稍复杂的方程三
《稍复杂的方程三》导学单
班级：五年级姓名：小组：
学习目标：
1、理解实际问题中有关和、差、倍的数量关系，初步学会设一个未知数，列方程解答含有两个未知数的实际问题。
2、正确寻找等量关系列方程。
3、养成认真检验的良好习惯。
学习重点：学会解答含有两个未知数的实际问题。
学习难点：正确寻找等量关系列方程。
课时安排：2课时
学习过程：
〖自主学习〗
【学法指导】请同学们题自学课本第70页，独立思考完成自主学习任务，并把自己遇到的或生成的问题记下来。你们可要动脑筋，多思考哦！
一、轻松准备：
1、1.8a+0.5a= 105x+13x= c-0.3c=
8x-0.25x= 0.6x-0.13x= b+0.75b=
你运用了什么运算定律：
2、学校书法组有女同学x人，男同学人数是女同学的2.5倍。男同学有（）人，一共有（）人，男同学比女同学多（）。
3、学校科技组的男同学是女同学的3倍。设女同学有x人，男同学有（）人;设男同学x人，女同学有（）人。
二、自主预习：自学课本P70例3题
1、画出例3的线段图。
2、题中有几个未知量？设谁为x更合适？为什么？
3、问题中包含怎样的等量关系？
（）×2.4=（）
（） + （） =（）
小组长评价：学科长评价：教师评价（抽查）：
〖合作探究〗
【学法指导】请同学们在预习的基础上，小组讨论交流下面的问题；小组长负责组织讨论后派出代表，进行全班交流展示。看谁最棒哟！
1、列方程解决例3题。
2、完成例3中求海洋面积部分。
3、解方程：
5x+x=30 x+4x=25 8x-x=49 7x-x=36
4、故事书和科技书共40本，其中故事书是科技书的1.5倍。两种书各有几本？
小组评价：
〖达标检测〗
【学法指导】请同学们独立完成下面的习题。老师相信你们是很棒的！相信自己，加油！
1、解下列方程。
x-0.38x=1.24 7.8x-2.4x=1.08 8x+2x=31.4
2、商店运来苹果和梨共40筐，其中苹果的筐数是梨的3倍，苹果和梨各多少筐？
3、今年小明妈妈的年龄是小明的4倍，小明妈妈比小明大24岁，小明和妈妈各多少岁？
4、完成《课堂练习册》相关习题。
小组评价：教师评价：【课后反思】
数学必修2 直线与方程典型 例题
第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1．1 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 1.直线的倾斜角： 2.直线的斜率： 3.直线的斜率公式： 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角 例 1 已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（）. A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 变式训练： 设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕原点沿逆时针方向旋转45°， 得到直线，则的倾斜角为（）。 A. B. C. D. 当0°≤α＜135°时为，当135°≤α＜180°时，为 题型二求直线的斜率 例2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练：已知过两点, 的直线l的倾斜角为45°，求实数的值. 题型三直线的倾斜角与斜率的关系 例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）. A .k1＜k2＜k3 B. k3＜k1＜k2 C. k3＜k2＜k1 D. k1＜k3＜k2
拓展一三点共线问题 例4 已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值． 变式训练: 若三点P（2，3），Q（3，），R(4，)共线，那么下列成立的是（）. A． B． C． D． 拓展二与参数有关问题 例 5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围. 变式训练： 已知两点，直线过定点且与线段AB相交，求直线的斜率的取值范围.
拓展三利用斜率求最值 例 6 已知实数、满足当2≤≤3时，求的最大值与最小值。 变式训练：利用斜率公式证明不等式：且 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】 1.直线平行的判定 2.两条直线垂直的判定（注意垂直与x轴和y轴的两直线）： 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例 1 已知直线经过点M（-3，0）、N（-15，-6），经过点R（-2，）、S（0，），试判断与是否平行？ 变式训练：经过点和的直线平行于斜率等于1的直线，则的值是（）. A．4 B．1 C．1或3 D．1或4
解决稍复杂的方程问题
解决稍复杂的方程问题 【教学目标】 1．学会列方程解应用题的思路与解题步骤，知道列方程解应用题的关键是找应用题中相等的数量关系，能正确地列方程解比较容易的两步应用题。 2．引导学生能根据解题过程总结列方程解应用题的一般步骤，能独立用列方程的方法解答此类应用题。 3．培养学生用不同的方法解决问题的思维方式，渗透在多种方法中选择最简单的方法解决问题。 【教学重点】列方程解应用题的方法步骤。根据题意分析数量间的相等关系。 【教学过程】 一、复习 1．口头解下列方程（卡片出示） x－35＝40 x－5×7＝40 15x－35＝40 20－4x＝10 2．列出方程，并求出方程的解。 （1）比x少12的数是28，这个数是多少? （2）一个数除以4等于3.2，求这个数。 （3）商店原有一些饺子粉，卖出 35千克以后，还剩 40千克。这个商店原来有饺子粉多少千克? ①读题，理解题意。 ②引导学生用学过的方法解答。 ③要求用两种方法解答。 ④集体订正： 解法一：35+40＝75(千克) 解法二：设原来有x千克饺子粉。 x－35＝40 x＝40+35 x＝75 二、探究新知 1．出示例1：出示场景图，足球上黑色皮都是五边形的，白色皮都是六边形的，白色皮共有20块，比黑色皮的2倍少4块，你知道共有多少块黑色皮吗？
（1）场景中这几位同学在谈论什么？你能根据他们的对话知道什么信息？ （2）引导学生知道：已知条件和所求问题；根据题意你可以列出什么算式？ 你能用方程来求解吗？启发学生把已知条件在关系式下面注出来。然后引导学生说出要求的问题用x表示即设未知数，教师说明怎样设未知数。 （3）师：我们可以将黑色皮的块数设成未知数x，这样白色皮就应该是2x－4，它和20有什么关系？（相等）这样，我们可以列出方程，你能写出这个方程吗？引导学生根据等量关系式列出方程。 （4）等号左边表示什么？等号右边表示什么？你会解这个方程吗？ （5）你能用书上讲的检验方法检验吗？引导学生自己检验，之后请几位学生汇报结果。写上答，强调解题格式。 小结：列方程解应用题的关键是什么？（关键是找出应用题中相等的数量关系） 2．师：奥运会在北京召开了，北京有天安门、有故宫，你知道天安门广场有多大吗？ 教师出示场景图：故宫的面积是72万平方米，比天安门广场的面积的2倍少16万平方米。你能算出天安门广场的面积是多少万平方米吗？
稍复杂的方程
“稍复杂的方程（二）”教学设计 教学内容：教科书第69页例2 教学目标：1、结合具体的情境使学生掌握根据两积之和的数量关系列方程，会把小括号内的式子看做一个整体求解的思路和方法。 2、使学生通过学习两积之和的数量关系，来理解两积之差、两商之差的数量关系，培养举一反三的能力。 3、让学生经历多样化的过程，利用迁移类推的方法解决问题的过程中体会数学和现实生活的密切联系。 教学重点；分析数量关系 教学难点：列方程和解方程 教具准备：课件 教学过程： 一、谈话导入 师：上星期许老师的学校举行了运动会，你觉得作为班主任我要为运动员和拉拉队同学准备些什么？（生自由发言） 二、探究新知 1、复习两积之和的应用题 师：为了给运动员加油助威，我们班级买了鼓掌板和拉拉球，出示题目： 为了给运动员加油助威，我们班级买了10个鼓掌板和20个拉拉球，已知每个鼓掌板4.2元，每个拉拉球2.5元，一共花了多少元？ 师：你能独立解决这个题目吗？（学生完成在练习本上） 反馈（实物投影） 师：说说你是怎么想的？（要求学生说书数量关系） 2、教学例2 师：运动员比赛很辛苦，所以许老师给他们买了些水果（出示图片） 师：从图片中你得到了什么信息？（苹果和梨各买了2千克，共花了10.4元，已知梨每千克
2.8元） 师：你能提出什么数学问题？（香蕉每千克多少元） 师：能独立解决这个问题吗？ 反馈：方法一：2.8×2=5.6元 10.4－5.6=4.8元 4.8÷2=2.4元 师：请学生说一说每一步所表示的意思。 师：这边两位同学都是用方程来解决的，今天这节课我们就重点研究“用方程解决问题”（板书）。 方法二：解：设苹果每千克x元。 2x＋2.8×2=10.4 2x＋5.6=4.8 2x＋5.6－5.6=13.2－5.6 2x=4.8 2x÷2=4.8÷2 x=2.4 师：你能说说2x表示什么意思吗？ 2.8×2又表示什么意思？相加呢？ 师：你用的是怎样的数量的关系？（梨的总价＋香蕉的总价=总钱数） 师：那这个方程该怎么解呢？（把2.8×2先算出来，把2x看作一个整体，转化成我们学过的类型来解） 方法三：解：设苹果每千克x元。 （2．8+ x）×2=10.4 师：你为什么要这么列方程？用的又是哪个数量关系呢？（两个水果的单价总和×数量=总价） 师：谁听明白他的想法？ 师：那这个方程和前面的方程有什么不同呢？（有小括号）
直线与方程(经典例题)
直线与方程 知识点复习： 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180,90∈α时，0 第6课时稍复杂的方程(1) 不夯实基础，难建成高楼。 1. 解方程。 (1)5x＋2x＝56 (2)16＋2x＝48 (3)8×(5－x)＝28.8 (4)3x＋2x＋8＝38 看图列方程并解答。 （1） （2） 3. 列出方程，并求方程的解。 (1)一个数的3倍与5.4的和等于6.6，求这个数。 (2)一个数的5倍比9.8大4.7，这个数是多少？ 4. 一块三角形地的面积是840平方米，底是140米，高是多少米？(用方程解。) 重点难点，一网打尽。 5. 解方程。 (1)6x－0.9＝4.5 (2)3.6x－x＝3.25 (3)2(x－3)＝5.8 (4)13.2x－9x＝26.46(写出检验过程。) 6. 李师傅买来72米布，正好做20件大人衣服和16件儿童衣服。每件大人衣服用布2.4米，每件儿童衣服用布多少米？(用方程解。) 7. 为庆祝教师节，学校今年购回鲜花240盆，比去年的5倍少10盆，去年教师节购回鲜花多少盆？(用方程解。) 8. 有一根绳子长120米，用来做一些跳绳，每根跳绳长2.2米，做完跳绳后还剩32米，做了多少根跳绳？(用算术和方程两种方法解。) 算术解法： 方程解法： 举一反三，应用创新，方能一显身手！ 9. 同学们去春游，上午8点出发，每小时走5千米，到目的地后休息了2小时，按原路返回，每小时走3千米，到学校时已是下午2点，学校到目的地有多远？（列方程解。） 第6课时 1. (1)x＝8 (2)x＝16 (3)＝1.4 (4)x＝6 2.（1）3x+30=180 x=50 (2)3x+15=75 x=20 3. (1)3x＋5.4＝6.6 x＝0.4 (2)5x－9.8＝ 4.7 x＝2.9 4. 12米 5. (1)x＝0.9 (2)x＝1.25 (3)x＝5.9 (4)x＝ 6.3 6. 1.5米 7. 50盆 8. 40根 9. 7.5千米 考点1：倾斜角与斜率 （一）直线的倾斜角 例1例1. 若θ为三角形中最大内角，则直线0tan :=++m y x l θ的倾斜角的范围是（ ） A.??? ?????? ??32,22,0πππ B.??? ?????? ??32223ππππ，， C.??? ?????? ??πππ，，330 D.?? ? ?????? ??πππ，，3220 2 若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．,63ππ?????? B ．,62ππ?? ??? C ．,32ππ?? ??? D ．,62ππ?????? （二）直线的斜率及应用 3、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 例2、设,,a b c 是互不相等的三个实数，如果333(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上，求证：0a b c ++= 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为（） A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 3．已知直线l 则直线的倾斜角为（ ） A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 4．若三点P （2，3），Q （3，a ），R (4，b )共线，那么下列成立的是（ ）. A ．4,5a b == B ．1b a -= C ．23a b -= D ．23a b -= 5．右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）. A .k 1＜k 2＜k 3 B. k 3＜k 1＜k 2 C. k 3＜k 2＜k 1 D. k 1＜k 3＜k 2 6．已知两点A (x ，－2)，B (3，0)，并且直线AB 的斜率为2，则x ＝ . 7．若A (1，2)，B (-2，3)，C (4，y )在同一条直线上，则y 的值是 . 8．已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围. 9、直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________． 考点2：求直线的方程 例3. 已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程； (2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 1、求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。 2、设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是（ ）A. x ＋y －5＝0 B. 2x －y －1＝0 C. 2y －x －4＝0 D. 2x ＋y －7＝0 3、直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则该直线方程为________． 4、过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为_____________． 5、已知点A (2，－3)是直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0与直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点，则经过两个不同点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x －3y ＋1＝0 B ．3x －2y ＋1＝0 C ．2x －3y －1＝0 D ．3x －2y －1＝0 6、.过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)的距离相等的直线方程是( ) A ．y ＝1 B ．2x ＋y －1＝0 C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0 D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0 7.如图，过点P （2，1）作直线l ，分别为交x 、y 轴正半轴于A 、B 两点。（1）当⊿AOB 解稍复杂方程的教案 执教老师：胡秀荣 一、教学内容： 人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》五年级上册69页的内容 【本节课设计简析：解方程的内容先学习完了，本节课只是落实列方程解应用题，让学生进一步熟悉列方程解应用题的结构，掌握列方程解含两积之和数量关系的实际问题。】 二、教学目标： （一）知识目标： 1、通过联系熟悉的购买水果的生活情境，引导学生对生活中的问题进行探讨和研究，学会用方程的思维解决问题。 2、借助找关键句或关键词、画线段图或示意图等方法，引导学生正确找出题中的等量关系，列出方程。 3、感受列方程解题与日常生活的密切联系。 （二）能力目标： 1、通过小组合作学习活动，培养学生的合作意识和语言表达能力。 2、培养学生的观察、分析能力以及用方程思维解决问题的能力。 （三）情感目标： 1、使学生在讨论、交流的学习过程中获得积极的情感体验，探索意识、创新意识得到有效发展。 2、在分析应用题的过程中，培养学生勇于探索、自主学习的精神。感知数学与生活问题的密切联系，获得运用知识解决问题的成功体验。 三、教学重难点： 能正确找出题中的等量关系，列出方程解决问题。 四、教具准备：小研究（自学卷）、画图用的尺子 五、教学过程： （一）激发兴趣，自然引入 1、课前互动，轻松谈话 师：今天，有那么多老师和我们班的同学一起上课，让我们用最热烈的掌声欢迎他们。（掌声）看到那么多的老师，你们心情怎样？ 生：兴奋、激动、紧张。 师：老师也一样很紧张。要不我提议：让我们用掌声为自己打打气、加加油，告诉自己，我是最棒的！（掌声）好，现在不紧张了。我们可以上课了吧！ 2、创设情境，导入新课 让学生回忆购买水果的生活情境，问：同学们有没有买过水果？在购买水果的过程中，会出现什么数学问题？（生答） 师：这不，家里来客人了，于是“妈妈买了2千克苹果和2千克梨子，已知梨子每千克2.8元，苹果每千克2.4元，妈妈一共要付出多少元？” （请同学们帮忙算一算，说出数量关系并列出算式解答） 生：我的列式是：2.4×2 + 2.8×2 = 10.4 师：能不能说说本题的数量关系？ 生补充：苹果的总价+ 梨子的总价= 总钱数 师：很棒。还有不同的方法吗？ 生：我的列式是：（2.4+2.8）×2 = 10.4 师：能补充说说数量关系吗？ 生：我找的数量关系是：（苹果的单价+ 梨子的单价）×2 = 总钱数，请问我说对了吗？ （其他同学均用掌声表示赞同） 师：，好！今天，我们就在这个基础上，研究用方程的方法来解决购买水果的实际问题。 （二）积极探索，合作交流 《稍复杂的方程三》导学单 班级：五年级姓名：小组： 学习目标： 1、理解实际问题中有关和、差、倍的数量关系，初步学会设一个未知数，列方程解答含有两个未知数的实际问题。 2、正确寻找等量关系列方程。 3、养成认真检验的良好习惯。 学习重点：学会解答含有两个未知数的实际问题。 学习难点：正确寻找等量关系列方程。 课时安排：2课时 学习过程： 〖自主学习〗 【学法指导】请同学们题自学课本第70页，独立思考完成自主学习任务，并把自己遇到的或生成的问题记下来。你们可要动脑筋，多思考哦！ 一、轻松准备： 1、1.8a+0.5a= 105x+13x= c-0.3c= 8x-0.25x= 0.6x-0.13x= b+0.75b= 你运用了什么运算定律： 2、学校书法组有女同学x人，男同学人数是女同学的2.5倍。男同学有（）人，一共有（）人，男同学比女同学多（）。 3、学校科技组的男同学是女同学的3倍。设女同学有x人，男同学有（）人;设男同学x人，女同学有（）人。 二、自主预习：自学课本P70例3题 1、画出例3的线段图。 2、题中有几个未知量？设谁为x更合适？为什么？ 3、问题中包含怎样的等量关系？ （）×2.4=（） （） + （） =（） 小组长评价：学科长评价：教师评价（抽查）： 〖合作探究〗 【学法指导】请同学们在预习的基础上，小组讨论交流下面的问题；小组长负责组织讨论后派出代表，进行全班交流展示。看谁最棒哟！ 1、列方程解决例3题。 2、完成例3中求海洋面积部分。 3、解方程： 5x+x=30 x+4x=25 8x-x=49 7x-x=36 4、故事书和科技书共40本，其中故事书是科技书的1.5倍。两种书各有几本？ 小组评价： 〖达标检测〗 【学法指导】请同学们独立完成下面的习题。老师相信你们是很棒的！相信自己，加油！ 1、解下列方程。 x-0.38x=1.24 7.8x-2.4x=1.08 8x+2x=31.4 2、商店运来苹果和梨共40筐，其中苹果的筐数是梨的3倍，苹果和梨各多少筐？ 3、今年小明妈妈的年龄是小明的4倍，小明妈妈比小明大24岁，小明和妈妈各多少岁？ 4、完成《课堂练习册》相关习题。 小组评价：教师评价：【课后反思】 第三章直线与方程 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角与斜率 设直线I斜率为k且1 3.1.2两条直线平行与垂直的判定 【 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例1 已知直线l i 经过点M (-3, 0)、N (-15,-6), 12 经过点R (-2, - )、S (0, 2 5)，试判断^与12是否平行？ 2 变式训练：经过点P( 2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，贝U m的值是(). A . 4 B. 1 C. 1 或3 D. 1 或4 题型二两条直线垂直关系 例2已知ABC的顶点B(2,1), C( 6,3)，其垂心为H( 3,2)，求顶点A的坐标. 变式训练：(1) h的倾斜角为45 ° 12经过点P (-2，-1 )、Q (3，-6)，问h与12是否垂直？ (2)直线11,12的斜率是方程x2 3x 1 0的两根，则h与12的位置关系是—. 题型三根据直线的位置关系求参数 例3已知直线h经过点A(3,a)、B (a-2,-3)，直线S经过点C (2，3)、D (-1，a-2) (1)如果I1//I2，则求a的值；(2)如果11丄12，则求a的值 题型四直线平行和垂直的判定综合运用 例4四边形ABCD的顶点为A(2,2 2 2)、B( 2,2)、C(0,2 2.. 2)、D(4,2)，试判断四边形ABCD的形状. 稍复杂的方程（1）第31节 学习过程：教学内容：教材P67～68例1、例2、例3及练习十五第1、2、7题。教学目标： 知识与技能：使学生初步理解“方程的解”与“解方程”的含义以及“方程的解”和“解方程”之间的联系和区别。 过程与方法：利用等式的性质解简易方程。 情感、态度与价值观：关注由具体到一般的抽象概括过程，培养学生的代数思想。 教学重点：理解“方程的解”和“解方程”之间的联系和区别。 教学难点：理解形如a±x =b的方程原理，掌握正确的解方程格式及检验方法。教学方法：创设情境;观察、猜想、验证. 教学准备：多媒体。 教学过程 一、出示课题，揭示目标： 今天，我们这节课来一起学习稍复杂的方程。（板书课题）出示学习目标，学生齐读。 二、出示学习指导： 认真看书上的65页的内容。 思考： 1、题中的等量关系是什么呢？ 白皮块数与黑皮块数之间是一个什么样的关系呢？ 2、怎样根据关系式列方程呢？怎样解答？ 3.解复杂方程的基本步骤： 三、学生自学： 学生认真看书自学，独立完成66页1、2题。指名两名学生来黑板上做，发现错误的同学可以上来改正。 四、后教： 黑皮块数×2－4=20 黑皮块数×2－20=4 ①找出题中选题关系；②写出“解、设”； ③列方程、解方程；④检验； 五、课堂练习： ①母鸡有30只,比公鸡的2倍少6只。公鸡有几只？ ②甲数是17，比乙数的2倍多5。乙数是多少？ 六、课堂小结。师：这节课你学会了什么知识？有哪些收获？ 引导总结：1．解方程时是根据等式的性质来解。2．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。3．求方程解的过程叫做解方程。 作业：教材第70～71页练习十五第1、2、7题。 板书设计： 解方程（1） 例1：例2：例3： x -3＝9 方程左边=x ＋3 3x ＝18 20 - x ＝9 x +3-3＝9-3 =6＋3 3x ÷3＝18÷3 20- x + x ＝9+x x ＝6 =9 x＝6 20＝9+x =方程右边 9+x ＝20 所以，x =6是方程的解 9+x -9＝20-9 x ＝ll 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程解的过程叫做解方程。 直线的倾斜角和斜率 3.1倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有L 1∥L 2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 基础卷 一．选择题： 1．下列命题中，正确的命题是 （A ）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α （B ）直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α （C ）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率 （D ）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π 2．直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率为 （A ）3 （B ）－3 （C ）33 （D ）－3 3 3．直线y =x cos α+1 (α∈R )的倾斜角的取值范围是 （A ）[0, 2π] （B ）[0, π) （C ）[－4π, 6π] （D ）[0, 4π]∪[4 3π,π) 4．若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为 （A ）4π （B ）54π （C ）4π或54 π （D ）－4π 5．已知直线l 的倾斜角为α，若cos α=－5 4，则直线l 的斜率为 稍复杂的方程 简单的实际问题。 2.培养学生抽象概括的水平，发展学生思维灵活性，进一步提升学生的分析水平。 3.学生感受数学与现实生活的联系，培养学生的数学使用意识与规范书写和自觉检验的习惯。 教学重点：掌握解形如ax±b=c方程的解法。 教学难点：准确找出数量间的相等关系，列出方程。 教学过程： 一、复习铺垫： 1、解方程。 X－2.5=10 0. 4X=12 3.2+X=40 2、根据下列句子说出其数量间相等的关系。 1）女生比男生人数的3倍少10人。 2）这个月比上个月水电费的2倍多200元。 二、情景导入： 1、同学们见过足球吧?(出示1个足球)那你们观察过足球上的花纹有什么特点呢? (出示例1)一起观察挂图，问：同学们能从图中获得什么信息？要求什么问题? 2、师：几位同学的观察水平都很强。老师还知道：那款黑白相间的足球是1970年墨西哥世界杯的比赛用球，此后的一系列世界杯用球都是在此基础上加以改进的。 三、探究新知： 1、小组合作探究解决问题的方法： 师：刚才有一位同学想知道黑色皮有多少块，用我们学过的知识怎样解决黑色皮有多少块呢？ 小组讨论，合作交流： （一部分学生用算术的方法解答，在学生讲解题思路时，老师能够用线路图表示；另一部分学生找到题中的等量关系，并依据等量关系式列出方程；还有另外的学生找到另外的等量关系式，列方程。） 师：第一小组的同学用我们前面学过的知识成功的解决了这个问题，在解决问题的过程中，能使用画线段图的方法，协助分析，很善于动脑。其他同学依据不同的数据关系列出较复杂的方程，怎样解答呢？今天我们就来学习“稍复杂的方程”。（板书课题） 2、小组合作探究稍复杂方程的解法： 第三章直线与方程知识点及典型例题 1. 直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率 ① 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用k 表示。即 k=tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 ,α=0°,k = tan0 =0;° 当直线 l 与 x 轴垂直时 ,α= 90k°不,存在 . 当0,90时， k0 ；当90 ,180时， k0；当90 时，k不存在。 例 .如右图，直线l 1的倾斜角 =30°，直线 l1⊥ l 2，求直线 l1和 l2的斜率 . y 解： k1=tan30° =3∵ l1⊥ l2∴ k1· k2 =— 1l 1 3 ∴ k2 =—32x 1 例：直线 x 3 y50 的倾斜角是()o l2 °°°° ②过两点 P1 (x1， y1)、P1(x1，y1) 的直线的斜率公式： k y2y 1 ( x1x 2 ) x2x1 注意下面四点： (1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k与 P1、 P2的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 例 .设直线l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)， 当 (1) l / / l 2(2) l⊥l时分别求出 m 的值 111 ※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。 3. 直线方程 ① 点斜式：y y1k( x x1 )直线斜率k，且过点x1, y1 注意：当直线的斜率为0°时， k=0，直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都 稍复杂的方程练习题班姓名 一、用字母表示数。 1．香蕉重X千克，西瓜的重量是香蕉的5倍，西瓜重（）千克，西瓜比香蕉重（）千克，6X表（） 2．王老师的年龄比小明大b岁小明X岁，王老师是（）岁，如果王老师X岁，那么小明是（）。 3.小明今年a岁，老师今年的年龄是小明的a倍。老师明年（）岁。 4.小红今年a岁，老师今年的年龄比小红大a岁，老师明年（）岁。 5.一辆公共汽车上原有乘客75人，下车x人,又上来28人，现在车上有( )人。 6.一本书共205页，小红看了d页，还有( )页没有看。 7.养鸡场有母鸡x只，小鸡只数是母鸡只数的20倍，一共有鸡( )只。 二、解下列方程。 4x+1.3=36.5 0.3x+2×7=44 19×60-2x=280 96÷6+0.2x=56 三、看图列方程，并求出方程的解 四、列方程解应用题 1．小英有中国邮票46套，比外国邮票的3倍多1套。小英有外国邮票多少套? 2. 甲、乙两地相距798千米，两列火车同时从两地相向开出，6小时相遇。已知一列火车每小时行驶62千米，另一列火车每小时行驶多少千米? 3．水果店运进菠萝250千克，比苹果重量的2倍少10千克，运进苹果多少千克? 4．3支钢笔比5支圆珠笔贵5.9元，每支钢笔4.8元，每支圆珠笔多少元? 5．师徒两人共同制作800件玩具，已知师傅制作的数量是徒弟的1.5倍。师徒两人各制作玩具多少件？ 6．果园里桃树棵数是梨树的2.5倍，桃树比梨树多75棵，桃树和梨树各有多少棵？ 7．有两筐苹果，第一筐25千克，第二筐29千克，第一筐比第二筐少卖12.8元，每千克苹果多少元？ 8．一只河马的体重3800千克，比一头水牛的体重的9倍多200千克。一头水牛的体重多少千克？ 9．养鸡场养公鸡和母鸡共1050只，母鸡的只数是公鸡的20倍，公鸡和母鸡各有多少只？ 10．现有大和尚和小和尚共101人，大和尚一人吃两个馒头，小和尚两人吃一个馒头，共吃了187个馒头，大小和尚各几个人？ 11．学校买回12个篮球和15个排球，买排球比买篮球多用了127.5元。每个排球76.5元，每个篮球多少元？ 12．有两桶油，第一桶油是第二桶油的1.5倍，如果从第一桶油中倒入第二桶4千克，两桶油相等，两桶油原来各有多少千克？ 课题八稍复杂的方程（三） 授课时间：年月日 授课班级：五年级班 教学内容：教材70页的例3及相关的练习。 教材分析： 本节课是在学生已经掌握了列方程解只有一个未知数的应用题 的基础上展开教学的，本课的重点是用方程解答“和倍”、“差倍”应用题，由于跟生活紧密联系，学生比较有兴趣。 学情分析： 教学目标： 知识与技能：解决实际问题中的有关和、差、倍的数量关系。 过程与方法：初步学会设一个未知数，列方程解答含有两个未知数的实际问题。 情感态度与价值观：培养学生学会比较、分析、能应用已学知识解决实际问题的能力。 教学重点：正确设未知数，找出等量关系列方程解决问题。 教学难点：根据两个未知量之间的关系，列方程解答含有两个未知数的实际问题。 教学方法：质疑引导法、讲解法、对比法、分析法、练习法。 课的类型：新授课 教具准备：小黑板。 教学过程： 一、复习引入。（小黑板出示） 1、计算 4x＋5＝54 3×2.1＋2x＝13.4 0.3x÷2＝9 4（x＋8）＝20 2、学校科技小组的男生是女生人数的4倍，设女生有x人，男生有（）人，男女生共有（）人。 3、学校图书组有女生x人，男生为女生的2.5倍，男生有（）人，男女同学共（）人。 二、新授课 教学教科书第70页的例3。 1、分析题目的已知条件和问题。 2、分析本题的数量关系。 请学生说出数量关系，教师板书。 陆地面积+ 海洋面积= 地球表面积 教师：这道题目中有两个未知数，而这两个未知数之间存在着倍数关系。我们在解题时，只要设其中的一个未知数为x，而另一个未知数就可以用这个未知数来表示，为了解方程方便，通常情况下，设一倍数为x。 3、列方程解应用题,师并板书。 解：设陆地面积为x亿平方千米，海洋面积就为2.4x亿平方千米x + 2.4x = 5.1 （1 + 2.4）x = 5.1 3.4x = 5.1 3.4x÷3.4 = 5.1÷3.4 x=1.5 提问：1.5表示什么？（1.5表示陆地面积是1.5亿平方千米） 那海洋面积该怎样求呢？ 一种：5.1－1.5＝3.6（亿平方千米） 另一种：2.4 x＝2.4×1.5＝3.6（亿平方千米） 答：陆地面积是1.5亿平方千米，海洋面积是3.6亿平方千米。 引导学生进行计算检验。 三、巩固练习 1、练习13 （4、6、7题用方程解）学生独立完成，教师评讲 2、练习十三（5 —10题） 四、作业设计 1、甲乙两堆货物共重60吨，乙的重量甲的3倍，甲乙两堆货物各种多少吨？ 2、苹果重量是梨子重量的4倍，梨子比苹果少600千克，梨子和苹果各重多少千克？ 五、小结全课： 今天你学了什么？有什么收获？（小组同学相互交流） 一、选择题： 1．直线 x- 3 y+6=0 的倾斜角是（ ） A 60 B 120 C 30 0 D 150 2. 经过点 A(-1,4), 且在 x 轴上的截距为 3 的直线方程是（ ） A x+y+3=0 B x-y+3=0 C x+y-3=0 D x+y-5=0 3．直线 (2m 2+m-3)x+(m 2 -m)y=4m-1 与直线 2x-3y=5 平行，则的值为（ ） A- 3 或1 B1 C- 9 D - 9 或 1 2 8 8 4．直线 ax+(1-a)y=3 与直线 (a-1)x+(2a+3)y=2 互相垂直，则 a 的值为（ ） A -3 B 1 C 0 3 D 1 或-3 或- 2 5．圆（ x-3 ） 2+(y+4) 2 =2 关于直线 x+y=0 对称的圆的方程是（ ） A. (x+3) 2 +(y-4) 2 =2 B. (x-4) 2 +(y+3) 2=2 C .(x+4) 2 +(y-3) 2=2 D. (x-3) 2 +(y-4) 2=2 6、若实数 x 、y 满足 ( x 2) 2 y 2 3，则 y 的最大值为（ ） x A. 3 B. 3 C. 3 3 D. 3 3 7．圆 (x 1) 2 ( y 3) 2 1 的切线方程中有一个是 A ． x －y ＝0 B ．x ＋ y ＝0 C ．x ＝0 D ． y ＝0 8．若直线 ax 2 y 1 0 与直线 x y 2 0 互相垂直，那么 a 的值等于 A ． 1 B ． 1 C 2 D ． 2 3 ． 3 9．设直线过点 (0, a), 其斜率为 1，且与圆 x 2 y 2 2 相切，则 a 的值为 （ ） Ａ． 4 Ｂ． 2 2 Ｃ． 2 Ｄ． 2 10． 如果直线 l 1 ,l 2 的斜率分别为二次方程 x 2 4x 1 0 的两个根，那么 l 1 与 l 2 的夹角为（ A ． B ． 4 C ． D ． 3 6 8 11．已知 M {( x, y) | y 9 x 2 , y 0}， N {( x, y) | y x b} ，若 M I N b A ．[ 3 2,3 2] B ． ( 3 2,3 2) （ ） （ ） ） ，则 （ ） C ． ( 3,3 2] D ． [ 3,3 2] 解稍复杂的方程 【基础知识】 方程的概念：含有未知数的等式。 等式的两个性质： （1）等式的两边同时加上或者减去相同的数，等式依然成立。 （2）等式的两边同时乘以或者除以相同的数（0除外），等式依然成立。例一：解方程 （1）3.08+9x=4.52 （2）3.7x÷0.3=1.48 小试牛刀：（1）6.3x—4.8x=4.5 (2)x—（7.6—0.4）=5.4 例二：解方程。 （1）3x+4=2x+8 （2）（8x+3x）÷2=33 小试牛刀： （1）4x—3+3x=6x—2 （2）6（x—3.5）=17.8+2x 例三：解方程。 （1）7（x+2）—4（x—1）+2（3x—1）=27 (2)x+3x+5x+7x+9x+……+99x=250 小试牛刀： （1）（x+0.9）+(x+0.09)+(x+0.009)+(x+0.0009)+(x+0.00009)=5.99999 (2)15(4x—8)—5（2x+10）=6（5x—20） 回家作业： 1、三个连续自然数的和是a，最大的一个数是（）；若三个连续奇数的和是a，那么最 小的一个数是（）。 2、用a和b的和去除它们的差，算式是（）。 3、用方程解文字题： （1）甲数是乙数的3倍多2，它们的差是28.4，求甲、乙两数。 （2）32比一个数的1.6倍少8，求这个数。 （3）某数减去5的差乘以4得80，求这个数。 （4）已知华氏温度和摄氏度之间关系为：华氏温度=摄氏温度×1.8+32. 当华氏温度为80.6℉时，相当于多少度？ 4、应用题： （1）一桶油连桶重22.5千克，先倒出油的一半，再倒出余下油的一半，这时候 连桶重还有7.5千克，求油和桶的重量分别是多少？ （2）全班同学到公园去划船，如果一条船坐5人，就有3人没有上船；如果一条 船坐6人，有一条船多出5个座位。问：租了几条船，全班共有多少人？ 直线与方程经典例题 【考点指要】 关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，两点间距离公式，点到直线的距离公式，夹角与到角公式，两直线的垂直、平行关系等知识的试题，都属于基本要求。解决问题的基本方法和途径：数形结合法、分类讨论法、待定系数法。 【综合例题分析】 例1. 已知圆2 2 440x x y --+=的圆心是P ，则点P 到直线10x y --=的距离是 __________。 答案： 22 解析：由题意圆的方程22 440x x y --+=可化为() 2 228x y -+=∴圆心()2,0P ，代入点到直线距离公式得2 2)1(1| 1-(-1)012|d 2 2=-+?+?= 例2.若曲线2 1y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则k b 、分别应满足的条件是____________。 答案：k=0且-14.6稍复杂的方程(1)·2012数学青岛六三版五上-步步为营
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