

：

5-550,55-,;55,).2,0,22(),2,0,22(),2,5,1(),2,5,1(),2,5,1(),2,5,1(,0

1002202202)10(2),,,(min max 222222=====--------??

?????

=-++='=+='=++='=+='-++++=u u u F E u C B u D A F E D C B A z y x F z y F y z x F x y F z y x yz xy z y x F z y x ，所以。两点处；在两点处在两处因为在最可能的最值点

令设λλλλλλ 18.

lim ,0ln lim )1(111ln ln .

ln )]1[ln(ln 0)1()2(.

ln )]1[ln(ln ,

ln )]1[ln(ln ,)1ln(,10)1(1

102

10101

==∴+=+=-=≤+=≤≤+≤+∴≤+≤≤∞

→∞→????????n n n n n n

n n

n n u dt t t n dt t n tdt t dt t t dt t t dt t t u dt t t dt t t t t t t t t t 从而知由因此，当解：

19.

)(),3,0(),,0)(,0)(0,30),()()0().

0()(),0(2

)

3()2(.

)

3()2()(],3,2[]3,2[)(2

)

3()2()

2().

0()(),0(2)()(2)(),(2)(2)0()2(20).

0()2()(),20()()()1(2121212

=''?∈='='∈∈≤<<====++=∈+===='=-∈-=≤≤=????ξξξξξξζηξηξζηζηζζζηηηηηf f f f f f f f f f f f f f x f f f f f f dx x f f dx x f f F F F F F dx x f x dt t f x F x 使得（从而存在），使，（），，（根据罗尔定理，存在且由于故由题设知使存在值定理，间，根据连续函数的介上的最小值与最大值之在介于故由题设知即），使，（，存在根据拉格朗日中值定理则设证：

为任意常数。

其中的通解为所以时，

当有解，（变换的增广矩阵施以初等行时，对当舍去。所以时，因为当。或于是的一个非零解，故是个不同的解，则的为设k k x b Ax B a a b Ax B

a a

b A b Ax b Ax b A r A r A Ax b Ax ,10101321,021230000101012,1)2(.2221

2300001010111111020111),1-,),,()(11-1,0)1()1(0-2,)1(22121???

?? ??+????? ??-==??????

??--=-=-=-=∴==??????

??+--→????? ?

?---====≠====+-===λλλλλλληηηη

为所求矩阵。

故则有令）

，，（的一个单位特征向量为属于特征值），，（的一个单位特征向量为属于特征值的特征值为所以的特征多项式由于解得的一个特征向量，于是

为），，解：由题设，（Q AQ Q Q A A E A a a a A A T T

,452,21316

103162213161

1012

14;

11-1315.

4,5,2),4)(5)(2(.2,1,121121043141012112111T ?????

??-=?

????

???? ??--=---+--=-=-=???

? ??=????? ??????? ??--=????? ??λλλλλλ

22.

)(),()(),(.1

,)(1,

,),()(2

2)(222)()

(22+∞<<-∞=

=+∞-∞∈=

===+∞<<-∞=====---+---+-∞

+∞

--∞

+∞

--∞

+∞

----+∞

∞

----+∞

∞

--+-+∞∞

-???

???y e

e e

e x

f y x f x y f x A A dx e A dx x f x e A dy e Ae dy

e A dy e

A dy y x f x f y x y xy x

x y xy x

X X Y x X x x y x

x x y y xy x X π

πππ时，当从而所以解：因

23.解：

（1）随机变量（X ，Y ）的概率分布为： X Y 0 1 2 0 1/5 2/5 1/15 1 1/5

2/15

(2)

3231152)(),(.

)(.3215121581520,

}2{,158}1{,52}0{31

311320,31}1{,32}0{-=?-=?-===?+?+?========?+?=====EY EX XY E Y X Cov XY E EY Y P Y P Y P EX X P X P 所以又所以，因为。

所以因为