反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结
知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x
k
y =
（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：
⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；
⑵自变量x 的取值围是0x ≠的一切实数，函数值的取值围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x
k
y =
（0k ≠）， ②1
kx y -=（0k ≠）， ③k y x =?（定值）（0k ≠）；
⑸函数x
k
y =
（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是
y 的反比例函数。
（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x
k
y =，就不是反比例函数了，由于反比例函数x
k
y =
（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式
由于反比例函数x
k
y =
（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点3反比例函数的图像及画法
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；
②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；
③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
知识点4反比例函数的性质
☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：
注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。
反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号。如x
k
y =在第一、第三象限，则可知0k >。 ☆反比例函数x
k
y =
（0k ≠）中比例系数k 的绝对值k 的几何意义。 如图所示，过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 分别为垂足， 则OEPF S PE PF y x xy 矩形=?=?==k
☆ 反比例函数x k
y =（0k ≠）中，k 越大，双曲线x k y =
越远离坐标原点；k 越小，双曲线x
k y =越靠近坐标原点。
☆ 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和
直线y=－x 。
二、例题
【例1】如果函数2
22
-+=k k
kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限，那么k 的值是多少？
【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数x
k
y =，（0≠k ）即kx y =1-（0≠k ）又在第二，四象限，则0 ???<-=-+01222k k k 解得?????<= -=0211k k k 或 1-=∴k 1-=∴k 时函数222-+=k k kx y 为x y 1 -= 【例2】在反比例函数x y 1 -=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。若 3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ） A ．213y y y >> B ．123y y y >> C ．321y y y >> D ．231y y y >> 【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。 解法一：由题意得111x y - =，221x y -=，3 31x y -= 3210x x x >>> ，213y y y >>∴所以选A 解法二：用图像法，在直角坐标系中作出x y 1 -=的图像 描出三个点，满足3210x x x >>>观察图像直接得到213y y y >>选A 解法三：用特殊值法 213321321321,1,1,2 1 1,1,2,0y y y y y y x x x x x x >>∴=-=-=∴-===∴>>>令 【例3】如果一次函数()的图像与反比例函数x m n y m n mx y -=≠+=30相交于点（22 1 ，） ，那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ） 【解析】 ?? ?==?????=-=+∴??? ??-=+=12132 212213n m m n n m x x m n y n mx y 解得，，相交于与双曲线直线 ?????==???-=-=?? ? ??=+==+=∴2 211 11121,122211y x y x x y x y x y x y 得解方程组双曲线为直线为 ()11--∴，另一个点为 【例4】 如图，在AOB Rt ?中，点A 是直线m x y +=与双曲线x m y = 在第一象限的交点，且2=?AOB S ，则m 的值是_____. o y x y x o y x o y x o A B C D 图 解:因为直线m x y +=与双曲线x m y =过点A ,设A 点的坐标为()A A y x ,. 则有A A A A x m y m x y = +=,.所以A A y x m =. 又点A 在第一象限,所以A A A A y y AB x x OB ====,. 所以m y x AB OB S A A AOB 2 1 2121==?= ?.而已知2=?AOB S . 所以4=m . 三、练习题 1.反比例函数x y 2 -=的图像位于（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限 2.若y 与x 成反比例，x 与z 成正比例，则y 是z 的（ ） A 、正比例函数 B 、反比例函数 C 、一次函数 D 、不能确定 3.如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数图象大致为（ ） 4.某气球充满了一定质量的气体，当温度不变时， 气球气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ） A 、不小于54m 3 B 、小于54m 3 C 、不小于45m 3 D 、小于45 m 3 5．如图 ，A 、C 是函数x y 1 =的图象上的任意两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过 C 作y 轴的垂线，垂足为 D ，记Rt ΔAOB 的面积为S 1，Rt ΔCOD 的面积为S 2则 （ ） A ． S 1 ＞S 2 B ． S 1 C． S 1=S 2 D． S 1 与S 2 的大小关系不能确定 6．关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y= 1 n x 的图象都经过点A（-2，1）. 求：（1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）两函数图象的另一个交点B的坐标； （3）△AOB的面积． 7. 如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝k x 的图象交于A、B两点， 与x轴交于点C．已知点A的坐标为（－2，1），点B的坐标为（1 2 ，m）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值围． 8．某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6小时可将满池水全部排空． （1）蓄水池的容积是多少？ （2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？ （3）写出t与Q的关系式． （4）如果准备在5小时将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？ （5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？ 9.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y （件）是日销售价x元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件. （1）请写出y关于x的函数关系式； （2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？ 10．如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数m y x =的图象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。 (1)求上述反比例函数和一次函数的表达式； (2）观察图象，写出一次函数值小于反比例函数值的x 的取值围？ (3)求△AOB 的面积。 四、课后作业 1．对与反比例函数x y 2 = ，下列说法不正确的是（ ） A ．点（1,2--）在它的图像上 B ．它的图像在第一、三象限 C ．当0>x 时，的增大而增大随x y D ．当0 y k x =≠的图象经过点（1，-2） ，则这个函数的图象一定经过（ ） A 、（2，1） B 、（2，-1） C 、（2，4） D 、（-1，-2） 3．在同一直角坐标平面，如果直线x k y 1=与双曲线x k y 2=没有交点，那么1k 和2k 的关 系一定是（ ） A. 1k +2k =0 B. 1k ·2k <0 C. 1k ·2k >0 D.1k =2k 4. 反比例函数y ＝k x 的图象过点P （－1.5，2），则k ＝________． 5. 点P （2m －3，1）在反比例函数y ＝1 x 的图象上，则m ＝__________． 6. 已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（－2，3）则m 的值为__________． 7. 已知反比例函数x m y 21-=的图象上两点()()2211,,,y x B y x A ，当210x x <<时，有 21y y <，则m 的取值围是？ 8.已知y 与x-1成反比例，并且x ＝-2时y ＝7，求： (1)求y 和x 之间的函数关系式； (2)当x=8时，求y 的值； (3)y ＝-2时，x 的值。 9. 已知3=b ,且反比例函数x b y += 1的图象在每个象限，y 随x 的增大而增大,如果点()3,a 在双曲线上x b y +=1，求a 是多少？