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数值分析2007第二学期期末考试试题与答案(A)

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）

2007学年第二学期考试科目：数值分析考试时间：120 分钟

学号姓名年级专业

一、判断题（每小题2分，共10分）

1. 用计算机求

1000

n n

=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。（）

2. 为了减少误差, （）

3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（）

4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（）

5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有

关，与常数项无关。

（）

二、填空题（每空2分，共36分）

1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.

2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-????

则1A =_____，2x =______，Ax ∞

=_____.

3. 已知53

()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .

4. 为使求积公式

1231

()((0)f x dx A f A f A f -≈++?

的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有次的代数精度。

5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .

6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)

()(0,1,2,)k k X MX N k +=+= 产

生的向量序列{}

()

k X 收敛的充分必要条件是 .

7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩

阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -??

???

，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则

11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，

<，=，不一定）。

8. 以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题(0)1y x y

y '=+??=?

的数值解，其迭代公式为

___________________________.

三、计算题（第1～3、6小题每题8分，第4、5小题每题7分，共46分）

1. 以02x =为初值用牛顿迭代法求方程3

()310f x x x =--=在区间(1,2)内的根，要求

（1）证明用牛顿法解此方程是收敛的；

（2）给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算12,,x x 计算结果

取到小数点后4位）。

2. 给定线性方程组

1231231230.40.410.40.820.40.83

x x x x x x x x x ++=??

++=??++=?

（1）分别写出用Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代法求解上述方程组的迭代公式；

（2）试分析以上两种迭代方法的敛散性。

3. 已知函数()y f x =在如下节点处的函数值

（1）（2）根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式2()P x ，并计算(1.1)y 的近似值；（3）采用事后估计法计算（2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数）。

5. 已知函数()y f x =在以下节点处的函数值，利用差商表求(3)f '和(3)f ''的近似值。

6. 写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估－校正公式求解下列

常微分方程的数值解。

22(01,0.2)(0)0

y x y x h y '?=+≤≤=?

四、（8分）已知n+1个数据点(,)(0,1,2,,)i i x y i n ，请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。

华南农业大学期末考试答案及评分标准（A 卷）

2007学年第二学期考试科目：数值分析

一、判断题：（每小题2分，共10分）

1. ×

2. √

3. ×

4. ×

5. ×

二、填空题：（每空2分，共36分）

1. 0.005或

20.510-? ，0.5 2.

3. 0,2

4. 1,0,1,3

()A A ρ≤

6. ()1M ρ<

7. 1042,,1,10212??

-????=????????

8. 11()(1)2

n n n n n n y y x y x y +=+++++或1 1.5 2.50.5,

0,1,2,n n n y x y n +=++=

三、解答题（第1～4小题每题8分，第5、6小题每题7分，共46分） 1. （1）证明：3

()31f x x x =--，由于

a) (1)30,(2)10,f f =-<=>

b) 2()330((1,2)),f x x x '=-≠∈

()60

((1,2)),f x x x ''=>∈ 即()f x ''在(1,2)上不变号，

d) 对于初值02x =，满足(2)(2)0,f f ''> 所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。

………………………………………4分

（2）解：牛顿迭代法的迭代公式为

()31

()33

n n n n n n n n f x x x x x x f x x +--=-=-'- ………………………………………2分

取初值02x =进行迭代，得

1 1.8889,x =

………………………………………1分

2 1.8795.x =

………………………………………1分

2. 解：（1）Jacobi 迭代公式为

(1)()()

123(1)()()

13(1)()()3

120.40.410.40.820.40.83

k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++?=--+?=--+??=--+? ……………………………2分 Gauss-Seidel 迭代公式为

(1)()()

123(1)(1)()

13(1)(1)(1)3

120.40.410.40.820.40.83

k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++?=--+?=--+??=--+?……………………………2分（2）Jacobi 迭代矩阵的特征方程为0.40.4

0.4

0.800.4

0.8

λ=，展开得

30.960.2560λλ-+=，即

(0.8)(0.40.40λλλ-+++=，

从而得 123-1.0928,0.8000,0.2928λλλ===，（或由单调性易判断必有一个大于1

的特征根，）因此迭代矩阵的谱半径等于必大于1，所以Jacobi 迭代法发散。

……………………………2分

Gauss-Seidel 迭代矩阵的特征方程为0.40.4

0.40.800.40.8λ

λλ

=，展开得

2(0.8320.128)0λλλ-+=，解得1230,0.628,0.204,λλλ=≈≈迭代矩阵的谱半径

小于1，所以Gauss-Seidel 迭代法收敛。

……………………………2分

3. 解：（1）建立差分表

………………………………………2分（2）建立牛顿后插公式为

2232

022********

()()()()!!

()()()P x x x x x x x x =-

----=-----=-+ 则所求近似值为

211279(.).P =

………………………………………3分

（3）根据前三个节点建立牛顿后插公式为

12214

31112312124

()()()()!!

()()P x x x x x x x x x =-

---=----=-++ 则 1211268()(.).P = 根据事后误差估计法

1222209091

()

()(.)(.)x R x P P x -??≈

-??+ 故截断误差

209

112792680047121

.(.)(..)..R -≈

?-≈- ………………………………………3分

4. 解：设所求二次最小平方逼近多项式为2

2012().P x a a x a x =++ 根据已知数据，得

0121

1111002,,11151

40a M A a Y a -????

?????????

???===????

??????????????

……………………………2分

则

4268268,468186M M M Y ????

????''==????

????????

……………………………1分

建立法方程组为

0124268268468186a a a ????????????=???????????

??????? ……………………………2分

解得

0123.5, 1.5, 1.5.a a a ===-

……………………………1分

从而得所求一次最小平方逼近多项式为2

1() 3.5 1.5 1.5.P x x x =+-

……………………………1分

5. 解：设2()P x 为已知节点数据的插值二次多项式。构造如下差商表：

……………………………2分

因为二次多项式的二阶差商为常数，又2()P x 是

()f x 的插值函数，故有

225

[4,3,3][3,3,3]2

P P ==

……………………………2分

而

22[3,3]75

[4,3,3]342

P P -=

=-，

因此得

29[3,3]2

P =

， ……………………………1分

由于

()()![,,,,]k n k f x k P x x x x +≈，

从而得

3332

()[,],f P '==

2323335()![,,].f P ''==

……………………………2分

6. 解：前进欧拉公式：

1(,)0.20.2n n n n n n n y y h f x y y x y +=+?=++…………1分

后退欧拉公式：

2211111(,)0.20.2n n n n n n n y y h f x y y x y +++++=+?=++ ……1分

预估时采用欧拉公式

*22

10.20.2n n n n y y x y +=++

……………………………1分

校正时采用后退欧拉公式

()

10.20.2n n n n y y x

+++=++

……………………………1分

由初值000002,,.x y h ===知，节点分别为0.2,(1,2,3,4,5)i x i i ==

当1

0.2,x =

*2210000.20.20,y y x y =++=

()

101

02020008*...y y x y

=++=，

……………………………1分

当2

0.4,x =

*2221110.20.20.0160,y y x y =++≈

()2

22122020200401*

...y y x y =++≈.

……………………………1分

当3

0.6,x =

*2232220.20.20.0724,y y x y =++≈

()2

23233020201131*...y y x y =++≈.

……………………………1分

当4

0.8,x =

*2243330.20.20.1877,y y x y =++≈

()

434

020202481*...y y x y

=++≈.

……………………………1分

当5

1.0,x =

*2254440.20.20.3884,y y x y =++≈

()

545

020204783*...y y x y

=++≈.

四、（8分）

答：1、可以建立插值函数：（1）Newton 基本差商公式

00100121001110()()()[,]()()[,,]

()()()[,,,]

n n n P x f x x x f x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x -=+-+--++---

……………………………1分

（2）Lagrange 插值多项式

0011()()()()() n i i n n L x a f x a f x a f x a f x =+++++

其中01101101()()()()

,(,,,)()()()()

i i n i i i i i i i n x x x x x x x x a i n x x x x x x x x -+-+----=

=----.

……………………………1分

这两类插值函数的适用条件是：n 不太大；而且要求函数严格通过已知数据点。

……………………………2分

2、可以建立拟合函数：

2012()m m m P x a a x a x a x =++++

……………………………1分

其中系数012,,,,n a a a a 满足法方程组M MA M Y ''=,

20000

0021111112()1()1,,()1m

m m m n n n n n a f x y x x x a f x y x x x M A Y a f x y x x x ????????

?????????

???????====??

????????????????????????

……………………………1分

拟合函数的适用条件是：n 比较大，而且并不要求函数严格通过已知数据点，或者已知数据点本身的误差较大。

……………………………2分

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题一、填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )

北师大网络教育数值分析期末试卷含答案

注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案一．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为。 2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为。 3.设110111011A -????=--????-??，233x ?? ??=?? ???? ，则1A ＝，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为。二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？ 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件： i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。（10分）五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分）六．试用Doolittle 分解法求解方程组：

注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）

数值分析试卷及答案

二 1 求A的LU分解，并利用分解结果求解由紧凑格式故从而故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组解设有分解由公式其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有从而有故，，，故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时，（2）对任何实数，有（3）因A正定，故有分解，则故对任意向量和，总有综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为（1）计算条件数；（2）若近似解，计算剩余；（3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1）（2）

（3）由事后误差估计式，右端为而左端这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值证明设，则又故从而当时，即时，有最小值，且 7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中解对雅可比方法，迭代矩阵，故雅可比法收敛。对高斯-赛德尔法，迭代矩阵，故高斯-赛德尔法收敛。因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。解雅可比法的迭代矩阵，故雅可比法收敛的充要条件是。高斯-赛德尔法的迭代矩阵，故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。 9 设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故又，故，即，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。 10设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式求证：（1）对任意初始向量，收敛；（2）收敛到的解。证明（1）所给格式可化为这里存在是因为，由A对称正定，，故也对称正定。设迭代矩阵的特征值为，为相应的特征向量，则与做内积，有因正定，故，从而，格式收敛。

数值分析学期期末考试试题与答案(A)

期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期考试科目：数值分析考试时间：120 分钟学号姓名年级专业一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。（） 2. 为了减少误差,进行计算。（） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。（）二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩

数值分析试卷及其答案

1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。解因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分）这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。（1分）而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ；解设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分）由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性；解 1）Jacoib 迭代格式为

数值分析试卷及答案

3用追赶法求解如下的三对角方程组解设有分解由公式其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有从而有故，，，故，，，

4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时，（2）对任何实数，有（3）因A正定，故有分解，则故对任意向量和，总有综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为（1）计算条件数；（2）若近似解，计算剩余；（3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1）（2）（3）由事后误差估计式，右端为而左端

这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值证明设，则又故从而当时，即时，有最小值，且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中解对雅可比方法，迭代矩阵，故雅可比法收敛。对高斯-赛德尔法，迭代矩阵

，故高斯-赛德尔法收敛。因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。解雅可比法的迭代矩阵，故雅可比法收敛的充要条件是。高斯-赛德尔法的迭代矩阵，

数值分析试卷及其答案2

1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。解因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分）这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。（1分）而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ；解设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分）由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性；解 1）Jacoib 迭代格式为

数值分析整理版试题及答案

例1、已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。解：（1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为

[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有

数值分析试卷及其答案1

1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分）解：由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分）解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ

1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使迭代收敛（8分）解：所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分

数值分析整理版试题及答案

例1、已知函数表求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。解：（1）故所求二次拉格朗日插值多项式为（2）一阶均差、二阶均差分别为例2、设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有所以，法方程为

011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ，经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011 6 a = 故，所求最佳平方逼近多项式为* 111()46S x x =+ 例3、设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，这样，有所以，法方程为解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =，故，所求最佳平方逼近多项式为例4、用4n = 的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1 ? 。解：（1）用4n =的复合梯形公式由于2h =，( )f x =()121,2,3k x k k =+=，所以，有（2）用4n =的复合辛普森公式由于2h =，( )f x =()121,2,3k x k k =+=，()12 220,1,2,3k x k k + =+=，所以，有例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。解：先消元再回代，得到33x =，22x =，11x = 所以，线性方程组的解为11x =，22x =，33x = 例6、用直接三角分解法求下列线性方程组的解。解：设则由A LU =的对应元素相等，有 1114u = ，1215u =，1316u =， 2111211433l u l =?=，3111311 22 l u l =?=， 2112222211460l u u u +=?=-，2113232311 545l u u u +=?=-，

数值分析试题及答案

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷人二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足，所以()0f x =在区间内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得分评卷人三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据：求分段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%

数值分析试题A卷10.1

中国石油大学（北京）2009--2010学年第一学期研究生期末考试试题A (闭卷考试) 课程名称：数值分析注：计算题取小数点后四位一、填空题（共30分，每空3分） 1、已知x =是由准确数a 经四舍五入得到的近似值，则x 的绝对误差界为_______________。 2、数值微分公式()() '()i i i f x h f x f x h +-≈ 的截断误差为。 3、已知向量T x =，求Householder 变换阵H ，使(2,0)T Hx =-。 H = 。 4、利用三点高斯求积公式 1 1 ()0.5556(0.7746)0.8889(0)0.5556(0.7746)f x dx f f f -≈-++? 导出求积分 4 0()f x dx ?的三点高斯求积公式。 5、4 2 ()523,[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]_____.f x x x f =+-= 若则 6、以n + 1个互异节点x k ( k =0,1,…,n ),（n >1）为插值节点的 Lagrange 插值基函数为l k (x)( k =0,1,…,n )，则 (0)(1)__________.n k k k l x =+=∑ 7、已知3()P x 是用极小化插值法得到的cos x 在[0,4]上的三次插值多项式，则3()P x 的截断误差上界为3()cos ()R x x P x =-≤_________.

8、已知向量(3,2,5)T x =-，求Gauss 变换阵L ，使(3,0,0)T Lx =。L =_________. 9、设3 2 ()(7)f x x =-, 给出求方程()0f x =根的二阶收敛的迭代格式_________。 10、下面M 文件是用来求解什么数学问题的________________________. function [x,k]=dd （x0） for k=1:1000 x=cos (x0); if abs(x-x0)<, break end x0=x; end 二、（15分）已知矛盾方程组Ax=b ，其中11120,1211A b ???? ????==???????????? ，（1）用施密特正交化方法求矩阵A 的正交分解，即A=QR 。（2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b 的最小二乘解。三、（10分）已知求解线性方程组Ax=b 的分量迭代格式 1 (1) (1) ()1 +1 /, 121,,i n k k k i i ij j ij j ii j j i x b a x a x a i n n -++===-- =-∑∑（），，（1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵；（2）若11a A a ?? = ??? ，推导上述迭代格式收敛的充分必要条件。四、（15分）（1）证明对任何初值0x R ∈，由迭代公式11 1sin ,0,1,2, (2) k k x x k +=+ = 所产生的序列{}0k k x ∞ =都收敛于方程1 1sin 2 x x =+ 的根。（2）迭代公式11 21sin ,0,1,2, (2) k k k x x x k +=-- =是否收敛。五、（15分）用最小二乘法确定一条经过原点(0,0)的二次曲线，使之拟合下列数据

数值分析期末试题

数值分析期末试题一、填空题（20102=?分）（1)设??? ? ? ??? ??---=28 3 012 251A ，则=∞ A ______13_______。（2)对于方程组?? ?=-=-3 4101522121x x x x ，Jacobi 迭代法的迭代矩阵是=J B ?? ? ? ??05.25.20。（3)3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的 3 1倍。（4）求方程)(x f x =根的牛顿迭代公式是) ('1)(1n n n n n x f x f x x x +-- =+。（5）设1)(3 -+=x x x f ，则差商=]3,2,1,0[f 1 。（6）设n n ?矩阵G 的特征值是n λλλ,,,21 ，则矩阵G 的谱半径=)(G ρi n i λ≤≤1max 。（7）已知?? ? ? ??=1021 A ，则条件数=∞ )(A Cond 9 （8）为了提高数值计算精度，当正数x 充分大时,应将)1ln(2 -- x x 改写为 )1ln(2 ++ -x x 。（9）n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为1-n 次。（10）拟合三点))(,(11x f x ，))(,(22x f x ，))(,(33x f x 的水平直线是)(3 1 3 1 ∑== i i x f y 。二、（10分）证明：方程组? ?? ??=-+=++=+-1 211 2321321321x x x x x x x x x 使用Jacobi 迭代法求解不收敛性。证明：Jacobi 迭代法的迭代矩阵为 ???? ? ?????---=05 .05 .01015.05.00J B J B 的特征多项式为

数值计算方法试题集及答案要点

《数值计算方法》复习试题一、填空题： 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公

数值分析期末试题

一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组： ??? ??=++-=+--=+-11 2123454 321321321x x x x x x x x x 二、（10分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=1,y(1)= —2,y '(0)=1, y '(1)=—4 三、（12分）分别用梯形公式和辛普生公式构造复化的梯形公式、复化的辛普生公式并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式计算下列积分： ? 9 1dx x n=4 四、（10分）证明对任意参数t ，下列龙格－库塔方法是二阶的。五、（14分）用牛顿法构造求c 公式，并利用牛顿法求115。保留有效数字五位。六、（10分）方程组AX=B 其中A=????????? ?10101a a a a 试就AX=B 建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，并讨论a 取何值时迭代收斂。七、（10分）试确定常数A,B,C,a,使得数值积分公式?-++-≈2 2 ) (}0{)()(a Cf Bf a Af dx x f 有尽可能多的代数精确度。并求该公式的代数精确度。八、{6分} 证明： A ≤ 其中A 为矩阵，V 为向量. 第二套一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组： ??? ??=++=+-=+3 2221 43321 32132x x x x x x x x 二、（12分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=y '(0)=0, y(1)=y '(1)= 1,y(2)=1 三、（14分）分别用梯形公式和辛普生公式构造复化的梯形公式、复化的辛普生公式,并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式及其下表计算下列积分： ?2 /0 sin πxdx ????? ? ? -+-+=++==++=+1 3121231)1(,)1(() ,(),()(2 hk t y h t x f k thk y th x f k y x f k k k h y y n n n n n n n n

数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D．单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷人二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案

1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷人三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解，，所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为雅可比迭代公式为高斯－塞德尔迭代法公式用雅可比迭代公式得用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案

数值分析最佳习题(含答案)

第一章绪论姓名学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5105.0-?,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算）解：2*103400.0-?=x ，325*102 1102 1---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算）解：10314159.0?= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需 41*102 1 -?≤-ππ，3*3102 1102 1--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +， b a ?有几位有效数字（有效数字的计算）解：3*1021 -?≤-a a ，2*102 1-?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤ -+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤ -+-≤-b b a a a b b a ab

故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差（误差的计算）解：已知δ=-* *x x x ，则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 πππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v 相对误差限为 %420 1 20525) 5,20() 5,20(),(2 ==??≤ -ππv v r h v 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。（函数误差的计算）解：%* *a x x x =-， )%(* **** *na x x x n x x x y y y n n n =-≤-= - 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大（函数误差的计算）

数值分析试题及答案

数值分析试题一、填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…) 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。

2019年数值分析第二学期期末考试试题与答案A

卷）期末考试试卷（A2007学年第二学期考试科目：数值分析分钟考试时间：120 年级专业学号姓名题号一2二三0四总分分）分，共10一、判断题（每小题210001?n）（ 1. 用计算机求时，应按照从小到大的顺序相加。1000n1n?219992001?为了减少误差2. ,应将表达式进行计算。（改写为）19992001?）（ 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（系数矩阵及其演变方式有用迭代法解线性方程组时，5. 迭代能否收敛与初始向量的选择、）（关，与常数项无关。分）二、填空题（每空2分，共36_________. ________，相对误差限为已知数a的有效数为0.01，则它的绝对误差限为1. 0?110??????????xA?Ax,0?21,x??5A?_____. 则设______，_____，2. ????21?????1?130????53f(x)?2x?4x?5x,f[?1,1,0]?f[?3,?2,?1,1,2,3]? 3. 已知则, . 331?)?Af(0)?Af(f(x)dx?Af(?)的代数精度尽量高，应使4. 为使求积公式321331?A?A?A?，此时公式具有，，次的代数精度。312 ?nA)(A的关系是 5. A阶方阵的谱半径与它的任意一种范数. (k?1)(k)BAX??N(k?XMX?0,1,2,)产时，使迭代公式用迭代法解线性方程组6. ??)k(X . 生的向量序列收敛的充分必要条件是

AX?BAL和上三角矩7. 使用消元法解线性方程组系数矩阵时，可以分解为下三角矩阵1 4?2??BAX?.A?LUU?A，则阵若采用高斯消元法解的乘积，即，其中??21??L?U?AX?B，则，______________；若使用克劳特消元法解_______________u?lu BAX?的大小关系为_____（选填：则____；若使用平方根方法解>与，，111111<，=，不一定）。 ??x?yy?8. 以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题的数值解，其迭代公式为 ?y(0)?1?___________________________. 三、计算题（第1～3、6小题每题8分，第4、5小题每题7分，共46分） 32?x01??3x?xf(x)?2)(1, 1.在区间为初值用牛顿迭代法求方程内的根，要求以0证明用牛顿法解此方程是收敛的；（1）,xx,计算结果（2）给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算21位）。取到小数点后4 2 2.给定线性方程组 x?0.4x?0.4x?1?312?0.4x?x?0.8x?2?321?0.4x?0.8x?x?3?312（1）分别写出用Jacobi和 Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式；（2）试分析以上两种迭代方法的敛散性。

数值分析版试题及答案

例1、已知函数表求() f x的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。解：（1）由题可知插值基函数分别为故所求二次拉格朗日插值多项式为（2）一阶均差、二阶均差分别为均差表为

故所求Newton 二次插值多项式为例2、设2()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有所以，法方程为 011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ，经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011 6 a = 故，所求最佳平方逼近多项式为* 111 ()46 S x x = +

例3、设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，这样，有所以，法方程为解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =，故，所求最佳平方逼近多项式为例4、用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1?。解：（1）用4n =的复合梯形公式由于 2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，所以，有（2）用4n =的复合辛普森公式由于2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，()1 2 220,1,2,3k x k k +=+=，所以，有例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。解：先消元再回代，得到33x =，22x =，11x =

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