信息论与编码理论-第3章信道容量-习题解答
第3章 信道容量
习题解答
3-1 设二进制对称信道的转移概率矩阵为2/31/31/32/3??
??
??
解: (1) 若12()3/4,()1/4P a P a ==，求(),(),(|),(|)H X H Y H X Y H Y X 和
(;)I X Y 。
i i 2
i=1
3311
H(X)=p(a )log p(a )log()log()0.8113(/)4444bit -=-?-=∑符号
111121*********
j j j=1
32117
p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=43431231125
p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=434312
7755
H(Y)=p(b )log(b )=log()log()0.9799(/)
12121212bit ?+?=
?+?=
---=∑符号 22
i j j i j i j i ,H(Y|X)=p(a ,b )logp(b |a )p(b |a )logp(b |a )
2211
log()log()0.9183(/)
3333
i j
j
bit -=-=-?-?=∑∑符号
I(X;Y)=H(Y)H(Y|X)=0.97990.91830.0616(/)bit --=符号 H(X|Y)=H(X)I(X;Y)=0.81130.06160.7497(/bit --=符号)
(2)求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布。
二进制对称信息的信道容量
H(P)=-plog(p)-(1-p)log(1-p)
1122
C =1-H(P)=1+log()+log()=0.0817(bit/)
3333
符
BSC 信道达到信道容量时，输入为等概率分布，即：{0.5，0.5} 注意单位
3-2 求下列三个信道的信道容量及其最佳的输入概率分布。
1b 2b 3b 3
a 2a 1a Y X 1
b 2b 3
a 2a 1a Y X 1
b 2b 2
a 1
a Y X 3
b 111
111
1
0.7
0.3
第一种：无噪无损信道，其概率转移矩阵为： 1 0 0P=0 1 00 0 1??
????????
信道容量：()
max (;)P X C
I X Y bit/符号
()
()
()
()
max{(;)}max{()(|)}
(|)0
max{(;)}max{()}
p x p x p x p x C I X Y H X H X Y H X Y C I X Y H X ==-∴=∴==
离散无记忆信道(DMC)只有输入为等概率分布时才能达到信道容量，
C=log3=1.5850 bit/符号
输入最佳概率分布如下：111,,333??
????
第二种：无噪有损信道，其概率转移矩阵为： 1 0P=0 10 1??
????????，离散输入信道， ()
()
()
()
max{(;)}max{()(|)}
(|)0
max{(;)}max{()}
p x p x p x p x C I X Y H Y H Y X H Y X C I X Y H Y ==-∴=∴==
H(Y)输出为等概率分布时可达到最大值，此值就是信道容量 此时最佳输入概率：123p(a )+p(a )=0.5,p(a )=0.5 信道容量：C=log(2)=1 bit/符号
第三种：有噪无损信道，由图可知：
()
()
()
()
max{(;)}max{()(|)}
(|)0
max{(;)}max{()}
p x p x p x p x C I X Y H X H X Y H X Y C I X Y H X ==-∴=∴==
输入为等概率分布时可达到信道容量，此时信道容量
p(x)
C=max{H(X)}=log(2)=1 bit/符号 输入最佳概率分布：11,22??
????
3-3 设4元删除信道的输入量{1,2,3,4}X ∈，输出量{1,2,3,4,}Y E ∈，转移概率为
(|)1(|)1-ε 0 0 0 ε0 1-ε 0 0 ε P=0 0 1-ε 0 ε0 0 0 1-ε ε1-ε 0 0 0 ε0 1-ε 0 0 ε p1= p2=0 0 1-ε 0 ε0 0 0 1-ε εP Y i X i P Y E X i ε
ε
===-===????
?
???
??
??
????????
?
???????????????
其中1,2,3,4i = 1）该信道是对称DMC 信道吗？ 2）计算该信道的信道容量；
3）比较该信道与两个独立并联的二元删除信道的信道容量。 （1）本通信过程的转移概率分布如下所示：
1-ε 0 0 0 ε0 1-ε 0 0 ε P=0 0 1-ε 0 ε0 0 0 1-ε ε?????
??????? 可以分解为两个矩阵： 1-ε 0 0 0 ε0 1-ε 0 0 ε p1= p2=0 0 1-ε 0 ε0 0 0 1-ε ε????
????
????????????????
可以看出该信道不是对称DMC 信道，它是准对称DMC 信道。
（2）该信道的信道容量为：（直接套用准对称信道计算公式）
2log (|)log (|)log log (4)(1,)(1)log(1)log(4)
2(1)log(1)log()(1)log(1)log(4)1
2log()22(/)
4
j k j k s s
j
s
C n p b a p b a N M H bit εεεεεεεεεεεεεεεε=+-=------=+--+----=+=-∑∑符号 （3）两个独立并联的二元删除信道其转移概率如下：
1-ε ε 00 ε 1-ε??????可以写成：1-ε 0 ε 0 1-ε ε ????
????????
与的形式 独立并联的二元信道的信道容量为两个信道容量的和。
其信道容量为：1(1-ε,ε )(1-ε)log(1-ε)εlog(2ε)=1-εC H =--- bit/符号 两个独立并联和删除信道的信道容量=2C=22-ε bit/符号 本信道的信道容量与两个并联删除信道信道容量相等。
3-4 设BSC 信道的转移概率矩阵为
1
12211Q εεεε-??=??-??
1）写出信息熵()H Y 和条件熵(|)H Y X 的关于1()H ε和2()H ε表达式，其中
()log (1)log(1)H εεεεε=----。
2）根据()H ε的变化曲线，定性分析信道的容道容量，并说明当12εε=的信道容量。
解：（1）设输入信号的概率颁布是{p,1-p}
111121212
()()(|)()(|)(1)(1)p b p a p b a p a p b a p p =?+?=?-ε+-?ε
212122212()()(|)()(|)(1)(1)
p b p a p b a p a p b a p p =?+?=?ε+-?-ε
11221212121212()()log ()()log ()
[(1)(1)]log[(1)(1)][(1)(1)]log[(1)(1)][(1)(1)]
H Y p b p b p b p b p p p p p p p p H p p =--=-?-ε+-?ε?-ε+-?ε-?ε+-?-ε?ε+-?-ε=?-ε+-?ε
2
,1
111222212(|)()(|)log (|)
[(1)log(1)1log()](1)[(1)log(1)log()]()(1)()
i j i j i i j H Y X p a p b a p b a p p p H p H ==-=-?-ε-ε+εε---ε-ε+εε=?ε+-?ε∑
（2）()H ε的变化曲线，是一个上凸函数，当输入等概率分布时达到信道容量。
()
()
1212()
max{(;)}max{()(|)}
max{[(1)(1)]()(1)()}p x p x p x C I X Y H Y H Y X H p p p H p H ==-=?-ε+-?ε-?ε+-?ε
由于函数H （ε）是一个凸函数，有一个性质：
1212((1))()(1)()f f f θ?α+-θ?α≥θ?α+-θ?α
可知：C ≥0
假设12εε==ε时此信道是一个二元对称信道，转移概率分布为：
11Q ε-ε
ε??=??ε-?? 信道容量：
121-log -(1-)log(1-)1-()
C H εεε
εεεεε====
3-5 求下列两个信道的容量，并加以比较。
1-p-εp-ε2εp-ε1-p-ε2ε??
???? 12010
2p p p p ε
εεεεε---??
??---?
?
第一个：可以写成：1-p-ε p-εp-ε 1-p-ε????
??与2ε2ε??
????
11(1-p-ε,p-ε,2ε)(12ε)log(12ε)2εlog(4ε)C H =----- bit/符号
第二个：12010
2p p p p ε
εεε
εε---??
?
?---??
??????1-p-ε p-εp-ε 1-p-ε与2ε 00 2ε??
???
?两个对称形式
21(1-p-ε,p-ε,2ε,0)(12ε)log(12ε)2εlog(2ε)C H =-----bit/符号
122ε<0C C -=-
所以：信道一的信道容量大于信道二的信道容量，信道容量的不增性。
3-6设信道前向转移概率矩阵为
1
000101Q p p p p ????=-??
??-??
1）求信道容量和最佳输入概率分布的一般表达式；
2）当0p =和1/2p =时，信道容量分别为多少？并针对计算结果做出说明。 （1）此信道为非对称信道，设输入概率分布为：
{}123123p ,p , p p +p + p 1=
输出概率分布为：
{}123123q ,q , q q +q + q 1=
[]111112123131231
2212122232312323331max (;)max[()(|)]
()()(|)()(|)()(|)100()()(|)()(|)()(|)0(1)(1)()()C I X Y H Y H Y X q p b p a p b a p a p b a p a p b a p p p p q p b p a p b a p a p b a p a p b a p p p p p p p p p
q p b p a ==-==?+?+?=?+?+?===?+?+?=?+?-+?=?-+?==?3123233312323(|)()(|)()(|)0(1)(1)
p b a p a p b a p a p b a p p p p p p p p p +?+?=?+?+?-=?+?-
3
,1
122332323(|)()(|)log (|)
1log1(1)log(1)log log (1)log(1)
()(1)log(1)()log i j i j i i j H Y X p x p y x p y x p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
==-=-??-?---??-?-?--=-+---+∑
[]12323max (;)max[()(|)]max[(,,)(,1)(,1)]
C I X Y H Y H Y X H q q q p H p p p H p p ==-=----
把C 对P 1，P 2，P 3 分别求导：123
δC δC δC =0 =0 =0δp δp δp ，可得： 232323233232log(1)(1)log[(1)]log[(1)](,1)0
log(1)(1)log[(1)]log[(1)](,1)0
p p p p p p p p p p p p H p p p p p p p p p p p p p p H p p -----+-+---=??
-----+-+---=?可得： P 2 = P 3 22log(12)log (,1)0p p H p p ----= 可以解得：23(,1)
12
2
H P P p p -==
+
最佳输入概率分布的表达式为：
(,1-)(,1-)(,1-)
2111,,222222H P P H P P H P P ??
-??+++??
设(,1)
2
2H P P N -+=则
123()
21 p =1 p =p =N N
max{()(|)}22212
(1)log(1)log ()
p x C H Y H Y X H p N N N N N
-
=-=-----
（2）p=0时，100010001Q ??
??=??
????是一个对称信道，当输入等概率分布时可以达到信道容量，输入转移概率为111,,333??
????
N=3，所以2221
(1)log(1)log 1.58503333C =----= bit/符号
（3）p=1/2时，100110
221102
2Q ?????
???
=???????
?
，可得N=4， 1111111
log log (,)12224222C H =---= bit/符号
3-7设BSC 信道的前向转移概率矩阵为
0.980.020.020.98Q ??
=??
??
设该信道以1500个二元符号／秒的速度传输输入符号，现在一消息序列共有14000个二元符号，并设在这消息中(0)(1)1/2P P ==，问从信息传输的角度来考虑，10秒钟内能否将这消息序列无失真地传输完。 解：BSC 信道，且输入为等概率，信道容量
1(0.98,0.02)0.8586C H =-= bit/符号
14000个二元符号的信息量为：14000log2=14000?符比特
1500/100.8568/12852??=符秒秒比特符比特＜14000比特
所以10秒内不能无失真的传输完。
3-8 有m 个离散信道，转移概率矩阵分别为12,,
,m Q Q Q 。由这m 个离散信
道组成一个新信道，称为和信道，其转移概率矩阵为：
12
000000m Q Q
Q Q ?????
?=???
???
设k C 是第k 个离散信道的信道容量。试证明：和信道的信道容量为
1
log 2k m
C k C ==∑
此时第k 个信道的使用概率为()
2
k C C k P -=。
解：m=2时,转移矩阵变为: 12Q 0Q=0 Q ??
??
??
，设两个信道的信道容量分别为：12,C C ，信道的利用率分别为：1212p ,p p +p 1=并且，并行信道，有C=C 1+C 2
()
()
,1111111()
1,11
112222222,21
22(|)max{(;)}max{()(|)log
}
()
(|)max{
()(|)log
()(|) ()(|)log
}
()
n
j i i j i p x p x i j j n
j i i j i p x i j j n
j i i j i i j j p y x C I X Y p x p y x p y p y x p p x p y x p p y p y x p p x p y x p p y ======+
∑∑
∑
111
111()
1,11
1222
2222,21
211221212()112212()
(|)max{()(|)log
()(|) ()(|)log
()
log log }
max{(;)2(;)(,)}
max{(,)}
n
j i i j i p x i j j n
j i i j i i j j p x p x p y x p p x p y x p y p y x p p x p y x p y p p p p p I X Y p I X Y H p p p C p C H p p ===+--=++=++∑
∑
分别对C 1，C 2进行求导可得：
12
1122dC dC =0 =0dp dp 1C logp =In2
1C logp =
In2
????
???--可得：1122C logp =C logp -- 令1122C logp =C logp m =--，可得：12C m
C m 1212p =2
,p =2,p p 1+=--
12112212121212121212C m C m C m C m C m C m
12C m C m C m C m 1212C m C m 12C C 12C C C C C C C C C 222log 22log 222(C m)2(C m)2(22)(p p )p =2
,p =2
221222log(22)
C
C
C C C C C m m m C ??=++--??
=+--=+=+=∴+=→=+→=+------------------
依次类推，可得：k k m
C C C
k k=1C=log( 2 ) p 2=∑-
3-9 求N 个相同的BSC 级联信道的信道容量。
解：N 个相同BSC 级联，设11001(1)10110i Q εεεεεε-??????
==-?+???????-?????? 级联后：111.....111Q εεεεεεεεεεεε---??????=????????---??????
1
010101(1)
10101010 ...(1)0101n n n i n n n
Q Q C C εεεε-????????==?+??-??????????????????
?????-?????????????
N 为偶数时：0 1101 001n
Q ????==???????? N 为奇数时：0 1011 010n Q ????==????
????
可知本信道等同于BSC 信道，可得出：(,1)C H p p =- bit/符号
3-10 电视图像由30万个像素组成，对于适当的对比度，一个像素可取10个可辨别的亮度电平，假设各个像素的10个亮度电平都以等概率出现，实时传送电视图像每秒发送30帧图像。为了获得满意的图像质量，要求信号与噪声的平均功率比值为30dB ，试计算在这些条件下传送电视的视频信号所需的带宽。 解：
i 1
p(x )=
10
()log10 3.32/I X bit ==像素
1秒内可以传送的信息量为：
3.3219/bit bit ????7像素3010000像素30=2.989710
103
36log(1),:10log ()3010log(110): 2.999510S S
C B dB
N N
S
N
B B HZ
=+=∴=?=+=?7已知2.989710可得
3-11 一通信系统通过波形信道传送信息，信道受双边功率谱密度
80/20.510N -=?W ／Hz 的加性高斯白噪声的干扰，信息传输速率
24R =kbit/s ，信号功率1P =W 。 1）若信道带宽无约束，求信道容量；
解：带限的加性高斯白噪声波形信道的信道容量为
无带宽约束时：
00
080
lim lim
log(1)
log 1.442710/S S t w w S S P N W P
C C N P N W P
e bit s
N ->∞
->∞==+==?
2）若信道的频率范围为0到3KHz ，求信道容量和系统的频带利用率/R W （bps/Hz ）(注：W 为系统带宽)；对同样的频带利用率，保证系统可靠传输所需的最小0/b E N 是多少dB ？ W=3KHZ
在最大信息速率条件下，每传输1比特信息所需的信号能量记为E b
S
b P E =
C
04
8
84
00log(1)log(1)13000log(1) 4.5074101103000
24/8/3133.47110 4.507410S
b S P C W W SNR N W
bps R kbit s bps Hz W KHz E P dB N N C --=+
=+=?+
=???=====???
3）若信道带宽变为100KHz ，欲保持与2）相同的信道容量，则此时的信
噪比为多少dB？信号功率要变化多数dB?
450005
8
3
3
1004.507410log(1)10log(1)0.3667: 4.3654'0.366710100.366710'0.36671034.35691
S S S
s s W KHZ
P P
bps W N W N W
P SNR dB N W
Ps w P dB
P ---=?=+=+=
=-=??=??==-1010即信号功率的变化为:
10log 10log
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
信道容量的计算
§4.2信道容量的计算 这里，我们介绍一般离散信道的信道容量计算方法，根据信道容量的定义，就是在固定信道的条件下，对所有可能的输入概率分布)(x P 求平均互信息的极大值。前面已知()Y X I ;是输入概率分布的上凸函数，所以极大值一定存在。而);(Y X I 是r 个变量 )}(),(),({21r x p x p x p 的多元函数。并且满足1)(1 =∑=r i i x p 。所以可用拉格朗日乘子法来 计算这个条件极值。引入一个函数：∑-=i i x p Y X I )();(λ φ解方程组 0) (] )();([) (=∑?-???i i i i x p x p Y X I x p λ φ 1)(=∑i i x p （4.2.1） 可以先解出达到极值的概率分布和拉格朗日乘子λ的值，然后在解出信道容量C 。因为 ) () (log )()();(11 i i i i i r i s j i y p x y Q x y Q x p Y X I ∑∑=== 而)()()(1 i i r i i i x y Q x p y p ∑== ，所以 e e y p y p i i i i i y p x y Q i x p i x p l o g l o g ))(ln ()(log ) ()()() (==????。 解（4.2.1）式有 0log )()()()()()(log )(111=--∑∑∑===λe y p x y Q x y Q x p y p x y Q x y Q i i i i i r i s j i i i i s j i i （对r i ,,2,1 =都成立） 又因为 )()()(1j k k r k k y p x y Q x p =∑= r i x y Q s j i j ,,2,1,1)(1 ==∑= 所以(4.2.1)式方程组可以转化为 ),,2,1(log ) ()(log )(1r i e y p x y Q x y Q j i j s j i j =+=∑=λ 1)(1 =∑=r i i x p
实验三 信道容量计算
实验三信道容量计算 一、实验目的： 了解对称信道与非对称信道容量的计算方法。 二、实验原理： 信道容量是信息传输率的极限，当信息传输率小于信道容量时，通过信道编码，能够实现几乎无失真的数据传输；当数据分布满足最佳分布时，实现信源与信道的匹配，使得信息传输率能够达到信道容量。本实验利用信道容量的算法，使用计算机完成信道容量的计算。 实验采用迭代算法计算信道容量，即：设DMC的转移概率pyx(i,j)，p(i)是任意给定的一组初始给定输入分布，开始为等概率分布，以后逐次迭代更新p(i)的取值。其所有分量P (i)均不为0。按照如下方法进行操作： 具体方法： 1、计算q(j)=∑ i j i pyx i p) ,( *)(，pyx(i,j)为信道转移概率 2、计算a(i) 先算中间变量d(i)=∑ j j q j i pyx j i pyx) ( /) ,( log( *) ,( 然后，a(i)=exp(d(i)) 3、计算中间变量U=∑ i i p i a)( *)( 4、计算IL=log2(u) 5、计算IU=log2(max(a(i)) 6、当IU-IL>ε（ε为设定的迭代精度）时，进入以下循环，否则输出迭代次数n，信道容量C=IU计算结果，最佳分布p(i)。 ①重新计算p(i)=p(i)*a(i)/U ②计算q(j),方法同1 ③计算a(i)，方法同2 ④计算中间变量U=∑ i i p i a)( *)( ⑤计算IL=log2(u) ⑥计算IU=log2(max(a(i)) ⑦计次变量n=n+1
返回6判断循环条件是否满足。 四、实验内容： 假设离散无记忆二元信道如图所示，编程，完成下列信道容量的计算 2e 1． 令120.1e e p p ==和120.01e e p p ==，先计算出信道转移矩阵，分别计算该对称信道的信道容量和最佳分布，将用程序计算的结果与用对称信道容量计算公式的结果进行比较，并贴到实验报告上。 2． 令10.15e p =，20.1e p =和10.075e p =20.01e p =，分别计算该信道的信道容量和最佳分布； 四、实验要求： 在实验报告中给出源代码，写出信道对应的条件转移矩阵，计算出相应结果。并定性讨论信道容量与信道参数之间的关系。
信息论与编码理论-第3章信道容量-习题解答
第3章 信道容量 习题解答 3-1 设二进制对称信道的转移概率矩阵为2/31/31/32/3?? ???? 解: (1) 若12()3/4,()1/4P a P a ==，求(),(),(|),(|)H X H Y H X Y H Y X 和 (;)I X Y 。 i i 2 i=1 3311 H(X)=p(a )log p(a )log()log()0.8113(/)4444bit -=-?-=∑符号 111121********* j j j=1 32117 p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=43431231125 p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=434312 7755 H(Y)=p(b )log(b )=log()log()0.9799(/) 12121212bit ?+?= ?+?= ---=∑符号 22 i j j i j i j i ,H(Y|X)=p(a ,b )logp(b |a )p(b |a )logp(b |a ) 2211 log()log()0.9183(/) 3333 i j j bit -=-=-?-?=∑∑符号 I(X;Y)=H(Y)H(Y|X)=0.97990.91830.0616(/)bit --=符号 H(X|Y)=H(X)I(X;Y)=0.81130.06160.7497(/bit --=符号) (2)求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布。 二进制对称信息的信道容量 H(P)=-plog(p)-(1-p)log(1-p) 1122 C =1-H(P)=1+log()+log()=0.0817(bit/) 3333符 BSC 信道达到信道容量时，输入为等概率分布，即：{，} 注意单位
实验二 离散信道及其容量
实验二 离散信道及其容量 一、[实验目的] 1、理解离散信道容量的内涵； 2、掌握求二元对称信道（BSC ）互信息量和容量的设计方法； 3、掌握二元扩展信道的设计方法并会求其平均互信息量。 二、[实验环境] windows XP,MATLAB 7 三、[实验原理] 若某信道输入的是N 维序列x ，其概率分布为q(x ),输出是N 维序列y ,则平均互信息量记为I(X ;Y )，该信道的信道容量C 定义为() max (X;Y)q x C I =。 四、[实验内容] 1、给定BSC 信道，信源概率空间为 信道矩阵 0.990.010.010.99P ??=???? 求该信道的I(X;Y)和容量，画出I(X;Y)和ω、C 和p 的关系曲线。 2 、编写一M 脚本文件t03.m ，实现如下功能： 在任意输入一信道矩阵P 后，能够判断是否离散对称信道，若是，求出信道容量C 。 3、已知X=(0,1,2);Y=(0,1,2,3),信源概率空间和信道矩阵分别为 求： 平均互信息量； 4、 对题(1)求其二次扩展信道的平均互信息I(X;Y)。 五、[实验过程 ] X P ０ １ 0.6 0.4 = X Px ０ １ ２ 0.3 0.5 0.2 = 0.1 0.3 0 0.6 0.3 0.5 0.2 0 0.1 0.7 0.1 0.1 P=
每个实验项目包括：1)设计思路2)实验中出现的问题及解决方法； 1)设计思路 1、信道容量( ) max (X; Y) q x C = I ，因此要求给定信道的信道容量，只要知道该信道 的最大互信息量，即求信道容量就是求信道互信息量的过程。 程序代码： clear all,clc; w=0.6; w1=1-w; p=0.01; X P ０１ = 0.6 0.4 p1=1-p; save data1 p p1; I_XY=(w*p1+w1*p)*log2(1/(w*p1+w1*p))+(w*p+w1*p1)*log2(1/(w*p+w1*p1))- ... (p*log2(1/p)+p1*log2(1/p1)); C=1-(p*log2(1/p)+p1*log2(1/p1)); fprintf('互信息量:%6.3f\n信道容量:%6.3f',I_XY,C); p=eps:0.001:1-eps; p1=1-p; C=1-(p.*log2(1./p)+p1.*log2(1./p1)); subplot(1,2,1),plot(p,C),xlabel('p'),ylabel('C'); load data1; w=eps:0.001:1-eps; w1=1-w; I_XY=(w.*p1+w1.*p).*log2(1./(w.*p1+w1.*p))+(w.*p+w1.*p1).*log2(1./(w.*p+w1.*p1))- . . .(p.*log2(1./p)+p1.*log2(1./p1)); subplot(1,2,2),plot(w,I_XY) xlabel('w'),ylabel('I_XY'); 实验结果：
寻呼空口信道容量及信道容量计算
寻呼空口信道容量及FACH 信道 容量计算方法
目录 1寻呼容量计算方法 (2) 1.1现网理论容量计算 (2) 1.2实际网络环境下的容量计算 (3) 2寻呼容量扩容方案 (3) 2.1寻呼拥塞产生的原因 (3) 2.2寻呼容量预警机制 (4) 2.3现网容量评估 (4) 2.4空口寻呼扩容方案 (5) 2.4.1方案原理 (5) 2.4.2目标容量 (6) 3FACH信道容量评估 (7)
1寻呼容量计算方法 首先需要明确寻呼容量的单位是个/时间/小区，也就是说衡量一个RNC支持多大的寻呼量是以小区为标准的，比如某RNC支持的寻呼容量应为XX个/小时/小区或者XX个/秒/小区。 RNC设备支持的理论寻呼量为45万TMSI/小时/小区，实际每小区支持的寻呼容量则取决于空口的寻呼容量配置。 空口寻呼容量配置计算方法如下（以小区为参考单位）： PCH寻呼能力计算公式为：Ntfs×RoundDown[(TBSize-7)/Lue]×Npch/(Nr×Tpbp) IMSI寻呼时, Ntfs×RoundDown[(TBSize-7)/72]×Npch/(Nr×Tpbp) TMSI/PTMSI寻呼时，Ntfs×RoundDown[(TBSize-7)/40]×Npch/(Nr×T pbp) 注：RoundDown为向下取整。 如果空口环境不好，存在大量重传的时候，则上面的公式需要再除以（1+Nr），寻呼容量减半，通常情况下不考虑重传。 1.1现网理论容量计算 除西安网络进行寻呼信道扩容外，现网目前各项空口寻呼信道参数配置如下表： 协议参数说明备注现网配置 Ntfs PCH传输格式中 240bit块的个数(一 个寻呼子信道承载) 传输块个数 一般配置为0、1。Ntf与PCH所在 的SCCPCH的码道数目相关。 1 Tbsize PCH传输块大小240 Npch 每个寻呼块配置的寻 呼子信道数目 协议规定Npch<=8 8 Nr 重复因子相同寻呼的重发次数 1 Tpbp PICH的寻呼周期重复周期/ Tpbp 640ms/320ms 640
4.信道及其容量
第4章 离散信道及其容量 4.1节 离散无记忆信道（DMC, Discrete Memoryless Channel ） 什么是 “信道”？ 通信的基本目标是将信源发出的消息有效、可靠地通过“信道”传输到目的地，即信宿（sink ）。但什么是“信道”？ Kelly 称信道是通信系统中“不愿或不能改变的部分”。比如CDMA 通信中，设备商只能针对给定的频谱范围进行设备开发，而运营商可能出于成本的考虑，不愿意进行新的投资，仍旧采用老的设备。通信是对随机信号的通信，因此信源必须具有可选的消息，因此不可能利用一个sin(〃)信号进行通信，而是至少需要两个可供发射机进行选择。一旦选择了信息传输所采用的信号，信道决定了从信源到信宿的过程中信号所受到的各种影响。从数学上理解，信道指定了接收机接收到各种信号的条件概率(conditional probability)，但输入信号的先念概念（prior probability ）则由使用信道的接收机指定。 如果只考虑离散时间信道，则输入、输出均可用随机变量序列进行描述。输入序列X 1, X 2,……是由发射机进行选择，信道则决定输出序列Y 1, Y 2,……的条件概率。数学上考虑的最 简单的信道是离散无记忆信道。 离散无记忆信道由三部分组成： （1） 输入字符集A ={a 1, a 2, a 3,…}。该字符集既可以是有限，也可以是可数无限。其中每个 符号a i 代表发射机使用信道时可选择的信号。 （2） 输出字符集B={b 1, b 2, b 3,…}。该字符集既可以是有限，也可以是可数无限。其中每个 符号bi 代表接收机使用信道时可选择的信号。 （3） 条件概率分布P Y |X (〃|X )，该条件分布定义在B 上，其中X ∈A 。它描述了信道对输 入信号的影响。 离散无记忆的假设表明，信道在某一时刻的输出只与该时刻的输入有关，而与该时刻之前的输入无关。或者： 1111|(|,...,,,...,)(|)n n n Y X n n P y x x y y P y x --=，n =1,2,3…. Remark: (1) n x 在信道传输时受到的影响与n 时刻以前的输入信号无关。 (2) DMC 是时不变的，即|n n Y X P 与n 无关。因此|(|)n n Y X n n P y x 可简写为|(|)Y X n n P y x 。
一般离散无记忆信道容量的迭代计算
一般离散无记忆信道容量的迭代计算 信道容量的迭代算法 1信道容量的迭代算法的步骤 一、用了matlab 实现DMC 容量迭代的算法如下： 第一步:首先要初始化信源分布： .0deta 10,1,0,1)(>>=?==，选置，，k r i r P k i 即选取一个精度，本次中我选deta=0.000001。 第二步：}{,) ()()()(k ij i ji k i ji k i k ij t p p p p t 得到反向转移概率矩阵根据式子∑=。 第三步： 第四步： 第五步： 若a C C C k k k det )1() ()1(>-++，则执行k=k+1，然后转第二步。直至转移条件不成立， 接着执行下面的程序。 第六步：输出迭代次数k 和()1+k C 和1+k P ，程序终止。 2. Matlab 实现 clear; r=input('输入信源个数：'); s=input('输入信宿个数：'); deta=input('输入信道容量的精度： '); ()()()()(){}111]log exp[] log exp[+++==∑∑∑k i k i j ij k ji j ij k ji k i p P t p t p p 计算由式()()()()()()。C t p t P I C k r i s j k ij ji k k k 10011log exp log ,+==++????????????????==∑∑计算由式
Q=rand(r,s); %形成r行s列随机矩阵Q A=sum(Q,2); %把Q矩阵每一行相加和作为一个列矩阵A B=repmat(A,1,s); %把矩阵A的那一列复制为S列的新矩阵 %判断信道转移概率矩阵输入是否正确 P=input('输入信道转移矩阵P：')%从这句话开始将用下面两句代替可自动生成信道转移矩阵 [r,s]=size(P); for i=1:r if(sum(P(i,:))~=1) %检测概率转移矩阵是否行和为1. error('概率转移矩阵输入有误！！') return; end for j=1:s if(P(i,j)<0||P(i,j)>1) %检测概率转移矩阵是否负值或大于1 error('概率转移矩阵输入有误！！') return; end end end %将上面的用下面两句代替可自动生成信道转移矩阵 %disp('信道转移概率矩阵:') %P=Q./B 信道转移概率矩阵（每一个原矩阵的新数除以所在行的数总和） i=1:1:r; %设置循环首项为1，公差为1，末项为r（Q的行数）的循环 p(i)=1/r; %原始信源分布r个信源,等概率分布 disp('原始信源分布：')
信道容量实验报告
湖南大学 信息科学与工程学院 实验报告 实验名称信道容量的迭代算法课程名称信息论与编码 第1页共9页
1.实验目的 （1）进一步熟悉信道容量的迭代算法； （2）学习如何将复杂的公式转化为程序； （3）掌握C 语言数值计算程序的设计和调试技术。 2、实验方法 硬件：pc 机 开发平台：visual c++软件 编程语言：c 语言 3、实验要求 （1）已知：信源符号个数r 、信宿符号个数s 、信道转移概率矩阵P 。 （2）输入：任意的一个信道转移概率矩阵。信源符号个数、信宿符号个数和每 个具体的转移概率在运行时从键盘输入。 （3）输出：最佳信源分布P*，信道容量C 。 4.算法分析 1：procedure CHANNEL CAPACITY(r,s,(ji p )) 2：initialize:信源分布i p =1/r ，相对误差门限σ，C=—∞ 3：repeat 4： 5： 6： C 221 1 log [exp(log )] r s ji ij r j p φ==∑∑ 7：until C C σ ?≤ 8：output P*= ()i r p ,C 9：end procedure 21 21 1 exp(log ) exp(log ) s ji ij j r s ji ij r j p p φφ===∑∑∑i p 1 i ji r i ji i p p p p =∑ij φ
5.程序调试 1、头文件引入出错 f:\visualc++\channel\cpp1.cpp(4) : fatal error C1083: Cannot open include file: 'unistd.h': No such file or directory ————#include
正式实验报告二—信道容量的计算
一、实验目的 1．掌握离散信道的信道容量的计算方法； 2．理解不同类型信道的不同特点与不同的计算方法； 二、实验内容 1．进一步熟悉一般离散信道的信道容量计算方法； 2．进一步复习巩信道性质与实际应用； 3．学习如何将复杂的公式转化为程序。 三、实验仪器、设备 1、计算机－系统最低配置256M内存、P4 CPU； 2、MATLAB编程软件。 四、实现原理 信道容量是信息传输率的极限，当信息传输率小于信道容量时，通过信道编码，能够实现几乎无失真的数据传输；当数据分布满足最佳分布时，实现信源与信道的匹配，使得信息传输率能够达到信道容量。本实验利用信道容量的算法，使用计算机完成信道容量的计算。 实验采用迭代算法计算信道容量，即：设DMC的转移概率pyx(i,j)，p(i)是任意给定的一组初始给定输入分布，开始为等概率分布，以后逐次迭代更新p(i)的取值。其所有分量P (i)均不为0。按照如下方法进行操作： 具体方法： 1、计算q(j)= i j i pyx i p) ,( *)(，pyx(i,j)为信道转移概率 2、计算a(i)
先算中间变量d(i)=∑ j j q j i pyx j i pyx) ( /) ,( log( *) ,( 然后，a(i)=exp(d(i)) 3、计算中间变量U=∑ i i p i a)( *)( 4、计算IL=log2(u) 5、计算IU=log2(max(a(i)) 6、当IU-IL>ε（ε为设定的迭代精度）时，进入以下循环，否则输出迭代次数n，信道容量C=IU计算结果，最佳分布p(i)。 ①重新计算p(i)=p(i)*a(i)/U ②计算q(j),方法同1 ③计算a(i)，方法同2 ④计算中间变量U=∑ i i p i a)( *)( ⑤计算IL=log2(u) ⑥计算IU=log2(max(a(i)) ⑦计次变量n=n+1 返回6判断循环条件是否满足。 五、实验步骤 1、计算非对称信道的信道容量 运行程序
最新第三章-信道容量-习题答案
精品文档 3.1 设信源??? ???=? ?????4.06.0)(21x x X P X 通过一干扰信道，接收符号为Y = { y1, y2 }，信道转移矩阵为??? ? ??????43416165，求： (1) 信源X 中事件x 1和事件x 2分别包含的自信息量； (2) 收到消息y j (j=1,2)后，获得的关于x i (i=1,2)的信息量； (3) 信源X 和信宿Y 的信息熵； (4) 信道疑义度H(X/Y)和噪声熵H(Y/X)； (5) 接收到信息Y 后获得的平均互信息量。 解： 1) bit x p x I bit x p x I 322.14.0log )(log )( 737.06.0log )(log )(22222121=-=-==-=-= 2) bit y p x y p y x I bit y p x y p y x I bit y p x y p y x I bit y p x y p y x I x y p x p x y p x p y p x y p x p x y p x p y p 907.04 .04 /3log )()/(log );( 263.16.04 /1log )()/(log );( 263.14.06 /1log )()/(log );( 474.06.06 /5log )()/(log );(4 .04 3 4.0616.0)/()()/()()(6 .041 4.0656.0)/()()/()()(22222 2221212122212221211121122212122121111===-===-=======?+?=+==?+?=+= 3) symbol bit y p y p Y H symbol bit x p x p X H j j j i i i / 971.010log )4.0log 4.06.0log 6.0()(log )()(/ 971.010log )4.0log 4.06.0log 6.0()(log )()(22=+-=-==+-=-=∑∑ 4) symbol bit Y H X Y H X H Y X H Y X H Y H X Y H X H symbol bit x y p x y p x p X Y H i j i j i j i / 715.0971.0715.0971.0 )()/()()/() /()()/()(/ 715.0 10 log )4 3 log 434.041log 414.061log 616.065log 656.0( ) /(log )/()()/(2=-+=-+=∴+=+=??+?+?+?-=-=∑∑
信道及信道容量
第5章 信道及信道容量 教学内容包括：信道模型及信道分类、单符号离散信道、多符号离散信道、多用户信道及连续信道 5．1信道模型及信道分类 教学内容： 1、一般信道的数学模型 2、信道的分类 3、信道容量的定义 1、 一般信道的数学模型 影响信道传输的因素：噪声、干扰。 噪声、干扰：非函数表述、随机性、统计依赖。 信道的全部特性：输入信号、输出信号，以及它们之间的依赖关系。 信道的一般数学模型： 2、 信道的分类 输出随机信号 输入、输出随机变量个数 输入和输出的个数 信道上有无干扰 有无记忆特性 3、信道容量的定义 衡量一个信息传递系统的好坏，有两个主要指标： 图5.1.1 一般信道的数学模型 离散信道、连续信道、半离散或半连续信道 单符号信道和多符号信道 有干扰信道和无干扰信道 有记忆信道和无记忆信道 单用户信道和多用户信道 速度指标 质量指标
速度指标：信息（传输）率R ，即信道中平均每个符号传递的信息量； 质量指标：平均差错率e P ，即对信道输出符号进行译码的平均错误概率； 目标：速度快、错误少，即R 尽量大而e P 尽量小。 信道容量：信息率R 能大到什么程度； )/()()/()();(X Y H Y H Y X H X H Y X I R -=-== 若信道平均传送一个符号所需时间为t 秒，则 ) ;(1 Y X I t R t =（bit/s ） 称t R 为信息（传输）速率。 分析： 对于给定的信道，总存在一个信源（其概率分布为* )(X P ），会使信道的信息率R 达到 最大。 （);(Y X I 是输入概率)(X P 的上凸函数，这意味着);(Y X I 关于)(X P 存在最大值） 每个给定的信道都存在一个最大的信息率，这个最大的信息率定义为该信道的信道容量，记为C ，即 ) ;(max max Y X I R C X X P P ==bit/符号 （5.1.3） 信道容量也可以定义为信道的最大的信息速率，记为 t C ?? ? ???==);(1max max Y X I t R C X X P t P t （bit /s ） （5.1.4） 解释： (1)信道容量C 是信道信息率R 的上限，定量描述了信道（信息的）最大通过能力； (2)使得给定信道的);(Y X I 达到最大值（即信道容量C ）的输入分布，称为最佳输入（概率）分布，记为* )(X P ； (3)信道的);(Y X I 与输入概率分布)(X P 和转移概率分布)/(X Y P 两者有关，但信道容量 C 是信道的固有参数，只与信道转移概率)/(X Y P 有关。 4、意义： 研究信道，其核心问题就是求信道容量和最佳输入分布。根据定义，求信道容量问题就是求平均互信息量);(Y X I 关于输入概率分布)(X P 的最大值问题。一般来说，这是一个很困难的问题，只有对一些特殊信道，如无噪信道等，才能得到解析解，对于一般信道，必须借助于数值算法。
信道容量及其一般计算方法
实验一信道容量及其一般计算方法 1.实验目的 一般离散信道容量的迭代运算 2.实验要求 （1）理解和掌握信道容量的概念和物理意义 （2）理解一般离散信道容量的迭代算法 （3）采用Matlab编程实现迭代算法 （4）认真填写实验报告。 3.源代码 clc;clear all; //清屏 N = input('输入信源符号X的个数N='); //输入行数 M = input('输出信源符号Y的个数M='); //输入列数 p_yx=zeros(N,M); //程序设计需要信道矩阵初始化为零 fprintf('输入信道矩阵概率\n') for i=1:N //从第一行第一列开始输入 for j=1:M p_yx(i,j)=input('p_yx='); //输入信道矩阵概率 if p_yx(i)<0 //若输出概率小于0则不符合概率分布 error('不符合概率分布') end end end for i=1:N //各行概率累加求和 s(i)=0; for j=1:M s(i)=s(i)+p_yx(i,j); end end for i=1:N //判断是否符合概率分布 if (s(i)<=0.999999||s(i)>=1.000001) //若行相加小于等于0.9999999或者大于等于1.000001 Error //('不符合概率分布') end end b=input('输入迭代精度：'); //输入迭代精度 for i=1:N p(i)=1.0/N; //取初始概率为均匀分布（每行值分别为1/N，）end for j=1:M //计算q(j) q(j)=0; for i=1:N q(j)=q(j)+p(i)*p_yx(i,j); //均匀分布的值乘上矩阵值后+q（j），然后赋值给q（j）实现求和
实验二 一般信道容量迭代算法
实验二 一般信道容量迭代算法 1． 实验目的 掌握一般离散信道的迭代运算方法。 2． 实验要求 1） 理解和掌握信道容量的概念和物理意义 2） 理解一般离散信道容量的迭代算法 3） 采用Matlab 编程实现迭代算法 4） 认真填写试验报告 3．算法步骤 ①初始化信源分布),,,,,(21)0(p p p p P r i ????=（一般初始化为均匀分布），置迭代计数器k=0，设信道容量相对误差门限为δ，δ>0，可设-∞=C )0(； ②∑= i k i ij k i ij k ji p p p p )()() (? s j r i ，??=??=,1;,,1 ③∑ ∑∑??????????????????????=+i k ji j ij k ji j ij k i p p p ?? )()() 1(ln exp ln exp r i ,,1??= ④?? ??????????????=∑∑+i k ji j ij k p C ?)()1(ln exp ln ⑤如果δ≤-++C C C k k k )1()()1(，转向⑦； ⑥置迭代序号k k →+1,转向②； ⑦输出p k i ) 1(+和C k ）（1+的结果； ⑧停止。 4．代码P=input('转移概率矩阵P=') e=input('迭代精度e=') [r,s]=size(P); n=0; C=0; C_k=0; C_k1=0; X=ones(1,r)/r;
A=zeros(1,r); B=zeros(r,s);%初始化各变量 while(1) n=n+1; for i=1:r for j=1:s B(i,j)=log(P(i,j)/(X*P(:,j))+eps); if P(i,j)==0 B(i,j)=0; else end end A(1,i)=exp(P(i,:)*B(i,:)'); end C_k=log2(X*A'); C_k1=log2(max(A)); if (abs(C_0-C_1) 当一个信道受到加性高斯噪声的干扰时，如果信道传输信号的功率和信道的带宽受限，则这种信道传输数据的能力将会如何？这一问题，在信息论中有一个非常肯定的结论――高斯白噪声下关于信道容量的山农（Shannon）公式。本节介绍信道容量的概念及山农定理。 1、信道容量的定义 在信息论中，称信道无差错传输信息的最大信息速率为信道容量，记为。 从信息论的观点来看，各种信道可概括为两大类：离散信道和连续信道。所谓离散信道就是输入与输出信号都是取值离散的时间函数；而连续信道是指输入和输出信号都是取值连续的。可以看出，前者就是广义信道中的编码信道，后者则是调制信道。 仅从说明概念的角度考虑，我们只讨论连续信道的信道容量。 2. 山农公式 假设连续信道的加性高斯白噪声功率为（W），信道的带宽为（Hz），信号功率为（W），则该信道的信道容量为 这就是信息论中具有重要意义的山农公式，它表明了当信号与作用在 信道上的起伏噪声的平均功率给定时，具有一定频带宽度的信道上，理论上单位时间内可能传输的信息量的极限数值。 由于噪声功率与信道带宽有关，故若噪声单边功率谱密度为（W/Hz），则噪声功率。因此，山农公式的另一种形式为 由上式可见，一个连续信道的信道容量受、、三个要素限制，只要这三个要素确定，则信道容量也就随之确定。 3. 关于山农公式的几点讨论 山农公式告诉我们如下重要结论： （1）在给定、的情况下，信道的极限传输能力为，而且此时能够做到无差错传输（即差错率为零）。这就是说，如果信道的实际传输速率大于值，则无差错传输在理论上就已不可能。因此，实际传输速率一般不能大于信道容量，除非允许存在一定的差错率。 （2）提高信噪比（通过减小或增大），可提高信道容量。特别是，若，则，这意味着无干扰信道容量为无穷大； （3）增加信道带宽，也可增加信道容量，但做不到无限制地增加。这是因为，如果、一定，有 #include double H1=0,h1=0 ,H2=0,h2=0; for(i=1;i<=n;i++) { for(j=1;j<=n;j++) { q[i-1][j-1]=p[i-1][j-1]*x[i-1]; //cout<<"联合概率"<<"y"< 实验一： MIMO 信道容量计算 实验学时：3 实验类型：（演示、验证、综合、设计、√研究） 实验要求：（√必修、选修） 一、实验目的 通过本实验的学习,理解和掌握信道容量的概念和物理意义；了解多天线系统信道容量的计算方法；采用计算机编程实现经典的注水算法。 二、实验内容 MIMO 信道容量； 注水算法原理； 采用计算机编程实现注水算法。 三、实验组织运行要求 以学生自主训练为主的开放模式组织教学 四、实验条件 （1）微机 （2）MATLAB 编程工具 五、实验原理、方法和手段 MIMO （MIMO,Multiple Input Multiple Output ）技术利用多根天线实现多发多收,充分利用了空间资源,在有限的频谱资源上可以实现高速率和大容量,已成为4G 通信系统以及未来无线通信系统的关键技术之一。 图1平坦衰弱MIMO 信道模型 1．MIMO 信道模型 MIMO 指多输入多输出系统,当发送信号所占用的带宽足够小的时候,信道可以被认为是平坦的,即不考虑频率选择性衰落。平坦衰弱的MIMO 信道可以用一个 R T n n ?的复数矩阵H 描述： 111212122212T T R T R R n n n n n n h h h h h h h h h ?? ? ??? =? ? ??????H （1） 其中T n 为发送端天线数, R n 为接收端天线数,H 的元素 ,j i h 表示从第i 根发射天线到第j 根接收天线之间的空间信道衰落系数。 窄带MIMO 信道模型（如图1所示）可以描述为： =+y Hx n （2） 其中,x 为发送信号；y 为接收信号；n 为加性高斯白噪声。 2．MIMO 信道容量 假设n 服从均值为0,协方差为单位阵的复高斯分布。根据信道容量() max{(;)} p X C I X Y =的定义,可以证明当 () p x 服从高斯分布时,达到MIMO 信道 容量。令x 的协方差矩阵为 x R ,则MIMO 信道容量可表示为： ()() logdet H C +x x R I HR H （3） 第三章离散信道及其信道容量 3．1．1 信道的分类 在信息论中，信道是传输信息的通道，是信息传输系统的重要组成部分之一。信道的分类有： 按照信道输入端或输出端的个数可分为单用户信道和多用户信道。 按照信道输出端有无信号反馈到输入端可分为有反馈信道和无反馈信道。 按照信道的统计参数是否随时间变化可分为时变参数信道和固定参数信道。 按照信道输入／输出信号取值幅度集合以及取值时间集合的离散性和连续性可分为离散信道(数字信道)和波形信道(模拟信道)。 按照信道输入/输出信号取值幅度集合的离散性和连续性(取值时间是离散的)可分为离散信道和连续信道。 按照信道输入/输出信号在取值时刻上是否有依赖关系可分为有记忆信道和无记忆信道。 按照信道输入信号与输出信号之间是否统计依赖关系可分为有噪信道和无噪(无干扰)信道。 3．1．2 离散信道的数字模型 1．一般离散信道(多维离散信道) 一般离散信道输入/输出信号取值幅度和取值时刻都是离散的平稳随机矢量。其数学模型可用离散型概率空间[X，P(y|x)，Y]来描述。其中X=(X1X2…X N)为输入信号，Y= (Y1Y2…Y N)为输出信号。X中X i∈A={a1，a2，…，a r}，Y中Y i∈B={b1，b2，…，b s}。又P(y|x)(x∈X，y∈Y)是信道的传递概率(转移概率)，反映输入和输出信号之间统计依赖关系，并满足 概率空间[X，P(y|x)，Y]也可用图来描述。 2．基本离散信道(单符号离散信道) 单符号离散信道是离散信道中最基本的信道，其信道输入/输出信号都是取值离散的单个随机变量。数学模型是概率空间[X，P(y|x)，Y]，(或[X，P(b j|a i)，Y])，其中X∈A={a1，a2，…，a r}，Y∈B={b1，b2，…，b s)，P(y|x)=P(b j|a i)(i=1，2，…，r；j=1，2，…，s)并满足 概率空间[X，P(y|x)，Y]也可用图来描述，如图3．1所示。 若将传递概率排列成矩阵形式，则称其为传递矩阵(或称信道矩阵)P，即 3．无噪(无干扰信道) 若离散信道[X，P(y|x)，Y]满足信道容量
信息量及信道容量的计算
MIMO信道容量计算.docx
信息论与编码[第三章离散信道及其信道容量]山东大学期末考试知识点复习