第四章 平面问题的极坐标解答-ppy03

点的极坐标与直角坐标的互化

第二课时 点的极坐标与直角坐标的互化 一、教学目标 (一)知识与技能目标 掌握点的极坐标与直角坐标的互化公式，了解互化公式的三个前提及其使用方法． (二)过程与方法目标 能熟练进行点的极坐标与直角坐标的互相转化，初步掌握何时用直角坐标系、何时用极坐标系解决问题． (三)情感态度与价值观目标 极坐标系作为解析几何的一种独持工具有其独到的功能，从中可进行同一问题，可以用不同工具和不同方法去研究，其解决问题的效率和效果也会有不同的思想方法教育． 二、教学重难点 1．重点：点的极坐标与直角坐标的互化公式及其使用方法； 2．难点：直角坐标化为极坐标时极角的取值范围。 三、教学过程 (一)知识回顾、引入新课 知识回顾: 1.什么是极坐标系（如图所示）及其四要素 ①极点； ②极轴； ③长度单位； ④角度单位（弧度）及它的正方向（逆时针方向）。 2.点的极坐标表示方法及点与其极坐标除极点外一一对应 的限制条件 ),(θρM ,πθρ20,0<≤>限制条件 3.极坐标与直角坐标的区别 主要区别:在于平面内一点的直角坐标是唯一的，而极坐标有无数种。 引入新课: 思考：平面内一点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标表示，那么这 两种坐标之间有什么关系呢？ （二）新课讲授

1. 极坐标与直角坐标的互化 如图1，设点M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ， 若把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴， 并在两种坐标系中取相同的长度单位，设点M 的极角为θ，极径为ρ，则点M 的极坐标为),(θρ， 图1 问题一：点M 的两种坐标之间有什么关系？ 答：从图1可知θρθρsin ,cos ==y x ，① ①说明：已知平面内任意一点M 的极坐标),(θρ可化成直角坐标),(y x . 问题二：如何将点M 的直角坐标),(y x 化成极坐标呢？ 答：由①可知：22(0),tan (0)y x y x x ρρθ=+>=≠② ②说明：已知平面内任意一点M 的直角坐标),(y x 可化成极坐标),(θρ. 综上可知:(1)极坐标和直角坐标的互化关系式为： （极?直）θρθρsin ,cos ==y x ① （直?极）220),tan (0)y x y x x ρρθ=+>= ≠② (2)互化公式的三个前提条件： ①极点与直角坐标系的原点重合; ②极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合； ③两种坐标系的单位长度相同。 注意：当直角坐标落在y 轴上时，极角θ的取值. 2. 例题讲解

《平面内点的坐标(1)》参考教案

11.1平面内点的坐标（1） 教学内容 本节主要学习平面上的点的坐标，如横轴、纵轴、原点、坐标、象限等，能从坐标中写出点的坐标。反之，能根据坐标标出坐标系中的点。 教学目标 1.知识与技能 理解和掌握平面直角坐标系的有关知识，领会其特征。 2.过程与方法 经历现实生活中有关有序实数对的例子，让学生充分体会平面直角坐标系是构建有序实数对的平台。 3.情感、态度与价值观 认识直角坐标系的作用，体现现实生活中的坐标的应用价值，激发学习的兴趣。 重、难点与关键 1.重点：认识直角坐标系，感受有序实数对的应用。 2.难点：对有序实数对的理解。 3.关键：通过实例例子，认识有序实数对的特征，充分体回有序实数对在实际中的应用。 教学准备 1.教师准备：投影仪，投影片，补充引入资料。 2.学生准备：收集一些现实中有关有序实数对的图片。 教学过程 —、创设情境，导入新知 1.回顾交流。 教师提问：什么叫做数轴？实数与数轴建立了怎样的关系？ 学生思考后回答： （1）规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 （2）数轴上的点同实数建立了——对应的关系。 教师引伸：实际上这个实数可以称为这个点在数轴上的坐标。（一维坐标）

2．问题提出。 提问：请同学们观看屏幕投影片，你发现了什么？ 投影显示有关有序实数对的情境 （1）情境1. 我们都去电影院看电影的经历。大家知道，影剧院对观众的所有座位都按“几排几号”编号，以便确定每一个座位在剧院中的位置，这样观众就能根据入场券上的“排数”和“号数”准确地“对号入座”。 学生活动：通过观察，发现了电影院中的“几排几号”是有序实数对。 （2）情境2. 请以下座位的同学今天放学后参加英语口语测试： （1，4），（2，3），（5，4），（2，2），（5，7）。 教师在学生回答的基础上，进一步引导学生从中发现数学问题：确定一个位置需要两个数据，体会约定的重要性。 二、建立表象，数形结合 我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，这样就组成平面直角坐标系。确定水平数轴成为X轴（横轴），习惯上我们取向右为正方向; 竖直的数轴称为Y轴（纵轴），取向上方向为正方向；两轴交点为原点，这样就形成了坐标平面。 有了坐标平面，平面内的点就可以用一个有序实数对来表示。 由点A分别向X轴和Y轴作垂线，垂足M在X轴上的坐标是3，垂足N 在Y轴上的坐标是4，我们说点A的横坐标是3，纵坐标是4，有序实数对（3，4）就叫做点A的坐标，记作（3，4）。 教师提问：请同学们想一想：原点O的坐标是什么？X轴和Y轴上的点坐标有什么特点？ 学生观察发现：O的坐标（0，0），X轴上的纵坐标为0，Y轴上的点横坐标为0. 三、观察应用，领会新知 教师活动：布置学生完成课本图11-3，让学生明确平面直角坐标系中的点的坐标表示法，并在平面直角坐标系（如课本图11-4所示）中标出点。

极坐标和参数方程知识点总结大全

极坐标与参数方程 一、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的 函数，即 ?? ?==) () (t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. 练习 1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ） A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ θθθ =?? =+?为参数上的点是（ ） A ．1(,2 B ．31(,)42 - C ． D ． 3．将参数方程2 2 2sin ()sin x y θ θθ ?=+??=??为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3．圆的参数方程 如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在 圆上作匀速圆周运动，设，则。 这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是 转过的角度（称为旋转角）。 圆心为，半径为的圆的普通方程是， 它的参数方程为：。 4．椭圆的参数方程 以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为 其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为 其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。 注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但 当时，相应地也有，在其他象限内类似。 5．双曲线的参数方程

平面内点的坐标.1平面内点的坐标教学设计

课题：11 .1.1 第1课时平面内点的坐标 学习目标： 1、理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点坐标等的概念 2、认识并能画出平面直角坐标系 3、能在给定的直角坐标系中由点的位置写出它的坐标 重点：理解平面直角坐标系的有关知识，在规定的直角坐标系中根据点的位置与它的坐标。 难点：坐标轴上的坐标有什么特点的总结 学习内容及学习流程教学行为提示及方法指导 一目标导学（2分钟） （1）请同学们回顾一下数轴的概念？ 答：规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴 （2）数与数轴有怎样的位置关系 答：是数与数轴上的点是一一对应的关系 二自学自研（14分钟） 知识点1：用有序实数对表示平面上物体的位置 阅读教材P2的问题完成下面的内容 物体在平面内的位置需要从横向和纵向两个方向来确定，因此可以利用有序实数对（a,b）来准确的表示物体的位置。 归纳：用有序实数对（a,b）表示一个物体的位置时，一般用a表示物体的横向位置，用b表示物体的纵向位置，注意a b两者位置不能互换。 范例：如果将一张电影票“2排1号”简记为（2,1）那么电影票（7,9）表示的是什么位置？ 解：（7,9）表示7排9号 变例：小丽在教室里的座位记作（2,5）表示她坐在第二排第五列，那么小强坐在第四列第三排记作（3,4） 知识点2：平面直角坐标系的相关概念 阅读P3~4页回答 1.定义：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，水平的 数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做y轴或纵 轴，取向上为正方向，两轴的交点O为原点，这样就建立了平面直角坐标系，这个平面叫做坐标平面。 建立平面直角坐标系后x轴与y轴把坐标平面分成四部分，每一个部分叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限；坐标轴上的点也就是x轴y轴上的点，不属于任何一个象限。 2.点的坐标[来源学科网] 平面内的任意一点都可以用一对实数来表示，这个实数对就叫做这个点的坐标。已知点P是平面直角坐标系中的一点，若由点P向x轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是a，由点P向y轴作垂线，垂足N在y轴上的坐标 是b，a是横坐标，b是纵坐标；则（a,b）就叫做点P在平面直角坐标系中的坐标，简称点P的坐标。提示：让学生自由举手抢答：答对小组加2分 教学行为提示：学生阅读教材P2~4页后，独立完成知识点1、2，要求做完的组长督促迅速完成。教师及时巡查并帮助自学中有困难的学生。 注意： （1）P（x,y）的横坐标X和纵 坐标Y的顺序是不能任意 交换。如A（3,2）和B（2,3） 表示两个不同点 （2）对于坐标平面内任意一点 P,都有唯一的一个有序实 数对（x,y）和它对应；反 之，对于任意一个有序实 数对（x,y），在坐标平面 内都有唯一的一点P和它 对应

平面直角坐标系和极坐标

第二节平面直角坐标系和极坐标 为了需要，复习一下平面坐标系（直角坐标系和极坐标） 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系的建立 为了确定平面上点的位置： （1）在平面上选定两条互相垂直的直线，并指定正方向（用箭头表示）； （2）以两直线的交点O作为原点； （3）选取任意长的线段作为两直线的公共单位长度； 这样，我们就说在平面上建立了一个直角坐标系（图1-2-1） 图1-2-1 这两条互相垂直的直线叫做坐标轴，习惯上把其中的一条放在水平的位置上，从左到右的方向是正方向，这条轴叫做横坐标轴，简称为横轴或x轴，与x轴垂直的一条叫做纵坐标轴，简称为纵轴或y轴，从下到上的方向是它的正方向。 2. 平面上点的坐标 建立了直角坐标系后，平面上的任意一点P的位置就可以确定了，方法是这样的：由P点分别作y轴和x轴的平行线，交点分别是M和N,设x轴上的有向线段OM的数量是a，y轴上有向线段ON的数量是b，我们称a是P点的横坐标，b是P点的纵坐标，写成形式（a，b），这样的一对有序实数（a，b）叫做P点的坐标。 反过来，易知任意一对实数（a，b），都可以确定平面上的一个点. 由上面的分析，可以得到下面的结论：在给定的直角坐标系下，对于平面上的任意一点P，我们可以得到唯一的有序实数对（a，b）来和它对应；反过来，对于任何有序实数对，在平面上就能确定唯一的点，这个点的坐标是（a，b）。就是说，平面上的点和有序实数对（a，b）之间建立了一一对应得关系。 我们在代数里已经知道坐标轴把平面分成了四个部分，每一部分是一个象限。根据数轴上

有向线段的数量，可以理解第I 象限内的点的坐标的符号是（+，+），第II 象限内的是（—，+）， 第III 象限内的是（—，—），第IV 象限内的是（+，—）。坐标轴上的点不属于任何象限，在x 轴的正方向上的点，坐标的符号是（+，0）；负方向上的点的坐标符号是（—，0）。同理， 在y 轴的正方向上的点，坐标的符号是（0，+）；负方向上的点的坐标符号是（0，—）。 二 极坐标 极坐标是另外一种重要的坐标法，有些几何轨迹题如果用极坐标法处理，它的方程比用直角坐标系来得简单，在数学分析中经常用到。 在平面的直角坐标系中，是以一对实数来确定平面上一点的位置，现在叙述另一种坐标，它对平面上的一点的位置虽然也是用有序实数对来确定，但这一对实数中，一个是表示距离，而另一个则是指示方向。一般来说，取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系。平面上一点P 的位置，可以由OP 的长度及其∠xOP 的大小决定，这种确定一点位置的方法，叫做极坐标法。具体地说，假设平面上有点P ，连接OP ，今设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就确定了。ρ 叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置。 今以θ的值可为任何的正的或负的值（依逆时针方向转动所成的角规定为正，顺则为负），又为处理上便利起见，ρ也可以是负的值，如图1-2-2，OC 为角θ的终边，规定在OC 上度量 的数为正，而在OC 的相反方向，即OC 的延长线上度量的数为负，如图1-2-2中，若点P 的坐标为),(θρ，则点P ’的坐标为),(θπρ+-。 图1-2-2 ρ，θ的值照上面这样扩大之后，则在极坐标系中，一点的坐标有无穷的实数对。例如，在图1-2-2中，可以看到，点P 的坐标一般写为),(θρ，也可以写成)2,(θπρ+，)4,(θπρ+ ， )6,(θπρ+，又 P ’的坐标可以是 )2,(),,(θπρθρ+--.也可以是 )3,(),,(θπρθπρ++.

平面直角坐标系和极坐标

第二节 平面直角坐标系和极坐标 为了需要，复习一下平面坐标系（直角坐标系和极坐标） 一 平面直角坐标系 1．平面直角坐标系的建立 为了确定平面上点的位置： （1）在平面上选定两条互相垂直的直线，并指定正方向（用箭头表示）； （2）以两直线的交点O 作为原点； （3）选取任意长的线段作为两直线的公共单位长度； 这样，我们就说在平面上建立了一个直角坐标系（图1-2-1） 图1-2-1 这两条互相垂直的直线叫做坐标轴，习惯上把其中的一条放在水平的位置上，从左到右的方向是正方向，这条轴叫做横坐标轴，简称为横轴或x 轴，与x 轴垂直的一条叫做纵坐标轴，简称为纵轴或y 轴，从下到上的方向是它的正方向。 2. 平面上点的坐标 建立了直角坐标系后，平面上的任意一点P 的位置就可以确定了，方法是这样的：由P 点分别作y 轴和x 轴的平行线，交点分别是M 和N,设x 轴上的有向线段OM 的数量是a ，y 轴上有向线段ON 的数量是b ，我们称a 是P 点的横坐标，b 是P 点的纵坐标，写成形式（a ，b ），这样的一对有序实数（a ，b ）叫做P 点的坐标。 反过来，易知任意一对实数（a ，b ），都可以确定平面上的一个点. 由上面的分析，可以得到下面的结论：在给定的直角坐标系下，对于平面上的任意一点P ，我们可以得到唯一的有序实数对（a ，b ）来和它对应；反过来，对于任何有序实数对，在平面上就能确定唯一的点，这个点的坐标是（a ，b ）。就是说，平面上的点和有序实数对（a ，b ）之间建立了一一对应得关系。 我们在代数里已经知道坐标轴把平面分成了四个部分，每一部分是一个象限。根据数轴上有向线段的数量，可以理解第I 象限内的点的坐标的符号是（+，+），第II 象限内的是（—，+）， 第III 象限内的是（—，—），第IV 象限内的是（+，—）。坐标轴上的点不属于任何象限，在x 轴的正方向上的点，坐标的符号是（+，0）；负方向上的点的坐标符号是（—，0）。同理， 在y 轴的正方向上的点，坐标的符号是（0，+）；负方向上的点的坐标符号是（0，—）。 二 极坐标 极坐标是另外一种重要的坐标法，有些几何轨迹题如果用极坐标法处理，它的方程比用直角坐标系来得简单，在数学分析中经常用到。 在平面的直角坐标系中，是以一对实数来确定平面上一点的位置，现在叙述另一种坐标，它对平面上的一点的位置虽然也是用有序实数对来确定，但这一对实数中，一个是表示距离，而另一个则是指示方向。一般来说，取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系。平面上一点P 的位置，可以由OP 的长度及其∠xOP 的大小决定，这种确定一点位置的方法，叫做极坐标法。具体地说，假设平面上有点P ，连接OP ，今设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置。 今以θ的值可为任何的正的或负的值（依逆时针方向转动所成的角规定为正，顺则为负），又为处理上便利起见，ρ也可以是负的值，如图1-2-2，OC 为角θ的终边，规定在OC 上度量的数为正，而在OC 的相反方向，即OC 的延长线上度量的数为负，如图1-2-2中，若点P 的坐

《1.2.1 平面上点的极坐标》教学案1

《1.2.1 平面上点的极坐标》教学案1 单元课题：坐标系 本节课题：极坐标系的的概念 单元目标：理解坐标系的意义，坐标法解决几何问题的步骤，直角坐标和极坐标的应用本节目标： 知识与技能：理解极坐标的概念 过程与方法：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别. 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：理解极坐标的意义 教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、新课引入： 情境1：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。 （1）他向东偏北60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一 确 定吗？ （2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ 问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标 系呢？ 问题2：如何刻画这些点的位置？ 二、问题探究：

从情镜1中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。 1、 极坐标系的建立： 建立了一个极坐标系。 （其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。） 2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表 示从OX 到OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角， 有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标。 特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角. 3、负极径的规定 在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角 当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。 M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈ 三、知识应用： 例1 写出下图中各点的极坐标 A （ ） B （ ） C （ ） D （ ） E （ ） F （ ） 思考： ① 平面上一点的极坐标是否唯一？ ② 若不唯一，那有多少种表示方法？ ③ 坐标不唯一是由谁引起的？

平面内点的坐标教案

11．1 平面上点的坐标（第1课时） 一、教学内容 本节主要学习平面上点坐标的有关概念，能从平面直角坐标系中写出点的坐标，及能根据坐标确定坐标中点的位置。 二、教学目标 1、通过实际问题抽象出平面直角坐标系及其相关概念，使学生认识平面直角坐标系原点、横轴和纵轴等，会由坐标描点，由点写出坐标；让学生体会到平面上的点与有序实数对之间的对应关系； 2、经历画平面直角坐标系，由点写出坐标和由坐标描点的过程，进一步渗透数形结合的数学思想； 3、培养学生自主探究与合作交流的学习习惯。 三、教学重点 正确认识平面直角坐标系，会准确地由点写出坐标，由坐标描点。 四、教学难点 各象限内坐标的符号及各坐标轴上点坐标的特点，平面上的点与有序实数对之间的对应关系。 五、教学关键：充分体会有序实数对在实际中的应用 六、教学准备：多媒体教学课件、三角尺 七、教学方法：探讨、合作 八、教学过程： （一）设置问题情境： 1、回顾一下数轴的概念，及实数与数轴有怎样的关系？（学生回答） 2、情境：（多媒体显示） （1）如图所示请指出数轴上A、B两点所表示的数；直线表一条笔直公路，向东为正方向，原点为学校位置，A、B是位于公路旁两学生家的位置，你能说出它们的位置吗？这说明了什么？ 引申：确定一个点在直线上的位置，只需要一个数据，这个实数可称为点在数轴上的坐标。怎样确定平面上一个点的位置呢？

（2）上电影院看电影，电影票上至少要有几个数据才能确定你的位置？ （3）在教室里，怎样确定一个同学的位置？ （二）观察交流，构建新知 观察、交流、思考，回答教科书第2页的两个问题。 思考：1、确定平面上一点的位置需要什么条件？ 2、既然确定平面上一点的位置需要两个数，那么能否用两条数轴建立模 型来表示平面上任一点的位置呢？ 教师在学生回答的基础上，边操作边讲出：为了确定平面上一个点的位置，我们先在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，水平的数轴叫x轴或横轴，取向右为正方向，垂直的数轴叫y轴或纵轴，取向上为正方向，两轴交点O为原点，这样就建立了平面直角坐标系。这个平面叫做坐标平面。 有了坐标平面，平面内的点就可以用一个有序实数对来表示。 引导观察：如左图中点P可以这样表示：由P 向 x轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是-2，点P向 y轴作垂线，垂足N在y3，于是就说 点P的横坐标是-2，纵坐标3，把横坐标写在纵坐 标前面记作（-2，3），即P点坐标（-2，3）。 引导练习：写出点A、B、C的坐标。 学生相互交流，得出正确答案。 (强调点的坐标的有序性和正确规范书写)

平面内点的坐标

11.1 平面上点的坐标 第1课时平面上点的坐标(一) 教学目标 【知识与技能】 1.知道有序实数对的概念,认识平面直角坐标系的相关知识,如平面直角坐标系的构成:横轴、纵轴、原点等. 2.理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系,能写出给定的平面直角坐标系中某一点的坐标.已知点的坐标,能在平面直角坐标系中描出点. 3.能在方格纸中建立适当的平面直角坐标系来描述点的位置. 【过程与方法】 1.结合现实生活中表示物体位置的例子,理解有序实数对和平面直角坐标系的作用. 2.学会用有序实数对和平面直角坐标系中的点来描述物体的位置. 【情感、态度与价值观】 通过引入有序实数对、平面直角坐标系让学生体会到现实生活中的问题的解决与数学的发展之间有联系,感受到数学的价值. 重点难点 【重点】 认识平面直角坐标系,写出坐标平面内点的坐标,已知坐标能在坐标平面内描出点. 【难点】 理解坐标系中的坐标与坐标轴上的数字之间的关系. 教学过程 一、创设情境、导入新知 师:如果让你描述自己在班级中的位置,你会怎么说? 生甲:我在第3排第5个座位. 生乙:我在第4行第7列. 师:很好!我们买的电影票上写着几排几号,是对应某一个座位,也就是这个座位可以用 排号和列号两个数字确定下来. 二、合作探究,获取新知 师:在以上几个问题中,我们根据一个物体在两个互相垂直的方向上的数量来表示这个物体的位置,这两个数量我们可以用一个实数对来表示,但是,如果(5,3)表示5排3号的话,那么(3,5)表示什么呢? 生:3排5号. 师:对,它们对应的不是同一个位置,所以要求表示物体位置的这个实数对是有序的.谁来

说说我们应该怎样表示一个物体的位置呢? 生:用一个有序的实数对来表示. 师:对.我们学过实数与数轴上的点是一一对应的,有序实数对是不是也可以和一个点对应起来呢? 生:可以. 教师在黑板上作图: 我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴.水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;竖直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴交点为原点.这样就构成了平面直角坐标系,这个平面叫做坐标平面. 师:有了平面直角坐标系,平面内的点就可以用一个有序实数对来表示了.现在请大家自己动手画一个平面直角坐标系. 学生操作,教师巡视.教师指正学生易犯的错误. 教师边操作边讲解: 如图,由点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足M在x轴上的坐标是3,垂足N在y轴上的坐标是5,我们就说P点的横坐标是3,纵坐标是5,我们把横坐标写在前,纵坐标写在后,(3,5)就是点P的坐标.在x轴上的点,过这点向y轴作垂线,对应的坐标是0,所以它的纵坐标就是0;在y轴上的点,过这点向x轴作垂线,对应的坐标是0,所以它的横坐标就是0;原点的横坐标和纵坐标都是0,即原点的坐标是(0,0). 教师多媒体出示:

八年级数学上册.平面内点的坐标()练习题(无答案)(新版)沪科版

1. 在坐标平面内点的位置与有序实数对 对应． 2. 如图所示的马所处的位置为（2，3）． ⑴你能表示图中象的位置吗？ ⑵写出马的下一步可以到达的位置． 3. 4. Ａ．（2，5） Ｃ5. A （＿，＿）；B （5 （＿，＿）；H 6. 如图，表示下列图形格点的有序数对． A （1，4） B （ ） C （ ） D （ 2 3 4 5 3

7. 有序数对（2，3）和（3，2）相同吗？如果有序数对(a，)b表示某栋楼房中a层楼b号 房，那么有序数对（2，3）和（3，2）分别代表什么？ 8. 如图，甲处表示三街与二巷的十字路口，乙处表示六街与六巷的十字路口，如果用（3，2）表示甲处位置，那么（3，2）→（3，3）→（3，4）→（3，5）→（3，6）→（4，6）→（5，6）→（6，6）表示从甲处到乙处的一条路线，请你用有序数对写出其他几种从甲处到乙处的路线． 9. 平的数轴叫做，取为正方向， 方向． 10. 点A在y 点B在x 点C在x轴上方，y轴右侧，距离每条坐标轴都是2个单位长度； 点D在x轴上，位于原点右侧，距离原点3个单位长度； 点E在x轴上方，y轴右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度，依次连接这些点，你能得到什么图形？ 11. 如图，正方形ABCD的边长为2，建立适当的平面直角坐标系，分别表示A，B，C，D四个点的坐标． 12. 如图是画在方格纸上的某一小岛的示意图．

⑴分别写出地点A ，C ，E ，G ，M 的坐标； ⑵（3，6），（7，9），（8，7），（3，3）所代表的地点分别是什么？ 13. 在如图所示的⑴（1，2），（2，1），（6，1），（7，3）； ⑵（3，3），（3，6），（5，2.5）； 观察所得到的图形，你觉得它像什么？ 14. 点P 的坐标是(12)--，，则1-是点P 的 ，2-限． 15. 已知点A 到x 轴、y 轴的距离分别为2和π，若A 点坐标是 ． 16. 点P 位于y 轴左方，距y 轴3个单位长，位于x 轴上方，距x 轴四个单位长，点P 的坐标是 （ ） Ａ．(34)-， Ｂ．(34)-， Ｃ．(43)-， Ｄ．(43)-， 17. 在直角坐标系中，点P (x ，)y 在第二象限，且P 到x 轴、y 轴距离分别为3，7，则P 点坐标为（ ） Ａ．(3 7)--， Ｂ．(73)--， Ｃ．(37)， Ｄ．(73)，

平面内点的坐标教案课时

11．1平面上点的坐标（第1课时）一、教学内容 本节主要学习平面上点坐标的有关概念，能从平面直角坐标系中写出点的坐标，及能根据坐标确定坐标中点的位置。 二、教学目标 1、通过实际问题抽象出平面直角坐标系及其相关概念，使学生认识平面直角坐标系原点、横轴和纵轴等，会由坐标描点，由点写出坐标；让学生体会到平面上的点与有序实数对之间的对应关系； 2、经历画平面直角坐标系，由点写出坐标和由坐标描点的过程，进一步渗透数形结合的数学思想； 3、培养学生自主探究与合作交流的学习习惯。 三、教学重点 正确认识平面直角坐标系，会准确地由点写出坐标，由坐标描点。 四、教学难点 各象限内坐标的符号及各坐标轴上点坐标的特点，平面上的点与有序实数对之间的对应关系。 五、教学关键：充分体会有序实数对在实际中的应用 六、教学准备：多媒体教学课件、三角尺 七、教学方法：探讨、合作 八、教学过程： （一）设置问题情境： 1、回顾一下数轴的概念，及实数与数轴有怎样的关系？（学生回答） 2、情境：（多媒体显示） （1）如图所示请指出数轴上A、B两点所表示的数；直线表一条笔直公路，向东为正方向，原点为学校位置，A、B是位于公路旁两学生家的位置，你能说出它们的位置吗？这说明了什么？ 引申：确定一个点在直线上的位置，只需要一个数据，这个实数可称为点在数轴上的坐标。怎样确定平面上一个点的位置呢？ （2）上电影院看电影，电影票上至少要有几个数据才能确定你的位置？ （3）在教室里，怎样确定一个同学的位置？ （二）观察交流，构建新知

观察、交流、思考，回答教科书第2页的两个问题。 思考：1、确定平面上一点的位置需要什么条件？ 2、既然确定平面上一点的位置需要两个数，那么能否用两条数轴建立 模型来表示平面上任一点的位置呢？ 教师在学生回答的基础上，边操作边讲出：为了确定平面上一个点的位置，我们先在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，水平的数轴叫x轴或横轴，取向右为正方向，垂直的数轴叫y轴或纵轴，取向上为正方向，两轴交点O为原点，这样就建立了平面直角坐标系。这个平面叫做坐标平面。 有了坐标平面，平面内的点就可以用一个有序实数对来表示。 引导观察：如左图中点P可以这样表示：由P 向 x轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是-2，点P向 y轴作垂线，垂足N在y轴的坐标是3，于是就说 点P的横坐标是-2，纵坐标3，把横坐标写在纵坐 标前面记作（-2，3），即P点坐标（-2，3）。 引导练习：写出点A、B、C的坐标。 学生相互交流，得出正确答案。 (强调点的坐标的有序性和正确规范书写) 教师提问：已知平面内任意一点，可以写出它的 坐标；反之，给出一点的坐标，你能在上图中描 出吗？ 试一试：D（1，3） E（-3，2） F（-4，-1） （注意引导学生进行逆向思维） 教师提问：请同学们想一想：原点O的坐标、x轴和y轴上的点坐标有什么特点？ 学生发现：O点坐标（0，0），x轴上点的纵坐标为0，y轴上点横坐标为0。 试一试：描点：G（0，1），H（1，0）（注意区别） （三）观察思考，探究规律 教师讲解：两条坐标轴把坐标平面分成四个部分：右上部分叫第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限、和第四象限。坐标轴不属于任何象限。

直角坐标与极坐标的区别

直角坐标与极坐标的区别 在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线。书中创建之一，是引进新的坐标系。17甚至18世纪的人，一般只用一根坐标轴(x轴)，其y值是沿着与x轴成直角或斜角的方向画出的。牛顿所引进的坐标之一，是用一个固定点和通过此点的一条直线作标准，例如我们现在的极坐标系。牛顿还引进了双极坐标，其中每点的位置决定于它到两个固定点的距离。由于牛顿的这个工作直到1736年才为人们所发现，而瑞士数学家J. 贝努力利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐标去研究曲线。他还给出了从直角坐标到极坐标的变换公式。确切地讲，J.赫尔曼把,cos ,sin 当作变量来使用，而且用z，n和m来表示,cos 和sin。欧拉扩充了极坐标的使用范围，而且明确地使用三角函数的记号；欧拉那个时候的极坐标系实际上就是现代的极坐标系。有些几何轨迹问题如果用极坐标法处理，它的方程比用直角坐标法来得简单，描图也较方便。1694年，J.贝努利利用极坐标引进了双纽线，这曲线在18世纪起了相当大的作用。 极坐标系 在极坐标中，x被ρcosθ代替，y被ρsinθ代替。ρ=(x^2+y^2)^0.5 极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海以及机器人领域。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。[编辑本段]历史 主条目：三角函数的历史 众所周知，希腊人最早使用了角度和弧度的概念。天文学家喜帕恰斯（Hipparchus 190-120 BC）制成了一张求各角所对弦的弦长函数的表格。并且，曾有人引用了他的极坐标系来确定恒星位置。在螺线方面，阿基米德描述了他的著名的螺线，一个半径随角度变化的方程。希腊人作出了贡献，尽管最终并没有建立整个坐标系统。关于是谁首次将极坐标系应用为一个正式的坐标系统，流传着有多种观点。关于这一问题的较详尽历史，哈佛大学教授朱利安·卢瓦尔·科利奇的《极坐标系起源》[1][2]作了阐述。格雷瓜·德·圣-万桑特和博纳文图拉·卡瓦列里，被认为在几乎同时、并独立地各自引入了极坐标系这一概念。圣-万桑特在1625年的私人文稿中进行了论述并发表于1647年，而卡瓦列里在1635进行了发表，而后又于1653年进行了更正。卡瓦列里首次利用极坐标系来解决一个关于阿基米德螺线内的面积问题。布莱士·帕斯卡随后使用极坐标系来计算抛物线的长度。在1671年写成，1736年出版的《流数术和无穷级数》(en:Method of Fluxions)一书中，艾萨克·牛顿第一个将极坐标系应用于表示平面

极坐标与参数方程知识点总结大全[技巧]

极坐标与参数方程知识点总结大全[技巧] 1(平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面 直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对

叫做点M的极坐标,记作. 一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数. 特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(?R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点直角坐标极坐标 互化公式 在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.

4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程 圆心在极点,半径为的圆 圆心为,半径为的圆 圆心为,半径为的圆(1) 过极点,倾斜角为的直线(2) 过点,与极轴垂直的直线

平面问题的极坐标解

第七章平面问题的极坐标解 一.内容介绍 在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。 对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，并且求解一些典型问题。 二.重点 1. 基本未知量和基本方程的极坐标形式； 2. 双调和方程的极坐标形式； 3. 轴对称应力与厚壁圆筒应力； 4. 曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题。

知识点 极坐标下的应力分量 极坐标下的应变分量 极坐标系的Laplace算符 轴对称应力分量 轴对称位移和应力表达式 曲梁纯弯曲 纯弯曲位移与平面假设 带圆孔平板拉伸问题 楔形体问题的应力函数 楔形体应力 楔形体受集中力偶作用 极坐标平衡微分方程 几何方程的极坐标表达 应力函数 轴对称位移 厚壁圆筒作用均匀压力 曲梁弯曲应力 曲梁作用径向集中力 孔口应力 楔形体边界条件 半无限平面作用集中力 讨论题：楔形体顶端应力和无穷远应力分析

§7.1 平面问题极坐标解的基本方程 学习思路: 选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。 本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。 由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。 应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。 学习要点： 1. 极坐标下的应力分量； 2. 极坐标平衡微分方程； 3. 极坐标下的应变分量； 4. 几何方程的极坐标表达； 5. 本构方程的极坐标表达； 6. 极坐标系的Laplace算符； 7. 应力函数。 为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体ABCD，其由两个相距dρ的圆柱面和互成d?的两个径向面构成，如图所示。

平面上点的坐标

12．1 平面上点的坐标（第1课时） 一、教学内容 本节主要学习平面上点坐标的有关概念，能从平面直角坐标系中写出点的坐标，及能根据坐标确定坐标中点的位置。 二、教学目标 1、通过实际问题抽象出平面直角坐标系及其相关概念，使学生认识平面直角坐标系原点、横轴和纵轴等，会由坐标描点，由点写出坐标；让学生体会到平面上的点与有序实数对之间的对应关系； 2、经历画平面直角坐标系，由点写出坐标和由坐标描点的过程，进一步渗透数形结合的数学思想； 3、培养学生自主探究与合作交流的学习习惯。 三、教学重点 正确认识平面直角坐标系，会准确地由点写出坐标，由坐标描点。 四、教学难点 各象限内坐标的符号及各坐标轴上点坐标的特点，平面上的点与有序实数对之间的对应关系。 五、教学关键：充分体会有序实数对在实际中的应用 六、教学准备：多媒体教学课件、三角尺 七、教学方法：探讨、合作 八、教学过程： （一）设置问题情境： 1、回顾一下数轴的概念，及实数与数轴有怎样的关系？（学生回答） 2、情境：（多媒体显示） 如图所示请指出数轴上A、B两点所表示的数；直线表一条笔直公路，向东为正方向，原点为学校位置，A、B是位于公路旁两学生家的位置，你能说出它们的位置吗？这说明了 什么？

引申：确定一个点在直线上的位置，只需要一个数据，这个实数可称为点在数轴上的坐标。怎样确定平面上一个点的位置呢？ （二）观察交流，构建新知 观察、交流、思考，回答教科书第4页的两个问题。（学生活动，教师指导） 思考：1、确定平面上一点的位置需要什么条件？ 2、既然确定平面上一点的位置需要两个数，那么能否用两条数轴建立模型 来表示平面上任一点的位置呢？ 教师在学生回答的基础上，边操作边讲出：为了确定平面上一个点的位置，我们先在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，水平的数轴叫x轴或横轴，取向右为正方向，垂直的数轴叫y轴或纵轴，取向上为正方向，两轴交点O为原点，这样就建立了平面直角坐标系。这个平面叫做坐标平面。 有了坐标平面，平面内的点就可以用一个有序实数对来表示。 引导观察：如左图中点P可以这样表示：由 P 向x轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是 -2，点P向y轴作垂线，垂足N在y轴的坐 标是3，于是就说点P的横坐标是-2，纵坐标 3，把横坐标写在纵坐标前面记作（-2，3）， 即P点坐标（-2，3）。 引导练习：写出点A、B、C的坐标。 学生相互交流，得出正确答案。 (强调点的坐标的有序性和正确规范书写) 教师提问：已知平面内任意一点，可以写出 它的坐标；反之，给出一点的坐标，你能在上图中描出吗？ 试一试：D（1，3） E（-3，2） F（-4，-1） （注意引导学生进行逆向思维） 教师提问：请同学们想一想：原点O的坐标、x轴和y轴上的点坐标有什么特点？

11.1平面内点的坐标教案

辅导教案 学生：年级：八年级学科：数学教师：时间：2019年7 月27 日课题平面内点的坐标 一.考点分析1.平面直角坐标系及点的坐标 2.象限及特殊位置上的点的坐标特点 3.建立适当的平面直角坐标系 二.重点难点重点：1.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，即坐标平面内的每个点都对应有一个 有序实数对，且每个有序实数对都对应坐标平面内的一个点。 2.在坐标平面中，由于图形的放置方式不同，可能会使建立的平面直角坐标系不同， 从而所得的点的坐标也可能不同。 难点：1.根据点的坐标特点，可以判断点所在的位置；根据点所在的位置，也可以知道该点 的坐标特点。 深度求学进门考 1. 下列点中位于第四象限的是（） A. （2，－3） B. （－2，－3） C. （2，3） D. （－2，3） 2. 若P(a，4－a)是第二象限的点，那么a满足（） A. a＜0 B. a＜4 C. 0＜a＜4 D. a＜0或a＞4 3. 已知点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点P的坐标为。 三、授课内容:基础知识梳理 1、平面直角坐标系 平面直角坐标系的概念：平面内两条互相垂直并且原点重合的数轴组成的图形； 水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴交点O为原点。 考点一：平面直角坐标系的概念 例1下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是（） 解析A中两条坐标轴不是互相垂直的，C中对的横轴正方向标示不符合条件，应取向右为正方向，D中没有标出数轴的正方向。故选B。 答案 B

点拨判断平面直角坐标系的画法是否正确，需要观察两坐标轴是否垂直，还应观察x轴（横轴），取向右为正方向，y轴（纵轴），取向上为正方向；两轴交点O为原点。 2.点的坐标 过点向x轴作垂线，垂足在x轴上的坐标是x；过点向y轴作垂线，垂足在y轴上的坐标是y；把横坐标写在纵坐标的前面，中间用“，”分开，并把它们用小括号括起来。 点（a，b）到x轴与y轴的距离分别是∣b∣与∣a∣。 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，即坐标平面内的每个点都对应一个有序实数对，且每个有序实数对都对应坐标平面内的一个点。 建立平面直角坐标系后，对于坐标平面内的任意一点，我们都可以确定它的坐标；反过来，对于任意一个坐标，我们都可以在坐标平面内确定它所表示的点的位置。 考点二写出特殊位置上的点的坐标 例1已知点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点M的坐标为( ) A.（1，2） B. （－1，－2） C. （1，－2） D. （2，1）或（2，－1）或（－2，1）或（－2，－1） 解析因为点M到x轴的距离为1，所以点M的纵坐标为1或－1。点M到y轴的距离为2，所以点M的横坐标为2或－2。故选D. 答案D。 跟踪训练1 1 已知点P的坐标为（2－a，3a＋6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（）。 A.(3，3) B. (3，－3) C. (6，－6) D. (3，3)或（6，－6） 解析点P到两坐标轴的距离相等，则∣2－a∣＝∣3a＋6∣，解得a＝－1或a＝－4。代入，P的坐标为(3，3)或（6，－6），故选D。 答案D。 考点三象限及特殊位置上的点的坐标特点 x轴与y轴把坐标平面分成四个部分，分别叫做第一、二、三、四象限，各象限内的点的坐标符号分别为（+，+）、（－，+）、（+，－）、（－，－），坐标轴上的点不属于任何一个象限。 根据点的坐标特点，可以判断点所在的位置；根据点所在的位置，也可以知道该点的坐标特点。 重点：掌握象限点、x轴及y轴上点的坐标的特征： 第一象限：（＋，＋）第二象限：（－，＋）