矩阵理论

矩阵理论

通过学习矩阵理论这门课，发现在这个大数据的时代，矩阵理论是这个时代的基础学科，也是计算机飞速发展的引擎，它的重要性令我咂舌。一下内容是我对矩阵理论这门课程的总结和描述。

本门课程主要包含以下几部分内容：线性方程组、线性空间与线性变换、内积空间、特殊变换及其矩阵、范数及其应用、矩阵分析及其应用、特征值问题。

一 线性方程组

对*m n 矩阵A 施行一次初等行变换(初等行变换)，相当于在A 的左边(右边)乘以相应的m 阶(n 阶)初等矩阵。

由于现代计算机处理的数据越来越多，运行的任务越来越大，因此，对矩阵的处理复杂度就是我们关注的重点。

对行列式的拉普拉斯变换是将一个n 阶行列式的计算转化为n 个1n -阶行列式的计算，但是它的计算时间是!n 级。所以拉普拉斯展开定理在理论上非常重要，但在计算上一般仅用于低阶或特殊的行列式。

判断一个算法的优劣，有很多标准，包括时间复杂度和空间复杂度，显然，时间复杂度越小，说明算法效率越高，因此算法也越有价值；而空间复杂度越小，说明算法越好。但主要考虑时间复杂度，因为人生苦短嘛哈哈。

对于一些常用的()f n ，成立下列重要关系：

23(1)(log )()(log )()()

(2)(3)(!)()n n n O O n O n O n n O n O n O O O n O n <<<<<<<<<

LU 分解就是致力于对降低对方程组求解的复杂度。LU 分解就是在可以的情况下，将矩阵A 分解成单位下三角矩阵和一个上三角的乘积。这样的话，对Ax b =求解，可以转化为对Ly b =求解，然后对Ux y =求解。但是，不是每一个矩阵都可以这样分解，是要满足一定的要求的，这个要求就是矩阵A 的顺序主子式均不为零。

但是不满足这个条件的矩阵就不能分解了吗？当然不是啦！加入一个方阵A 不是顺序主子式不全为零的时候，但是通过行变换，可以满足要求，这样就得了下面这个定理。

如果存在置换矩阵P 、单位下三角矩阵L 与上三角矩阵U ，使得方阵A 满足P A L U =，称作带置换的LU 分解。

在计算机处理数据的过程中，由于其精度的问题，可能会出现大数吃掉小数的情况，这就是小主元带来的误差危害，因此在消去的过程中，可以通过选主元技术，以避免方大数据误差。

二 线性空间与线性变换

向量空间是本科的线性代数曾经学习过的，而现在学的矩阵理论这门课程，引入了新的概念——线性空间。如果把向量空间比作“原始人”，那么线性空间就是“现代人”。

什么是向量空间呢？如果n 维向量的非空集合V 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合V 为向量空间。一个很容易犯的错就是集合

1212{[,,1],,}T V x x x x x x R ==∈

不是一个向量空间。因为加法不封闭。

线性空间是线性代数最基本的概念之一，是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向量空间在元素和线性运算上的推广和抽象。线性空间中的元素可以是向量、矩阵、多项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉的一般运算，也可以是各种特殊的运算。线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、基、坐标等的定义和结论都可以推广到一般线性空间。尤其是坐标，能够将一般线性空间的问题转化成向量空间的问题，是一个十分有力的工具。

从向量空间到线性空间，依然要满足一下8条运算律：

交换律：αββα+=+

加法结合律：()()αβγαβγ++=++

具有加法单位元（零向量）2R θ∈，使得αθα+= 具有加法逆元（负向量）2

R α-∈，使得()ααθ+-= 数乘的结合律：()()k l kl αα=

数乘的单位元：1αα?=

分配律1：()k k k αβαβ+=+

分配律2：()k l k l ααα+=+

这八个运算律是线性空间的本质特性，因此，可以这样定义线性空间：如果非空集合V 对于加法及数乘两种运算封闭，并且对于加法和数乘满足上面8条运算律，那么就称集合V 为数域F 上的线性空间。当然，这里的线性不再只是我们以前简单认为的线性，而是可以自己定义运算规律的。

线性变换

线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间中元素间的一种基本联系，体现出一种“动态的”或者“直观的”视角。借助基的概念，可在线性变换与矩阵之间建立一一对应关系，因此通俗地讲“变换即矩阵”。常见的变换有旋转变换（Givens 变换）、反射变换

（Householder 变换）、伸缩变换、投影变换。

同一个线性变换，当基改变后，它的矩阵表示也改变，但矩阵表示是相似的。相似变换矩阵就是线性空间中不同基间的过渡矩阵。

矩阵的Jordan 标准型

相似矩阵有许多相似不变量：特征多项式、特征值、行列式、迹及秩等，这自然导出了寻找相似矩阵集合中的“代表矩阵”的问题。“代表矩阵”当然越简单越好。对于可对角化矩阵，“代表矩阵”就是特征值组成的对角矩阵。但是一般矩阵未必与对角矩阵相似，因此找一个与对角阵接近的矩阵，这就是研究约旦标准型的目的。

三 内积空间

现实世界是3维空间，也就是欧几里得空间，将它推广到维空间，也就是定义了内积的线性空间就是欧氏空间，内积公式为1122(,)n n x y x y x y x y ≡+++ ，其中，有一个

重要的不等式——柯西--施瓦茨不等式：

2(,)(,)(,)x y x x y y ≤，还有一个平行四边形公式（可以通过内积公式来证明），即平行四边形的对角线长度的平方和等于四边的边长的平方和：2222

22x y x y x y ++-=+。通过内积运算，可以在n 维空间得到标准正交基。

QR 分解在矩阵计算中占据相当重要的地位。利用QR 分解，可以解决各种应用中出现的最小二乘问题、特征值问题等矩阵计算中的核心问题。QR 分解也是基于内积以及标准正交化运算而得出的，把一个矩阵分解成QR 形式，对于计算机运行来说大大的降低了复杂度。

当线性空间中向量的坐标分量的取值由实数域推广为复数域时，欧氏空间中关于向量的内积、标准正交基、向量元素之间的正交变换等概念和结论都可以“平滑地”推广到所谓酉空间。

四 特殊变换及其矩阵

特殊变换及其矩阵关心永恒的主题----“对角化”的问题，对称矩阵最主要的性质是可以对角化，尤其是可以正交对角化。

方阵A 是正规的，当且仅当A 与对角矩阵酉相似，并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特征值。

方阵A 是正规的，当且仅当A 有n 个两两正交的单位特征向量,即对应于不同特征值的特征子空间相互正交（完备正交系）。

Hermite 矩阵可对角化，同样，实数空间中的正交空间也也可对角化，因此，可以将两

者联系起来。实对称矩阵A 满足关系式T A A =，推广到酉空间，相应的矩阵称为Hermite

矩阵，满足关系式H A A =. 奇异值分解也是一个重要的概念，大大降低了计算机的处理难度，已经成为矩阵计算中最有用和最有效的工具之一，并在最小二乘问题、最优化、统计分析、信号与图像处理、系统理论与控制等领域被广泛使用。对任意矩阵m n A C ?∈，都存在一个完全奇异值分解

*A U V =∑，并且奇异值{}j σ是唯一确定的，也就是任意矩阵酉等价于对角阵。

那么奇异值和特征值有什么区别呢？在本科的时候，我以为特征值就是奇异值呢，自从学了矩阵理论后，我才明白，他们是不同的：（1）基的数目不同（2）基的性质不同（3）适用矩阵不同（4）应用不同。特征值一般处理矩阵及其逆的问题；特征值一般处理矩阵迭代问题。

五 范数及其应用

对于实数和复数，由于定义了它们的绝对值或模，这样我们就可以用这个度量来表示它们的大小（几何上就是长度），进而可以考察两个实数或复数的距离。

如果V 是数域F 上的线性空间，对V 中的任意向量x V ∈，都有一个非负实数x 与之对应，并且具有下列三个条件（正定性、正齐性和三角不等式）：

（1）正定性：0;

0x x x θ≥=?= （2）正齐性：;()x x F λλλ=?∈

（3）三角不等式：,,x y x y x y V +≤+∈ 则称x 是向量x 的向量范数，称定义了范数的线性空间V 为赋范线性空间。

向量是特殊的矩阵，*m n 矩阵可以看成一个mn 维向量，因此自然想到将向量范数推广到矩阵范数。因为是向量的推广，所以矩阵范数也要满足上面的三个性质。

矩阵不仅仅是向量，它还可以看成变换或算子。 实际中，从算子或变换的角度来定义范数更加有用。从几何上看，矩阵范数反映了线性映射把一个向量映射为另一个向量，向量的“长度”缩放的比例 的上界。

定义范数这个概念，有什么用途呢？当然有，定义一个概念就是为了应用它。长度和距离在实分析和复分析中的应用，我们已经有充分认识，而范数是长度和距离的推广，因此范数作为一种推广的度量，由于其抽象性和概括性，其应用范围自然也随之扩展。至少在矩阵分析和数值线性代数领域，范数有着深刻的应用。

从几何上看，用12,σσ为长、短轴作成的椭圆是所有椭圆中离矩阵A 对应的超椭圆“距离”最近的；如果使用123,,σσσ为轴作成椭球体，则得到所有椭球体中离矩阵A 对应的超椭圆“距离”最近的椭球体。按这种方式，r 步之后，就得到了A 的全部信息。但即使到了第r 步，我们也只利用了(21)r nr nr n r ++=+个数据，即矩阵的奇异值和对应的左右奇异向量。

六 矩阵分析及其应用

微积分在近代社会的巨大作用我们早已深有体会，将微积分中的极限、导数、积分、级数等分析思想和方法应用于矩阵的研究，自然就在情理之中。微积分的基础是数列极限的收

敛理论及其衍生出来的级数理论。矩阵可看成一个“超数”，因此类比可得矩阵序列与矩阵级数，只要找到度量两个“超数”距离的适当工具。在矩阵里，这就是范数。

矩阵也可以考虑他的收敛性，是这样定义的：矩阵数列中，每一个矩阵对应的位置上的元素均一致收敛于对应的值，那么就称这个矩阵具有收敛性。就相当于有一堆收敛的数列，而他们组合成一个矩阵后，这个矩阵就是收敛的。当然，矩阵这样定义了，就自然而然有了下面类似于实数数列的性质：*m n F 中的矩阵序列{},{}k k A B 分别收敛于,m n A B F ′?，则

(1)()lim k k k A B A B

→∞

±=± k k (2)(λA )=λA lim F

λ→∞?∈ 矩阵函数在力学、控制理论及信号处理等学科中具有重要应用。类比普通函数，矩阵函数的特殊之处在于其自变量与因变量都是方阵。矩阵函数与函数矩阵的微分、积分常常同时出现。研究矩阵函数和函数矩阵的微分、积分，这对研究微分方程组以及优化问题等都非常重要。

矩阵函数在控制领域的应用非常多，利用分析学的理论，可以将非线性问题近似成线性问题。事实上，用“线性化”处理非线性问题是一种重要的思维方式，其中最典型的就是线性微分方程组在线性系统中的应用。

矩阵理论书评

上了《矩阵理论》这门课，我受益匪浅，不仅懂得了更多的专业知识，也懂得了更多的课外知识。我接下来要写的书评，主要分三个方面：一是本书的学习心得，二是矩阵理论知识的重要性，最后是老师上课的讲课风格。

这本书，老师编的特别的通俗易懂。以前看的数学书，从小学到大学，从来没有一本数学书，是通过这样的方式展现给读者的，这让我看到这本书之后感觉特别新鲜。

以前看的数学书都是枯燥的公式，然后是枯燥的例子。可以说中国的数学教学模式是从俄罗斯传过来的，从小学学的数学来看，其中的例子就是工厂里缺什么了，然后又加了什么这类应用题，数学的模式一路都是这样的。但是老师编的这本书，让我眼前一亮，把数学的东西描述的口语化，并且还将中国的一些谚语运用在相应的知识里，让我们通过对比，更能感受到数学的魅力所在。

在考研的时候，我听过一位考研辅导老师讲课，他在讲课的时候就会讲一些有关的数学家的个人历史，让我们通过数学家以及数学历史来重新审视数学。同样，老师的这本书里边也穿插了很多数学家的历史，让我在学习矩阵理论的同时，也感受到数学家的伟大以及不易，对数学产生了莫名的敬畏感。

数学里写谚语或者古文，我觉得也特别新鲜，比如第二章中把向量空间和线性空间比喻成原始人和现代文明人，既贴切又符合语境，让读者不在感觉这只是本数学了。还有把线性空间中的八个公式比喻成二八佳人，哈哈，老师真的太有才了。在线性变换这一节，老师为了说明问题，就写了这么个笑话：汤教授某日因事不能去上课，事先在教室里的黑板上写了：汤老师今天将不能看到他的同学们了。而一个学生调皮，把classes 的c 擦去了，大家哄堂大笑，但是不妙的是，唐老师责任心强，办完事情又立马回到教室了，看到后，他没有生气，

而是把lasses的首字母去掉了，学生们都惊呆了，恍若驴鸣。看到这里，我也是笑得不行，变换实在太厉害了，通过这个笑话穿插在这一节，刚好说明了线性变换的奇妙与重要,不再认为这只是单调无味的数学公式了，而是更加感受到数学的魅力，就像必达格里斯的数学王国，数学是奇妙的，没有数学，这个世界会变成多么的单调啊！

但是有一个地方我不太明白，就是在第二章的最后，老师引用的沈从文先生的轶事，历尽艰辛，沈先生终于得愿，盼来了佳音：“乡下人，来喝杯甜酒吧”。这句话为什么用在这呢？看了之后，一时真有点摸不着头脑。

在特殊变换这一章，老师为了说明对称矩阵、正交矩阵、酉矩阵等此类矩阵都属于正规矩阵，又引出了一段唐太宗的故事：唐太宗见到新来的进士，作为一国之主，有会当凌绝顶、一览众山小的感觉，这些最拔尖的人才进到皇宫之后，当然是为了辅佐皇帝来治理这个国家的，然后唐太宗就说天下英雄来到了我的手下，成为了李家的人。通过这样的故事来让读者领略数学之美，然我感觉不像是在学数学，倒是像在读一本武侠小说哈哈！通过读这些故事，以及相应的数学知识，我突然想到了自然辩证法，任何东西是联系的，联系与发展是事物的本质，数学可以和任何东西联系在一块，看问题要用辩证的眼光去看，而不是孤单的只看到一点，比如看数学不要只看到公式，而是把他和其他的事情联系在一块，而老师把数学与中国的古文化联系在一起，让人耳目一新。就像我听过一个老师讲单词，他把九阳真经这样的武侠术语运用在记忆单词中，让我们感觉记单词像是在练功的过程一样，这样一单词也不觉得累。同样，老师在书中穿插的那些古文，也让我感觉像是在看武侠。把武侠与数学联系在一起，不禁让人感叹，世界的本源都是数啊！

课本中的关于数学家的历史知识也让我学到了很多，以前学数学，只是学里面的知识，没有对知识的起源做过探讨，现在看到这本书，也对数学家的事迹有了一定的了解，我对数学家当年的一些工作有了想了解的欲望，比如埃尔米特的例子：埃尔米特的研究领域涉及数论、二次型、不变量理论、正交多变量、椭圆等许多领域，数学中有很多以他的名字命名的东西。他在巴黎高师和巴黎大学执教20年，训练了一整代法国数学家，这样的天才，数学考试却是他一生的噩梦，老师惩罚他，用木棍打他，他恨死了，后来写到：“达到教育的目的是用头脑，而不是用脚，打脚有什么用？打脚可以是人的脑子更聪明吗？”它的数学特别好，是因为他花了许多时间去看牛顿、高斯的数学原著。他认为只有这样才能找到数学的美。这个故事也让我们现在的人深省，对于现在中国的应试教育，不是和埃尔米特说的那句话一样吗？中国的教育虽然一直提倡改革，但是这么几十年过去了，改变的却是少之又少，记得高中的时候，说是要实行素质教育，但是如同虚设，只是有了这么个名字，本质却还是应试教育。中国处于亚健康的人实在太多太多，而在初高中的时候，学生正是青少年时期，有一个健康的身体非常重要，但是应试教育却给学生的压力太大太大，使学生身体和心理都经历了极大的伤害。为什么中国的学生学的特别努力，但是真正走在世界前列的科学家却少之又少呢？就像“钱学森之问”，真正的原因是什么呢？是教育制度吗？当然，这些不是我们一个两个人能改变的，教育真的要改革，就像埃尔米特说的那样，打脚有什么用，那只是所谓的应试教育，要想散发每个人的聪明才智，需要从源头上释放束缚。

还有一个例子说的很好，就是Ky Fan，作为美籍华裔人，他的学术研究非常广泛，在拓扑群、非线性分析、不动点理论、凸分析等方面，都有很高的研究水平，在四十年代，他受大数学家外尔和分诺依曼等人的影响，成为无穷维空间的开路先锋和终身领袖。他在他对学生的训词中，常说的是“你们现在已经是数学家了，只要醒着，你就必须思考数学”。是啊，

数学是多麽美好的东西，他给这个世界带来了无穷无尽的繁华，因为数学，才有了现在这么美好的世界，想象一下，如果没有数学，这个世界会是什么样子的呢？醒着，就要思考数学，这是亘古不变的真理，因为数学有它的美和他的重要性。

老师对这本书的编排总体上非常好，对数学与历史的结合前无古人。但与此同时，我想提出一些自己关于这本书的建议修改的地方。我觉得目录有的地方条理性不太清晰，比如第一章中“历史开了个大玩笑”这样的题目放在目录中总感觉有些不妥，第二章中“从两个例子说起”这样的题目太过口语化，放在目录中好像不太合适吧。

课本中的历史知识的字体和课文一样，这样让读者抓不住重点，我觉得可以把历史知识的字体调成其他字体，比如可以调成楷体之类的，还有就是把历史知识和课文分的稍微开一点点。

接下来呢，说一下通过学习矩阵理论，对这一学科的认识以及这一学科对社会的影响做一简单的介绍。

矩阵理论在数值计算、线性规划、数据分析、科学试验、信号传输等重大领域有着极其广泛的应用。随着科技日新月异地进步，人类社会开始步入信息化、数字化时代，矩阵在生产实践中的应用越来越广泛，矩阵理论的研究也就越来越重要。矩阵理论在现代统计学的许多分支有着广泛的应用，成为统计学中不可缺少的工具，而且，随着研究的深入和应用的发展，矩阵与统计学之间的关系会越来越深刻。一方面，统计学对矩阵研究提出了许多新的研究课题，刺激了有关矩阵理论研究的发展;另一方面，矩阵理论中的结果被越来越多地应用于统计学的理论研究及其应用中。近三十年，许多统计学家致力于这方面的研究，并撰写了很多这方面的论文和著作，其中很多结论在统计学的研究中发挥着很大的作用。近三十年矩阵研究中一些与统计学有密切关系的新发展，这些研究结果一开始就渊源于统计问题。

矩阵理论这门课包括线性方程组、线性空间与线性变换、内积空间、特殊变化及其矩阵、范数及其应用、矩阵分析以及特征值问题。

线性方程组是本科学习的基本内容，通过线性方程组引入矩阵，让我觉得一个新概念引入的自然，不会觉得一个新的概念空穴来风而感觉摸不着头脑。然后是线性空间与线性变换，对方程组求解要对矩阵进行变换，自然而然的引入了航变换的概念，然后想当然的，也就有了列变换的概念。内积是从我们生活中的长度和角度的概念引入的。

当然，矩阵也有它对称之美，比如，对称矩阵就把对称展现的淋漓尽致。数学中的对称，在大自然中也有很多很多的例子，每一片雪花都是对称的，每一个牵牛花也是对称的，他们呈现出几何的多边形，雨滴和行星是球形的，晶体有着某种网络形的对称，星系呈螺旋形的对称，海浪的起伏在空间上是对称的。而大多数动物，如鹰、鲱鱼、大象等则是呈左右两边对称的。作为万物之灵的人，当我们站立时，也是一个完美的对称形体。曾经在树上看到古希腊哲人柏拉图说：“上帝是一个几何学家。”对称在中国的古文化中也展现的淋漓尽致，比如中国的古建筑，几乎都是对称的。

最近这几年“互联网+”这个概念风靡了中国，好像现在不说个互联网+就赶不上时代潮流了。是的，网络科技的发展，使现在的世界成了地球村，网络越来越发达，人们的沟通越来越方便，企业的生产越来越高度自动化，对于我们专业，以前都叫自动化孤岛，现在如果还是孤岛，那么只有死路一条。科技的发展，可能几十年前我们无法想象的。

现在网络的发达，存储大扩展，使得数据大量存在，我们就可以从里面挖掘到有用的信息，这是属于数据挖掘的知识。数据挖掘是从大量的数据中，提取隐含在其中的、人们事先

不知道的、但又是潜在有用的信息和知识的过程。最大优点在于它以一种更自动化的方式对大量的商业数据进行分析和探索。根据分析内容的类型，对数据进行挖掘的称为数据挖掘，对网页内容、结构、web日志等进行挖掘的称为web挖掘，对文本信息进行挖掘的成为文本挖掘，对图像、视频、声音等进行挖掘的称为多媒体数据挖掘等。尽管挖掘的资料不同，但技术上都有相同之处。前一段时间，我参加了一个淘宝穿衣搭配的比赛，就是通过淘宝给的用户购买历史数据以及类目数据和达人搭配数据等等，来建立模型，期间需要使用pyhton 语言进行一系列的矩阵运算，这就需要矩阵的知识，没有矩阵的知识，这样的问题不可能会被解决。再比如信用卡公司利用数据挖掘确定信誉不好或有潜在信誉风险的客户，规避信贷风险等。在保险业中，保险政策的制定者想知道什么样的保险费能吸引更多的顾客。数据挖掘可用来对个人，团体和企业等进行合理的分类，制定不同的费率，使得每一类顾客的保险费对双方（保险公司和顾客）都有利，这也是保险精算技术力求要解决的问题。由于保险的项目繁多，各公司争相运用数据挖掘的高招寻找合适各类顾客的价格和政策，其竞争相当激烈。通常竞争的成败很大程度上依赖于数据挖掘技术的开发深度和运用广度。但是，归根结底，数据挖掘运用的还是矩阵理论的基础，没有矩阵理论知识，就没有数据挖掘技术，那么还能想象现在这么人性化的网络技术吗？

学了矩阵，真的感觉矩阵是个伟大的东西，它可以将一堆数用用一个字母表示，并给它加上一些运算，在现代科技中展现了无限的潜能。

最后，我对老师的讲课风格做一些简单的评价。老师讲课风趣幽默，觉得上课一点也不枯燥，老师就像是大家的朋友，经常也会开一些玩笑以活跃气氛。并且在每节课的开始，都会通过一些诗句或者其他社会现象并行的引入当节课堂的内容，这也是以前的老师从来没有这样做过的，我觉得非常好，这样通过其他学科与矩阵理论对比，看到他们的相似之处，也不会觉得矩阵理论只是一门孤独的学科了，而是和其他学科紧密联系的，不仅包括工科类的，还有人文类的知识，这充分体现了大同思想，世界是大同的，矩阵也是高度一致的。但是，我觉得老师能在上课期间通过矩阵知识引入一些人生哲理，这样会更好，因为现在的年轻人太过于浮躁，价值观可以说严重扭曲，年轻人是祖国新的血液，如果整整一代人的价值观都不对，这样的社会是很可怕的，并且现在人的压力也很大，经常会看到新闻说到某某大学出现了学生跳楼事件，可见一少部分学生的心理疾病还是很严重的。师者，传道授业解惑也！老师能在这方面多涉及一些，即便学生们以后的工作与矩阵理论无关，在以后的人生中也会受益匪浅。

以上是我从学习《矩阵理论》这门课所获得的一些感想，从这门课程，学到了很多，不仅矩阵知识，还有人生哲理，还有老师上课风格对我的影响，很有幸遇到了李老师，像是朋友一样的老师。

第一章 第二讲 矩阵及矩阵初等变换2

第二讲 矩阵及初等变换（4节） 在上一讲中，我们简单介绍了n 元线性方程组的求解过程是如何用数表的形式来表达的思想，这种既能简化求解方程组的过程又使得求解形式简单明了的数表，我们称之为矩阵。 矩阵是线性代数中重要的概念之一，它的理论与方法在数学、经济、工程技术等方面都有较广泛的应用。著名的列昂节夫投入—产出模型就是利用矩阵这一数学工具建立起来的。因此掌握矩阵这一数学工具是非常必要的。 本讲的主要内容就是给出矩阵的概念及运算性质，为下一步更好地利用矩阵理论与方法讨论线性方程组提供有力的理论支撑。 1.2.1矩阵的概念 定义2.1 由m n ?个数i j a （=1,2,,i m ；=1,2,j n ）排成了m 行n 列的矩形数表 11121212221 2 n n m m m n a a a a a a a a a 称其为m 行n 列矩阵，记作 11121212221 2 n n m m m n m n a a a a a a a a a ??? ? ? ? ??? 。 其中称ij a 是矩阵的第i 行第j 列元素。矩阵常用大写字母m n A ?，m n B ?… ...表示，或简记m n A ?=()ij m n a ?，m n B ?=()ij m n b ?… … 等. 注意：矩阵的行数m 与列数n 可以不相等，行列相同的矩阵称为方阵. 例如 2行3列矩阵 23231 0-2=2 5 -3A ???? ??? ， 2行2列矩阵 2222 2 1=1 6B ???? ?-??。 例2.1例：给个具体的矩阵表示实例 1.2.2矩阵的运算 矩阵也有加、减、数乘、乘法等基本运算法则，以及转置运算等.由于矩阵是个数表，所以它的运算法则与数之间的运算法则有本质上的区别。下面我们先给出矩阵的基本的运算. 定义2.2 若两个行列相同的矩阵() () ,ij ij m n m n A a B b ??==其对应元素相等，即

矩阵理论在通信的应用

矩阵理论在通信网络中的应用 ——利用幺模矩阵分析最小费用流问题 摘要 将通信网络中节点间的业务看作是一个流，假设一对节点间存在v个流量的业务需求，怎样使得最终达到满足要求且费用最小。通过线性规划建模，利用矩阵理论中完全幺模矩阵以及幺模矩阵的知识，保证求得的最优解为整数解，使得最小费用流问题得以解决。 关键字：最小费用流，完全幺模矩阵，幺模矩阵，整数解 ABSTRACT View the business communication between nodes in the network as a stream, a v of the flow between nodes business needs, how to make the end meet the requirements and minimum cost. The linear programming model, by using matrix theory totally unimodular matrix

and knowledge unimodular matrix, guarantee to obtain the optimal solution for the integer solution, so that the minimum cost flow problem can be solved. Key Words: Minimum Cost Flow ,Totally Unimodular ,Unimodular , integer solution 第一章矩阵理论简介 根据世界数学发展史的记载，矩阵理论概念剩余19世纪50年代，是为了解决线性方程组的需要而诞生的。1855年，英国数学家Caylag在研究线性变换下的不变量时，为了简介、方便而引入了矩阵的概念。矩阵的理论发展非常的迅速，到19世纪末，矩阵理论体系已经基本形成。到20世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。目前，它已近发展成为在物理、控制论、经济学、等学科有大量应用的分支。 用矩阵的理论与方法来处理通信网络技术中的各种问题已越来越普遍。在通信工程技术中引进矩阵理论不仅使理论的表达极为简捷，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是不容置疑的，更由于计算机和计算方法的普及发展，不仅为矩阵理论的应用开辟了广阔的前景，也使通信网络技术的研究发生新的变化，开拓了崭新的研究途径，例如网络中的最小费用流问题、最短分离路径对问题、多商品流问题等，无不与矩阵理论发生紧密结合。因此矩阵的理论与方法已成为研究通信工程技术的数学基础。

矩阵分析实验报告

矩 阵 分 析 实 验 报 告 学院：电气学院 专业：控制工程 姓名：XXXXXXXX 学号：211208010001

矩阵分析实验报告 实验题目 利用幂法求矩阵的谱半径 实验目的与要求 1、 熟悉matlab 矩阵实验室的功能和作用； 2、 利用幂法求矩阵的谱半径； 3、 会用matlab 对矩阵分析运算。 实验原理 理念 谱半径定义：设n n A C ?∈，1λ，2λ，3λ， ，j λ， n λ是A 的n 个特征值，称 ()max ||j j A ρλ= 为关于A 的谱半径。 关于矩阵的谱半径有如下结论： 设n n A C ?∈，则 （1）[]()()k k A A ρρ=； （2）2 2()()()H H A A AA A ρρ==。 由于谱半径就是矩阵的主特征值，所以实验换为求矩阵的主特征值。 算法介绍 定义：如果1λ是矩阵A 的特征值，并且其绝对值比A 的任何其他特征值的绝对值大，则称它为主特征值。相应于主特征值的特征向量1V 称为主特征向量。 定义：如果特征向量中最大值的绝对值等于单位值（例如最大绝对值为1），则称其为是归一化的。

通过形成新的向量' 12=c n V （1/）[v v v ]，其中c=v 且1max {},j i n i ≤≤=v v 可将特 征向量 '12n [v v v ]进行归一化。 设矩阵A 有一主特征值λ，而且对应于λ有唯一的归一化特征向量V 。通过下面这个称为幂法（power method ）的迭代过程可求出特征对λ，V ，从下列向量开始： []' 0=111X （1） 用下面递归公式递归地生成序列{}k X ： k k Y AX = k+11 1 k k X Y c += （2） 其中1k c +是k Y 绝对值最大的分量。序列{}k X 和{}k c 将分别收敛到V 和λ： 1lim k X V =和lim k c λ= （3） 注：如果0X 是一个特征向量且0X V ≠，则必须选择其他的初始向量。 幂法定理：设n ×n 矩阵A 有n 个不同的特征值λ1，λ2，···，，λn ，而且它们按绝对 值大小排列，即： 123n λλλλ≥≥≥???≥ (4) 如果选择适当的X 0，则通过下列递推公式可生成序列{[() ()( ) ]}12k k k k n X x x x '=???和 {}k c ： k k Y AX = (5) 和： 11 1k k k X Y c ++= (6) 其中： () 1k k j c x +=且{} ()()1max k k j i i n x x ≤≤= (7) 这两个序列分别收敛到特征向量V 1和特征值λ1。即： 1lim k k X V →∞ =和1lim k k c λ→∞ = (8) 算法收敛性证明 证明：由于A 有n 个特征值，所以有对应的特征向量V j ，j=1，2，···n 。而且它们是

上海交大矩阵理论大纲

上海交通大学研究生（非数学专业）数学基础课程 《矩阵理论》教学大纲（附：选课指南） 一．概况 1．开课学院（系）和学科：理学院数学系 2．课程代码： 3．课程名称：矩阵理论 4．学时/学分：51学时/3学分 5．预修课程：线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化，实对称矩阵与二次型）, 高等数学（一元微积分，空间解析几何，无 穷级数，常微分方程） 6．适合专业：全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类，以及人文学科等需要的专业（另请参看选课指南）。 7．教材/教学参考书： 《矩阵理论》，苏育才、姜翠波、张跃辉编，科学出版社，2006 《矩阵分析》, R.A. Horn and C.R. Johnson, Cambridge Press (中译本)，杨奇译，机械工业出版社，2005。 《矩理阵论与应用》，陈公宁编，高等教育出版社，1990。 《特殊矩阵》，陈景良，陈向晖，清华大学出版社，2001。 《代数特征值问题》，JH.威尔金森著，石钟慈邓健新译，科学出版社，2001。 二、课程的性质和任务 矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等学科都有广泛应用。电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于将来从事工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解矩阵理论的基本知识和数学思想，掌握有关的计算方法及技巧，提高学生的数学素质，提高科研能力，掌握矩阵理论在多元微积分、线性控制系统、微分方程、逼近理论、投入产出分析等领域的许多应用。 三、课程的教学内容和要求 矩阵理论的教学内容分为十部分，对不同的内容提出不同的教学要求。 (数字表示供参考的相应的学时数)

矩阵的开题报告doc

矩阵的开题报告 篇一：矩阵变换及应用开题报告 鞍山师范学院 数学系 13届学生毕业设计（论文）开题报告 课题名称：浅谈矩阵的变换及其应用 学生姓名：李露露 专业：数学与应用数学 班级：10级1班 学号： 30 指导教师：裴银淑 XX年 12月 26日 一、选题意义 1、理论意义： 矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种 十分重要的运算，它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到 非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解 决的问题。因此，矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义：

矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式 识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性，并起着 不可代替的作用。 二、论文综述 1、国内外有关研究的综述： 矩阵不仅是个数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具，因此国内 外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词， 他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年，凯莱发表了关于矩 阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后，国内外有了许多关于矩阵的 研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中，就有关于矩阵变换的内容， 在第一章中有关于矩阵初等变换的内容，并有初等变换在矩阵方程中的应用，在 第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金 斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的

CharlesR.Johnson联合编著的《矩 阵分析》也有关于矩阵变换的内容，此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外 关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展，为矩阵知识所涉及的各个领域都作出 了巨大贡献。 2 、本人对以上综述的评价： 矩阵理论一直都是各个学科的基本数学工具，矩阵变换是矩阵理论的基础， 近年来有许多关于矩阵变换的研究，这些研究将一些繁琐复杂的问题简单化，也 极大地推进和丰富了电子信息、航空航天等领域的发展，同时促进了更多的数学 家加入到研究矩阵变换的队伍中，这样就使得矩阵变换知识日渐完善，并应用到 更多的领域中去。 三、论文提纲 前言 (一)、矩阵初等变换及应用 1、矩阵初等变换的基本概念 2、初等变换在方程组中的应用 3、初等变换在向量组中的应用

矩阵理论

2011学年 (A) 学号姓名成绩 考试科目：《矩阵理论》（A）考试日期：2011年 1 月10 日 注意事项：1、考试7个题目共7页 2、考试时间120分钟 题目：一（本题35分） 二（本题18分） 三（本题14分） 四（本题08分） 五（本题07分） 六（本题09分） 七（本题09分） (注: I表示单位矩阵；H A表示H转置；det(A)代表行列式)

姓名： 学号： A 一. 填空(35分) ( 任意选择填写其中35个空即可 ) (1)1113A ??= ?-??，则2 (2)A I -= ，A 的Jordan 形A J = (2)若3阶阵2≠A I ，且2440-+=A A I ，则Jordan 形A J = (3) I 是单位矩阵，则范数1 ||I||||I||∞== ；cos 0n n ?= (4)Hermite 阵的特征根全为 , 斜(反)Hermite 阵的特征根必为纯虚数或 (5)秩 ()()()r A B r A r B ?-= ； ()A B A B +++?-?= ；； ()T T T A B A B ?-?= ；()H H H A B A B ?-?= (6) 若2320++=A A I ，则A 一定相似于 (7)d dt tA e = ，d dt tA e -= ，dsin(At)dt = (8)2()A A += ；00A B + ??= ??? ； (, 0)0A A + + ??- ??? = (9)设A 的各列互相正交且模长为1，则 H A A +-= (10)(),ij A a =则 2 2 ,,()()H H ij ij i j i j A A a AA a -=-=∑∑tr ||tr || (11) 若 ()0H A A =tr 则A = (12) (正规阵无偏性)若A 是上三角形正规阵，则A 一定是 (13) 若0n n n n B D C ???? ??? 为正规阵， 则D = (14)021, ,103a A B b ???? == ? ????? 则A B ?的特征根为 (15) 0.2 0.30.210.5 0.20.310.30.4 0.21A x ???? ???== ??? ???? ?? ?, , 则谱半径(最大特征根) ()A ρ范围是 ；且A x ∞ = ；||A||∞= (16)01,10A -??= ??? 则 ()=A H A e e

矩阵理论

矩阵理论 通过学习矩阵理论这门课，发现在这个大数据的时代，矩阵理论是这个时代的基础学科，也是计算机飞速发展的引擎，它的重要性令我咂舌。一下内容是我对矩阵理论这门课程的总结和描述。 本门课程主要包含以下几部分内容：线性方程组、线性空间与线性变换、内积空间、特殊变换及其矩阵、范数及其应用、矩阵分析及其应用、特征值问题。 一 线性方程组 对*m n 矩阵A 施行一次初等行变换(初等行变换)，相当于在A 的左边(右边)乘以相应的m 阶(n 阶)初等矩阵。 由于现代计算机处理的数据越来越多，运行的任务越来越大，因此，对矩阵的处理复杂度就是我们关注的重点。 对行列式的拉普拉斯变换是将一个n 阶行列式的计算转化为n 个1n -阶行列式的计算，但是它的计算时间是!n 级。所以拉普拉斯展开定理在理论上非常重要，但在计算上一般仅用于低阶或特殊的行列式。 判断一个算法的优劣，有很多标准，包括时间复杂度和空间复杂度，显然，时间复杂度越小，说明算法效率越高，因此算法也越有价值；而空间复杂度越小，说明算法越好。但主要考虑时间复杂度，因为人生苦短嘛哈哈。 对于一些常用的()f n ，成立下列重要关系： 23(1)(log )()(log )()() (2)(3)(!)()n n n O O n O n O n n O n O n O O O n O n <<<<<<<<< LU 分解就是致力于对降低对方程组求解的复杂度。LU 分解就是在可以的情况下，将矩阵A 分解成单位下三角矩阵和一个上三角的乘积。这样的话，对Ax b =求解，可以转化为对Ly b =求解，然后对Ux y =求解。但是，不是每一个矩阵都可以这样分解，是要满足一定的要求的，这个要求就是矩阵A 的顺序主子式均不为零。 但是不满足这个条件的矩阵就不能分解了吗？当然不是啦！加入一个方阵A 不是顺序主子式不全为零的时候，但是通过行变换，可以满足要求，这样就得了下面这个定理。 如果存在置换矩阵P 、单位下三角矩阵L 与上三角矩阵U ，使得方阵A 满足P A L U =，称作带置换的LU 分解。

矩阵与数值分析报告学习指导和典型例题分析报告

第一章 误差分析与向量与矩阵的数 一、容提要 本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系；掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析；熟练掌握向量和矩阵数的定义及其性质。 1．误差的基本概念和有效数字 1）．绝对误差和相对误差的基本概念 设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，则称a x -为近似值a 的绝对误差，简称为误差． 当0≠x 时，x a x -称为a 的相对误差．在实际运算中，精确值x 往往是未知的，所 以常把a a x -作为a 的相对误差． 2）．绝对误差界和相对误差界的基本概念 设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，如果有常数a e ，使得 a e a x ≤- 称a e 为a 的绝对误差界，或简称为误差界．称 a e a 是a 的相对误差界． 此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的，但是它们越小，说明a 近似x 的程度越好，即a 的精度越好． 3）．有效数字 设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，写成 ΛΛn k a a a a 21.010?±= 它可以是有限或无限小数的形式，其中),2,1(Λ=i a i 是9,,1,0Λ中的一个数字，k a ,01≠为整数．如果 n k a x -?≤ -102 1 则称a 为x 的具有n 位有效数字的近似值． 如果a 有n 位有效数字，则a 的相对误差界满足：n a a a x -?≤-11 1021 。 4）．函数计算的误差估计 如果),,,(21n x x x f y Λ=为n 元函数，自变量n x x x ,,,21Λ的近似值分别为n a a a ,,,21Λ，则

矩阵理论

1. 在R 22?中求矩阵 ?? ????=3021A 在基123111111,,,111000E E E ??????===????????????41000E ??=???? 下的坐标。 2. 试证：在R 22?中矩阵 123411111110,,,11011011αααα????????====????????????????线性无关，并求??????=d c b a α在1234,,,αααα下的坐标。 3. 在R 22?空间中，线性变换T ： ()221240,2114T X X X R ?-????=∈???????? ， 求T 在基123101111,,,000010ααα??????===????????????41111α??=???? 下的矩阵表示。 4. 设T 是线性空间3R 上的线性变换，它在R 3中基123,,ααα下的矩阵表示是 ???? ??????-=512301321A （1）求T 在基112123123,,ααααααβββ==+=++下的矩阵表示； （2）求T 在基123,,ααα下的核与值域。 5. 求下列矩阵的Jordan 标准及其相似变换矩阵P （1）??????????-----211212112 , （2）????? ???????-2000120010201012 . 6. 已知矩阵 310121013A -????=--????-??

验证A 是正规矩阵，并求A 的谱分解表达式。 7. 已知3阶矩阵 1114335A x y -????=????--?? 的二重特征值2λ=对应两个线性无关的特征向量 （1）求,x y ； （2）求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵； （3）求A 的谱分解表达式。 8. 已知矩阵 011101110A ????=?????? 验证A 是正规矩阵，并求A 的谱分解表达式。 9. 已知矩阵 024*********A ????????=???????? 验证A 是单纯矩阵，并求A 的谱分解表达式。 10. 设 000a a A a a a a ????=?????? 问a 取何值时，有lim 0k k A →∞ =。 11. 判断矩阵幂级数01 1634136k k ∞=??-??? ???-??? ?∑的敛散性。 12. 已知 13553 155A ????=????????，

几种矩阵完备算法的研究与实现_矩阵分析仿真大作业

几种矩阵完备算法的研究与实现 ——《矩阵分析》课程仿真作业报告* 刘鹏飞 电?系2016210858 摘要 矩阵完备是指从??部分已知的矩阵元素中恢复出整个矩阵。它在计算机视觉、推荐系统以及社交?络等??具有?泛的应?。矩阵恢复可以通过 求解?个与核范数有关的凸优化问题来实现。由此诞?了许多矩阵恢复的算 法，?如FPC算法等。FPC算法虽然实现简单，但其迭代速度较慢。在此基 础上，APG算法经过改进，能够提升迭代速度。但最?化核范数并不是求解 矩阵完备问题的唯??法，其中OptSpace算法构造了?个在流形上的优化问 题，相?于前两种算法能够以更?的精度恢复出原始矩阵。本?主要总结了 FPC、APG和OptSpace三种算法的步骤。特别地，对于OptSpace算法，本 ?提出了求解其中两个?优化问题的具体算法。最后，本?通过仿真实验和理 论分析?较了三种算法的特点，并给出了OptSpace算法的精度?于APG算 法的解释。 关键词：矩阵完备，核范数，FPC，APG，OptSpace 1介绍 1.1矩阵完备及其算法综述 矩阵完备是指从??部分已知的矩阵元素中恢复出整个矩阵。它在计算机视觉、推荐系统以及社交?络等??具有?泛的应?。矩阵完备可以描述成这样?个问题：对于?个m×n的矩阵M，其秩为r，我们只有对M中的部分采样，记*报告中所涉及到的仿真代码可在https://https://www.wendangku.net/doc/364231533.html,/s/1jHRcY8m下载 1

这些采样位置组成的集合为?，那么是否有可能从已知的部分元素中恢复出整个矩阵M。假如M为低秩矩阵，并且已知的元素?够多并且?够均匀地分布在整个矩阵中，那么我们可以通过解如下优化问题来恢复出原始矩阵[1]： min rank(W) s.t.W ij=M ij,(i,j)∈?(1-1)但是，问题(1-1)是?个NP难的?凸问题。在?定条件下，问题(1-1)可以转化成?个最?化核范数的问题。对于矩阵W m×n，W的核范数定义为其奇异值之和，即 ∥W∥?=min(m,n) ∑ k=1 σk(W)(1-2) 其中，σk(W)表?W第k?的奇异值。问题(1-1)可以转化成： min∥W∥? s.t.W ij=M ij,(i,j)∈?(1-3)对于(1-3)中带等式约束的问题，进?步地，可以将它凸松弛成?个?约束的 优化问题[2][3][4]： min 1 2 ∥A(W)?b∥22+μ∥W∥?(1-4) 其中，b是由矩阵中采样位置对应的元素组成的p×1维向量，p=|?|（|·|表?集合的势）；A:R m×n?→R p是?个线性映射，A(W)=(W ij)|(i,j)∈?；μ是?个可以调整的参数。 对于(1-4)中的?约束问题，?献[2][3]分别提出了Fixed Point Continuation （FPC）和Singular Value Thresholding（SVT）的算法。本?认为，这两种算法虽然出发点不同，但其实质都是梯度下降法，没有本质的差别，在算法实现上也基本?样。因此，本?只研究其中?种，即FPC算法。FPC算法虽然实现简单，但其迭代速度慢，效率不?。在此基础上，?献[4]做出了改进，提出?种Accelerated Proximal Gradient Singular Value Thresholding（APG）算法（该算法是在SVT算法上改进的，本?认为FPC和SVT实质上是?种算法，故不做区别），能够?幅度地提?收敛速度。 前?提到的?种算法，都是从(1-1)中的最?化秩的问题出发，经过?步步凸松弛得到的。与上述基本思路不同，?献[5]提出了OptSpace算法，它实质上是通过解另?种优化问题来实现矩阵完备： min F(W)= ∑ (i;j)∈? ∥M ij?W ij∥2 s.t.rank(W)=r(1-5)

矩阵论答案

习题 一 1．（1）因 cos sin sin cos nx nx nx nx ?? ? ? -?? cos sin sin cos x x x x ????-??= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n x n x n x n x ++?? ??-++?? ，故由归纳法知 cos sin sin cos n nx nx A nx nx ?? =??-?? 。 （2）直接计算得4 A E =-，故设4(0,1,2,3)n k r r =+=，则4(1)n k r k r A A A A ==-，即只需算出23,A A 即可。 （3）记J=0 1 0 1 1 0 ?????? ?????????? ，则 ， 112211111 () n n n n n n n n n n n n n n i i n i n n i n n n a C a C a C a C a C a A aE J C a J a C a a -----=-????????=+==?? ???????? n ∑。 2．设11 22 (1,0),0 a A P P a A E λλ-??===?? ?? 则由得 2 1112111 1 1 210 0 0 a λλλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,不可能。 而由2 112222 0 0 000 0 0 a λλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,知1i λ=±所以所求矩阵为1i PB P -， 其中P 为任意满秩矩阵，而 1231 0 1 0 1 0,,0 10 1 0 1B B B -??????===?????? --?????? 。 注：2 A E =-无实解，n A E =的讨论雷同。 3．设A 为已给矩阵，由条件对任意n 阶方阵X 有AX=XA ，即把X 看作2 n 个未知数时线 性方程AX -XA=0有2 n 个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵，

波士顿矩阵分析法----项目

波士顿矩阵 波士顿矩阵(BCG Matrix) 波士顿矩阵又称市场增长率-相对市场份额矩阵、波士顿咨询集团法、四象限分析法、产品系列结构管理法等。 目录 [隐藏] ? 1 模型介绍 ? 2 模型的重要假设 ? 3 如何用模型来分析 ? 4 波士顿矩阵的优点 ? 5 BCG矩阵的局限性 ? 6 波士顿咨询集团法的应用法则 ?7 波士顿矩阵分析在实际案例中的运用 [1] ?8 波士顿矩阵在酒类营销中的运用[2] ?9 参考文献 ?10 相关链接 [编辑] 模型介绍 制定公司层战略最流行的方法之一就是BCG矩阵。该方法是由波士顿咨询集团（Boston Consulting Group, BCG）在上世纪70年代初开发的。BCG矩阵将组织的每一个战略事业单位（SBUs）标在一种2维的矩阵图上，从而显示出哪个SBUs提供高额的潜在收益，以及哪个SBUs是组织资源的漏斗。BCG矩阵的发明者、波士顿公司的创立者布鲁斯认为“公司若要取得成功，就必须拥有增长率和市场分额各不相同的产品组合。组合的构成取决于现金流量的平衡。”如此看来，BCG的实质是为了通过业务的优化组合实现企业的现金流量平衡。 BCG矩阵区分出4种业务组合。 （1）问题型业务（Question Marks，指高增长、低市场份额） 处在这个领域中的是一些投机性产品，带有较大的风险。这些产品可能利润率很高，但占有的市场份额很小。这往往是一个公司的新业务。为发展问题业务，公司必须建立工厂，增加设备和人员，以便跟上迅速发展的市场，并超过竞争对手，这些意味着大量的资金投入。“问题”非常

贴切地描述了公司对待这类业务的态度，因为这时公司必须慎重回答“是否继续投资，发展该业务？”这个问题。只有那些符合企业发展长远目标、企业具有资源优势、能够增强企业核心竞争力的业务才得到肯定的回答。得到肯定回答的问题型业务适合于采用战略框架中提到的增长战略，目的是扩大SBUs的市场份额，甚至不惜放弃近期收入来达到这一目标，因为要问题型要发展成为明星型业务，其市场份额必须有较大的增长。得到否定回答的问题型业务则适合采用收缩战略。 如何选择问题型业务是用BCG矩阵制定战略的重中之重，也是难点，这关乎企业未来的发展。对于增长战略中各种业务增长方案来确定优先次序，BCG也提供了一种简单的方法。通过下图权衡选择ROI相对高然后需要投入的资源占的宽度不太多的方案。 （2）明星型业务（Stars，指高增长、高市场份额） 这个领域中的产品处于快速增长的市场中并且占有支配地位的市场份额，但也许会或也许不会产生正现金流量，这取决于新工厂、设备和产品开发对投资的需要量。明星型业务是由问题型业务继续投资发展起来的，可以视为高速成长市场中的领导者，它将成为公司未来的现金牛业务。但这并不意味着明星业务一定可以给企业带来源源不断的现金流，因为市场还在高速成长，企业必须继续投资，以保持与市场同步增长，并击退竞争对手。企业如果没有明星业务，就失去了希望，但群星闪烁也可能会闪花企业高层管理者的眼睛，导致做出错误的决策。这时必须具备识别行星和恒星的能力，将企业有限的资源投入在能够发展成为现金牛的恒星上。同样的，明星型业务要发展成为现金牛业务适合于采用增长战略。 （3）现金牛业务（Cash cows，指低增长、高市场份额） 处在这个领域中的产品产生大量的现金，但未来的增长前景是有限的。这是成熟市场中的领导者，它是企业现金的来源。由于市场已经成熟，企业不必大量投资来扩展市场规模，同时作为市场中的领导者，该业务享有规模经济和高边际利润的优势，因而给企业带来大量现金流。企业

矩阵理论报告

电子科技大学 矩阵理论课程报告 报告题目：线性投影非负矩阵分解 指导老师：高中喜 学生姓名：陈汪学号: 201521090515 专业：生命科学与技术学院

线性投影非负矩阵分解 摘要对非负矩阵分解迭代方法比较复杂的问题，提出了一种线性投影非负矩阵分解方法．从投影和线性变换角度出发，将Frobenius范数作为目标函数，利用泰勒展开式，严格导出基矩阵和线性变换矩阵的迭代算法，并证明了算法的收敛性.实验结果表明：该算法是收敛的；相对于非负矩阵分解等方法，该方法的基矩阵具有更好的正交性和稀疏性；人脸识别结果说明该方法具有较高的识别率．线性投影非负矩阵分解方法是有效的． 关键词投影非负矩阵分解，线性变换，人脸识别 Method for Linear Projective Non-negative Matrix Factorization Abstract To solve the problem that the iterative method for Non-negative Matrix Factorization,called Linear Projective Non-negative Matrix Factorization(LP-NMF) was proposed．LP-NMF，from projection and linear transformation angle，an objective function of Frobenius norm is considered．The Taylor series expansion is used．An itemtive algorithm for basis matrix and linear transformation matrix is derived strictly and a proof of algorithm convergence is provided．Experimental results show that the algorithm is convergent，and relative to Non-negative Matrix Factorization(NMF)and so on．The orthogonality and the sparseness of the basis matrix ale better，in face recognition,there is higher recognition accuracy．The method for LP-NMF is effective．Keywords Projective non-negative matrix hctorization，Linear transformafion，Face recognition X≈是从“对整体的感知由对组成整体的部分感知构成”观点出非负矩阵分解(NMF)WH 发而构建的数据处理方法.该方法揭示了描述数据的本质，并被广泛应用到数据降维、文本挖掘、光谱数据分析嘲、图像分析、人脸识别等诸多领域. X≈是基于线性变换Q而构建的.在LPBNMF 基于线性投影结构的非负矩阵分解(LPBNMF)WQX 中，提出了一个单调递减算法，定量地分析了基矩阵的正交性和稀疏性，并将它应用到有遮挡的人脸识别问题中. 本文基于LPBNMF方法，实现一种新的非负矩阵分解方法,我们称该方法为线性投影非负矩 X≈. 阵分解(（Line project Non-negative Matrix Factorization， LPNUM）方法，WQX

SWOT矩阵分析

SWOT矩阵分析 分析原理 SWOT是英文Strengths、Weaknesses、Opportunities和Threats的缩写，即企业本身的竞争优势，竞争劣势，机会和威胁。SWOT分析有其形成的基础。按照企业竞争战略的完整概念，战略应是一个企业"能够做的"（即组织的强项和弱项）和"可能做的"（即环境的机会和威胁）之间的有机组合。著名的竞争战略专家迈克尔.波特提出的竞争理论从产业结构入手对一个企业"可能做的"方面进行了透彻的分析和说明[1]，而能力学派管理学家则运用价值链解构企业的价值创造过程，注重对公司的资源和能力的分析[2]。SWOT分析，就是在综合了前面两者的基础上，以资源学派学者为代表，将公司的内部分析（即20世纪80年代中期管理学界权威们所关注的研究取向，以能力学派为代表）与产业竞争环境的外部分析（即更早期战略研究所关注的中心主题，以安德鲁斯与迈克尔.波特为代表）结合起来，形成了自己结构化的平衡系统分析体系。 SWOT分析实际上是将对企业内部和外部条件各方面内容进行综合与概括，进而分析组织的优劣势、面临的机会和威胁的一种方法。它将公司的战略与公司内部资源、外部环境有机结合起来。其中，优劣势分析主要是着眼于企业自身的实力及其与竞争对手的比较，而机会和威胁分析将注意力放在外部环境的变化及对企业的可能影响上，但是，外部环境的变化可能会给具有不同资源和能力的企业带来的机会与威胁却可能完全不同，因此，两者之间又有紧密的联系。当公司要拓展在某一新的业务或进行新的投资前，以及在制定销售计划时，所用的战略分析方法之一便是SWOT分析。采用这种决策方法的根本目的是把自己公司和竞争对手公司的优势、劣势、机会和挑战进行比较，然后决定某项新业务或新投资是否可行。做SWOT分析有利于自己的公司在做新业务前是否会充分发挥自己和长处而避免自己的短处，以趋利避害，化劣势为优势，化挑战为机遇。同时，也使自己的公司知道该从学习什么来面对市场商机。即所谓的知己知彼、百战不殆，从而降低公司的经营和投资风险。可见，清楚的确定公司的资源优势和缺陷，了解公司所面临的机会和挑战，对于制定公司未来的发展战略有着至关重要的意义。 特征 与其他的分析方法相比较，SWOT分析从一开始就具有显著的结构化和系统性的特征。就结构化而言，首先在形式上，SWOT分析法表现为构造SWOT结构矩阵，并对矩阵的不同区域赋予了不同分析意义；其次内容上，SWOT分析法的主要理论基础也强调从结构分析入手对企业的外部环境和内部资源进行分析。另外，早在SWOT诞生之前的20世纪60年代，就已经有人提出过SWOT分析中涉及到的内部优势、弱点，外部机会、威胁这些变化因素，但只是孤立地对它们加以分析。SWOT方法的重要贡献就在于用系统的思想将这些似乎独立的因素相互匹配起来进行综合分析，使得企业战略计划的制定更加科学全面。

基于Matlab 的 n阶非奇异方阵的LU分解实现

基于Matlab 的n阶方阵的LDU分解实现 1.引言 矩阵的LDU分解是“矩阵理论与方法”课程中非常重要的一部分。LDU分解在实际工程应用中也非常广泛。LDU分解可以将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个对角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。LDU分解主要应用在数值分析中，用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式。 将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L和U和对角矩阵的乘积，其中L和U 分别是下三角和上三角矩阵，D为对角矩阵。当A的所有顺序主子式都不为0时，矩阵A可以分解为A=LDU。即： Matlab 是很好的处理矩阵的工具。它的功能非常强大，包括创建矩阵，对矩阵求逆，转置等操作非常简单，使其成为图像处理，信号分析等领域常用的工具。Matlab 官方已经包括了对非奇异矩阵的LU分解函数[L,U]=lu(A)，为了加深对矩阵分解的理解，本文不采用Matlab 官方的LU分解函数对矩阵A进行LDU 分解，而是根据理论推导和编程实现LDU分解。 2.程序设计 2.1.输入合法检验 LU分解需要被分解矩阵A满足如下条件： 1)矩阵A为方阵 2)A的顺序主子式 全故LU分解需先检验A为n阶方阵，然后检验A的n-1个顺序主子式D k 不为0，才可进行LU分解。而检验主子式D 可以在n-1次循环LU分解中 k 进行，故先检验矩阵是否为方阵。 代码如下

2.2. n-1次循环LDU 分解 LDU 分解本质上是高斯消元法。实质上是将A 通过初等行变换变成一个上三角矩阵，其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵。从下至上地对矩阵A 做初等行变换，将对角线左下方的元素变成零，然后再证明这些行变换的效果等同于左乘一系列单位下三角矩阵，这一系列单位下三角矩阵的乘积的逆就是L 矩阵，它也是一个单位下三角矩阵。LDU 分解主要分为两步： 1根据高斯消元法对A i ()消元，消元矩阵为L i +1-1；2计算L i +1 -1A i ()=A i +1()以产生下一步迭代的A i ()。 2.2.1. 根据 构造L j ,L j -1(j =i +1) 高斯消元A i ()，使A i ()第i+1列从第i+2行至n 行都为0。构造消元矩阵L j ,L j -1。首先判断是否为0，为0则无法继续分解，退出；否则继续。 代码如下 2.2.2. 计算L i +1-1A i ()=A i +1() D k

上海交大研究生矩阵理论答案

n k r n n 1 2 习题 一 1．（ 1）因 cosnx sin nx sin nx cosnx cosx sin x sin x = cosx cos(n sin(n 1)x 1)x sin( n cos(n 1)x 1)x ，故由归纳法知 cosnx sin nx A 。 sin nx cosnx （ 2）直接计算得 A 4 E ，故设 n 4 k r (r 0,1,2,3) ，则 A n A 4 k A r ( 1) A ， 即 只需算出 A 2, A 3 即可。 0 1 0 1 （ 3 ）记 J= ，则 ， 1 0 n 1 n 1 2 n 2 n a C n a C n a C n a n C 1 a n 1 C n 1a A n (aE J ) n n C i a i J n i i 0 n n a n 。 C 1a n 1 a n 2. 设 A P 1 a 2 P 1(a 1,0),则由A 2 E 得 a 1时, 1 1 1 1 0 1 2 1 2 1 0 2 不可能。 1 而由 a 1 0时, 2 1 知 1 所以所求矩阵为 PB P 1 ， 其中 P 为任意满秩矩阵，而 i i 2 2 2 1 0 1 0 1 0 B 1 , B 2 , B 3 。 0 1 0 1 1 注： A 2 E 无实解， A n E 的讨论雷同。 3. 设 A 为已给矩阵，由条件对任意 n 阶方阵 X 有 AX=XA ，即把 X 看作 n 2 个未知数时线 性方程 AX XA=0 有 n 2 个线性无关的解， 由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵， 1

研究生矩阵理论知识重点

《矩阵理论》知识重点 一．概况 1．开课学院（系）和学科：理学院数学系 2．课程代码： 3．课程名称：矩阵理论 4．学时/学分：51学时/3学分 5．预修课程：线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化，实对称矩阵与二次型）, 高等数学（一元微积分，空间解析几何，无 穷级数，常微分方程） 6．适合专业：全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类，以及人文学科等需要的专业（另请参看选课指南）。 7．教材/教学参考书： 《矩阵理论》，苏育才、姜翠波、张跃辉编，科学出版社，2006 《矩阵分析》, R.A. Horn and C.R. Johnson, Cambridge Press (中译本)，杨奇译，机械工业出版社，2005。 《矩理阵论与应用》，陈公宁编，高等教育出版社，1990。 《特殊矩阵》，陈景良，陈向晖，清华大学出版社，2001。 《代数特征值问题》，JH.威尔金森著，石钟慈邓健新译，科学出版社，2001。 二、课程的性质和任务 矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等学科都有广泛应用。电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于将来从事工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解矩阵理论的基本知识和数学思想，掌握有关的计算方法及技巧，提高学生的数学素质，提高科研能力，掌握矩阵理论在多元微积分、线性控制系统、微分方程、逼近理论、投入产出分析等领域的许多应用。 三、课程的教学内容和要求 矩阵理论的教学内容分为十部分，对不同的内容提出不同的教学要求。 (数字表示供参考的相应的学时数) 第一章矩阵代数（复习，2） 1 矩阵的运算、矩阵的秩和初等变换、Hermite梯形阵、分块矩阵（2）

矩阵理论试卷(整理版)

山东科技大学2010研究生矩阵理论试卷 1、 在矩阵的四个空间中，行空间、列空间、零空间和左零空间中，维数与矩阵的秩相等的子空间是行空 间和列空间. 2、 在矩阵的四个基本子空间中，和列空间构成正交补的是 左零空间。 3、 利用QR 分解可以讲矩阵分解为正交阵和上三角形矩阵乘积。 4、 通过矩阵 svd 分解，可以获得矩阵四个基本子空间的标准正交基。 5、 将3×3矩阵的第一行加到第三行是初等变换，对应的初等矩阵式 ???? ? ??101010001 6、 当矩阵的零空间中有非零向量的时候，线性方程组Ax=b 有无穷多解。 7、 所有的2×2实矩阵组成一个向量空间，这个空间的标准基是 ???? ?????? ?????? ?????? ??1000010000100001 8、 通过施密特正交化可以获得矩阵的QR 分解。 9、 在选定一个基后，任何维数为n 的欧式空间与n R 同构。 10 如果将矩阵视为线性处理系统，矩阵有m 行，n 列，则输入空间的维数是n 。 二、判断题 1、给定一个线性空间，他的基不是唯一的，但是各个基中的基向量个数是相等的。（R ） 2、两个子空间的并集是一个子空间。（F ） 3、在线性方程组Ax=b ，当矩阵A 式列满秩的时候，无论向量b 是什么，方程组都有解。（F ） 4、线性变换在不同的基下的矩阵一般不同，同一线性变换的不同矩阵表示所对应的特征值都相同。（R ） 5、线性变换在不同基下的矩阵一般不同，但是对应同一线性变换的各个矩阵的特征向量都相同。（F ） 6、矩阵特征值的代数重数是该特征值对应的特征子空间的维数。（F ） 7、任何N ×N 的实矩阵都可以对角化。（F ） 8、矩阵的左逆就是矩阵的最小范数广义逆。（F ） 9、任何M ×N 实矩阵都有奇异值分解。（R ） 10、正交投影矩阵都是幂等矩阵。（R ） 三、（矩阵的四个基本子空间和投影矩阵） 设矩阵A 为 A=??? ? ??4242 1、求矩阵A 的四个基本子空间的基和维数 初等变换 ??? ? ??0042 dim R （A ）=dim R （T A ）=1 dim N （A ）=dim N （T A ）=1 R(A)的基 ???? ??22 R(T A )的基 ???? ??42 N(A)的基???? ??-12 N(T A )的基 ??? ? ??-11 2、画出矩阵A 的四个基本子空间的示意图。 自己画很好弄 3、写出投影到矩阵A 的列空间的正交投影矩阵，计算向量b=[0 1]T 在列空间上的投影矩阵。