全国高中数学联赛模拟试题
全国高中数学联赛模拟试题(六)
(命题人：秦永
苟春鹏)
第一试
、选择题：(每小题6分，共36分)
1、在复平面上，非零复数Z 1、Z 2在以i 对应的点为圆心，1为半径的圆上,
乙Z 2的实部为零，argz 1=，贝U
6
(B
)
3
,3 3. (B )
,3 3 (A)
i
2 2 2
2
(C )
3
3 (D ) 3
.3 2 i
2
2 2
2、已知函数f
log a 2
ax
在［1,2］上恒正，则实数a 的取值范围是
3、已知双曲线过点 点F 2的轨迹方程是
M( 2,4)， N(4,4)，它的一个焦点为 F i (1,0)，则另一个焦
25
16
“ 2
,2
X 1 y 4 16
25
,2
“ 2
X 4
y 1 25
16
,2
“ 2
X 4
y 1 16
25
(XM 0) (XM 0) 或x=1
或x=1
或y=1 或y=1 * 0)
* 0)
Z 2=
i i
(B)
i (C )
1
(D)
1 y 4 2
X 1 2
角度，人行道的宽度是15米，长度是50米，则人行道间的距离是 (A ) 9 米 (B ) 10 米 (C ) 12 米 (D ) 15 米
6、一条铁路原有m 个车站，为适应客运需要新增加n 个车站(n > 1),则客 运车票增加了 58种(注：从甲站到乙站需要两种不同的车票)，那么原 有车站的个数是 (A ) 12 (B ) 13 ( C ) 14 ( D ) 15
填空题：(每小题6分，共36分)
1、 长方形ABCD 的长AB 是宽BC 的2 3倍，把它折成无底的正三棱柱，使 AD 与BC 重合折痕线EF 、GH 分别交原对角线AC 于M 、N ，则折后截 面AMN 与底面AFH 所成的角是 ______________________ ?
2、 在厶ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，且满足a 2+b 2=2c ?，则角C
的最大值是 ____________________ .
3、 从盛满a 升( a > 1)纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1 升混合溶液后又用水填满，如此继续下去?则第 n 次操作后溶液的浓度 是 _____________________ .
4、 已知函数f(x)与g(x)的定义域均为非负实数集，对任意 x > 0，规定
f(x)*g(x)=mi n{ f(x),g(x)}.若 f(x)=3 x ，g(x)= 2x 5，则 f(x)* g(x)的最大 值为 ___________________ .
5、 从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于
100，
则可有 ________不同的取法.
6、 若实数a > 0，则满足a 5 a 3+a=2的a 值属于区间：①0,63 ；②6 2,6 3 ；
③6 3,:④0,3. 2 .其中正确的是 ________________________
三、(20分)
求证：经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面 的面积
(20 分)
直线 Ax+Bx+C=0 (A ? B ? C ^0)与椭圆 b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2相交于 P 、
Q
5 一条笔直的大街宽是40米，一条人行道穿过这条大街，并与大街成某一
四、
两点，O 为坐标原点，且 OP 丄OQ .求证:
a 2
b 2 C 2
a 2
b 2 A 2
B 2 .
五、(20分)
某新建商场建有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额（指每日卖出商品的总金额）为60万元，根
据经验，各部商品每1万元营业额所需售货员人数如表1,每1万元营业额
所得利润如表2 ?商场将计划日营业额分配给三个经营部，同时适当安排各
部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为 c （万元）且
满足19< c< 19.7，又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万元，
问这个商场怎样分配日营业额给三个部？各部分别安排多少名售货员？
表1各部每1万元营业额所需人数表
表2各部每1万元营业额所得利润表
第二试
（50 分）
矩形ABCD的边AD= -AB,以AB为直径在矩形之外作半圆，在半圆上任取不同于A、B的一点P,连PC、PD交AB于E、F,若AE2+BF2=AB2, 试求正实数的值.
(50 分)
n
若a i€ R+(i=1,2,…,n), S ，且2< n€ N .
i 1
求证：n
3
n
a k 、 1 2
->a k
三、（50分）
无穷数列｛C n｝可由如下法则定义：C n+1=|1 |1 2C n||,而0W C1 < 1.
（1）证明：仅当C1是有理数时，数列自某一项开始成为周期数列.
（2）存在多少个不同的C1值，使得数列自某项之后以T为周期（对于每个T=2,3,…）？
参考答案
第一试
、选择题:
题号123456
答案A C A B C C
、填空题:
2、
4、2.3 1;
6③④.
四、证略.
五、8, 23, 29 或10, 20, 30 （万元），对应40, 92, 58 或50, 80, 60 （人）.
第二试
4、已知正实数a、b满足a+b=1，则M 1 a2-1 2b的整数部分是
2
证略.
(1) 证略.
(2) 无穷个.
3、
5、2500;
证略.
(A) 1 (B) 2 ( C) 3 ( D) 4