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概率数学课后习题1-4章答案

新疆财经大学数学考研辅导班教学资料概率统计习题1-1

1.(1)

习题1-2

3．已知B A ,是二事件，且()5.0=A P ， ()7.0=B P ，()8.0=+B A P . 试求()A B P -与()B A P -.

解：因为()()()()4.0=+-+=B A P B P A P AB P ，所以()()()3.0=-=-AB P B P A B P ,

()()()1.0=-=-AB P A P B A P .

4．已知()()41=

=B P A P ，()21=C P ，()8

=AB P ，()()0==CA P BC P . 试求C B A ,,中有一个发生的概率.

解：()()()()()()()()ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=++

因为()()()

0==CA B P CA P ABC P ，而ABC AC ?，所以()()0=≥ABC P AC P ，即()0=AC P . 故，()()()()()()()()ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=++

()()()()()8

-++=++AB P C P B P A P C B A P .

6．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有一件次品的概率.

解：设A 表示“任取3件产品，求其中恰有一件次品”，则()39299

24515==C C C A P .

7．n 个朋友随机地围绕圆桌就座，求其中两人一定坐在一起（即座位相邻）的概率.

解：设A 表示“n 个朋友随机地围绕圆桌就座，其中甲，乙两人一定坐在一起”，则按线状排列时，首先考虑将甲，乙两人排在一起，有!2种排法，然后把这两人视为一个元素，再与其它的()1-n 的元素作全排列，共有

()!1!2-n 种，而对应的环状排列有

()()

1!2--n n 种，于是()()()12!1!

1!2-=--=n n

n n n A P .

9．设有N 件产品，其中M 件次品，今从中任取n 件，

（1）求其中恰有()()n M k k ,min ≤件次品的概率；（2）求其中至少有两件次品的概率.

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解：（1）设A 为“从N 件产品中任取n 件，其中恰有()()n M k k ,min ≤件次品”，则()n

N k n M

N k M C C C A P --=. （2）设B 为“从N 件产品中任取n 件，其中至少有两件次品”，则考虑逆事件的概率有：()()

B P B P -=1，其中：B 表示“从N 件产品中任取n 件，其中次品件数不多于两件”.

于是，()()

n M

N M n M N M C C C C C B P B P 1

1011---+-=-=.

习题1-3

1．已知()3.0=A P ，()4.0=B P ，()5.0=B A P ，求条件概率()

B A B P +.

解：(

)()()()()()()()()()()()

B A P B P A P AB P B A P B P A P B B P AB P B A P B B AB P B A B P --+=-++=++=

+1 因为()()()()5.0=-=-=AB P A P B A P B A P ，所以()()()B A P A P AB P -=.

故，()B A B P +()()()()()()()()()4

11=--+-=--+=B A P B P A P B A P A P B A P B P A P AB P .

2．已知()5.0=A P ，()6.0=B P ，()8.0=A B P ，求()AB P 及()B A P ?.

解：()()()

4.0==A B P A P AB P ；

()()

()()()()3.011=+--=+-=+=?AB P B P A P B A P B A P B A P .

5．某人有一笔资金，他投入基金的概率为58.0，购买股票的概率为28.0，两项同时都投资的概率为19.0，（1）已知他已经投入基金，再购买股票的概率是多少？（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？解：设A “投入基金”，B “购买股票”，则()58.0=A P ，()28.0=B P ，()19.0=AB P ，于是，已知他已经投入基金，再购买股票的概率是：()

()()58

58.019.0===

A P A

B P A B P . 已知他已购买股票，再投入基金的概率是：()

()()28

28.019.0===

B P AB P B A P . 7．已知10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样.求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只正品，一只次品. 解：设21,A A 分别表示“第1，2次取的是正品”，则

（1）()()()

4528

9710812121=?=

=A A P A P A A P . （2）(

)()()

19110212121=?==?A A P A P A A P . （3）()()()

()()()(

)

12112121212121A A P A P A A P A P A A P A A P A A A A P +=+=+

新疆财经大学数学考研辅导班教学资料 45

169810292108=?+?=

9．第一个盒子中有5只红球，4只白球；第二个盒子中有4只红球，5只白球.先从第一个盒子中任取2只球放入第二个盒子中去，然后从第二个盒子中任取一球，求取到白球的概率.

解：设1B “从第一只盒子中取得2 只红球”，2B “从第一只盒子中取得2 只白球”，3B “从第一只盒子中取得一只红球，一只白球”，A “从第二只盒子中取到一只白球”. 由全概率公式得：()()()9953

11695117611151853

=?+?+?==

∑=i i

B A P B P A P .

10．某产品主要由三个厂家供货. 甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数的%15，%80，%5.其次品率分别为02.0，01.0，03.0. 试计算：（1）从这批产品中任取一件是合格品的概率；（2）已知从这批产品中随机地取出的一件是不合格品，问这件产品由哪家生产的可能性大？

解：设1B ，2B ，3B 分别表示“任取一件产品是甲，乙，丙厂生产的”，A 表示“从这批产品中任取一件是合格品”则

()()()0125.003.005.001.08.002.015.03

=?+?+?==∑=i i i B A P B P A P .

12．设有两箱同类零件，第一箱内装有50件，其中10件是一等品；第二箱内装有30件，其中18件是一等品，现从两箱中任选一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件（取出的零件不放回），试求：（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率. 解：设21,A A 分别表示“第一，二次取得一等品”，21,B B 分别表示“取到第一箱，第二箱中的零件”. （1）由全概率公式得：()()()4.02

30182150102

11=?+?=

=∑=i i i B A P B P A P . #（2）由全概率公式得：

()()()()()()()()()

121211************A P B A A P B A A P A P B A B A A P A P A A P A A P +=+==

()()()()()()()2

1301821501029

3018214995010211122212112111?+???+??=

+=A P A B A P B A P B P A B A P B A P B P 4856.0=.

习题1-4

3．已知()a A P =，()3.0=B P ，()

7.0=+B A P .

（1）若事件A 与B 互不相容，求a ；（2）若事件A 与B 相互独立，求a . 解：（1）若事件A 与B 互不相容，则()()()()

A B P B P A P B A P -+=+

()

()()()()()()()()AB P A P AB P B P B P A P A B P B P A P +-=+-+-=--+=11，因为A 与B 互不相容，

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（2）若事件A 与B 相互独立，则()()()()

A B P B P A P B A P -+=+

()

()()()()()()()()AB P A P AB P B P B P A P A B P B P A P +-=+-+-=--+=11

()()()B P A P A P +-=1，从而()

()()()a a B P A P A P B A P 3.0117.0+-=+-==+，故7

a . 4．设A 与B 相互独立，且()α=A P ，()β=B P ，

求下列事件的概率：（1）()B A P +；（2）()B A P +；（3）()

B A P +. 解：（1）()αββα-+=-+=+)()()()(B P A P B P A P B A P ；

（2）()

()()

B A P B P A P B A P -+=+)(，当A 与B 相互独立时，A 与B 也是独立的，则

()()()()()()()()βαβα---+=-+=-+=+11)(B P A P B P A P B A P B P A P B A P

αββ+-=1；

（3）()()

()()()αβ-=-=-==+111B P A P AB P AB P B A P . 5．已知事件A 与B 相互独立，且()

?B A P ，()()

B A P B A P =，求()A P ，()B P . 解：()()

()()()()()()AB P B P AB P A P A B P B A P B A P B A P -=-?-=-?=

()()B P A P =?，从而有()()

B P A P =.

当事件A 与B 相互独立时，事件A 与B 也独立，则()

()()

9191=?=

?B P A P B A P ，于是()()

1==B P A P ，()()3

=B P A P . 6．三个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为51，31，4

，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率为多少？解：设

C B A ,,分别表示“甲，乙，丙能独立地译出此密码”，则

()()()()()()

4332541111??-=-=??-=++-=++C P B P A P C B A P C B A P C B A P 5

7．对同一目标进行三次独立射击，第一次、第二次、第三次射击的命中率分别是7.0,5.0,4.0，

求：（1）在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率；（2）在这三次射击中，至少有一次命中目标的概率. 解：设C B A ,,分别表示“第一，二，三次射击时命中目标”.

（1）()()()()()

()()()()

()C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A C B A C B A P ++=??+??+??

36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0=??+??+??=.

（2）()()()

()()()

C P B P A P C B A P C B A P C B A P -=??-=++-=++111

91.03.05.06.01=??-=.

9．设第一只盒子中装有3只兰球，2只绿球，2只白球；第二个盒子中装有2只兰球，3只绿球，4只白球，

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独立地分别在两个盒子中各取一只球.（1）求至少有一只兰球的概率；（2）求有一只兰球，一只白球的概率；（3）已知至少有一只兰球，求有一只兰球一只白球的概率.

解：设111,,C B A 分别表示“从第一只盒子中取出的球为兰，绿，白色的”，设222,,C B A 分别表示“从第二只盒子中取出的球为兰，绿，白色的”.

（1）()()()()()

9774111121212121=?-

=-=?-=+-=+A P A P A A P A A P A A P ; （2）()()()()()()()212121212121A P C P C P A P A C P C A P A C C A P +=+=+

1692729473=?+?=

. （3）()

()()()()

21212121212121A A P A A A C C A P A A A C C A P +++=

++，

因为()()212121A A A C C A +?+，所以()()()()2121212121A C C A P A A A C C A P +=++. 故，()

()()()()()()3

21212121212121212121=++=+++=

++A A P A C C A P A A P A A A C C A P A A A C C A P .

习题2－1

习题2－2

2．设随机变量X 的分布律为{}N k N

k X P ,,2,1, ==

=,试确定常数a . 解：当()() ,2,1~===k p x X P X k k 时，有

=∑∞

=k k

，于是11

=?=∑

=N N

N a N

k ，故1=a .

3．一批产品共100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布律. 解：设X 表示“任意取出的5个产品中的次品数”，则X 的取值为：5,4,3,2,1,0. 以下求X 取上述值时对应的概率.

()5838.005100590010≈==C C C X P ，()3394.015

1004

110≈==C C C X P ， ()720.025*********≈==C C C X P ，()0064.035

100290

310≈==C C C X P ， ()00025.0451********≈==C C C X P ，()055

100

090

510≈==C C C X P . 故，???

? ??000025.00064.0720.03394.05838.0543210~X .

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或者写成公式的形式：()()5,4,3,2,1,0~5

100590

10===-k C C C k X P X k k . 4．一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任意时刻每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻

#（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？ #（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？

解：设X 为“同一时刻被使用的设备数”，则()()()

()5,4,3,2,1,09.01.055===-k C k X P k

（1）()()()0729.09.01.023

25≈==C X P ；

（2）()()()()9.01.09.01.054334452335?+?==+=+==≥C C X P X P X P X P 00856.09.01.00555≈?+C ；

（3）()()()5413=-=-=≤X P X P X P 9.01.0445?=C 99954.09.01.00555≈?+C .

5．对某一目标进行射击，直至击中为止，如果每次射击命中率为p ，求射击次数的分布律. 解：设X 为“射击的次数”，则由题意()()

() ,2,111

=-==-k p p k X P k .

6．从学校乘车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是

，设X 为途中遇到红灯的次数，求随机变量X 的分布律. 解：显然X 的取值为：3,2,1,0

()125

275303

???

??==X P ； ()12554535212

13=??? ????? ??==C X P ；()125

36535222

23=??? ????? ??==C X P ； ()12585233=

??? ??==X P . 即???

? ??12581253612554125273210~X . 或者写成公式的形式：()()3,2,1,0535233

????? ??==-k C k X P k

k k .

7．设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布，试问（1）在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少？（2）在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？

解：设X 表示“某城市在一周内发生交通事故的次数”，则()() ,2,1!3.03

.0==

=-k k e k X P k . （1）()0333.0!

23.023

.02≈=

=-e X P ；（2）()()259.010113.0≈-==-=≥-e X P X P . 9.

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习题2－3

2．设X 的分布函数为?

??<≥-=-.0,0,

0),1()(x x e A x F x 求常数A 及{}31≤

解：因为1)(lim =+∞

→x F x ，所以()

11lim ==--+∞

→A e

A x

x . {}??

??-=-=-=≤<--231111)1()3(31e e e e F F X P .

4．设随机变量的分布律为?

???

??--10331615

11012~X ,

（1）求X 的分布函数)(x F ，并画出)(x F 的图形；（2）求{}11≤≤-X P . 解：因为当()k k p x X P X ==~时，有∑≤=

x k

k p

x F )(.

故，???????????≥<≤<≤--<≤--<=1

,110,10701,30

12,51

,0)(x x x x x x F .

习题2－4

1．设随机变量的概率密度为??

???≤≤??

??-=其他，

,0,21,112)(2

x x

x f 求X

的分布函数. 解：因为?∞

dx x f x F )()(，而密度函数又是分段函数，所以要以分段点为界进行讨论.

当1

??∞

-∞

-x

dx dx x f x F ；

当21<≤x 时，???

??-+=??? ??+=??? ?

?-+==???∞-∞-212121120)()(1121

x x x x dx x dx dx x f x F x

；

当x ≤2时，101120)()(2

2121=+??? ??

-+==????∞-∞-x

x dx dx x dx dx x f x F .

综上：?????

<≤???

?-+<=21,2121,0)(x x x x x F .

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2．设随机变量X 的概率密度为∞+<-∞=-x Ae

x f x

,)(，

试求：(1)系数A ; （2）{}10<

解：因为

1)(=?+∞

∞

-dx x f ，所以2

112220

?==-==∞+-+∞

-+∞

∞

--??A A Ae e A dx e

A x

xdx x

. {}???

??-=

-===<<--??

e e dx e dx x

f X P x

x 11212

21)(101

. 当0

x x

e e

dx e dx x f x F 2

12121)()(====∞

-∞-∞

-??；当0≥x 时，x x

x x x

x x

e e e

dx e dx e dx x f x F --∞

--∞-∞

--=-=+==???2

212121)()(0

综上：?????≥-<=-0,2

110

,21)(x e x e x F x

5．K 在()6,1服从均匀分布，求方程012

=++Kx x 有实根的概率.

解：由题意，?????<<=其他

,06

1,51

)(~x x f K .

方程012

=++Kx x 有实根的充要条件是：042

≥-K . 故(

)()()

511)(1212042

222

=-=-

=<-=≥=≥-??-dx dx x f K P K P K P .

6．设顾客在某银行等待服务的时间X （以分计）服从指数分布，其概率密度为

???

??>=-其他，,

0051)(5x e x f x

X ，某顾客在某银行等待服务，若超过10分钟他就离开，他一个月要到银行5次，以Y

表示他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求{

}1≥Y P . 解：顾客未等到服务的概率为()()2100

51110110e dx e X P X P p x

=-=≤-=>=?-，

则()p B Y ,5~，即()()

()()5,4,3,2,1,01152

2555=-=-==----k e e C p p C k Y P k

k k k

k .

{}()()()52.011011115

2≈--==-=<-=≥-e Y P Y P Y P .

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7．设()22,3~N X ,（1）求{}52≤

2>X P ，{}3>X P ;（2）确定c ，使得{}{}c X P c X P ≤=>；（3）设d 满足{}9.0≥>d X P ，问d 至多为多少？解：{}()??

??-Φ-Φ=??? ??-Φ-???

??-Φ=-=≤<211232235)2()5(52F F X P ()5328.06915.018413.02111=+-=?

???

???? ??Φ--Φ=. {}()())2()2(1221212-+-=≤≤--=≤-=>F F X P X P X P

6977.025121252112322321=???

??Φ-+??? ??Φ=??? ??-Φ+??? ??-Φ-=??? ??--Φ+??? ??-Φ-=.

{}()()5.05.01012331)3(3=-=Φ-=??

? ??-Φ-=-∞+=>F F X P .

{}{}()21

232321)()(=??? ??-Φ???? ??-Φ=?=-∞+?≤=>c c c F c F F c X P c X P ，而()210=Φ，故

=-c ，3=c . {}()()()1.0231.09.09.0≤??

??-Φ?≤?≥-∞+?≥>d d F d F F d X P

()281.19.023Φ=≥??

??-Φ?d . 因为()x Φ是增函数，故281.123≥-d ，438.0≤d .即d 至多取438.0.

习题2－5

1．设随机变量的分布律为?????

??41214120~ππX 试求（1）π-=X Y 2；（2）X Y cos =的分布律. 解：（1）π-=X Y 2的取值为：π-，0，π.

()()()41

02===-=-=-=X P X P Y P πππ；

()()212020=??? ?

===-==ππX P X P Y P ；

()()()4

2====-==ππππX P X P Y P . 即，???

? ??-41214

0~ππY .

（2）X Y cos =的取值为：1-，0，1.

()()()4

1cos 1===-==-=πX P X P Y P ；

()()2120cos 0=??? ?

=====πX P X P Y P ；

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01cos 1======X P X P Y P . 即，???

??-4121

41101~Y . 3．随机变量X 在()1,0服从均匀分布，（1）求X

e Y =的概率密度；（2）求X Y ln 2-=的概率密度.

解：由题意，?

?<<=其他,01

0,1)(~x x f X X .

（1）因为X

e Y =满足0>='x e y ，所以X

e Y =是增函数.

于是，()()

?????<<=?????<<'=--其他

其他,01,1,01,)()()(11e

y y e y y g y g f y f X Y .

（2）因为X Y ln 2-=满足()()1,002

∈<-

='x x

y ，所以X Y ln 2-=是单调减少的函数. 于是，()()

?????>=?????>'-=---其他

其他,00,21,00,)()()(211y e y y g y g f y f y

X Y .

4．随机变量X 的概率密度为???>=-其他

,00,)(x e x f x ，求2

X Y =的概率密度.

解：因为2

X Y =满足()0,02>>='x x y ，所以2

X Y =单增.

于是，()()

??>=?????>'=---其他其他,00,21,00,)()()(11y e y

y y g y g f y f y X Y . 5．设随机变量概率密度为)1,0(~N X ,求X Y =的概率密度.

解：因为)1,0(~N X ，所以()+∞<<∞-=

x e

x f X x X 2

21)(~π

又因为X Y =在()0,∞-上单减，在()+∞,0上单增，所以)()()(21y f y f y f Y +=. 其中：)(1y f 和)(2y f 分别是X Y =在()0,∞-和()+∞,0上的概率密度函数. 当0

(

)()

???>=??

??>'-=---其他其他,00,21,00,)()()(21

112

y e y y g y g f y f y X

；当0>x 时，X Y =的反函数为y x =，1='x ，则

(

)()

???>=??

??>'=---其他其他,00,21

,00,)()()(21122

y e y y g y g f y f y X

新疆财经大学数学考研辅导班教学资料于是，??

??>=+=-其他,00,2)()()(2212

y e y f y f y f y

Y π.

习题3－1

2．箱子装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件，10件，10件，现从中随即抽取一件，记

?=其他若抽到一等品,0,11X ?

??其他若抽到二等品

＝,0,12X ，试求随即变量),(21X X 的分布律. 解：显然),(21X X 的各取值数对为：()0,0，()1,0，()0,1，()1,1.

()1.00,0110011021====C C X X P ；()1.01,011001

21====C C X X P ；

()8.00,11100

180

21====C C X X P ；()01,121===X X P .

故，()

()()()???

??08

.01

.01,10,11,00,0~),(21X X . 3．将一枚均匀硬币抛掷3次，以X 记正面出现的次数，以Y 记正面出现与反面出现次数之差的绝对值，求随即变量),(Y X 的分布律.

解：设Z 表示“反面向上的次数”，则Z 的取值为：3,2,1,0，X 的取值为：3,2,1,0，且3=+Z X ，

??21,3~,B Z X ，又Z X Y -=.故Y 的取值只可能为：3,1.

于是，),(Y X 的取值数对为：()1,0，()3,0，()1,1，()3,1，()1,2，()3,2，()1,3，()3,3. 因为3=+Z X ，所以显然有：

()()()()03,13,21,31,0============Y X P Y X P Y X P Y X P .

()()()81212103,03,03

=??

????? ??========C X P Z X P Y X P ；

()()2,11,1=====Z X P Y X P ()83212112

13=??? ????? ??===C X P ； ()()()8

212121,21,22

=??? ????? ??========C X P Z X P Y X P ；

新疆财经大学数学考研辅导班教学资料 ()()()8

100,03,3=

=======X P Z X P Y X P . ()()()()()

()()()()???

?810

0830

103,31,33,21,23,11,13,01,0~,Y X .

4．设随即变量),(Y X 的概率密度为?

??<<<<--=，

其他,04

2,20),6(),(y x y x k y x f （1）确定常数k ；（2）求{}3,1<

解：（1）因为

()()18266),(2

==-=--=?????

+∞∞-+∞

∞

-k dx x k dy y x k dx dxdy y x f ，所以8

k . （2）{}()??

--=<<3

681

3,1dy y x dx

Y X P ()8

212781256811

0=??? ??-?=??????--=?dx x . （3）{}??∞-+∞

∞

<5.1),(5.1dydx y x f X P

()()[]???--=??

????--=5.105.104

266281

681dx x dx dy y x

()32

27268

.10

=-=?

dx x . （4）{}()()??=

∈=≤+D

dxdy y x f D Y X P Y X P ),(,4

()()()()()?????

???

-----=--=

-2

042

262681681

dx x x x x dy y x dx x

()

8121612

02=+-=?dx x x . 5．设随即变量),(Y X 的概率密度为?

??>>=+-，

其他,00,0,),()32(y x Ae y x f y x 求常数A 的随即变量),(Y X 的分布函数),(y x F .

解：因为

1),(=??+∞∞-+∞

∞

-dxdy y x f ，

而163121),(03020

302==?

?? ??-???? ??-==+∞

-+∞

-+∞∞-+∞

∞-????A e e A dy e dx e A dxdy y x f y x y

x ， o

新疆财经大学数学考研辅导班教学资料

故6=A .

当0>x 且0>y 时，()y Y x X P y x F ≤≤=,),(

()()

y x y

y x

e e dy e dx e

3232116--∞

--∞

----==??.

故()()

??>>--=--其他,00

,0,11),(32y x e e y x F y x .

习题3－2

1．完成下列表格：

y y

1(i p

1x 1.0

2.0

4.0

2x 2.0 2.0

)2(j p 解：因为∑∞

==1

)1(j ij i

p p

，∑∞

==1

)2(i ij j

p p

，所以有：

()1.0,1311)

1(121=--===p p p y Y x X P ；6.04.011)1(1)1(2

=-=-=p p ； ()2.0,2221)

1(232=--===p p p y Y x X P ；3.02111)2(1=+=p p p ； 3.02212)2(2=+=p p p ；4.02313)2(3=+=p p p .

4．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为???≤≤=，

其他,

01,),(22y x y cx y x f （1）试确定常数c ；（2）求边缘概率密度.

解：（1）因为

????-+∞∞-+∞

∞-=1

),(x ydy cx

dx dxdy y x f

121

211

==-=?-c dx x cx ，所以421=c . （2）()

?????<<--=??

???<<-==??∞

+∞-其他其他,01

1,18

,011,421),()(42122x x x x ydy x dy y x f x f x

X ； ?????<<=??

???<<==??-∞

+∞-其他其他,01

0,27,010,421),()(252

y y y ydx x dx y x f y f y y

Y .

=y 2

x y =()

1,1()

1,1-o

新疆财经大学数学考研辅导班教学资料 1．设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量),(Y X 的联合分布律及关于X 与Y 的边缘分布律的

部分数值,试将其余数值填入表中的空白处

1y 2y 3y )1(i p

? ??241

1 ??? ??121 ??? ??41 x

81 ??

? ??83 ??

? ??41 ??

? ??43 )2(j p

1 ??? ??21 ??

? ??31 1

解：因为X 与Y 相互独立，所以)2()1(j i ij p p p =.

436

181)2(121)1(2===p p p ；411)1(2)1(1=-=p p ；2

14181)1(112)2(2

===p p p ； 2414161)2(1)1(111=?==p p p ；2

181)1(112)2(2==

=p p p ； ()31216111)2(2)2(123=--=--=p p p ；12

13141)

2(3)1(113=?==p p p ；

832143)2(2)1(222=?==p p p ； 4

13143)

2(3)1(223=?==p p p .

2．设随机变量X 与Y 相互独立且具有相同的分布,X 的分布律为?

???

??-21,2

11,1~X ,求{}Y X P =及{}Y X P >.

解：由题意，?

???

??-21,2

11,1~Y ，且()2,1,)2()1(==j i p p p j i ij ，可求得()Y X ,的联合分布列如下：

)1(i p

414121

1 41412

1 )

2(j p

212

1于是，{}()()2

141411,11,1=+=

==+-=-===Y X P Y X P Y X P . {}()4

11,1=

-===>Y X P Y X P . 4．设随机变量),(Y X 的联合密度为??

?≤≤≤≤=.,

10,10,4),(其他y x xy y x f 问X 与Y 是否独立?

新疆财经大学数学考研辅导班教学资料解：因为???≤≤=??

???≤≤==??∞

+∞-其他其他,01

0,2,010,4),()(1

0x x x xydy dy y x f x f X ， ???≤≤=??

???≤≤==??∞

+∞-其他其他,01

0,2,010,4),()(1

0y y y xydx dx y x f y f Y ，显然)()(),(y f x f y x f Y X ?=，故随机变量X 与Y 是独立的.

5．设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 在()1,0上服从均匀分布，Y 的概率密度为

???

??≤>=-.

0,0,

21)(2y y e y f y

Y (1)求X 和Y 的联合概率密度；(2)设含有a 的二次方程为022=++Y Xa a ，试

求a 有实根的概率.

解：（1）因为()1,0~U X ，所以X 的概率密度函数为???<<=其他

,01

0,1)(x x f X .

由于X 与Y 是两个相互独立的随机变量，则

??><<=?=-其他,00,10,21)()(),(2y x e y f x f y x f y

Y X .

#（2）要使a 的二次方程为022=++Y Xa a 有实根，只要02

≥-=?Y X .

(

)

??????

?-==≥---102

102

21210dx e dy e dx Y X P x x

y ?

??????--=-=???∞--∞---0212102222112

dx e dx e dx e x x x πππ

()()[]()1445.05.08413.0210121≈--=Φ-Φ-=ππ.

习题4－1

1．甲，乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为???? ??1.02.03.04

.03210

~X ；???

? ??02.05.03.03210

~Y 若两台机器的日产量相同，问哪台机器较好?

解：平均每日次品较少者为好，即数学期望较少者为好.

显然，()11.032.023.01=?+?+?=X E ，()9.02.025.01=?+?=Y E ， o

x y =1

=x ()

1,1

新疆财经大学数学考研辅导班教学资料 2．设X 的分布律为?

?????

??-41121616131212101~X ，求（1）)(X E ；（2） )1(+-X E ；（3） )(2X E .

解：（1）()31

4126121311)(=?+?+?-=X E ；

（2）()()()()3

41121211161103111)1(=?+-+?

+-+?++?+=+-X E ；（3）()24

3541212116121311)(222

?+?+???? ??+?-=X E . 3．设随机变量),(Y X 的联合分布律为：()()

()()()???

??1.04

.02

.03

.01,10,11,00,0~,Y X .求)(X E ，)(Y E ，)2(Y X E -，)3(XY E .

解：容易求得???? ?

?5.05

.010

~X ，???

? ??3.07.010~Y ，则 ()5.05.015.00=?+?=X E ；()3.03.017.00=?+?=Y E ；

()()1.03.025.02)2(-=?-=-=-Y E X E Y X E ； ()3.01.01133)3(=???==XY E XY E .

5．设连续型随机变量X 概率密度???<<=，

其他.,

0,)(x kx x f α其中0,>αk 又已知75.0)(=X E ，求α,k 的值. 解：由题意，

)(1

0=+=

=??+∞

∞

-ααk

dx x k dx x f ， 75.02

)()(1

=+=

??++∞

∞

-ααk

dx x k dx x xf X E . 解之可得：3=k ，2=α.

7．设随机变量1X 和2X 的概率密度分别如下: ???≤>=-，

.0,

,2)(21x x e x f x X ???≤>=-，

.0,

00,4)(42

x x e x f x X （1）求)(21X X E +，)32(2

21X X E -；（2）设1X ，2X 相互独立，求)(21X X E . 解：（1）()()??

+∞

-+∞

-+=+=+040

2212142)(dx xe dx xe

X E X E X X E x x

(

)()4

4020

2040

+-+-=--=????+∞

-∞

+-+∞

-∞

+-+∞

-+∞

-dx e xe

dx e

e xd e

xd x x x

x x

； ()()??+∞

-+∞

--=-=-0

420

222

16432)32(dx e x dx xe

E X E X X E x x

新疆财经大学数学考研辅导班教学资料

(

)

()

????+∞

-+∞

-∞

+-+∞

-+∞

-+++-=+-=0404202020

2323222

32dx xe e x dx e xe e d x e

xd x x x x x

=；

（2）当1X ，2X 相互独立时，()()????

?????? ??==??+∞-+∞-0402212142)(dx xe dx xe X E X E X X E x x

()

4020

2=???

?+-???? ?

+-=???? ??-???? ??-=????+∞

-∞+-+∞

-+∞

-dx e

xe dx e xe e xd e xd x

x x

x x x

. 9．设),(Y X 服从在A 上的均匀分布，其中A 为x 轴，y 轴及直线01=++y x 所围成的区域.求（1）)(X E ；(2）)23(Y X E +-；（3）)(XY E . 解：由题意，()()?

?∈=其他,0,,2),(~,A

y x y x f Y X

#（1）?????------===

010

222)(dx xy

xdy dx

xdxdy X E x

()313121

2120

1320

-=??? ??+=+=--?x x dx x x .

（2）()()()?????-------=-=-=+-0

132322322)23(dx xy y dy x y dx

dxdy x y Y X E x x

(

)

312534215420

1230

=???

??++-=++-=--?x x x dx x x .

（3）()??????-------+-====0

0120101

122

)(dx x x dx xy

xydy dx

xydxdy XY E x

6121324

1234=???

??++-=-x x x

11．国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X 是一个随机变量,它在[]4000

,2000(单位:吨)上服从均匀分布，若每售出一吨，可得外汇3万美元，如销售不出而积压，则每吨需要保养费1万美元，问应该组织多少货

源,才能使平均收益最大?

解：设准备a ()4000

2000≤≤a 吨这种商品，Y 为收益，则收益函数为： ??

?<--≥==a X X a a a X a X R Y ),(3,3)(，又??

???<<=其他,040002000,20001)(~x x f X ，则 []

.)3500(8250001000

320001

)4(20001)(20001)()()(24000

200040002000--=

+-===????+∞∞-a adx dx a x dx x R dx x f x R Y E a a

故，当3500=a 时，可使平均收益值达到最大.

()

0,1-()

1,0-

新疆财经大学数学考研辅导班教学资料 14．将n 只球放入M 只盒子中去，设每只球落入各盒子是等可能的，求有球的盒子数X 的数学期望.

解：引入随机变量()M i i i X i ,,2,1,0,1 =???=个盒了中无球

第个盒子中有球

第，则∑==M

i i

X X 1. ()n i M M X P ??? ??-==10，()n

i M M X P ??

??--==111，()M i ,,2,1 =.

即，?????

????? ??--??? ?

?-n n i M M M M X 11110~ ，()M i ,,2,1 =.

故，()???

???????? ??--=???

??=∑=n M i i M M M X E X E 111.

习题4－2

1．设随机变量X 的方差0)(>X D ，引入新随机变量(称为标准化的随机变量))

()(X D X E X X -=

验证:0)(=*X E ，1)(=*X D . 证明：()()()

()()()

()()[]011)(=-=

???

??-=*

X E X E X D X E X E X D X D X E X E X E ，

=*)(X D ()()()()()()()[]1112

==-???

??=????

??-X D X D X E X D X D X D X E X D .

2．设随机变量X 服从参数为λ的松泊分布)0)(>λ且已知[]2)3)(2(=--X X E ,求λ的值. 解：因为随机变量X 服从参数为λ的松泊分布)0)(>λ，所以()λ=X E ，()λ=X D . 又因为[]()()

()6565)3)(2(22+-=+-=--X E X E X X E X X E

()()()2646522=+-=+-+=λλX E X E X D ，所以0442=+-λλ，故2=λ.

3．设),(~p n b X ，4.2)(=X E ，44.1)(=X D ，求n 和p .

解：因为),(~p n b X ，所以()4.2==np X E ，44.1)(==npq X D ，解之得：6=n ，5

p .

6．一台设备由三大部分构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为1.0，2.0，3.0，假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的数学期望)(X E 和方差)(X D .

解法（一）：设事件i A “第i 个部件需要调整”，3,2,1=i .依题意321,,A A A 相互独立，且()1.01=A P ，

()2.02=A P ，()3.03=A P .显然X 的取值为：3,2,1,0.

新疆财经大学数学考研辅导班教学资料 ()()()()

3213213211A A A P A A A P A A A P X P ??++??==

398.03.08.09.07.02.09.07.08.01.0=??+??+??=，

()()006.03.02.01.03321=??===A A A P X P ，

()()()()092.0006.0398.0504.0131012=---==-=-=-==X P X P X P X P .

故，X 的概率分布为：????

??006.0092.0398.0504.03210~X .

于是，()6.0006.03092.02398.01504.00=?+?+?+?=X E .

()82.0006.09092.04398.012=?+?+?=X E ，()()

()46.022=-=X E X E X D .

解法（二）：令随机变量()3,2,1,0,1=??

?=i i i X i 个部件不需调整

第个部件需调整

第，则321,,X X X 相互独立，且

=X 321X X X ++. 由于，321,,X X X 分别服从参数为1.0，2.0，3.0的0-1分布，所以有

()1.01=X E ，()2.02=X E ，()3.03=X E ；()09.01=X D ，()16.02=X D ，()21.03=X D .

故，()()6.031

∑=i i

X E X E ，()()46.03

==∑=i i

X D X D .

10．设随机变量X ，Y 相互独立，它们的密度函数分别为：

???≤>=-，,0,0,0,2)(2x x e x f x X ??

?≤>=-，,

4)(4y y e y f y Y 求)(Y X D +. 解：因为随机变量X ，Y 相互独立，所以()()Y D X D Y X D +=+)(. 又因为()(

)???

+∞

-∞

+-+∞

-+∞

-+-=-==0

22dx e xe

xd dx xe

X E x x x

，

()2112210

2=+-=+∞

-x e x ，

()(

220

222

+-=-==???+∞

-∞

+-+∞

-+∞-dx xe e

x e

d x dx e

x X

E x x x

，故()()()4

41212

=-=-=X E X

E X D .

而()()

()4114440

4040

4=+-=+-=-==+∞

-+∞

-∞

+-+∞

-+∞

-???

y e dy e ye

e yd dy ye

Y E y y

y y y

， ()(

240

422

+-=-==???+∞

-∞

+-+∞

-+∞

-dy ye e

y e

d y dy e

y Y

E y y y

，故()()()16

161812

=-=-=Y E Y

E Y D .

新疆财经大学数学考研辅导班教学资料于是，()()16

516141)(=+=

+=+Y D X D Y X D .

14．在每次试验中，事件A 发生的概率为5.0，利用切比雪夫不等式估计在1000次试验中，事件A 发生的次数在400至600之间的概率.

解：设X 为“在1000次试验中，事件A 发生的次数”，则()5.0,1000~B X . 于是，()5005.01000=?==np X E ，()2505.05.01000=??==npq X D . 由切比雪夫不等式，知()()()()

100100500600400≤-=≤-=≤≤X E X P X P X P

()975.010000250

1100

=-=-

≥X D . 即，在1000次试验中，事件A 发生的次数在400至600之间的概率至少是975.0. 习题4－3

1．随机变量),(Y X 的分布律为：

(i p -

5.0 5.0 5.

0 5.0 5.0 5.

0 .0 5.0 5.0 5.0 5.0 2(j p

.0 5.

验证: X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立.

证明：容易求得???? ??-375.025.0375.0101~X ，???? ??-375.025.0375.0101~Y ，???

? ??-25.05.025.0101

~XY .

故()025.015.0025.01=?+?+?-=XY E . 于是，()()()()()()

0,=-=

Y D X D Y E X E XY E Y X ρ，

即X 和Y 是不相关的. 显然，)

2(1)

1(111375.0375.025.0p p p =?≠=，X 和Y 不是相互独立.

3．设二维随机向量),(Y X 在由x 轴，y 轴及直线02=-+y x 所围成的区域G 上服从均匀分布，求X 和Y 的相关系数XY ρ.

解：由题意，可知()()?????∈=其他

,0,,21

),(~,G

y x y x f Y X .

()

2,0y

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习题一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。解（1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。（ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

概率论与数理统计第三章课后习题答案

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k；（2）求P{X＜1，Y＜3}；（3）求P{X<1.5}；（4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有

吉林大学离散数学课后习题答案

第二章命题逻辑 §2.2 主要解题方法 2.2.1 证明命题公式恒真或恒假主要有如下方法：方法一.真值表方法。即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每

一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。例2.2.1 说明G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。解：该公式的真值表如下：表2.2.1 由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故

G恒真。方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。例2.2.2 说明G= ((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。解：由(P→R) ∨? R=?P∨ R∨? R=1，以及 ? (Q→P) ∧ P= ?（?Q∨ P）∧ P = Q∧? P∧ P=0 知，((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)=0，故G恒假。方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。方法四. 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，…，P n，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，…，P n，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G

概率论与数理统计课后习题答案

第一章事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。（6）实测某种型号灯泡的寿命。解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。（2）}18,,4,3{ =Ω。（3）},11,10{ =Ω。（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。（5）=Ω{(x,y)| 0

（2）A 与B 都发生，而C 不发生。（3）A ，B ，C 中至少有一个发生。（4）A ，B ，C 都发生。（5）A ，B ，C 都不发生。（6）A ，B ，C 中不多于一个发生。（7）A ，B ，C 至少有一个不发生。（8）A ，B ，C 中至少有两个发生。解（1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ，（5）C B A ，（6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++，（7）C B A ++，（8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。（1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?，

概率论课后习题答案

习题1解答 1、写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、

概率论与数理统计课后习题答案

习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。解：（1）C B A ；（2）C AB ；（3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；（6）C B A ；（7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ；（9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：

概率论习题第三章答案

第三章连续型随机变量 3、1设随机变量 ξ 的分布函数为F(x),试以F(x)表示下列概率: 。 )()4();()3();()2();()1(a P a P a P a P >≥≤=ξξξξ 。）（解：)0(1)()4(); (1)()3(); 0()(P 2); ()0()()1(+-=>-=≥+=≤-+==a F a P a F a P a F a a F a F a P ξξξξ 3、2函数x 211 F(x)+=就是否可以作为某一随机变量的分布函数,如果在其它场合恰当定义。在其它场合恰当定义；）（,0)3(,0)2(1<<∞-∞<<∞ <<∞-x x x 解:(1)F(x)在),(∞-∞内不单调,因而不可能就是随机变量的分布函数; (2)F(x)在)0∞，（内单调下降,因而也不可能就是随机变量的分布函数; (3)F(x)在），（－0∞内单调上升、连续且,若定义 ???≥<<∞=01 0)()(~x x X F x F －则)(~ x F 可以就是某一随机变量的分布函数。 3、3函数 sinx 就是不就是某个随机变量ξ的分布函数？如果ξ的取值范围为 []。，）；（，）；（，）（?? ??????????πππ230302201 解:(1)当?? ????∈2,0πx 时,sinx 0≥且1sin 20=?πxdx ,所以 sinx 可以就是某个随机变量的分布密度; (2) 因为12sin 0≠=?πxdx ,所以sinx 不就是随机变量的分布密度; (3) 当 ?????? ∈23, ππx 时,sinx<=0所以sinx 不就是随机变量的分布密度。 3、4设随机变量ξ具有对称的分布函数p(x),即p(x)=p(-x) 证明:对任意的a>0,有

概率论与数理统计习题及答案第三章

习题3-1 1. 而且12{P X X =. 求X 1和X 2的联合分布律. 解由12 {0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布必形于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律

(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =?== ≠, 所以X 1和X 2 不独立. 2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律. 解从7只球中取4球只有354 7 =C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红球有j 只(余下为白球4i j -- 只)的取法为 4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4. 于是有 022 322 1{0,2}35 35 P X Y C C C ====,111322 6{1,1}35 35 P X Y C C C ====, 121322 6 {1,2}35 35 P X Y C C C ====,202322 3 {2,0}35 35 P X Y C C C ==== , 211 322 12{2,1}35 35P X Y C C C ==== ,220 322 3{2,2}35 35P X Y C C C === = , 301 322 2 {3,0}3535P X Y C C C === =, 310 322 2 {3,1}3535 P X Y C C C ====, {0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============. 3. (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<<

概率论与数理统计及其应用课后答案

第1章随机变量及其概率 1，写出下列试验的样本空间：（1）连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。（2）连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。（3）连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。（4）抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(___ ___AB B A P AB P B A P B A P ??。解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ， 375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ，

875.0)(1)(___--=AB P AB P ， 5 .0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为 72.0900 648= 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为48344=??个，所以出现奇数的概率为 48.0100 48= （2）该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?，所以该数大于330的概率为

概率论与数理统计课后习题及答案

习题八 1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N,.现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为问若标准差不改变，总体平均值有无显着性变化（α=）【解】 0010 /20.025 0.025 : 4.55;: 4.55. 5,0.05, 1.96,0.108 4.364, (4.364 4.55) 3.851, 0.108 . H H n Z Z x x Z Z Z α μμμμ ασ ==≠= ===== = - ===- > 所以拒绝H0，认为总体平均值有显着性变化. 2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：设含镍量服从正态分布，问在α=下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为. 【解】设 0010 /20.005 0.005 : 3.25;: 3.25. 5,0.01,(1)(4) 4.6041 3.252,0.013, (3.252 3.25) 0.344, 0.013 (4). H H n t n t x s x t t t α μμμμ α ==≠= ==-== == - === < 所以接受H0，认为这批矿砂的含镍量为. 3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为（克），样本方差s2=(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=）. 【解】设 0010 /20.025 2 0.025 : 1.1;: 1.1. 36,0.05,(1)(35) 2.0301,36, 1.008,0.1, 6 1.7456, 1.7456(35) 2.0301. H H n t n t n x s x t t t α μμμμ α ==≠= ==-=== == === =<= 所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常. 4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为小时，标准差为小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短设电池寿命近似地

概率论第三章题库

第三章多维随机变量及其分布一、选择题 1、（易）设任意二维随机变量（X ，Y ）的两个边缘概率密度函数分别为f X (x )和f Y (y )，则以下结论正确的是（） A.? +∞ ∞-=1)(dx x f X B. ? +∞ ∞ -= 2 1 )(dx y f Y C. ? +∞ ∞ -=0)(dx x f X D. ? +∞ ∞ -=0)(dx y f Y 2、（易）设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ,则X ~（） A. 211(,)N μσ B. 221(,)N μσ C. 2 12 (,)N μσ D. 2 22(,)N μσ 3、（易）设二维随机变量(X ，Y )服从区域D ：x 2 +y 2 ≤1上的均匀分布，则(X ，Y )的概率密度为（） A. f(x ，y)=1 B. 1(,)0, x y D f x y ∈?=? ?，（,）,其他 C. f(x ，y)=1 π D. 1 (,)0, x y D f x y π?∈?=???，（,）,其他 4、（中等）下列函数可以作为二维分布函数的是（）. A .1,0.8,(,)0, .x y F x y +>?=? ?其他 B .?????>>??=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt e y x F y x t s C . ??= ∞-∞ ---y x t s dsdt e y x F ),( D .? ????>>=--. , 0, 0,0,),(其他y x e y x F y x 5、（易）设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为f (x ，y )=?????<<<<,, 0; 20,20,41 其他y x 则P{0

中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解

高等数学一第6章课后习题详解课后习题全解习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<<

∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π，（或D 表达为Y-型：???<<<

∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<<

概率统计习题带答案

概率统计习题带答案概率论与数理统计习题及题解沈志军盛子宁第一章概率论的基本概念1．设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r，试求P(AB),P(AB),P(AB)及P(AB) 2．若A,B,C相互独立，试证明：A,B,C 亦必相互独立。3．试验E为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以(x1,x2)记之，其中x1,x2分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件A?{(x1,x2)|x1?x2?10}，事件B?{(x1,x2)|x1?x2}。试求P(B|A)和P(A|B) 4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问：恰好第三次打开房门锁的概率？三次内打开的概率？如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n个白

球、m个红球，乙袋中装有N个白球、M个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率？8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为,,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为。试求下列事件的概率：仓库发生意外时能及时发出警报；乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？9．设A,B为两随机变量，试求解下列问题：已知P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6。求：P(A|B)；

概率论第三章练习题

习题三 1．（１）盒子中装有３只黑球，２只红球，２只白球，在其中任取４只球．以Ｘ表示取到黑球的只数，以Ｙ表示取到红球的只数．求Ｘ和Ｙ的联合分布律．（２）在（１）中求Y}-3P{X 3},Y P{X 2X},P{Y Y},P{X <=+=>．２．设随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?<<<<--=其他,0,42,20),6(),(y x y x k y x f （１）确定常数k ．（２）求3}Y 1,P{X <<．（３）求 1.5}P{X <．（４）求4}Y P{X ≤+．３．设随机变量)Y X,(具有分布函数 ?? ?>>+--=----其他,0,0,0,1),(F y x e e e y x y x y x 求边缘概率密度．４．将一枚硬币掷３次，以Ｘ表示前２次出现Ｈ的次数，以Ｙ表示３次出现Ｈ的次数．求Ｘ，Ｙ的联合分布律以及)Y X,(的边缘分布律．５．设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?≤≤≤≤-=其他,0,0,10), 2(8.4),(x y x x y y x f 求边缘概率密度．６．设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?≤≤=其他,0,1,),(22y x y cx y x f (1)确定常数C. (2)求边缘概率密度.

7.设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?<<=-其他,0,0,),(y x e y x f y 求边缘概率密度. 8.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在区间)1,0(上服从均匀分布,Y 的概率密度为 ?????≤>=-.0,0,0,2 1)(2Y y y e y f y 求X 和Y 的联合概率密度. 9.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为 ?? ?≤≤=.,0,10,1)(X 其他x x f ???>=-.,0,0,)(Y 其他y e y f y 求随机变量Y X Z +=的概率密度. 10. 设随机变量X 和Y 相互独立,且具有相同的分布,它们的概率密度均为 ?? ?>=-.,0,1,)(1其他x e x f x 求随机变量Y X Z +=的概率密度. 11. 设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?????>>+=+-其他,0,0,0,)(2 1),()(y x e y x y x f y x (1) 问X 和Y 是否相互独立? (2) 求Y X Z +=的概率密度. 12. 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为 ?? ?≤>=-.0,0,0,)(t t e t t f t 设各周的需求量是相互独立的．求（１）两周的需求量的概率密度．（２）三周的需求量的概率密度．

概率论答案第三章测试题

第三章测试题 1箱子里装有12件产品,其中两件是次品.每次从箱子里任取1件产品,共取两次(取后不放回).定义随机变量X Y ，如下: 0X=1???，若第一次取出正品，若第一次取出次品 0Y=1??? ，若第二次取出正品，若第二次取出次品 (1)求出二维随机变量X Y （，）的联合分布律及边缘分布律；（2）求在Y=1的条件下，X 的条件分布律。解（2） 2 设二维随机变量 X Y （，）的概率密度Cy(2-x),0x 1,0y x, f(x,y)=0,.≤≤≤≤??? 其他（1）试确定常数C ；（2）求边缘概率密度。解（1）1)(=??+∞∞-+∞∞-dy dx x f 即1)2(100=??-x dxdy x Cy x ，5 12 = ∴C 3设X Y （，）的联合分布律为：求（1）Z X Y =+的分布律；（2）V min(X ,Y )=的分布律（2）

4设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 服从(0,1)上的均匀分布，Y 的概率密度为： y 212Y e ,y 0 f (y )0,y 0 -??>=? ≤?? （1）求X 和Y 的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程为2 a 2Xa Y 0++=，试求a 有实根的概率。解（1）X 1,0x 1 f (x )0,other <<<==∴-other y x e y f x f y x f y Y X , 00,10,21)()(),(2 （2）2 a 2Xa Y 0++=有实根，则0442≥-=?Y X ，即求02 ≥-Y X 的概率 ?-=??=??=≥---≥-1 01 00 20 2 2 22 121),(}0{dx e dy e dx dxdy y x f Y X P x x y y x 3413.0)0()1(211 2 2=Φ-Φ=?- dx e x π ，π23413.010 22=?∴-dx e x

概率论习题答案

第一章随机事件与概率 1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？它们的联系与区别是：（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，A A =、?=A A U 、φ=A A I 。 2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件相互独立，其实质是事件是否发生不影响A B 、A 事件B 发生的概率。而说两个事件互不相容，则是指事件发生必然导致事件A B 、A B 不发生，或事件B 发生必然导致事件不发生，即A φ=AB ，这就是说事件是否发生对事件A B 发生的概率有影响。 3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作??φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质

随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于3点”，都是随机事件。若同时抛掷4颗骰子，“出现的点数之和为3点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如：（1）将一颗骰子连续抛掷三次，观察出现的点数之和，其样本空间为 ?={34}。 518，，，，L （2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ?={012}。 3，，，在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。 4．频率与概率有何联系与区别？事件的概率是指事件在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为： A A 概率的公理化定义：设E 为随机试验，?为它的样本空间，对E 中的每一个事件都赋予一个实数，记为，且满足 A P A () （1）非负性：01≤≤P A ()；（2）规范性：P ()?=1；（3）可加性：若两两互不相容，有。 A A A n 12,,,,L L )P A P A i i i i ()(=∞=∞ =∑11U 则称为事件的概率。 P A ()A 而事件的频率是指事件在次重复试验中出现的次数与总的试验次数n 之比，即A A n n A ()n A n )(为次试验中出现的频率。因此当试验次数n 为有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件n A A 发生的可能性大小，并且在一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。

概率统计课后答案

2 第一章思考题 1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？ 2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？３．圆周率ΛΛ1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表: 675844625664686762609 876543210出现次数数字你能说出他产生怀疑的理由吗?

答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由. 4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？５．两事件A、B相互独立与A、B互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习题一 1．写出下列试验下的样本空间：（1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成Ω=正正，正反，反正，反反 {(,)(,)(,)(,)} （2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6} Ω== i j i j （3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出 3

概率论与数理统计第三章测试题

第3章多维随机变量及其分布一、选择题 1．设,X Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为()(),X Y F x F y ，则()m i n ,Z X Y =的分布函数是（） (A) ()()()max ,Z X Y F z F z F z =???? (B) ()()()min ,Z X Y F z F z F z =???? (C) ()()()111Z X Y F z F z F z =---???????? (D) ()()Z Y F z F y = 2．设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N(0,1) 和 N(1,1)，则（A ）2 1)0(=≤+Y X P （B ）2 1)1(=≤+Y X P （C ）2 1)0(=≤-Y X P （D ）2 1)1(=≤-Y X P 3．设二维随机变量(),X Y 服从于二维正态分布，则下列说法不正确的是（） (A) ,X Y 一定相互独立 (B) ,X Y 的任意线性组合12l X l Y +服从于一维正态分布 (C) ,X Y 分别服从于一维正态分布 (D) 当参数0ρ=时，,X Y 相互独立 4．,ξη相互独立且在[]0,1上服从均匀分布，则使方程220x x ξη++=有实根的概率为（） (A) 1 (B) 12 (C) 0.4930 (D) 4 5．设随机变量,X Y 都服从正态分布，则（） (A) X Y +一定服从正态分布 (B) ,X Y 不相关与独立等价 (C) (),X Y 一定服从正态分布 (D) (),X Y -未必服从正态分布 6．设随机变量X, Y 相互独立，且X 服从正态分布),0(21σN ，Y 服从正态分布),0(22σN ，则概率)1|(|<-Y X P （A ）随1σ与2σ的减少而减少（B ）随1σ与2σ的增加而减少（C ）随1σ的增加而减少，随2σ的减少而增加（D ）随1σ的增加而增加，随2σ的减少而减少 7．设),(Y X 的联合概率密度为： ?? ?<+=, , 0; 1,/1),(22他其y x y x f π 则X 与Y 为（A ）独立同分布（B ）独立不同分布（C ）不独立同分布（D ）不独立不同分布 8．设X i ~ N (0 , 4), i =1, 2, 3, 且相互独立, 则 ( ) 成立。

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