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2. 代数方程的性质

§2 代数方程的性质

一、多项式与代数方程的一般性质

[代数基本定理] 每个复数域上n 次代数方程

f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n －1x +a n =0 (n ≥1)

在复数域中至少有一个根.

代数基本定理的推论：每个n 次代数方程在复数域中有n 个根，而且只有n 个根. [多项式的导数] 多项式f (x )的导数为

f '(x )=na 0x n －1+(n －1)a 1x n －

2+ +a n －1

微分学中仅考虑实变数函数的导数，而代数学中必须考虑复系数的复变数多项式的导数，但是它们的定义与计算公式仍然一样.

[单根与重根] 1° 多项式的单根不是它的导数的根. 2° 多项式的m 重根（即有m 个根相同）是它的导数的m －1重根（m >1）.

3° 若x 1,x 2, ,x k 分别为f (x )的α1,α2, ,αk (α1+α2+ +αk =n )重根，则

f (x )=a 0(x －x 1)1α(x －x 2)2α (x －x k )k α [洛尔定理及其推论] 由微分学中的洛尔定理可知，在实系数方程f (x )=0的两个实根之间总有f '(x )=0的一个实根.

从这个定理可推出下列两个推论： 1° 若f (x )的一切根都是实的，则f '(x )的一切根也是实的.在f (x )的相邻两根之间有f '(x )的一个根并且是一个单根.

2° 若f (x )的一切根都是实的，且其中有p 个（计算重根）是正的，则f '(x )有p 个或 p －1个正根. [多项式的相关]

1° 若多项式f (x ),?(x )的次数都不超过n ，而它们对n +1个不同的数α1, ,1+n α有相等的值，即f (αi )=?(αi ) (i =1, ,n +1),则f (x )= ?(x ). 2° 多项式f (x )和?(x )的根完全相同的充分必要条件是f (x )和?(x )只差一个不等于零的常数因子.

[整根与有理根] 任意整系数方程f (x )=0，若有一个有理根q

（为既约分数），则p 是αn

的约数，q 是α0的约数. 由此可推出：任意整系数方程的整根必为常数项的约数，若整系数方程的首项系数为1，则它的有理根必为整数. [实根与复根，共轭实根与共轭复根] 1° 任意有理系数方程f (x )=0，若有一个根a +b (a,b 是有理数，b 是无理数)，则必有另一个根a －b .这时a +b 与a －b 称为一对共轭实根. 2° 任意实系数方程f (x )=0的复根只可能是成对的共轭复根，并且根的重数相同.从而，复根的个数是偶数. 3° 任意实系数奇数次方程f (x )=0至少有一个实根. 4° 任意实系数偶数次方程f (x )=0,a 0a n <0,则至少有两个实根（一个正根和一个负根）. [根与系数的关系] 设

f (x )=x n +a 1x n －1+ +a n

为复数域S 上的一元多项式，x 1,x 2, ,x n 为f (x )在S 中的n 个根，则根与系数的关系为

x 1+x 2+ +x n =∑=n

i i x 1

=－a 1

x 1x 2+x 1x 3+ +x n -1x n =∑<=n

j i j i j i x x )

(1,=a 2

x 1x 2x 3+x 1x 2x 4+ +x n -2x n -1x n =

∑<<=n

k j i k j i k

x x )

(1,,=－a 3

x 1x 2 x n =(－1)n a n

这就是说，f (x )的x n -k 的系数a k 等于从它的根x 1,x 2, ,x n 中每次取k 个（不同的）一切可能乘积之和,若k 是偶数,则取正号，若k 为奇数，则取负号. [根的范围] 设ξ为复系数代数方程

f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n -1x +a n =0 (1)

的根. 1° 若所有系数a i ≠0 (i =0,1, ,n ),则σξ≤,其中σ为实系数代数方程

F (x )=0a x n －1a x n －1- -n a =0

的一个正实根.

2° 设γ1,γ2, ,γn -1为任意正数，则≤ξτ,其中τ为下列n 个数中最大的一个:

1a a +

γ,

2a a 1γ+

γ, ,

1a a n -21γγ 2-n γ+

-n γ,

1210

-n n a a γγγ

特别,取γi =1(i =1,2, ,n －1)时,有

≤ξmax ?

????

?++-n

n n a a a a a a 1

0101,,1, (2)

方程(1)中作变换x =

,可求出y 的上界，因而得到 ≥ξ1

1101,,1,max --???? ?

???????++n n n n a a a a a a (3) 更进一步，记(2)式右边为M ，记(3)式右边为m ，如果取ρ

-n a ρ0--11n a ρ--22n a ρ ρ1--n a 0>-n a 取ρ'>m ，使得 +'n a ρ0+'-11n a ρ ρ'+-1n a 0<-n a

那末有ρ'ρξ≤≤.

3° 设γ为任意正数，则1τξ≤，其中

τ1=max ?

???+++-100201,1n n a a a a a a γγγ 特别，取γ=1，有

?????≤∑=n

i i a a 10

1max ξ 4° 若所有系数都为正实数，则

min ??????≤≤??????--11

20111201,,,max ,,,n n n n a a a a a a a a a a a a ξ

5° 若方程（1）的系数满足不等式

n a a a a a ----< 3210

则方程（1）至多有一个绝对值≥1的根ξ1，而且

n a a a ---≥ 211ξ [多项式的分解]

1° 设f (x )为实数域上的多项式，若有非常数的实系数多项式g (x )和h (x ),使得

f (x )=

g (x )

h (x )

则称f (x )为实数域上可约（或可化），否则称f (x )为实数域上的不可约多项式. 2° 实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只有含（共轭）复根的二次多项式. 3° 每个实系数多项式都可分解为实系数的一次因式与二次因式之积. 有理数域上的多项式的分解见第二十章，§5，2. [余数定理与综合除法] 若c 为一常数，则多项式f (x )除以x －c 所得的余数等于f (c ).

设 f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n －1x +a n 求f (x )除以x －c 的商式与余数其计算格式如下： c ) a 0 a 1 a 2 a n -1 a n b 0c b 1c b n -2c b n -1c b 0 b 1 b 2 b n -1 b n 式中b 0=a 0,b i =a i +b i -1c (i =1,2, ,n ).于是得到

商式 q (x )=b 0x n -1+b 1x n -2+ +b n -1 余数 r =b n =f (c )

例 f (x )＝532234--+x x x 除以 x －2. 列出算式 2) 1 2 －3 0 －5 2 8 10 20

1 4 5 10 15= f (2) 所以 ()2

1054223-+

+++=-x x x x x x f

[多项式的泰勒公式（秦九韶法）] n 次多项式

f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n -1x +a n (a 0≠0)

在任意点c 的泰勒展开式为

f (x )=b 0(x －c )n +b 1(x －c )n -1+ +b n -1(x －c )+b n

式中系数b i (0≤i ≤n )按下面的方法计算.

首先在(n +2)?(n +2)方阵的对角线上列出a 0,a 1, ,a n ,d （d 为符号），在第1列上列出a 0(即a i,i =a i -1,i =1,2, ,n +1;a n +2,n +2=d ;a i ,1=a 0,i =1,2, ,n +2).

c ??????????

???????????

?++++++d

a a a a a a a n n n n n

,23,22

,203,12,1033,42,402,0100

然后再按递推公式

a i,j c +a i,j +1=a i +1,j +1 (i =2, ,n +1; j =1, ,i －1)

自上而下，自左而右依次计算出对角线下其余各元素，那末第n +2行各元素即为所求系数，即

b 0=a 0, b i =a n +2,i +1 (i =1,2, ,n )

例求f (x )＝523--x x 在x =2处的泰勒展开式. 解

2???

????

?????

???d 11061

52412

011－－－则

f (x )＝()()()12102622

--+-+-x x x

二、多元多项式·对称多项式·结式

[多元多项式] 设常数c 1,c 2, ,c k 属于一个数域S ,αi ,βi , ,νi (i =1,2, ,k )是正整数或零，则称形如

+111211νβαn x x x c +222212v

n x x x c βα +k k k n k x x x c νβα 21

的表达式为数域S 上元素x 1,x 2, ,x n 的n 元多项式.i i i n i x x x c ν

βα 21称为它的项，c i 为它的系数，

αi 为项中关于x 1的次数，βi 为项中关于x 2的次数,等等.αi +βi + +i v 为项的次数.在多项式中系数不为零的任一项关于x i 的最高次数称为多项式关于x i 的次数，系数不为零的任一项的最高次数叫做多项式的次数.各项次数都相等的多项式称为齐次多项式. 每个m 次多项式f (x 1,x 2, ,x n )都可唯一地表示成

f (x 1,x 2, ,x n )=∑=m

i n i x x x f 021),,,(

式中f i (x 1,x 2, ,x n )为i 次齐次多项式. 为了方便，经常把一个多元多项式按某一个变数，例如x 1的降幂排列如下：

a 0(x 2, ,x n )x 1m + a 1(x 2, ,x n )x 1m -1+ + a m (x 2, ,x n )

式中a 0(x 2, ,x n ), a 1(x 2, ,x n ), , a m (x 2, ,x n )为x 2, ,x n 的n －1元多项式. 若f 1,f 2, ,f k 分别为m 1,m 2, ,m k 次的多元多项式，则乘积f 1f 2 f k 为m 1+m 2+ +m k 次. [对称多项式] 如果在一个n 元多项式f (x 1,x 2, ,x n )中，对调任一对x i 和x j 后，f (x 1,x 2, ,x n )

不变，那末称它为x 1,x 2, ,x n 的对称多项式. [初等对称多项式] 设

∑==n

i i x 1

1,σ ∑<==

j i j i j

x )

,2σ ∑<<==

k j i k j i k

j i

x x x )

(1,,3,σ

σn =x 1x 2 x n

则称σ1,σ2, ,σn 为初等对称多项式.例如，由多项式的根与系数的关系（本节，一）可知，多项式的系数除符号外都是根的初等对称多项式. [对称多项式基本定理] 在数域S 上，每个n 元对称多项式f (x 1, ,x n )都可唯一地表成x 1, ,x n 的初等对称多项式（系数在S 中）的多项式. [牛顿公式] 设

f (x )=(x －x 1) (x －x 2) (x －x n )=x n －σ1x n －1+ +(－1)n σn

s k =x 1k +x 2k + +x n k

(k =0,1,2, )

则下面牛顿公式成立： k ≤n 时, s k －σ1s k -1+σ2s k -2+ +(－1)k -1σk -1s 1+(－1)k k σk =0 k >n 时， s k －σ1s k -1+σ2s k -2+ +(－1)n σn s k -n =0 [结式] 设

f (x )=a 0x m

+a 1x

m －1

+ +a m =a 0∏=-m

i i x x 1

)(

(m >0) ?(x )=b 0x n +b 1x n －1+ +b n =b 0∏=-n

j j y x 1

)(

(n >0)

则

R (f ,?)= n

n m m

b b b b b b b b b a a a a a a a a a

01010

1010

行行m n ????

????????

???? 这个m +n 阶行列式R (f ,?)称为多项式f (x )和?( x )的结式，式中空白处的元素都是零.结式具有

性质： R (f ,?)=(－1)mn R (?,f )

R (f ,?)=∏∏∏∏====-==-m i n

j m

i n

j j

m mn

n j i

m n y

f b

x a y x

a 1

0)()

1()()(?

设a 0,b 0不全为零，则f (x ),?(x )在复数域上有公共根的充分必要条件是它们的结式R (f ,?)=0. 行列式R (f ,?)是f (x )与?(x )的系数的一个m +n 次齐次多项式，关于a 0,a 1, ,a m 是n 次齐次多项式，关于b 0,b 1, ,b n 是m 次齐次多项式.

三、代数方程的根的隔离

[傅立叶-布当判别法] 设f (x )=0为实系数n 次代数方程，a ,b 为二实数，适合a

f (x ),f '(x ), ,f (n )(x )

若序列 { f (a ),f '(a ), ,f (n )(a )} 的变号次数*为p ，序列

{ f (b ),f '(b ), ,f (n )(b )}

*序列{}n c c c c ,,,,210 的变号次数定义如下：设两个相邻数1,+k k c c 都不为零，它们的符号相反，则称两数之间有一次变号，否则变号次数为零.如果遇到零时则应考虑该数后面第一个非零数是否变号.也就是说把序列中的一切零去掉再考虑变号次数.

的变号次数为q ，则p ≥q ，且a 与b 之间的f (x )=0的实根个数（一个k 重根按k 个根计算）等于p －q ，或者比p －q 少一个正偶数. 特别，当p -q =0时，(a ,b )内无实根，当p －q =1时，(a ,b )内只有一个实根. [笛卡儿符号法则] 设 f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n =0 (a 0≠0,a n ≠0) 为实系数n 次代数方程，若系数序列 {a 0,a 1, ,a n }

的变号次数为p ，则方程f (x )=0的正根个数（一个k 重根按k 个根计算）等于p ，或者比p 少一个正偶数. 特别，当p =0时，无正根，当p =1时，有且仅有一个单正根. 上面两个定理没有解答这样的问题：一个给定的实系数方程是否有实根，有几个实根，并且在给定的区间(a ,b )内有几个实根.斯图姆解决了这些问题. [斯图姆判别法] 设f (x )为区间(a ,b )内的无重根的实系数多项式，a ,b 为二实数，适合a

的变号次数为q ，则f (x )=0在区间(a ,b )内的实根个数等于p -q . 应用斯图姆判别法可以查清实系数代数方程的根在实轴上的分布情况.特别，可以求出一组区间，使得每个区间内只含有方程的一个根. 关于代数方程f (z )=0的复根个数可参看第十章，§4，二的辐角原理. [卢斯判别法] 假设实系数多项式 f (z )=z n +a 1z n －1+ +a n －1z +a n 以 f 0(t )=t n －a 2t n －2+a 4t n －4-a 6t n －6+ f 1(t )=a 1t n －1－a 3t n －3+a 5t n －5－为基的斯图姆组为

{f 0(t ),f 1(t ),f 2(t ), ,f s (t )} (2)

1° f (z )=0在虚轴及右半平面上没有根的充分必要条件是：斯图姆组（2）内s =n ，且每个多项式的次数比前一个低一次，首项系数都是正数. 2° 若斯图姆组（2）内s =n ，则组内每个多项式的次数比前一个低一次，f (z )=0在虚轴上没有根，在右半平面的根的个数等于首项系数组成的序列的变号次数.

3° f (z )=0在右半平面上没有根而在虚轴上有p 个根的充分必要条件是：斯图姆组（2）内s =n -p ，且每个多项式的次数比前一个低一次，首项系数都是正数，且最后的p 次方程 f n －p (z )=0有p 个实根.这些实根就是f (z )=0在虚轴上的p 个根的虚部. 如果考虑f (z )=0在单位圆上和单位圆外的根数问题，只要作线性变换

z =

－＋ωω 化为对g (ω)=0在虚轴上和右半平面上根数的讨论.对此用卢斯判别法可以解决. [胡尔威茨判别法] 实系数多项式

f (z )=z n +a 1z n －1+ +a n

的一切根都位于左半平面上的充分必要条件是系数a 1>0，并且多项式

f 0(t )=t n －a 2t n －2+a 4t n －4+

和

f 1(t )=a 1t n －1－a 3t n －3+a 5t n －5－

的根都是互相间隔的实根.

七年级下册不等式及其基本性质讲义

环球雅思教育学科教师讲义年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：学科教师：课题课型□预习课□同步课复习课□习题课授课日期及时段教学内容? 【基础知识网络总结与新课讲解】知识点一、不等式的有关概念: 1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来,表示不等关系的式子,叫做不等式。注意：常见的不等号有五种：“≠”、“＞”、“<”、“≥”、“≤”．例1.请指出下列各式哪些是不等式:①x＋y=y+ｘ②4+x＞5③-3＜０④a＋b≤ｃ+ｂ⑤ａ≠0⑥２ｘ-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1)a是正数；(2）y与２的差是非负数;(３）ａ与6的和大于7；（4)y的一半不小于3;(5)8与x的３倍的和不大于1。提示:注意一个数的＂和"，"差"，＂倍","分＂的表示法以及＂大于＂，＂不小于","不大于"应该用哪一个不等号来表示，另外。正数都大于0,负数都小于0，所以"是正数"可表示为"＞0"，"是负数＂可表示为"＜0"，"非负数＂可表示为"≥０"。?参考答案: （1）a＞0 (2)y-２≥0 （3)a+6>７ (４）≥３（５)8+3ｘ≤1

,+ 4,－４，４.5?提示:把下列各值分别代入不等式的左边计算２ｘ+1 2.5 ,- - 1,0,3 立?? 的值,若小于５则不等式成立;若不小于５则不等式不成立。参考答案：当x=-1,０,-2.5,－4时,不等式2x+1＜5成立。说明:因为当x=１，0,-2．５，-4时，不等式2x+１<5成立，当x=2,＋４,４.5时，不等式2x+1＜5不成立，所以同方程类似，我们可以说-1,0，-2．5-4是不等式２x+1＜5的解，而2,+4，４.5不是不等式2x+１＜5的解。例4.指出下面变形是根据不等式的哪一条基本性质。? (１)由２a＞5，得a＞(2）由ａ-7>，得a>7 (3)由- a>０，得a＜0 （4)由3a>2a-１,得a>-1。例５.设a>b；用＂>"或＂<＂号填空: (１） (2)a-5 b-5 (3）- ａ- b (4)６ａ６b (５)－（6）－ a -ｂ参考答案：(1）＞（２)> （3）< （４)> (５)＜（6)< 例５．试比较下列两个代数式值的大小: (1）5ａ+２与4a+2 （2)x3+3x2-7与x3+２x2-7 提示:我们知道,若ａ-b＞0,则a＞b;若a-b=0,则a=b；若a－ｂ<0，则a＜ｂ,所以要比较a与ｂ的大小,可以先求出a与ｂ的差,再看这个差是正数、负数还是零。参考答案：(１)（5a+２）－（4ａ＋２)=5a+２-4a－2=ａ ∵a可取正数,负数或零,∴５a+２和4a+2间的大小关系有三种可能:?①当a>0时，5a＋2＞4a+2 ②当a=0时,５ａ+2=4a＋2?③当ａ＜0时,５a＋ 2<4a+2。?（2)（x３+3x２-７）－(x3＋２x２－7)=x３+3x2-2ｘ2+７＝ｘ2∵ｘ2≥０(对任意x) ∴ｘ3+3x2-７≥x3＋2x2－7 例6.已知二数a>2,b>2,试比较a+b与ab的大小。

平行线的性质2

、导入新课: 1. 创设情境如图所示，打台球时，用白球沿图示方向去打黑球，要使黑球经过一次反弹后直接撞入袋中，已知入射角/ 4等于反射角/ 5，且/ 1 = Z 2，若/ 3= 30°,那么去打白球时必须保持/ 1 等于什么样的度数？ 2. 揭示课题，板书平行线的判定和性质的比较。二、检查预习情况：明确检查方法学生口答后论证。三、布置学生自学： 1.学生自主探究题： (1)①已知如图， AB // CD, AC 丄BC ,图中与/ CAB 互余的角有几个？ ②已知如图， AC 丄BC ,若/ 1 = 70° / 3 = 20°,贝U AB 与CD 有怎样的关系？〖点拨方法〗这道题目学生直接找很容易缺漏，教师可以引导学生先由平行线的性质找出与/ CAB 相等的角，再分别找出这些相等的角的余角，然后进行归纳。有了第一问的基础，学生求解第二问就不难了，教师可引导学生逆向思考：若要判断AB 与CD 平行，有哪些方法？并且要想学生强调此问运用的是判定。教学过程〖设计说明〗《数学课程标准》中指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的。因此，教学过程中创设的这一现实的问题情境较生动活泼，来源于学生的生活，学生有深切的体会，能激发学生学习数学的兴趣，对提高学生的数学素养和数学意识也是十分有意义的，还让学生体会到了数学学习对实际生活的意义。 (2)宁波到台州的高速公路需开挖山洞，为节约开挖时间，需在山的两面 A 、B 同时开工，在A 处测得洞的走向是北偏东 75°, 那么在 B 处应按 ____________ 方向开工，才能

不等式的基本性质知识点

不等式的基本性质知识点不等式的基本性质知识点 1．不等式的定义：a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。 ① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。如证明y=x3为单增函数，设x1, x2∈(-∞,+∞), x1<x2， f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[( x1+)2 +x22] 再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)<f(x2), ∴ f(x)为单增。 2．不等式的性质： ① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。不等式基本性质有： (1) a>bb<a (对称性)

(2) a>b, b>ca>c (传递性) (3) a>ba+c>b+c (c∈R) (4) c>0时，a>bac>bc c<0时，a>bac<bc。运算性质有： (1) a>b, c>da+c>b+d。 (2) a>b>0, c>d>0ac>bd。 (3) a>b>0an>bn(n∈N, n>1)。 (4) a>b>0>(n∈N, n>1)。应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

七年级下册不等式及其基本性质讲义

环球雅思教育学科教师讲义年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：学科教师：课题课型□预习课□同步课□复习课□习题课授课日期及时段教学内容【基础知识网络总结与新课讲解】知识点一、不等式的有关概念： 1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。注意：常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”．例1.请指出下列各式哪些是不等式：①x+y=y+x②4+x＞5③-3＜0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1）a是正数；（2）y与2的差是非负数；（3）a与6的和大于7；（4）y的一半不小于3；（5）8与x的3倍的和不大于1。提示：注意一个数的"和"，"差"，"倍"，"分"的表示法以及"大于"，"不小于"，"不大于"应该用哪一个不等号来表示，另外。正数都大于0，负数都小于0，所以"是正数"可表示为"＞0"，"是负数"可表示为"＜0"，"非负数"可表示为"≥0"。参考答案：

（1）a ＞0 (2)y-2≥0 (3)a+6＞7 (4) ≥3 (5)8+3x ≤1 注意：列不等式时应注意两点： ①"是正数"表示为＞0"，"是负数"表示为＜0"；"非正数"表示为"≥0"。 ②"不大于"用"≤"表示，"不小于"用"≥"表示。 2．不等式的基本性质（1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。用式子表示：如果a>b ，那a+c>b+c （或a –c>b –c ）（2）不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。用式子表示：如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ， c b c a >。（3）不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。用式子表示：如果a>b ，且c<0，那么acb ，那么bb ，b>c 那么a>c 。注意：不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据。不等式的性质与等式的性质类似，但等式的结论是“仍是等式”，而不等式的结论则是“不等号方向不变或改变”。在运用性质（2）和性质（3）时，要特别注意不等式的两边乘以或除以同一个数，首先认清这个数的性质符号，从而确定不等号的方向是否改变。说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有： ①若a －b ＞0，则a 大于b ； ②若a －b ＜0，则a 小于b ； ③若a －b ≥0，则a 不小于b ； ④若a －b ≤0，则a 不大于b ； ⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号； ⑥若ab ＜0或0a b <，则a 、b 异号。任意两个实数a 、b 的大小关系： ①a-b>O ?a>b ； ②a-b=O ?a=b ； ③a-b

直线、平面垂直的判定及其性质

(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”. 基础自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )

2 7.2探索平行线的性质

七年级数学第1页共2页过程就是结果用心做用成绩回报父母姓名___ ____ ____ _ __ _考试时间_ __ __ __ __ _ __ __ 装订线内不要答题 ◆◆◆◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 装 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 订 ◆ ◆◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆◆ ◆ ◆◆ ◆ ◆ 线 ◆◆ ◆◆ ◆◆◆ ◆◆◆ ◆ ◆◆2012-2013学年度七年级数学练习二 7.2 探索平行线的性质命题：朱保舟审题：朱保舟 2013-2-20 1．如图，如果AB//CD ，根据_________________________可得∠1=∠CDE ，根据________________________，可得∠1=∠BDF ；根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠1+________=180°. 2．如图，如果∠BAC=∠ACD ，那么_______//_______，∠BCD+∠________=180°. 3．如图，直线a//b ，∠1=45°，则∠2=________°，∠3=________°. 4．如图，∠1=∠2，∠3=100°，则∠4=__________°. 5．如图，EG//AB ，FG//DC ，∠B=100°，∠C=120°，则∠EGF=___________°. 6．如图，已知a//b ，且∠2是∠1的2倍，那么∠2的度数为（） A ．60° B ．90° C ．120° D ．150° 7．如图，小明从点A 向北偏东75°方向走到B 点，又从B 点向南偏西30°方向走到点C ，则∠ABC 的度数为（） A ．60° B ．50 ° C ．45° D ．15° 8．如图，A 、B 、C 、D 四点在同一条直线上，EA ⊥AD ，FB ⊥AD ，垂足分别为A 、B ，∠E=∠F 。CE 与DF 平行吗？为什么？

不等式及其基本性质测试题

不等式及其基本性质测试题 7.1不等式及其基本性质测试卷一、填空 1．在式子① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 中属于不等式的有.（只填序号）2．如果，那么. 3.若，用＜＞填空. ⑴ ⑴ ⑴ ⑴ ⑴ 二、选择 4．的倍减的差不大于，那么列出不等式正确的是（）A．B. C．D. 5.已知，则下列不等式正确的是（） A．B. C. D. 6.下列说法正确的是（） A.若，则 B.若，则 C.若，则D．若，则 7.已知，a为任意有理数，下列式子正确的是( )

A. B. C. D. 8.已知4 3,则下列结论正确的（） ① ② ③ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9.某种品牌奶粉合上标明蛋白质，它所表达的意思是（） A．蛋白质的含量是20%. B．蛋白质的含量不能是20%. C．蛋白质大含量高于20%. D.蛋白质的含量不低于20%. 10．如图7-1-1天平右边托盘里的每个砝码的质量都是1千克，那么图中显示物体的质量范围是（） A．大于2千克B.小于3千克 C．大于2千克小于3千克 D．大于2千克或小于3千克 11.如果ａ＜ｂ＜0,下列不等式中错误的是（） A. B. C. D. 12. 下列判断正确的是（）

A．＜＜2 B．2＜＋＜3 C．1＜－＜2 D．4＜＜5 13. 用a,b,c 表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（） A．B． C．D. 三、解答题 14.用不等式表示下列句子的含义. ⑴ 是非负数. ⑴ 老师的年龄比赵刚的年龄的倍还大. ⑴ 的相反数是正数. ⑴ 的倍与的差不小于. 15.用不等式表示下列关系. ⑴ 与3的和的2倍不大于-5. ⑴ 除以2的商加上4至多为6. ⑴ 与两数的平方和为非负数. 16.（1）用两根长度均为㎝的绳子，分别围成正方形和圆，如图7-1-2

第11讲空间中垂直关系的判定与性质

空间中垂直关系的判定与性质一．基础知识整合 1.直线与平面存垂直（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l 叫作平面α的垂线，平面α叫作直线 l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫作垂足．（2）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图（3）判定定理 ?????l ⊥a l ⊥b a αb αa ∩b ＝P ?l ⊥α 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．（2）二面角的记法：如图，记作：二面角α－AB －β，也可记作2∠α—AB —β. （3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角． 3.平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（2）判定定理 ?????a αa ⊥β?α⊥β 符号语言

? ????α⊥βα∩β＝l a αa ⊥l ?a ⊥β 题型一：线面垂直的判定例1：如图所示，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且S 为所在平面外一点，满足SA ＝SB ＝SC .D 为AC 的中点．求证：SD ⊥平面ABC . 证明：∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且D 为AC 的中点，∴BD ＝AD ＝DC .又∵SA ＝SB ＝SC ，SD 为公共边，∴△SBD ≌△SAD ≌△SCD ， ∴∠SDB ＝∠SDA ＝∠SCD ＝90°，∴SD ⊥AD ，SD ⊥BD ，∵AD ∩BD ＝D ，∴SD ⊥ 平面ABC . 变式训练1：如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的点， P A ⊥⊙O 所在的平面，AF ⊥PC 于F ，求证：BC ⊥平面PAC . 证明：因为AB 为⊙O 的直径，所以BC ⊥AC .因为P A ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ，所以P A ⊥BC .因为P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC . 题型二：面面垂直的判定例2：已知四面体ABCD 的棱长都相等，E ，F ，G ，H 分别为AB ，AC ， AD ，BC 的中点．求证：平面EHG ⊥平面FHG . 证明：如图，取CD 的中点M ，连接HM ，MG ，FM ，则四边形MHEG 为平行四边形．连接EM 交HG 于O ，连接FO .在△FHG 中，O 为HG 的中点，且FH ＝FG ，所以 FO ⊥HG .同理可证FO ⊥EM .又HG ∩EM ＝O ，所以FO ⊥平面EHMG .又FO 平面FHG ，所以平面EHG ⊥平面FHG . 变式训练 2 ：如图，在空间四边形 ABDC 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、 F 、 G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点．:求证：平面BEF ⊥平面 BDG . 证明：∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点，∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC ，又EF ∥AC ，∴EF ⊥BG ，EF ⊥DG .∴EF ⊥平面BGD .∵EF 平面BEF ，∴平

平行线的性质

平行线的性质内容：一、案例主题分析与设计本节课是人教版义务教育课程标准实验教科书七年级数学（下册）第七章第2节内容——探索平行线的性质，它是直线平行的继续，是后面研究平移等内容的基础，是“空间与图形”的重要组成部分。《数学课程标准》强调：数学教学是数学活动的教学，是师生之间、生生之间交往互动与共同发展的过程；动手实践，自主探索，合作交流是孩子学习数学的重要方式；合作交流的学习形式是培养孩子积极参与、自主学习的有效途径。本节课将以“生活·数学”、“活动·思考”、“表达·应用”为主线开展课堂教学，以学生看得到、感受得到的基本素材创设问题情境，引导学生活动，并在活动中激发学生认真思考、积极探索，主动获取数学知识，从而促进学生研究性学习方式的形成，同时通过小组内学生相互协作研究，培养学生合作性学习精神。二、案例教学目标 1、知识与技能：掌握平行线的性质，能应用性质解决相关问题。 2、数学思考：在平行线的性质的探究过程中，让学生经历观察、比较、联想、分析、归纳、猜想、概括的全过程。 3、解决问题：通过探究平行线的性质，使学生形成数形结合的数学思想方法，以及建模能力、创新意识和创新精神。 4、情感态度与价值观：在探究活动中，让学生获得亲自参与研究的情感体验，从而增强学生学习数学的热情和团结合作、勇于探索、锲而不舍的精神。三、案例教学重、难点 1、重点：对平行线性质的掌握与应用 2、难点：对平行线性质1的探究四、案例教学用具预览：

1、教具：多媒体平台及多媒体课件 2、学具：三角尺、量角器、剪刀五、案例教学过程（一）创设情境，设疑激思 1、播放一组幻灯片。内容：①供火车行驶的铁轨上；②游泳池中的泳道隔栏；③横格纸中的线。 2、提问温故：日常生活中我们经常会遇到平行线，你能说出直线平行的条件吗？ 3、学生活动：针对问题，学生思考后回答——①同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角互补两直线平行； 4、教师肯定学生的回答并提出新问题：若两直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？从而引出课题：7.2探索平行线的性质(板书) （二）数形结合，探究性质1、画图探究，归纳猜想教师提要求，学生实践操作：任意画出两条平行线（ a ∥ b），画一条截线c 与这两条平行线相交，标出8个角。（统一采用阿拉伯数字标角）教师提出研究性问题一：指出图中的同位角，并度量这些角，把结果填入下表：教师提出研究性问题二：

2.1.1 不等式的基本性质(含答案)

【课堂例题】例1.利用性质1和性质2证明： (1)如果a b c +>，那么a c b >-； (2)如果,a b c d >>，那么a c b d +>+ 例2.利用性质3证明：如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd >. (选用)例3.利用不等式的性质证明：如果0a b >>，那么110a b < <.

【知识再现】 1.不等式性质的基础： a b >? ；a b =? ；a b >，则 ; 性质2.(加法性质) 若a b >，则 ; 性质3.(乘法性质) 若,0a b c >>，则 ; 若,0a b c ><，则 . 3.几条比较有用的推论：性质4.(同向可加性) 若,a b c d >>，则；性质5.(正数同向可乘性) 若0,0a b c d >>>>，则；性质6.(正数的倒数性质) 若0a b >>，则；性质7.(正数的乘方性质) 若0a b >>，则 *()n N ∈；性质8.(正数的开方性质) 若0a b >>，则 *(,1)n N n ∈>. 【基础训练】 1.请用不等号表示下列关系： (1)a 是非负实数， ; (2)实数a 小于3，但不小于2-，； (3)a 和b 的差的绝对值大于2，且小于等于9， . 2.判断下列语句是否正确，并在相应的括号内填入“√”或“×”. (1)若a b >，则a b c c >；( ) (2)若ac bc <，则a b <；( ) (3)若a b <，则1 1 a b <； ( ) (4)若22ac bc >，则a b >；( ) (5)若a b >，则n n a b >；( ) (6)若0,0a b c d >>>>，则a b c d >；( ) 3.用“>”或“<”号填空： (1)若a b >，则a - b -; (2)若0,0a b >>，则b a 1b a +； (3)若,0a b c >>，则d ac + d bc +; (4)若,0a b c ><，则()c d a - ()c d b -; (5)若,,0a b d e c >><，则d ac - e b c -. 4.(1)如果a b >，那么下列不等式中必定成立的是( ) (A) 1 1 a b <; (B) 22a b >; (C)22ac bc >; (D)2211 a b c c >++. (2)如果0a b >>，那么下列不等式不一定成立的是( ) (A) 1 1 a b <; (B) 2ab b >; (C)22ac bc >; (D) 22a b >. 5.已知,x y R ∈，使1 1 ,x y x y >>同时成立的一组,x y 的值可以是 .

垂直的判定和性质专题及答案

垂直的判定和性质专题垂直的判断方法及性质汇总：一、判定线面垂直的方法 1．定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2．如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3．如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4．一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5．如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6．如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面二、判定两线垂直的方法 1．定义：成?90角 2．直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3．在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4．在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5．一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直三、判定面面垂直的方法 1．定义：两面成直二面角,则两面垂直 2．一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面四、面面垂直的性质 1．二面角的平面角为?90 2．在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3．相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面专题训练：一．选择题： 1．已知直线l ⊥平面α，给出：① 若直线m ⊥l ，则m //α；② 若直线m ⊥α，则m //l ；③ 若直线m //α，则m ⊥l ；④ 若直线m //l ，则m ⊥α。以上判断正确的是 B （A ）①②③ （B ）②③④ （C ）①③④ （D ）①②④ 2．下列命题正确的是 B （A ）垂直于同一直线的两条直线平行（B ）垂直于同一直线的两条直线垂直（C ）垂直于同一平面的两条直线平行（D ）平行于同一平面的两条直线平行 3．设P 是△ABC 所在平面外一点，P 到△ABC 各顶点的距离相等，且P 到△ABC 各边的距离相等，那么△ABC C （A ）是非等腰三角形（B ）是等腰直角三角形（C ）是等边三角形（D ）不是A 、B 、C 中所述的三角形 4．正方形ABCD 的边长为12，PA ⊥平面ABCD ，PA =12，那么P 到对角线BD 的距离是D （A ）123 （B ）122 （C ）63 （D ）66 5．如果一条直线l 与平面α的一条垂线垂直，那么直线l 与平面α的位置关系是 D （A ）l ?α （B ）l ⊥α （C ）l //α （D ）l ?α或l //α 6．已知直线a , b 和平面α，下列推论错误的是 D （A ）a a b b αα⊥??⊥??? （B ）//a b a b αα⊥? ?⊥?? （C ）//或a b a a b ααα⊥????⊥? （D ）////a a b b αα? ????

平行线的性质2【公开课教案】(含反思)

7.4 平行线的性质第一环节：情境引入活动内容：一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角∠B是130°，第二次拐的角∠C是多少度？说明：这是一个实际问题，要求出∠C的度数，需要我们研究与判定相反的问题，即已知两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角有什么关系，也就是平行线的性质．活动目的：通过对一个实际问题的解决，引出平行线的性质。教学效果：由于学生对平行线的性质比较熟悉，因此，在学生回忆起这些知识后，能很快解决实际问题。第二环节：探索与应用活动内容： ①画出直线AB的平行线CD，结合画图过程思考画出的平行线，被第三条直线所截的同位角的关系是怎样的？ ②平行公理：两直线平行同位角相等． ③两条平行线被第三条直线所截，同位角是相等的，那么内错角、同旁内角有什么关系呢？ ∵a∥b(已知)， ∴∠1＝∠2(两条直线平行，同位角相等) ∵∠1＝∠3(对顶角相等)， ∴∠2=∠3(等量代换)．师：由此我们又得到了平行线有怎样的性质呢？学生活动：同学们积极举手回答问题．教师根据学生叙述，给出板书：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．师：下面请同学们自己推导同旁内角是互补的．并归纳总结出平行线的第三

条性质．请一名同学到黑板上板演，其他同学在练习本上完成．师生共同订正推导过程并写出第三条性质，形成正确板书． ∵a∥b(已知) ∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等) ∵∠1＋∠4=180°(邻补角定义) ∴∠2+∠4＝180°(等量代换) 即：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成，两直线平行，同旁内角互补师：我们知道了平行线的性质，在今后我们经常要用到它们去解决、论述一些问题，所需要知道的条件是两条直线平行，才有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，即它们的符号语言分别为： ∵a∥b， ∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)． ∵a∥b(已知)， ∴∠2＝∠3(两直线平行，内错角相等)． ∵a∥b(已知)， ∴∠2+∠4＝180°．(两直线平行，同旁内角互补) (板书在三条性质对应位置上) 活动目的：通过对平行线性质的探索，使学生对证明的步骤、格式有更进一步的认识，认识证明的必要性。教学效果：在前面复习引入的基础上，通过学生的观察、分析、讨论，此时学生已能够进行推理，在这里教师不必包办代替，充分调动学生的主动性和积极性，进而培养学生分析问题的能力，在学生有成就感的同时也激励了学生的学习兴趣．第三环节：课堂练习

七年级数学下册2.3平行线的性质二教学设计新版北师大版

第二章相交线与平行线 3 平行线的性质（第2课时）一、学生起点分析：学生的知识技能基础：在第一课时的学习中，学生已经初步经历了探索平行线性质的过程，得出了平行线的三条性质，初步具有了利用直线的位置关系来判断角的大小关系的意识。同时，还认识了平行线的性质和判别直线平行的条件的区别和联系，为本节课的继续探究打下了基础。学生的活动经验基础：在第一课时的学习中，学生通过观察、测量、猜测、验证等活动，认识到了探索平行线性质的基本方法，获得了初步的数学活动经验和体验。在活动中也培养了学生良好的情感态度，具备了一定的主动参与、合作意识和初步的观察、分析、抽象概括的能力，为本节课初步学习几何推理奠定了良好的基础。二、教学任务分析：在第一课时已经得到平行线的性质的基础上，本课时的主要教学任务是熟练应用平行线的性质和判别直线平行的条件。因为学生在应用时非常容易把二者混淆，所以本节课的难点之一就是让学生继续辨别二者的异同，并能在不同的情境中正确运用。另外，在第一课时中，对于二者只要求学生能正确应用即可，说理要求不高。在本节课中就要有目的的引导学生从推理这一方面来探索，既要结合图形发现规律，又要采用推理的形式加以说明，因此本节课的教学目标是： 1、知识与技能目标: （1）熟练应用平行线的性质和判别直线平行的条件解决问题。（2）逐渐理解几何推理的要领，分清推理中“因为”、“所以”表达的意义，从而初步学会简单的几何推理。 2、过程与方法目标：经历观察、讨论，推理、归纳等活动, 进一步发展空间观念，培养推理能力和有条理表达的能力。 3、情感态度目标:使学生在积极参与探索、交流、推理、归纳等数学活动中，进一步体会数学的严密性，提高自己的逻辑思维能力。三、教学设计分析：本节课共设计了五个环节：第一环节：复习回顾，夯实基础；第二环节：层层递进，推理论证；第三环节：独立探究，步骤规范；第四环节：及时巩固，深化提高；第五环节：归纳小结，反思提高第一环节：复习回顾，夯实基础活动内容：通过以下问题带领学生复习平行线的性质和判别直线平行的条件。问题1: 平行线的性质有哪几条？问题2：判别直线平行的条件有哪几个？你现在一共有几个判定直线平行的方法？问题3：在应用二者时应注意什么问题？

不等式及其基本性质

不等式及其基本性质设u=f(x1，x2，…，x n)，v=g(x1，x2，…，x n)是两个取值为实数的函数，若u－v是正数，就说u大于v，记成u＞v，也说v小于u，记成v＜u．用记号“＞”、“＜”、“≥”或“≤”连结两个这样的函数所组成的式子，叫做不等式．设上面两个函数的定义域分别为D f，D g，则称D f∩D g为下列不等式的允许值集： f(x1，x2，…，x n)＞g(x1，x2，…，x n) (或f(x1，x2，…，x n)＜g(x1，x2，…，x n)，或f(x1，x2，…，x n)≥g(x1，x2，…，x n)，或f(x1，x2，…，x n)≤g(x1，x2，…，x n)．不等式两边的函数，如果都是代数函数，则称这个不等式为代数不等式；如果至少有一个是超越函数，则称这个不等式为超越不等式．前者可以划分为有理不等式(整式不等式和分式不等式)和无理不等式；后者包括指数不等式、对数不等式、三角不等式和反三角不等式等．不等式具有如下的基本性质(本文所用字母除特别声明以外，均表示实数)．定理1 若a＞b，b＞c，则a＞c．定理2 在a＞b，a=b，a＜b中有且只有一个成立．定理3 若a＞b，则a＋c＞b＋c．推论1 可以把不等式中任何一项变为相反的符号后，从一边移到另一边．推论2 若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d．一般地，若a i＞b i，i=1，2，…，n，则 a1＋a2＋…＋a n＞b1＋b2＋…＋b n．推论3 若a≥b，c＜d，则a－c＞b－d．

定理4若a＞b，则当c＞0时，ac＞bc；当c＜0时，ac＜bc；当c=0时，ac=bc．推论1 若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd．一般地，若a i＞b i＞0，i=1，2，…，n，则 a1a2…a n＞b1b2…b n．推论2 若a≥b＞0，0＜c＜d，则a/c＞b/d．推论3 若a＞b＞0，整数n＞1，则a n＞b n．含有绝对值符号的不等式还具有如下的常用性质．定理5 设a＞0，则|x|＜a的充要条件是－a＜x＜a；|x|＞a的充要条件是x ＞a或x＜－a．定理6 |a＋b|≤|a|＋|b|，其中等号当且仅当ab≥0时成立．推论1|a＋b|≥||a|－|b||．推论2 |a1±a2±…±a n|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|．

直线与直线直线与平面平面与平面垂直的判定与性质汇总

【课题】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质【教学目标】知识目标：（1）了解空间两条直线垂直的概念；（2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质．【教学难点】判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直．【教学设计】在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条. 例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90即可. 在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解．两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣．例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面 B AC内找到一条直线AC与平面B1BDD1 1 垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目. 【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】

过程行为行为意图间 *巩固知识典型例题【知识巩固】例1 如图9-43，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，判断直线AB 和DD 1是否垂直．解 AB 和DD 1是异面直线，而BB 1∥DD 1，AB ⊥BB 1，根据异面直线所成的角的定义，可知AB 与DD 1成直角．因此1AB DD . 图9-43 说明强调引领讲解说明观察思考主动求解通过例题进一步领会 10 *运用知识强化练习 1．垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ 2．在图9?43所示的正方体中，找出与直线AB 垂直的棱，并指出它们与直线1AA 的位置关系．提问指导思考解答了解知识掌握情况 14 *创设情境兴趣导入【问题】前面我们学过直线与平面垂直的概念.根据定义判断直线与平面垂直，需要判定直线与平面内的任意一条直线都垂直，这是比较困难的．那么，如何判定直线和平面垂直呢？【观察】我们来看看实践中工人师傅是如何做的．如图9?44所示，检验一根圆木柱和板面是否垂直．工人师傅的做法是，把直角尺的一条直角边放在板面上，看曲尺的另一条直角边是否和圆木柱吻合，然后把直角尺换个位置，照样再检查一次（应当注意，直角尺与板面的交线，在两次检查中不能为同一条直线）．如果两次检查，圆木柱都能和直角尺的直角边完全吻合，就判定圆木柱和板面垂直．质疑引导分析思考带领学生分析 17 *动脑思考探索新知【新知识】从大量的实践与观察中，归纳出直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．讲解说明理解带领学生分析图9?44

(完整word版)《不等式的基本性质》练习题

2．2 《不等式的基本性质》练习题一、选择题（每题4分，共32分） 1、如果m ＜n ＜0,那么下列结论中错误的是（） A 、m －9＜n －9 B 、－m ＞－n C 、1 1 n m > D 、1m n > 2、若a －b ＜0，则下列各式中一定正确的是（） A 、a ＞b B 、ab ＞0 C 、0a b < D 、－a ＞－b 3、由不等式ax ＞b 可以推出x ＜b a ，那么a 的取值范围是（） A 、a≤0 B 、a ＜0 C 、a≥0 D 、a ＞0 4、如果t ＞0,那么a ＋t 与a 的大小关系是（） A 、a ＋t ＞a B 、a ＋t ＜a C 、a ＋t≥a D 、不能确定 5、如果34a a <--，则a 必须满足（） A 、a≠0 B 、a ＜0 C 、a ＞0 D 、a 为任意数 6、已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（） a 0b c A 、cb ＞ab B 、ac ＞ab C 、cb ＜ab D 、c ＋b ＞a ＋b 7、有下列说法：（1）若a ＜b ，则－a ＞－b ；（2）若xy ＜0，则x ＜0，y ＜0；（3）若x ＜0，y ＜0，则xy ＜0；（4）若a ＜b ，则2a ＜a ＋b ；（5）若a ＜b ，则11a b >；（6）若1122x y --<，则x ＞y 。其中正确的说法有（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 8、2a 与3a 的大小关系（） A 、2a ＜3a B 、2a ＞3a C 、2a ＝3a D 、不能确定二、填空题（每题4分，共32分） 9、若m ＜n ，比较下列各式的大小：（1）m －3______n －3 （2）－5m______－5n

北师大版数学七年级下册--平行线的性质(2)教学设计

《不等式的基本性质》教案北师大版

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