1.4 角平分线同步培优练习题(含答案解析)
1.4 角平分线同步培优练习题
一．选择题（共10小题）
1．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（）
A．8.5B．15C．17D．34
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（）
A．2B．2.5C．3D．4
3．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P 到直线AC的距离为4，则点P到直线AB的距离为（）
A．4B．3C．2D．1
4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝20，CD＝6，若∠C＝90°，则△ABD面积是（）
A．120B．80C．60D．40
5．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，则下列结
论中错误的是（）
A．∠DBE＝∠DBF B．DE＝DF C．2DF＝DB D．∠BDE＝∠BDF 6．如图，PM＝PN，∠BOC＝30°，则∠AOB的度数（）
A．30°B．45°C．60°D．50°
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）
A．2B．3C．4D．无法确定
8．在△ABC内部取一点P，使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P是△ABC的（）A．三条高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
9．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2，AC＝3，则△ADC 的面积是（）
A．3B．4C．5D．6
10．如图所示，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H．若∠ABC＝60°，则下面的结论：
①∠ABP＝30°；②∠APC＝60°；③PB＝2PH；④∠APH＝∠BPC，
其中正确结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共5小题）
11．如图，点O在△ABC内部，且到三边的距离相等．若∠BOC＝130°，则∠A＝．
12．如图，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，若△ABC的面积是30，则OD＝．
13．如图，∠AOP＝∠BOP，PC∥OA，PD⊥OA，若∠AOB＝45°，PC＝6，则PD的长为．
14．如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD距离都相等，则∠P＝度．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，角平分线AE与BF相交于点O，
则点O到斜边AB的距离为．
三．解答题（共7小题）
16．在△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，请解答下列问题：
（1）若AD＝2cm，则D点到BC边的距离是．
（2）若BC＝7cm，则△CDE的周长为．
（3）连接AE，试判断线段AE与BD的位置关系，并说明理由．
17．已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．
18．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，求点D到AB的距离．
19．已知，如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．
（1）求证：BD＝2CD；
（2）若CD＝2，求△ABD的面积．
20．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．
21．在四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，点F在线段CE上运动．
（1）如图1，已知∠A＝∠D＝90°
①若BF平分∠ABC，则∠BFC＝°
②若∠BFC＝90°，试说明∠DEC＝∠ABC；
（2）如图2，已知∠A＝∠D＝∠BFC，试说明BF平分∠ABC．
22．证明命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
（1）已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，，．求证：．（请你补全已知和求证）
（2）写出证明过程．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．【分析】根据角平分线的性质得到点O到△ABC各边的距离为4，利用三角形面积公式得到×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，然后计算出AB+AC+BC即可．
【解答】解：∵点O为△ABC的两条角平分线的交点，
∴点O到△ABC各边的距离相等，
而OD⊥BC，OD＝4，
∴点O到△ABC各边的距离为4，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，
∴AB+AC+BC＝17，
即△ABC的周长为17．
故选：C．
2．【分析】作DE⊥AB于E，如图，先根据勾股定理计算出BC＝8，再利用角平分线的性质得到DE＝DC，设DE＝DC＝x，利用面积法得到10x＝6（8﹣x），然后解方程即可．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，
在Rt△ABC中，BC＝＝8，
∵AD是△ABC的一条角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
设DE＝DC＝x，
S△ABD＝DE?AB＝AC?BD，
即10x＝6（8﹣x），解得x＝3，
即点D到AB边的距离为3．
故选：C．
3．【分析】过点P作PF⊥AC于F，作PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，然后根据角平分线上
的点到角的两边的距离相等即可得解．
【解答】解：如图，过点P作PF⊥AC于F，作PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，
∵BD、CE是△ABC的外角平分线，
∴PF＝PG，PG＝PH，
∴PF＝PG＝PH，
∵点P到AC的距离为4，
∴PH＝4，
即点P到AB的距离为4．
故选：A．
4．【分析】根据角平分线的性质得出DE＝CD＝6，进而利用三角形的面积公式解答即可．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE＝6，
∴△ABD面积＝，
故选：C．
5．【分析】根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．【解答】解：∵BP为∠ABC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，B正确，不符合题意；
在Rt△DBE和Rt△DBF中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DBF，
∴∠DBE＝∠DBF，∠BDE＝∠BDF，A、D正确，不符合题意，
2DF不一定等于DB，C错误，符合题意，
故选：C．
6．【分析】由角平分线性质定理的逆定理和角的和差直接求出∠AOB的度数为60°．【解答】解：如图所示：
∵点P在∠AOB的内部，PM⊥AO，
PN⊥OB，PM＝PN，
∴点P在∠AOB的角平分线上，
∴OC平分∠AOB，
∵∠BOC＝30°，
∴∠AOB＝60°，
故选：C．
7．【分析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP＝CD解决问题；
【解答】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．
由作图可知：AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
故选：A．
8．【分析】根据角平分线的性质解答．
【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴点P到△ABC的三边距离相等，则点P是△ABC的三条角平分线的交点，
故选：B．
9．【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据（1）中所求S△ACD＝3列出方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴DE＝DF＝2．
∴S△ACD＝AC?DF＝×3×2＝3，
故选：A．
10．【分析】如图作，PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．利用角平分线的判定定理和性质定理可得PB是∠ABC的平分线，由△P AN≌△P AH，△PCM≌△PCH，推出∠APN＝∠APH，∠CPM＝∠CPH，由∠MPN＝180°﹣∠ABC＝120°，推出∠APC＝∠MPN＝60°，由∠BPN＝∠CP A＝60°，推出∠CPB＝∠APN＝∠APH即可一一判断．
【解答】解：如图作，PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．
∵∠P AH＝∠P AN，PN⊥AD，PH⊥AC，
∴PN＝PH，同理PM＝PH，
∴PN＝PM，
∴PB平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠ABC＝30°，故①正确，
∵在Rt△P AH和Rt△P AN中，
，
∴△P AN≌△P AH，同理可证，△PCM≌△PCH，
∴∠APN＝∠APH，∠CPM＝∠CPH，
∵∠MPN＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠APC＝∠MPN＝60°，故②正确，
在Rt△PBN中，∵∠PBN＝30°，
∴PB＝2PN＝2PH，故③正确，
∵∠BPN＝∠CP A＝60°，
∴∠CPB＝∠APN＝∠APH，故④正确．
二．填空题（共5小题）
11．【分析】由条件可知BO、CO平分∠ABC和∠ACB，利用三角形内角和可求得∠A．【解答】解：∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣2（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣2×（180°﹣∠BOC）
＝180°﹣2×（180°﹣130°）
＝80°，
故答案为：80°．
12．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．
【解答】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD，
∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，
∴S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF＝×（AB+BC+AC）×OD＝×20×OD＝30，
解得：OD＝3，
故答案为：3
13．【分析】过P作PE⊥OB，根据角平分线的定义和平行线的性质易证得△PCE是等腰直角三角形，得出PE＝3，根据角平分线的性质即可证得PD＝PE＝3．
【解答】解：过P作PE⊥OB，
∵∠AOP＝∠BOP，∠AOB＝45°，
∴∠AOP＝∠BOP＝22.5°，
∵PC∥OA，
∴∠OPC＝∠AOP＝22.5°，
∴∠PCE＝45°，
∴△PCE是等腰直角三角形，
∴PE＝PC＝×6＝3，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE＝3，
故答案为3．
14．【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，再根据两直线平行，同旁内角互补和角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵点P到AB、BC、CD距离都相等，
∴BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠BCD，
∴∠CBP+∠BCP＝（∠ABC+∠BCD），
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠CBP+∠BCP＝×180°＝90°，
∴∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°﹣90°＝90°．
故答案为：90
15．【分析】利用勾股定理列式求出BC，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点O 到△ABC三边的距离相等，设为h，再利用△ABC的面积列出方程求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∵角平分线AE与BF相交于点O，
∴点O到△ABC三边的距离相等，
设为h，则S△ABC＝（10+6+8）h＝×6×8，
解得h＝2，
即点O到斜边AB的距离为2．
故答案为：2．
三．解答题（共7小题）
16．【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答；
（2）证明△ABD≌△EBD，得到BA＝BE，根据三角形的周长公式计算即可；
（3）根据线段垂直平分线的判定定理解答．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，∠A＝90°，
∴DE＝AD＝2cm，
故答案为：2cm；
（2）在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD，
∴BA＝BE，
△CDE的周长＝CD+CE+DE＝CD+AD+CE＝AC+CE＝AB+CE＝BE+CE＝BC＝7cm，故答案为：7cm；
（3）∵DA＝DE，BA＝BE，
∴BD⊥AE．
17．【分析】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD＝PM，同理可得PM＝PN，从而得到PD＝PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．
【解答】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，
∴PD＝PM，
同理，PM＝PN，
∴PD＝PN，
∴点P在∠A的平分线上．
18．【分析】先要过D作出垂线段DE，根据角平分线的性质求出CD＝DE，再根据已知即可求得D到AB的距离的大小．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC
∴CD＝DE
又BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm
∴DC＝7.8÷（2+1）＝7.8÷3＝2.6cm．
∴DE＝DC＝2.6cm．
∴点D到AB的距离为2.6cm．
19．【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，依据角平分线的性质，即可得到DE＝CD，再根据含30°角的直角三角形的性质，即可得出结论；
（2）依据AD＝BD＝2CD＝4，即可得到Rt△ACD中，AC＝＝2，再根据△ABD的面积＝×BD×AC进行计算即可．
【解答】解：（1）如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，
∴DE＝CD，
又∵∠B＝30°，
∴Rt△BDE中，DE＝BD，
∴BD＝2DE＝2CD；
（2）∵∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴AD＝BD＝2CD＝4，
∴Rt△ACD中，AC＝＝2，
∴△ABD的面积为×BD×AC＝×4×2＝4．
20．【分析】作∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线，它们的交点为P点．【解答】解：如图，点P为所作．
21．【分析】（1）①先根据∠A+∠D＝180°得AB∥CD，可得∠ABC+∠BCD＝180°，根据角平分线和三角形的内角和可得结论；
②先根据同角的余角可得：∠CBF＝∠DEC，由①知：AB∥CD，可得结论；
（2）如图2，延长BF交于点M，根据四边形的内角和定理和邻补角的性质可得∠DCF ＝∠EMF，根据三角形的内角和定理得∠FEM＝∠CBF，同理得∠FEM＝∠ABF，从而得结论．
【解答】解：（1）①∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵CE平分∠BCD，BF平分∠ABC，
∴∠CBF＝，∠BCF＝，
∴∠CBF+∠BCF＝＝90°，
∴∠BFC＝90°；
故答案为：90
②∵∠BFC＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠DCE+∠DEC＝90°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCF，
∴∠CBF＝∠DEC，
由①知：AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠CBF＝∠ABC，
∴∠DEC＝∠ABC；
（2）如图2，延长BF交于点M，
∵∠BFC＝∠D，
∠BFC+∠CFM＝180°，
∴∠CFM+∠D＝180°，
∴∠FMD+∠DCF＝180°，
∵∠FMD+∠EMF＝180°，
∴∠DCF＝∠EMF，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠EMF，
∵∠EFM＝∠BFC，
∴∠FEM＝∠CBF，
∵∠CFB＝∠A，
同理得∠FEM＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠CBF
∴BF平分∠ABC．
22．【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证；
（2）证明△OPD≌△OPE，根据全等三角形的性质证明结论．
【解答】解：（1）已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，
求证：PD＝PE，
故答案为：PD⊥OA于D；PE⊥OB于E；PD＝PE；
（2）证明：在△OPD和△OPE中，
，
∴△OPD≌△OPE（AAS）
∴PD＝PE．