几种典型电场线分布示意图及场强电势特点

匀强电场

等量异种点电荷的电场

等量同种点电荷的电场

－ － － －

点电荷与带电平+

孤立点电荷周围的电场 几种典型电场线分布示意图及场强电势特点表重点

一、场强分布图

二、列表比较 下面均以无穷远处为零电势点，场强为零。

孤立

的

正点

电荷 电场

线

直线，起于正电荷，终止于无穷远。

场强 离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点

组成的球面上场强大小相等，方向不同。 电势

离场源电荷越远，电势越低；与场源电荷等距的各点组成的球面是等势面，每点的电势为正。

等势面

以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越密。

孤立的 负点电荷

电场线

直线，起于无穷远，终止于负电荷。

场强

离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点

组成的球面上场强大小相等，方向不同。

电势

离场源电荷越远，电势越高；与场源电荷等距的各点

组成的球面是等势面，每点的电势为负。

等势面以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越密。

等量同种负点电荷电场

线

大部分是曲线，起于无穷远，终止于负电荷；有两条

电场线是直线。

电势每点电势为负值。

连

线

上

场

强

以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大

小相等，方向相反，都是背离中点；由连线的一端

到另一端，先减小再增大。

电

势

由连线的一端到另一端先升高再降低，中点电势最

高不为零。

中

垂

线

上

场

强

以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大

小相等，方向相反，都沿着中垂线指向中点；由中

点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一个位置

场强最大。

电

势

中点电势最低，由中点至无穷远处逐渐升高至零。

等量

同种

电场大部分是曲线，起于正电荷，终止于无穷远；有两条

线电场线是直线。正点

电荷

电势每点电势为正值。

连线上场

强

以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大

小相等，方向相反，都是指向中点；由连线的一端

到另一端，先减小再增大。

电

势

由连线的一端到另一端先降低再升高，中点电势最

低不为零。

中垂线上场

强

以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大

小相等，方向相反，都沿着中垂线指向无穷远处；

由中点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一个

位置场强最大。

电

势

中点电势最高，由中点至无穷远处逐渐降低至零。

等量异种点电荷电场

线

大部分是曲线，起于正电荷，终止于负电荷；有三条

电场线是直线。

电势

中垂面有正电荷的一边每一点电势为正，有负电荷的

一边每一点电势为负。

连

线

上

场

强

以中点最小不等于零；关于中点对称的任意两点场

强大小相等，方向相同，都是由正电荷指向负电荷；

由连线的一端到另一端，先减小再增大。

电

势

由正电荷到负电荷逐渐降低，中点电势为零。

中垂线上场

强

以中点最大；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相同，都是与中垂线垂直，由正电荷指向负电荷；由中点至无穷远处，逐渐减小。

电

势

中垂面是一个等势面，电势为零

例如图所示，三个同心圆是同一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列。A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上。A、C两点的电势依次为φA=10V和φC=2V，则B点的电势是

A.一定等于6V

B.一定低于6V

C.一定高于6V

D.无法确定

解：由U=Ed，在d相同时，E越大，电压U也越大。因此U AB> U BC，选B

要牢记以下6种常见的电场的电场线和等势面：

注意电场线、等势面的特点和电场线与等势面间的关系：

①电场线的方向为该点的场强方向，电场线的疏密表示场强的大小。

②电场线互不相交，等势面也互不相交。

③电场线和等势面在相交处互相垂直。

④电场线的方向是电势降低的方向，而且是降低最快的方向。

⑤电场线密的地方等差等势面密；等差等势面密的地方电场线也密。

二、电荷引入电场

1.将电荷引入电场

将电荷引入电场后，它一定受电场力Eq，且一定具有电势能φq。

2.在电场中移动电荷电场力做的功

在电场中移动电荷电场力做的功W=qU，只与始末位置的电势差有关。在只有电场力做功的情况下，电场力做功的过程是电势能和动能相互转化的过程。W= -ΔE=ΔE K。

⑴无论对正电荷还是负电荷，只要电场力做功，电势能就减小；克服电场力做功，电势能就增大。

⑵正电荷在电势高处电势能大；负电荷在电势高处电势能小。

⑶利用公式W=qU进行计算时，各量都取绝对值，功的正负由电荷的正负和移动的方向判定。

⑷每道题都应该画出示意图，抓住电场线这个关键。（电场线能表示电场强度的大小和方向，能表示电势降低的方向。有了这个直观的示意图，可以很方便地判定点电荷在电场中

受力、做功、电势能变化等情况。）

例. 如图所示，在等量异种点电荷的电场中，将一个正的试探电荷由a 点沿直线移到o 点，再沿直线由o 点移到c 点。在该过程中，检验电荷所受的电场力大小和方向如何改变？其电势能又如何改变？

解：根据电场线和等势面的分布可知：电场力一直减小而方向不变；

电势能先减小后不变。

例. 如图所示，将一个电荷量为q = +3×10-10C 的点电荷从电场中的A 点移到B 点过程，克服电场力做功6×10-9J 。已知A 点的电势为φA = - 4V ，求B 点的电

势。

解：先由W=qU ，得AB 间的电压为20V ，再由已知分析：向右移动

正电荷做负功，说明电场力向左，因此电场线方向向左，得出B 点

电势高。因此φB =16V 。

例.α粒子从无穷远处以等于光速十分之一的速度正对着静止的金核射去（没有撞到金核上）。已知离点电荷Q 距离为r 处的电势的计算式为 φ=

r kQ ，那么α粒子的最大电势能是多大？由此估算金原子核的半径是多大？

解：α粒子向金核靠近过程克服电场力做功，动能向电势能转化。设初动能为E ，到不能再接近（两者速度相等时），可认为二者间的距离就是金核的半径。根据动量守恒定律和能量守恒定律，动能的损失()

22v M m mM E k +=?，由于金核质量远大于α粒子质量，所以动能几乎全部转化为电势能。无穷远处的电势能为零，故最大电势能E =122100.32

1-?=mv J ，再由E=φq =r

kQq ，得r =1.2×10-14m ，可见金核的半径不会大于1.2×10-14m 。 例. 已知ΔABC 处于匀强电场中。将一个带电量q = -2×10-6

C 的点电荷从A 移到B 的过程中，电场力做功W 1= -1.2×10-5J ；再将该点电荷从B 移到C ，

电场力做功W 2= 6×10-6J 。已知A 点的电势φA =5V ，则B 、C 两点的电势分别

为____V 和____V 。试在右图中画出通过A 点的电场线。

解：先由W =qU 求出AB 、BC 间的电压分别为6V 和3V ，再根据负电荷A →B 电场力做负功，电势能增大，电势降低；B →C 电场力做正功，电势能减小，电势升高，知φB = -1V φC =2V 。沿匀强电场中任意一条直线电势都是均匀变化的，因此AB 中点D 的电势与C 点电势相同，CD 为等势面，过A 做CD 的垂线必为电场线，方向从高电势指向低电势，所以斜向左下方。 例. 如图所示，虚线a 、b 、c 是电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相同，实线为一个带正电的质点仅在电场力作用下，通过该区域的运动轨迹，P 、Q 是轨迹上的两点。下列

说法中正确的是

v

A.三个等势面中，等势面a 的电势最高

B.带电质点一定是从P 点向Q 点运动

C.带电质点通过P 点时的加速度比通过Q 点时小

D.带电质点通过P 点时的动能比通过Q 点时小

解：先画出电场线，再根据速度、合力和轨迹的关系，可以判定：质点在各点受的电场力方向是斜向左下方。由于是正电荷，所以电场线方向也沿电场线向左下方。答案仅有D

四、带电粒子在电场中的运动

1.带电粒子在匀强电场中的加速

一般情况下带电粒子所受的电场力远大于重力，所以可以认为只有电场力做功。由动能定理W =qU =ΔE K ，此式与电场是否匀强无关，与带电粒子的运动性质、轨迹形状也无关。 例. 如图所示，两平行金属板竖直放置，左极板接

地，中间有小孔。右极板电势随时间变化的规律如

图所示。电子原来静止在左极板小孔处。（不计重

力作用）下列说法中正确的是 A.从t=0时刻释放电子，电子将始终向右运动，直到打到右极板上

B.从t=0时刻释放电子，电子可能在两板间振动

C.从t=T /4时刻释放电子，电子可能在两板间振动，也可能打到右极板上

D.从t=3T /8时刻释放电子，电子必将打到左极板上

解：从t=0时刻释放电子，如果两板间距离足够大，电子将向右先匀加速T /2，接着匀减速T /2，速度减小到零后，又开始向右匀加速T /2，接着匀减速T /2……直到打在右极板上。电子不可能向左运动；如果两板间距离不够大，电子也始终向右运动，直到打到右极板上。从t=T /4时刻释放电子，如果两板间距离足够大，电子将向右先匀加速T /4，接着匀减速T /4，速度减小到零后，改为向左先匀加速T /4，接着匀减速T /4。即在两板间振动；如果两板间距离不够大，则电子在第一次向右运动过程中就有可能打在右极板上。从t=3T /8时刻释放电子，如果两板间距离不够大，电子将在第一次向右运动过程中就打在右极板上；如果第一次向右运动没有打在右极板上，那就一定会在第一次向左运动过程中打在左极板上。选AC

2.带电粒子在匀强电场中的偏转

质量为m 电荷量为q 的带电粒子以平行于极板的初速度v 0射入

长L 板间距离为d 的平行板电容器间，两板间电压为U ，求射出时

的侧移、偏转角和动能增量。 ⑴侧移：d U UL v L dm Uq y '=??? ????? ??=42122千万不要死记公式，要清楚物理过程。根据不同的已知条件，结论改用不同的表达形式（已知初

速度、初动能、初动量或加速电压等）。

U

m t

⑵偏角：d

U UL dmv UqL v v y '===2tan 2θ，注意到θtan 2L y =，说明穿出时刻的末速度的反向延长线与初速度延长线交点恰好在水平位移的中点。这一点和平抛运动的结论相同。

⑶穿越电场过程的动能增量：ΔE K =Eqy （注意，一般来说不等于qU ）

例 如图所示，热电子由

阴极飞出时的初速忽略

不计，电子发射装置的加

速电压为U 0。电容器板长

和板间距离均为L =10cm ，

下极板接地。电容器右端

到荧光屏的距离也是L =10cm 。在电容器两极板间接一交变电压，上极板的电势随时间变化的图象如左图。（每个电子穿过平行板的时间极短，可以认为电压是不变的）求：①在t =0.06s 时刻，电子打在荧光屏上的何处？②荧光屏上有电子打到的区间有多长？③屏上的亮点如何移动？

解：①由图知t =0.06s 时刻偏转电压为1.8U 0，可求得y = 0.45L = 4.5cm ，打在屏上的点距O 点13.5cm 。②电子的最大侧移为0.5L （偏转电压超过2.0U 0，电子就打到极板上了），所以荧光屏上电子能打到的区间长为3L =30cm 。③屏上的亮点由下而上匀速上升，间歇一段时间后又重复出现。

3.带电物体在电场力和重力共同作用下的运动。

当带电体的重力和电场力大小可以相比时，不能再将重力忽略不计。这时研究

对象经常被称为“带电微粒”、“带电尘埃”、“带电小球”等等。这时的问题实际上变成一个力学问题，只是在考虑能量守恒的时候需要考虑到电势能的变化。

例 已知如图，水平放置的平行金属板间有匀强电场。一根长l 的绝缘细绳一端

固定在O 点，另一端系有质量为m 并带有一定电荷的小球。小球原来静止在C 点。

当给小球一个水平冲量后，它可以在竖直面内绕O 点做匀速圆周运动。若将两板

间的电压增大为原来的3倍，求：要使小球从C 点开始在竖直面内绕O 点做圆周

运动，至少要给小球多大的水平冲量？在这种情况下，在小球运动过程中细绳所受的最大拉力是多大？

解：由已知，原来小球受到的电场力和重力大小相等，增大电压后电场力是重力的3倍。在C 点，最小速度对应最小的向心力，这时细绳的拉力为零，合力为2mg ，可求得速度为v =gl 2，因此给小球的最小冲量为I = m gl 2。在最高点D 小球受到的拉力最大。从C 到D 对小球用动能定理：222

12122C D mv mv l mg -=?，在D 点l mv mg F D 22=-，解得F =12mg 。 例已知如图，匀强电场方向水平向右，场强E =1.5×106V/m ，丝线长l=40cm ，

上端系于O 点，下端系质量为m =1.0×10－4kg ，带电量为q =+4.9×10-10C 的小球，

3

t +

将小球从最低点

A 由静止释放，求：⑴小球摆到最高点时丝线与竖直方向的夹角多大？⑵摆动过程中小球的最大速度是多大？

解：⑴这是个“歪摆”。由已知电场力F e =0.75G 摆动到平衡位置时丝线与竖直方向成37°角，因此最大摆角为74°。

⑵小球通过平衡位置时速度最大。由动能定理：1.25mg

0.2l =mv B 2/2，v B =1.4m/s 。 五、电容器

1.电容器

两个彼此绝缘又相隔很近的导体都可以看成一个电容器。

2.电容器的电容 电容U Q C =是表示电容器容纳电荷本领的物理量，是由电容器本身的性质（导体大小、形状、相对位置及电介质）决定的。

3.平行板电容器的电容 平行板电容器的电容的决定式是：d s kd s C επε∝=

4 4.两种不同变化

电容器和电源连接如图，改变板间距离、改变正对面积或改变板间电解质材料，都会改变其电容，从而可能引起电容器两板间电场的变化。这里一定要分清两种常见的变化：

⑴电键K 保持闭合，则电容器两端的电压恒定（等于电源电动势），这种情况

下带d d U E d S kd S C C CU Q 14∝=∝=∝=，，而电量επε ⑵充电后断开K ，保持电容器带电量Q 恒定，这种情况下

s

E s d U d s C εεε1,,∝∝∝ 例 如图所示，在平行板电容器正中有一个带电微粒。K 闭合时，该微粒恰好能保持静止。在①保持K 闭合；②充电后将K 断开；两种情况下，各用什么方法能使该带电微粒向上运动打到上极板？

A.上移上极板M

B.上移下极板N

C.左移上极板M

D.把下极板N 接地

解：由上面的分析可知①选B ，②选C 。

例 计算机键盘上的每一个按键下面都有一个电容传感器。电容的计算公式是d S C ε

=，其中常量ε=9.0×10-12F m -1，S 表示两金属片的正对面积，d 表示两金属片间的距离。当某一

键被按下时，d 发生改变，引起电容器的电容发生改变，从而给电子线路发出相应的信号。已知两金属片的正对面积为50mm 2，键未被按下时，两金属片间的距离为0.60mm 。只要电容变化达0.25pF ，电子线路就能发出相应的信号。那么为使按键得到反应，至少需要按下多大距离？K

N A

解：先求得未按下时的电容C 1=0.75pF ，再由1

221d d C C =得12d d C C ?=?和C 2=1.00pF ，得Δd = 0.15mm 。

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