北大附中高考数学专题复习简单几何体

学科：数学

教学内容：简单几何体

【考点梳理】 一、考试内容

1．棱柱（包括平行六面体）。棱锥。多面体。 2．球。

3．体积的概念与体积公理。棱柱、棱锥的体积。球的体积。 二、考试要求

1．理解棱柱、棱锥、球及其有关概念和性质。

掌握直棱柱、正棱锥、球的表面积和体积公式，并能运用这些公式进行计算。 3．了解多面体的概念，能正确画出棱柱、正棱锥的直观图。 对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面（棱柱、棱锥的对角面，棱柱的直截面，球的截面）以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题。

三、考点简析 1．棱柱

2．棱锥

正棱锥是底面正多边形的中心

顶点在底面上的射影

棱锥-

---

--

3．棱柱、棱锥的侧面积与体积

S 正棱柱侧=C h ′ S 正棱锥侧=

21C h ′ V 柱体=S h ′ V 锥体=3

1

S h ′ 4．球

S 球=4πR 2 V 球=

3

4

πR 3

四、思想方法

1．割补法。它是通过“割”与“补”等手段，将不规则的几何体转化为规则的几何体，是一种常用的转化方法。

2．正棱锥的计算问题。应抓住四个直角三角形和两个角。四个直角三角形，即正棱锥的高、侧棱及其在底面上的射影、斜高及其在底面上的射影、底面边长的一半组成的四个直角三角形。两个角，即侧棱与底面所成的线面角，侧面与底面所成的二面角。四个直角三角形所围成的几何体称之为“四直角四面体”，它是解决棱锥计算问题的基本依据，必须牢固掌握。

3．正棱锥的侧面积与底面积的关系。 正棱锥：S 底=S 侧cos α

4．多面体中表面上两点的最短距离。

多面体中表面上两点的最短距离，就是其平面展开图中，连结这两点的线段长度，这是立体几何中求最短距离的基本依据（球面上两点间的距离除外）。

5．关于组合体体积的计算问题。

有很多的几何体，都由一些简单几何体所组成，这样的几何体叫做组合体。 构成组合体的方式一般有两种：其一是由几个简单几何体堆积而成，其体积就等于这几个简单几何体体积之和；其二是从一个简单几何体中挖去几个简单几何体而成，其体积就等于这个几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积。

因此，组合体体积的求法，即为“加、减”法，关键是合理的分割，可使计算简化。 6．关于等积变换问题。

等积变换的依据是等底等高的棱锥体积相等。 等积变换求体积或求点到平面的距离，都是在基本几何体——四面体和平行六面体中进行的。这是因为这些几何体变换底面后，计算体积的方法不变，几何体仍为四面体和平行六面体，这样，我们就可以选择适当的面为底面，使计算简单、易行。

若几何体本身不是四面体或平行六面体，则需先将其分成几个四面体或平行六面体之后，再施行等积变换。

用等积变换求点到平面的距离，是用两种不同的体积计算方法，来建立所求距离的方程，使问题得解。

异面直线间的距离，可转化为点到平面的距离，因此也可用等积变换求解。 用等积变换求距离，可绕过距离的作图，从而降低了题目的难度。

【例题解析】

例1 如图8－1，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是直角三角形，AC ⊥CB ，∠ABC=30°，侧面A 1ABB 1是边长为a 的菱形，且垂直于底面，∠A 1AB=60°，E 、F 分别是AB 1、BC 的中点。

（1）求证：EF ∥侧面A 1ACC 1；

（2）求四棱锥A ——B 1BCC 1的体积；

（3）求EF 与侧面A 1ABB 1所成角的大小。

（1）连结A 1B 、A 1C

∵A 1ABB 1是菱形，且E 是AB 1的中点， ∴E 是A 1B 的中点。 又F 是BC 的中点， ∴EF ∥A 1C 。

又A 1C 平面A 1ACC 1，

EF ?平面A 1ACC 1， ∴EF ∥面A 1ACC 1。

（2）∵平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，交线为AB ，

∴在平面A 1ABB 1内，过A 1作A 1O ⊥AB 于O ，则A 1O ⊥平面ABC ，且h =A 1O=

2

3a ， 又∵AC ⊥CB ，∠ABC=30°，∴a a,AC C,BC B AC S S C B ΔA 2

12321111==??==， ∴V A —C 1CBB 1 =V 柱－V A —A 1B 1C 1 =S h －

31S h =32S h =32·2

1

·AC ·BC ·A 1O =

32·21·21a ·23 a ·2

3a =81a 3 （3）在平面ABC 内，过F 作FH ⊥AB 于H ，则FH ⊥侧面A 1ABB 1。 连结EH ，则∠HEF 为EF 与侧面A 1ABB 1所成的角。 ∵在Rt △FHB 中，FH=

21BF=8

3a ,BH=83a ； 在△HEB 中，HE=BA A BH BE BH BE 12

2cos 2)()(∠???-+

=????

-+60cos 8

3

212)8

3()2

1(2

2

a a a a

=

8

13a ， ∴在Rt △EHF 中，tan ∠HEF=

HE HF =13

39

, ∴∠HEF=arctan

13

39。

例2 如图8－3，三棱锥P —ABC 中，△ABC 是正三角形，∠PCA=90°，D 为PA 的中点，二面角P —AC —B 为120°，PC=2，AB=23。

（1）求证：AC ⊥BD ；

（2）求BD 与底面ABC 所成的角（用反正弦表示）； （3）求三棱锥P —ABC 的体积。

解 （1）如图8－4，取AC 中点E ，连DE 、BE ，则DE ∥PC ，∵PC ⊥AC ，∴DE ⊥AC 。

∵△ABC 是正三角形，∴BE ⊥AC 。

又DE 平面DEB ，BE 平面DEB ，DE ∩BE=E ，∴AC ⊥平面DEB 。 ∵DB 平面DEB ，∴AC ⊥DB 。

（2）法一：∵AC ⊥平面DEB ，AC 底面ABC ，∴平面DEB ⊥底面ABC ，∴EB 是DB 在底面ABC 内的射影，∠DBE 是BD 与底面ABC 所成的角。

又∵DE ⊥AC ，BE ⊥AC ，∴∠DEB 即为二面角P —AC —B 的平面角。

在△DEB 中，∵DE=

21PC=1，BE=2

3AB=3， ∴由余弦定理，得 BD 2=12+32 – 2×1×3cos120°=13，BD=13，

∴由正弦定理，得

DBE ∠sin 1=?

120sin 13

，

解得sin ∠DBE=

2639，即BD 与底面ABC 所成的角为arcsin 26

39。 法二：∵AC ⊥平面DEB ，AC 平面ABC 。∴平面DEB ⊥平面ABC ，作DF ⊥平面ABC ，F 为垂足，则F 在BE 的延长线上，∠DBF 是BD 与平面ABC 所成的角。∵DE ⊥AC ，BE ⊥AC ，∴∠DEB 是二面角P —AC —B 的平面角。在Rt △DBF 中，DE=

21PC=1，BE=2

3

AB=3， ∠DEB=120°，∠DEF=60°，DF=

2

3

。 ∴在△DEB 中，由余弦定理得BD=13，

∴sin ∠DBF=

DB DF =2639，故BD 与底面ABC 所成的角为arcsin 26

39

。 （3）∵AC ⊥平面DEB ，AC 平面PAC ，

∴平面DEB ⊥平面PAC ，∴过点B 作平面PAC 的垂线段BG ，垂足G 在DE 的延长线

上。

∵在Rt △BEG 中，∠BEG=60°，BE=3，∴BG=

2

3

3， ∴V P —ABC =V B —PAC =

31S △PAC ×BG=31×2322 ×2

33=3。

例3 如图8－5，三棱锥P —ABC 中，已知PA ⊥BC ，PA=BC=l ，PA 、BC 的公垂线DE=h ，求三棱锥P —ABC 的体积。

分析：思路一直接求三棱锥P —ABC 的体积比较困难。考虑到DE 是棱PA 和BC 的公垂线，可把原棱锥分割成两个三棱锥P —EBC 和A —EBC ，利用PA ⊥截面EBC ，且△EBC 的面积易求，从而体积可求。

解 如图8—5—1，连结BE ，CE 。∵DE 是PA 、BC 的公垂线，∴PA ⊥DE 。又PA ⊥

BC ，∴PA ⊥截面EBC 。∴V P —EBC =

31S △EBC ·PE ，V A —EBC =3

1

S △EBC ·AE 。∵DE ⊥BC ，∴S △EBC =21BC ·DE=21lh ,∴V P —ABC =V P —EBC +V A —EBC =31S △EBC ·（PE+AE ）=31PA ·S △EBC =6

1l 2h 。

注 本例的解法称为分割法，把原三棱锥分割为两个三棱锥，它们有公共的底面△EBC ，而高的和恰为PA ，因而计算简便。

思路二 本题也可用补形法求解。

解 如图8－5－2，将△ABC 补成平行四边形ABCD ，连结PD ，则PA ⊥AD ，且BC ∥平面PAD ，故C 到平面PAD 的距离即为BC 和平面PAD 的距离。

∵MN ⊥PA ，又MN ⊥BC ，BC ∥AD ，∴MN ⊥AD ， MN ⊥平面PAD 。

故 V P —ABC =V P —ADC =V C —PAD =

31S △PAD ·MN=31（21·PA ·AD ）·MN=6

1l 2h 。 注 本题的解法称为补形法，将原三棱锥补形成四棱锥，利用体积互等的技巧进行转换，

以达到求体积的目的。

本题也可将三棱锥补成三棱柱求积。想一想，怎样做？

例4 如图8－6，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，并且PD=a , PA=PC=2a 。

（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；

（2）求异面直线PB 与AC 所成的角； （3）求二面角A —PB —D 的大小；

（4）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径。

解 （1）PC=2a ，PD=DC=a ,

∴△PDC 是Rt △， 且PD ⊥DC 。 同理，PD ⊥AD 。

而AD ∩DC=D ，∴PD ⊥平面ABCD 。

（2）如图8－7，连BD ，∵ABCD 是正方形，

∴BD ⊥AC 。

又∵PD ⊥平面ABCD 。

∴BD 是PB 在平面ABCD 上的射影。 由三垂线定理，得PB ⊥AC 。 ∴PB 与AC 成90°角。

（3）设AC ∩BD=O ，作AE ⊥PB 于E ，连OE 。 ∵AC ⊥BD ，又PD ⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD 。 ∴PD ⊥AC 。

而PD ∩BD=D ，∴AC ⊥平面PDB ， 则OE 是AE 在平面PDB 上的射影。 由三垂线定理逆定理知OE ⊥PB ，

∴∠AEO 是二面角A —PB —D 的平面角。 ∵PD ⊥平面ABCD ，DA ⊥AB 。∴PA ⊥AB 。 在

Rt △PAB

中，AE ·PB=PA ·AB 。又

AB= a ，AP=

2a ，

PB=222AB AD PD ++=3a ，

∴AE=

3

2a 。 又AO=

2

2a ∴sin ∠AEO=

AE AO =2

3

,∠AEO=60° ∴二面角A —PB —D 的大小为60°。

（4）设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面相切，球心为S ，连SA 、SB 、SC 、SD 、SP ，则把此四棱锥分为五个小棱锥，它们的高均为R 。

由体积关系，得

V P —ABCD =

3

1

R （S △PDC + S △PDA + S △PBC + S △PAB + S 正方形ABCD ） =31R （22a +22a +22a 2+2

2a 2 + a 2）。 又∵3

3

1a V ABCD P =-， ∴31R(2a 2+2a 2)= 3

1a 3 ∴R=

2

2+a =

a 2

2

2-。 例5 如图8－8，已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4，AA 1=8，E 、F 分别为AD 和CC 1的中点，O 1为下底面正方形的中心。求：

（1）二面角C —EB —O 1的正切值；

（2）异面直线EB 与O 1F 所成角的余弦值； （3）三棱锥O 1—BEF 的体积。

解 如图8—9，（1）取上底面的中心O ， OG ⊥EB 于G ，连OO 1和GO 1。由长方体的性质得OO 1⊥平面ABCD ，则由三垂线定理得O 1G ⊥EB ，

则∠OGO 1为二面角C —EB —O 1的平面角。由已知可求得EB=2242+=25。 利用△ABE ∽△GEO （图8－10），可求得OG=

5

2。

在Rt △O 1OG 中，tan ∠O 1GO=

OG

OO 1

=45。 （2）在B 1C 1上取点H ，使B 1H=1，连O 1H 和FH 。 易证明O 1H ∥EB ，则∠FO 1H 为异面直线EB 与1O 所成角。 又O 1H=

2

1

BE=5，HF=2243+=5， O 1F=222422++=26， ∴在△O 1HF 中，由余弦定理，得 cos ∠FO 1H=

6

25225524??-+=

30

30

（3）连HB ，HE ，由O 1H ∥EB ，得O 1H ∥平面BEF 。 ∴V O

1

——BEF

=V H —BEF = V E —BHF =

3

1

·S △BHF ·AB ∵S △BHF =32－

21

（1×8+3×4+4×4）=14 1O V ∴——BEF =31×14×4=

3

56

例6 如图8－12，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ，求这个球的表面积。

解 如图8－12，设过A 、B 、C 三点的球的截面圆半径为r ，圆心为O ′，球心到该圆面的距离为d 。在三棱锥P —ABC 中，

∵PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ,

∴AB=BC=CA=2a ,且P 在△ABC 内的射影即是△ABC 的中心O ′。

由正弦定理，得

?60sin 2a =2r,∴r=3

6

a 。

又根据球的截面的性质，有OO ′⊥平面ABC ，而PO ′⊥平面ABC ， ∴P 、O 、O ′共线，球的半径R=22d r +。又PO ′=22r PA -=2

2

32a a -

=

3

3a ， ∴OO ′=R －

3

3a =d=22r R -,(R －

3

3a )2=R 2 – (

36a )2，解得R=2

3

a , ∴S 球=4πR 2=3πa 2。

注 本题也可用补形法求解。将P —ABC 补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=

2

3

a ,下略。

例7 如图8－13所示，四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两互相垂直，且AB=BC=2，E 是AC 的中点，异面直线AD 与BE 所成的角为arccos

10

10

，求四面体ABCD 的体积。

解 如图8－14，过A 引BE 的平行线，交CB 的延长线于F ，则∠DAF 是异面直线BE 与AD 所成的角。

∴∠DAF=arccos

10

10 ∵E 是AC 的中点，∴B 是CF 的中点，且BF=AB=2。∵AB ⊥BC=2 2=BE

∴AF=2BE=22

∴DF=DA ，∵DB ⊥BA ，DB ⊥BF ，BF=BA ， 则三角形ADF 是等腰三角形， AD=

2AF ·DAF

∠cos 1

=20，BD=22AB AD -=4

故四面体V ABCD =

61AB ×BC ×BD=38，因此四面体ABCD 的体积是3

8。

例8 如图8－15，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=

3

π。 （1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。

解 （1）如图8－16，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN ，

∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA,∴A 1M=A 1N ，

从而OM=ON 。 ∴点O 在∠BAD 的平分线上。

（2）∵AM=AA 1cos 3

π=3×21=23

∴AO=AMsec

4π=

22

3

。又在Rt △AOA 1中， A 1O 2=AA 12 – AO 2=9 －

29=29,∴A 1O=2

23， ∴平行六面体的体积V=5×4×

2

2

3=302。

例9 如图8－17，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B ，且面EAC 与底面ABCD 所成角为45°，AB=a 。

（1）求截面EAC 的面积；

（2）求异面直线A 1B 1与AC 之间的距离； （3）求三棱锥B 1—EAC 的体积。

（1999年全国高考试题）

解 （1）如图8－18，连结DB 交AC 于O ，连结EO 。

∵底面ABCD 是正方形，∴DO ⊥AC 。又∵ED ⊥底面AC ，∴EO ⊥AC 。∴∠EOD 就是面EAC 与底面AC 所成的二面角的平面角，∠EOD=45°。

又DO=

22a , AC=2a , EO=22a sec45°=a ,故S △EAC =2

2a 2。 （2）由题设ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，得A 1A ⊥底面AC ，A 1A ⊥AC 。又A 1A ⊥

A 1

B 1，∴A 1A 是异面直线A 1B 1与A

C 之间的公垂线。∵

D 1B ∥面EAC ，且面D 1BD 与面EAC 交线为EO ，∴D 1B ∥EO 。又O 是DB 的中点，∴

E 是D 1D 的中点，D 1B=2EO=2a 。∴

D 1D=2

21DB B D -=2a ，即异面直线A 1B 1与AC 之间的距离为2a 。

（3）法一：如图8－18，连结D 1B ，∵D 1D=DB=2a ,∴四边形BDD 1B 1是正方形。连结B 1D 交D 1B 于P ，交EO 于Q 。∵B 1D ⊥D 1B ，EO ∥D 1B ，∴B 1D ⊥EO 。又AC ⊥EO ，AC ⊥ED ，∴AC ⊥面BDD 1B 1，∴B 1D ⊥AC ，∴B 1D ⊥面EAC 。则B 1Q 是三棱锥B 1—EAC 的高。由DQ=PQ 得B 1Q=

43 B 1D=23a ,∴EAC B V -1=31·22a 2·23a =4

2a 3。 所以三棱锥B 1—EAC 的体积是

4

2a 3

。

法二：连结B 1O ，则112EO B A EAC B V V --=∵AO ⊥面BDD 1B 1，∴AO 是三棱锥A —EOB 1

的高，且AO=

2

2

a 。在正方形BDD 1B 1中，E 、O 分别是D 1D 、DB 的中点（如图8－19），则1

EOB S △=

43a 2。EAC -1B V =2×31×43 a 2×22a =4

2a 3。所以三棱锥B 1—EAC 的体积是

4

2a 3

。

例10 如图8－20，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点。 （1）证明AD ⊥D 1F ；

（2）求AE 与D 1F 所成的角； （3）证明面AED ⊥面A 1FD 1；

（4）设AA 1=2，求三棱锥F —A 1ED 1的体积1

1ED A F V -。

（1997年全国高考数学试题）

解 （1）∵多面体AC 1是正方体，∴AD ⊥面DC 1。又D 1F 面DC 1，∴AD ⊥D 1F 。 （2）如图8－21，取AB 的中点G ，连结A 1G ，FG 。因为F 是CD 的中点，所以GF 、AD 平行且相等，又A 1D 1、AD 平行且相等，所以GF 、A 1D 1平行且相等，故GFD 1A 1是平行四边形，A 1G ∥D 1F 。设A 1G 与AE 相交于点H ，则∠AHA 1是 AE 与D 1F 所成的角。因为E 是BB 1的中点，所以Rt △A 1AG ≌Rt △ABE,∠GA 1A=∠GAH ，从而∠AHA 1=90°，即直线AE 与D 1F 所成角为直角。

（3）由（1）知AD ⊥D 1F ，由（2）知AE ⊥D 1F ，又AD ∩AE=A ，所以D 1F ⊥面AED 。又因为D 1F 面A 1FD 1，所以面AED ⊥面A 1FD 1。

（4）连结EG ，GD 1，∵FG ∥A 1D 1，∴FG ∥面A 1ED 1，∴体积

,1

1

1

1

1

1

G E A D ED A G ED A F V V V ---==

∵AA 1=2，∴GE A S 1?=23。∴G E A D ED A F V V 111--==31×A 1D 1×GE A S 1?=31×2×2

3

=1。

2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0

的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。

2018年高考数学试题分类汇编-向量

1 2018高考数学试题分类汇编—向量 一、填空题 1.（北京理6改）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择） 1.充分必要 2.（北京文9）设向量a =（1,0），b =（?1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 2．-1 3.（全国卷I 理6改）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = _________. （用,AB AC 表示） 3．3144 AB AC - 4.（全国卷II 理4）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b _________. 4．3 5.（全国卷III 理13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a+b ，则λ=________． 5. 12 6.（天津理8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116 7.（天津文8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则· BC OM 的值为_________. 7.6- 8.（浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2?4e · b +3=0，则|a ?b |的最小值是_________. 8.3?1 9.（上海8）.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF = ，则AE BF ? 的最小值为_________. 9.-3

最新高考数学压轴题专题训练(共20题)[1]

1．已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(2 2 =++y x 内切． （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ； （3）在10<

3．已知点A （－1，0)，B （1,0)，C （－ 5712,0)，D （5712 ,0)，动点P （x , y )满足AP →·BP → ＝0，动点Q （x , y )满足|QC →|+|QD →|＝10 3 ⑴求动点P 的轨迹方程C 0和动点Q 的轨迹方程C 1； ⑵是否存在与曲线C 0外切且与曲线C 1内接的平行四边形，若存在，请求出一个这样的平行四边形，若不存在，请说明理由； ⑶固定曲线C 0，在⑵的基础上提出一个一般性问题，使⑵成为⑶的特例，探究能得出相应结论（或加强结论）需满足的条件，并说明理由。 4．已知函数f (x )＝m x 2＋(m －3）x ＋1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧， ⑴求实数m 的取值范围； ⑵令t ＝－m ＋2，求[1 t ]；(其中[t ]表示不超过t 的最大整数，例如：[1]＝1， [2．5]＝2， [－2．5]＝－3) ⑶对⑵中的t ，求函数g (t )＝t ＋1t [t ][1t ]+[t ]+[1t ]+1的值域。

2021年高考数学第一轮专题复习- 直线、平面、简单几何体——空间向量及其运算

第76课时：第九章 直线、平面、简单几何体——空间向量及其运算 课题：空间向量及其运算 一．复习目标：理解空间向量的概念、掌握空间向量的有关运算及其性质． 二．主要知识： 1．,a b 向量共线的充要条件： ； 2．三点共线： ； 3．三向量共面： ； 4．四点共面： ； 5．两向量夹角的范围 ； 三．课前预习： 1．如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。若AB a =， AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 等的向量是 （ ） ()A 1122a b c -++ ()B 1122 a b c ++ ()C 1122 a b c - -+ ()D c b a +-21 21 2．有以下命题： ①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线； ②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面； C1

③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。 其中正确的命题是 （ ） ()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③ 3．下列命题正确的是 （ ） ()A 若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；()B 向量,,a b c 共面就是它们所在的 直线共面； ()C 零向量没有确定的方向； ()D 若//a b ，则存在唯一的实数λ使得a b λ=； 4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 （ ） ()A OM ++= ()B OM --=2 ()C OC OB OA OM 3121++= ()D OC OB OA OM 3 1 3131++= 四．例题分析： 例1．已知在正三棱锥ABC P -中，N M ,分别为BC PA ,中点，G 为MN 中点，求证： BC PG ⊥ G N A B C P M

高考数学大题练习

高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2） （1）若a ⊥b ，求tan θ的值； （2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高 下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分） 在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小； （2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值； （2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值， 若不是，则说明理由： （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值； （3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围.

高考数学19个专题分章节大汇编

高考理科数学试题分类汇编：1集合 一、选择题 1 . （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集{}1,2,3,4U =, 集合{}=12A ， ,{}=23B ，,则()=U A B e( ) A. {}134， ， B. {}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 . （普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则 A. ()01， B. (]02， C. ()1,2 D. (]12， 【答案】D 3 . （普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 . （普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意 12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”. 以下集合 对不是“保序同构”的是( ) A. *,A N B N == B. {|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C. {|01},A x x B R =<<= D. ,A Z B Q == 【答案】D 5 . （高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 . （普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合A ={0,1,2},则集合B ={} ,x y x A y A -∈∈中元素的个数是

【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)Word版

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一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测20xx 年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 （1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作；若b 不是集合A 的元素，记作；A a ∈A b ? （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

高考数学数列大题专题

高考数学数列大题专题 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥ （1）求数列n a 的通项公式； （2）若(21)n n b n a =-，求数列n a 的前n 项的和n T 。 4.已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且． （Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）证明数列{n n a 2}是等差数列； （Ⅲ）求数列{n a }的前n 项之和n S

5.已知数列{}n a 满足31=a ，1211-=--n n n a a a . （1）求2a ，3a ，4a ； （2）求证：数列11n a ??? ?-?? 是等差数列，并写出{}n a 的一个通项。 622,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a . 求证： ⑴数列{b n +2}是公比为2的等比数列； ⑵n a n n 221-=+； ⑶4)1(2221-+-=++++n n a a a n n Λ. 7. .已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60，且2116a a a 和为 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前； （2）若数列}1{,3),(}{11n n n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*+的前n 项和T n .

高考数学专题复习简单几何体的面积与体积

第5讲 简单几何体的面积与体积 一、选择题 1．长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为( ) A.7 2π B ．56π C ．14π D ．64π 解析 设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，则??? ab ＝2， bc ＝3， ac ＝6，得??? a ＝2， b ＝1， c ＝3， 令球的半径为R ，则(2R )2＝22＋12＋32＝14，∴R 2＝7 2， ∴S 球＝4πR 2＝14π. 答案 C 2．若等腰直角三角形的直角边长为3，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是( ) A ．9π B ．12π C ．6π D ．3π 解析 由题意知所得几何体为圆锥，且底面圆半径为3，高为3，故V ＝13·(π·32 )·3＝9π. 答案 A 3．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm 2)为( )．

A ．48 B ．64 C ．80 D ．120 解析 据三视图知，该几何体是一个正四棱 锥(底面边长为8)，直观图如图，PE 为侧面△PAB 的边AB 上的高，且PE ＝5.∴此几何体的侧面积是S ＝4S △PAB ＝4×1 2×8×5＝ 80(cm 2)． 答案 C 4．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )． A.2 6 B.36 C.23 D.22 解析 在直角三角形ASC 中，AC ＝1，∠SAC ＝90°，SC ＝2，∴SA ＝4－1＝3；同理SB ＝ 3.过A 点作SC 的垂线交SC 于D 点，连接DB ，因△SAC ≌△SBC ，故BD ⊥SC ，故SC ⊥平面ABD ，且平面ABD 为等腰三角形，因∠ASC ＝30°，故 AD ＝1 2SA ＝ 32，则△ABD 的面积为1 2 ×1× AD 2－? ?? ?? 122 ＝24，则三棱锥的体积为13×24×2＝26. 答案 A 5．某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为 ( )．

高考数学试题分类汇编 算法初步

高考数学试题分类汇编算法初步 1.（天津理3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 2.（全国新课标理3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 （A）120 （B） 720 （C） 1440 （D） 5040 【答案】B 3.（辽宁理6）执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P 是 （A）8 （B）5 （C）3 （D）2 【答案】C

4. （北京理4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A ．-3 B ．-12 C ．13 D ．2 【答案】D 5.（陕西理8）右图中， 1x ，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终得分。当126,9.x x ==p=8．5时，3x 等于 A ．11 B ．10 C ．8 D ．7 【答案】C 6.（浙江理12）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是 。 【答案】5

Read a，b If a >b Then m←a Else m←b End If 7.（江苏4）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值是 【答案】3 8.（福建理11）运行如图所示的程序，输出的结果是_______。 【答案】3 9.（安徽理11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 . 【答案】15 10.（湖南理13）若执行如图3所示的框图，输入1 1 x= ，23 2,3,2 x x x ==-= , 则输出的数等于。 【答案】 2 3

11.（江西理13）下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 【答案】10 12.（山东理13）执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值是【答案】68

2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习(各种专题训练)Word版

2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习 (各种专题训练)Word版(附参考答案) 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体 （对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排 列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法：

2020高考数学专题训练16

六） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1．满足条件?≠?M ≠?{0，1，2}的集合共有（ ） A ．3个 B ．6个 C ．7个 D ．8个 2．等差数列}{n a 中，若39741=++a a a ，27963=++a a a ，则前9项的和9S 等于（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．297 3．函数)1(log 2-=x y 的反函数图像是（ ） A B C D 4．已知函数)cos()sin()(??+++=x x x f 为奇函数，则?的一个取值为（ ） A ．0 B ．4 π - C ．2π D ．π 5．从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种 子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法共有（ ） A ．4 82 10A C 种 B ．5 91 9A C 种 C ．5 91 8A C 种 D ．5 81 8A C 种 6．函数512322 3 +--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是（ ） A ．5，-15 B ．5，-4 C ．-4，-15 D ．5，-16 7．已知9)222(-x 展开式的第7项为4 21 ，则实数x 的值是（ ） A ．31- B ．-3 C ．4 1 D ．4 8．过球面上三点A 、B 、C 的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB ＝6，BC ＝8， AC ＝10，则球的表面积是（ ） A ．π100 B ．π300 C ． π3100 D ．π3 400 9．给出下面四个命题：①“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件是：直线a 、b 不相交；②“直线l 垂直于平面α内所有直线”的充要条件是：l ⊥平面α；③“直线a ⊥b ”的充分非必要条件是“a 垂直于b 在平面α内的射影”；④“直线α∥平面β”的必要非充分条件是“直线a 至少平行于平面β内的一条直线”．其中正确命题的个数是（ ）

2018年高考数学立体几何试题汇编

2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积． 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥.（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为

A ．1 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ； （2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30?，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值． 全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分） 如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点． （1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ； （2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科：

高考数学考点专题总复习15

1．若数列{a n }前8项的值各异，且a n +8=a n 对任意n ∈N *都成立，则 下列数列中可取遍{a n }前8项值的数列为 A ．{a 2k +1} B ．{a 3k +1} C ．{a 4k +1} D ．{a 6k +1} 2．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累 积的需求量S n （万件）近似地满足S n =90 n （21n －n 2－5）（n =1，2，……，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 A ．5月、6月 B ．6月、7月 C ．7月、8月 D ．8月、9月 3．在数列{a n }中，如果存在非零常数T ，使得a m+T =a m 对于任意的非 零自然数m 均成立，那么就称数列{a n }为周期数列，其中T 叫数列{a n }的周期。已知数列{x n }满足x n+1=|x n –x n-1|(n ≥2)，如果x 1=1，x 2=a (a ∈R ，a ≠0)，当数列｛x n ｝的周期最小时，该数列前2019项的和是 A ．668 B ．669 C ．1336 D ．1337 4．一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关 系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是

5.已知{}n a 是 首项为1，公差为-2的等差数列 ，则 ∑=-10121k k a = 。 6.200根圆柱形钢管，堆成一三角形垛或梯形垛，每上一层少一根，最下一层最少要放 根 。 7．已知函数1 3)(+=x x x f ,数列{}n a 满足).)((,111*+∈==N n a f a a n n (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)记13221++++=n n n a a a a a a S ,求n S . 参考答案 BCDA -2019, (∑∑==-=+-=-∴+-=-+-=10110 122.20163021,321,32k k k k n k a k a n a ) 20．( ,2)1(321+=++++n n n 满足条件2002 )1(≥+n n 的最小自然数n 为20，故最小一层最少要放20根。) 7.解析：（Ⅰ）由已知得，131+= +n n n a a a ， ∴311 1+=+n n a a ，即3111=-+n n a a ∴数列?? ????n a 1是首项11=a ,公差3=d 的等差数列. ∴233)1(11-=?-+=n n a n , 故)(2 31*∈-=N n n a n

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2019-2020 年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（一） x 2 y2 2 的直线与 12 1.设 F ， F为椭圆的左、右焦点，动点P 的坐标为 ( －1,m)，过点 F 4 3 椭圆交于 A， B 两点 . （1）求 F1，F 2的坐标； （2）若直线 PA， PF 2， PB 的斜率之和为 0，求 m 的所有 整数值 . x2 2 2.已知椭圆y 1，P是椭圆的上顶点.过P作斜率为 4 k（k≠0）的直线l 交椭圆于另一点A，设点 A 关于原点的 对称点为 B. （1）求△PAB 面积的最大值； （2）设线段 PB 的中垂线与 y 轴交于点 N，若点 N 在椭圆内 部，求斜率 k 的取值范围 . 2 2 5 x y = 1 a > b > 0 ) 的离心率为，定点 M ( 2,0 ) ，椭圆短轴的端点是 3.已知椭圆 C : 2 + 2 a b ( 3 B1， B2，且MB1 MB 2. （1）求椭圆C的方程； （2）设过点M且斜率不为0 的直线交椭圆C于 A, B 两点，试问 x 轴上是否存在定点P ，使 PM 平分∠APB ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.

x2 y2 4.已知椭圆C 的标准方程为 1 ，点 E(0,1) ． 16 12 （1 ）经过点 E 且倾斜角为3π 的直线 l 与椭圆 C 交于A、B两点，求 | AB | ．4 （2 ）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、 N 且 | ME | | NE | ，若存在，求出直线p 斜率 的取值范围；若不存在说明理由． 5.椭圆 C1与 C2的中心在原点，焦点分别在x 轴与y轴上，它们有相同的离心率e= 2 ，并 2 且 C2的短轴为 C1的长轴， C1与 C2的四个焦点构成的四边形面积是2 2 . (1)求椭圆 C1与 C2的方程； (2) 设P是椭圆 C2上非顶点的动点，P 与椭圆C1长轴两个顶点 A ， B 的连线 PA ， PB 分别与椭圆 C1交于E，F点 . (i)求证：直线 PA ， PB 斜率之积为常数； (ii) 直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.

高考数学专题训练试题7

第一部分 专题二 第1讲 等差数列、等比数列 (限时60分钟，满分100分) 一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分) 1．(精选考题·北京高考)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5， 则m ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 解析：由题知a m ＝|q |m －1＝a 1a 2a 3a 4a 5＝|q |10，所以m ＝11. 答案：C 2．(精选考题·广元质检)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，则连乘积a 1a 2a 3…aa 精选考题的值为( ) A ．－6 B ．3 C ．2 D ．1 解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，∴a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝ 2，∴数列{a n }的周期为4，且a 1a 2a 3a 4＝1， ∴a 1a 2a 3a 4…aa 精选考题＝aa 精选考题＝a 1a 2＝2×(－3)＝－6. 答案：A 3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝( ) A ．54 B ．45

C ．36 D ．27 解析：根据2a 8＝6＋a 11得2a 1＋14d ＝6＋a 1＋10d ，因此a 1＋4d ＝6，即a 5＝6.因此S 9＝9(a 1＋a 9) 2 ＝9a 5＝54. 答案：A 4．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 2 7＋2a 11＝0，数 列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 解析：因为a 3＋a 11＝2a 7，所以4a 7－a 27＝0，解得a 7＝4，所以 b 6b 8＝b 27＝a 2 7＝16. 答案：D 5．(精选考题·福建高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 解析：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 4＋a 6＝－6，∴a 5＝－3， ∴d ＝a 5－a 1 5－1＝2， ∴a 6＝－1<0，a 7＝1>0， 故当等差数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，n 等于6. 答案：A 6．(精选考题·陕西高考)对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2…)”

高考数学真题分类汇编集合专题(基础题)

高考数学真题分类汇编集合专题（基础题） 一、单选题 1.集合M={x|1＜x+1≤3}，N={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则（?R M）∩（?R N）等于（） A. （﹣1，3） B. （﹣1，0）∪（2，3） C. （﹣1，0]∪[2，3） D. [﹣1，0]∪（2，3] 2.已知R是实数集，M={x| ＜1}，N={y|y= +1}，N∩?R M=（） A. （1，2） B. [0，2] C. ? D. [1，2] 3.已知集合，，若，则实数的值为（） A. 1 B. C. 2 D. 4.已知集合，，则等于（） A. B. C. D. 5.已知集合A={x|x＞0}，函数的定义域为集合B，则A∩B=（） A. [3，+∞） B. [2，3] C. （0，2]∪[3，+∞） D. （0，2] 6.已知集合，，则（） A. B. C. D. 7.已知集合A={x|x2﹣x+4＞x+12}，B={x|2x﹣1＜8}，则A∩（?R B）=（） A. {x|x≥4} B. {x|x＞4} C. {x|x≥﹣2} D. {x|x＜﹣2或x≥4} 8.已知Ｍ＝｛ｘ｜ｘ2－2x－3>0｝，Ｎ＝｛x｜ｘ2＋ax+b≤0｝，若M∪N＝R，Ｍ∩Ｎ＝（3，4],则a+b＝（） A. 7 B. －1 C. 1 D. －7 9.已知集合A={2，4}，B={2，3，4}，，则C中元素个数是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 10.集合，，则的子集个数是________． 答案 一、单选题 1.D 2.D 3. A 4. C 5.B 6. D 7.B 8. D 9.B 二、填空题 10. 2 第1 页共1 页

高考数学考点专题总复习12

1. 在△ABC 中，∠C=90°，),3,2(),1,(==k 则k 的值是 A 5 B －5 C 23 D 2 3- 2.已知a 、均为单位何量,它们的夹角为60°,那么| a + 3 | = A 7 B 10 C 13 D 4 3. 已知点A （3，1），B （0，0）C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有λλ其中,=等于 A 2 B 21 C －3 D －31 4. 已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则 A a ⊥e B a ⊥(a －e ) C e ⊥(a －e ) D (a ＋e )⊥(a －e ) 5.已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=___ 6..已知向量a 与的夹角为120°,且|a |=2, ||=5,则 (2a -b )·a = . 7..已知向量 b a x f x x b x x a ?=-+=+=)()),4 2tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令πππ. 是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使x f x f x f x f x '='+∈π若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之.

8.如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ 最大值. 与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个 A B C a

参考答案 1.A [解析]： ∠C=90°，),3,2(),1,(==AC k AB 则 )2,2(k BC -=∵∠C=90° ∴506)2(20=∴=+-∴=?k k BC AC 2.C [解析]：已知a 、均为单位何量,它们的夹角为60°,那么a ?b =2 1 ∴| a + 3 |2=13962 2=+?+

高考数学1.简单几何体专题1

高考数学1.简单几何体专题1 2020.03 1,下面的图形可以构成正方体的是（） A B C D 2,正四棱台上，下底面边长为a，b，侧棱长为c，求它的高和斜高． 3,下列命题中正确的是 （） A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥 B．棱锥的高线可能在几何体之外 C．仅有一组对面平行的六面体是棱台 D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 4,圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（） A．等边三角形B．等腰直角三角形 C．顶角为30°的等腰三角形D．其他等腰三角形 5,把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线 长10cm.求：圆锥的母长． 6,长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，则一只小虫从A点沿长方 体的表面爬到C1点的最短距离是． 7,已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，

E={棱柱}，F={直平行六面体}，则 （ ） A ．E F D C B A ????? B ．A C B F D E ????? C ．C A B D F E ????? D ．它们之间不都存在包含关系 8,A 、B 为球面上相异两点，则通过A 、B 两点可作球的大圆有 （ ） A ．一个 B ．无穷多个 C ．零个 D ．一个或无穷多个 9,若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台，此命题是否正确，说明理由． 10,长方体三条棱长分别是AA ′=1，AB=2，AD=4，则从A 点出发，沿长方体的表面到 C ′的最短矩离是 （ ） A ．5 B ．7 C ．29 D ．37 11,线段AB 长为5cm ，在水平面上向右平移4cm 后记为CD ，将CD 沿铅垂线方向向下移动3cm 后记为C ′D ′,再将C ′D ′沿水平方向向左移4cm 记为A ′B ′，依次连结构成长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′. ①该长方体的高为 ； ②平面A ′B ′C ′D ′与面CD D ′C ′间的距离为 ； ③A 到面BC C ′B ′的距离为 .

高三数学 高考大题专项训练 全套 (15个专项)(典型例题)(含答案)

1、函数与导数（1） 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数（2） 4、立体几何 5、数列（1） 6、应用题 7、解析几何 8、数列（2） 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法

高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1) 1．已知函数f (x )＝a e x x ＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值； (2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1. ∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1， 又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1， 解得a ＝－1 e . (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2 ， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值． 方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)， 则???? ? x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0， 则0 0000 2 00 201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ? > +> -+ = ? ①②③ 由③得0 e x a ＝－x 20 x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0 >0， 结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0 e x a x ＋x 0>0，得a >－02 0e x x ， 设h (x )＝－x 2 e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ， 当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4 e 2.