概率论与数理统计练习题集及答案
概率论与数理统计练习题集及答案
一、选择题：
1．某人射击三次，以i A 表示事件“第i 次击中目标”，则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为（ ）
（A ）321A A A ++ （B ）323121A A A A A A ++ （C ）321321321A A A A A A A A A ++ （D ）321A A A
2．掷两颗均匀的骰子，它们出现的点数之和等于8的概率为（ ） （A ）
365 （B ）364 （C ）363 （D ）36
2
3．设随机事件A 与B 互不相容，且0)(,0)(>>B P A P ，则（ ）
（A ）)(1)(B P A P -= （B ）)()()(B P A P AB P = （C ）1)(=+B A P （D ）1)(=AB P
4．随机变量X 的概率密度为???<≥=-00
)(2x x ce x f x ，则=EX （ ）
（A ）21
（B ）1 （C ）2 （D ）4
1 5．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是（ ）
（A ）+∞<<∞-+=x x x F ,11)(2
1 （B ）?????≤>+=0
001)(2
x x x x x F
（C ）+∞<<∞-=-x e x F x ,)(3 （D ）
+∞<<∞-+=x x x F ,arctan 21
43)(4π
6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 2-=，则Y 的概率密度
)(y f Y 为（ ）
（A ）)2(2y f X - （B ）)2(y f X - （C ）)2
(21y f X -- （D ）)2
(2
1y f X -
7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表
h
g
p f
e d x c b a x p y y y X Y Y j
X
i 61818121321，且X 与Y 相互独立，则=h （ ） （A ）81
（B ）8
3 （C ）4
1 （D ）3
1 8．设随机变量]5,1[~U X ，随机变量)4,2(~N Y ，且X 与Y 相互独立，则=-)2(Y XY E （ ）
（A ）3 （B ）6 （C ）10 （D ）12
9．设X 与Y 为任意二个随机变量，方差均存在且为正，若
EY EX EXY ?=，则下列结论不正确的是（ ）
（A ）X 与Y 相互独立 （B ）X 与Y 不相关 （C ）0),cov(=Y X （D ）DY DX Y X D +=+)(
答案：
1. B
2. A
3.D
4.A
5.B
6. D
7. D
8. C
9. A
1．某人射击三次，以i A 表示事件“第i 次击中目标”，则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为（ C ） （A ）321A A A ++ （B ）323121A A A A A A ++
（C ）321321321A A A A A A A A A ++ （D ）321A A A
2．将两封信随机地投入4个邮筒中，则未向前两个邮筒中投信的概率为（ A ）
（A ）2242 （B ）24
1
2
C C （C ）24!2A （
D ）!4!2
3．设随机事件A 与B 互不相容，且0)(,0)(>>B P A P ，则（ D ） （A ）)()|(A P B A P = （B ）)()()(B P A P AB P = （C ）)
()
()|(B P A P B A P = （D ）0)|(=B A P
4．随机变量X 的概率密度为??
?∈=其他
),0(2)(a x x x f ，则=EX （ A ）
（A ）3
2
（B ）1 （C ）3
8 （D ）
3
16 5．随机变量X 的分布函数??
?≤>+-=-0
0)1()(x x e x A x F x
，则=A （ B ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 3-=，则Y 的概率密度
)(y f Y 为（ D ）
（A ）)3(3y f X - （B ）)3(y f X - （C ）)3(31y f X -- （D ）)3
(31y f X - 7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表
h
g
p f e d x c b a x p y y y X Y Y j
X
i 61818121321，且X 与Y 相互独立，则=e （ B ） （A ）8
1
（B ）4
1 （C ）8
3 （D ）3
1 8．设随机变量Y X ,相互独立，且)5.0,16(~b X ，Y 服从参数为9的泊
松分布，则=+-)12(Y X D （ C ）
（A ）-14 （B ）13 （C ）40 （D ）41 9．设),(Y X 为二维随机向量，则X 与Y 不相关的充分必要条件是（ D ） （A ）X 与Y 相互独立 （B ）EY EX Y X E +=+)( （C ）DY DX DXY ?= （D ）EY EX EXY ?= 一、填空题
1.设A ,B 是两个随机事件，5.0)(=A P ，8.0)(=+B A P ，)1(若A 与B 互不相容，则)(B P = ；)2(若A 与B 相互独立，则
)(B P = .
2.一袋中装有10个球，其中4个黑球，6个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）.已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的仍是黑球的概率为 .
3.设离散型随机变量X 的概率分布为}{k a k X P 3==，Λ,2,1=k ，则常数=a .
4.设随机变量X 的分布函数为
??
?
??>≤≤<=2,120,0,0)(2x x ax x x F
则常数=a ，}31{< 则)33(2+X E = . 6.如果随机变量X 服从],[b a 上的均匀分布，且3)(=X E ，3 4 )(=X D ， 则a = ，b = . 7.设随机变量X ，Y 相互独立，且都服从参数为6.0的10-分布，则 }{Y X P == . 8.设X ，Y 是两个随机变量，2)(=X E ，20)(2=X E ， 3)(=Y E ， 34)(2=Y E ，5.0=XY ρ，则)(Y X D - = . 答案： 1. 3.0，6.0 2. 3 1 3. 41 4.41，43 5. 5.4 6. 1，5 7. 0.52 8. 21 1.设A ,B 是两个随机事件，3.0)(=A P ，)()(B A P AB P =，则 )(B P = . 2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码，破译成功的概率依次为0.8，0.7，0.6，则密码能译出的概率为 . 3.设随机变量X 的概率分布为,5,4,3,2,1,15 }{===k k k X P 则 }3 11 23{< ? ?? ? ??? >≤≤<=2 ,120,sin 0,0)(ππx x x x x F ，则 =<}6 {π X P . 5.设随机变量X 服从]3,1[上的均匀分布，则X 1 的数学期望为 . 6.设随机变量21,X X 相互独立，其概率分布分别为 则}{21X X P == . 7.设X ，Y 是两个随机变量，)3,0(~2N X ，)4,1(~2N Y ，X 与Y 相互独立，则~Y X + . 8.设随机变量21,X X 相互独立，且都服从[0,1]上的均匀分布，则=-)3(21X X D . 9.设随机变量X 和Y 的相关系数为5.0，=)(X E 0)(=Y E ， =)(2X E 2)(2=Y E ，则2)(Y X E + = . 答案： 1. 0.7 2. 0.976 3. 3 1 4. 0.5 5. 3ln 21 6. 95 7. )5,1(2N 8. 65 9. 6 二、有三个箱子，第一个箱子中有3个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球. 现随机地 选取一个箱子，再从这个箱子中任取1个球.（1）求取到的是白球的概率；（2）若已知取出的球是白球，求它属于第二个箱子的概率. 解：设事件i A 表示该球取自第i 个箱子)3,2,1(=i ，事件B 表示取到白球. 2411853163314131)|()()(3 1 = ?+?+?==∑=i i i A B P A P B P 114)()|()()()()|(24 116 3 312222=?===B P A B P A P B P B A P B A P 三、某厂现有三部机器在独立地工作，假设每部机器在一天内发生故障的概率都是2.0. 在一天中，若三部机器均无故障，则该厂可获取利润2万元；若只有一部机器发生故障，则该厂仍可获取利润1万元；若有两部或三部机器发生故障，则该厂就要亏损5.0万元. 求该厂一天可获取的平均利润. 设随机变量X 表示该厂一天所获的利润（万元），则X 可能取 5.0,1,2-，且 512.08.0}2{3===X P ， 384.08.02.0}1{213=??==C X P ， 104.0384.0512.01}5.0{=--=-=X P . 所以356.1104.0)5.0(384.01512.02)(=?-+?+?=X E （万元） 四、设随机向量),(Y X 的密度函数为???≤≤≤≤=其它, 01 0,10,4),(y x xy y x f . )1(求}{Y X P <； )2(求Y X ,的边缘密度，并判断X 与Y 的独立性. 解： (1) 5.0)1(24),(}{1 02110=-=== x ； (2) , ,01 0,24),()(, ,01 0,24),()(101 0?? ???≤≤===?? ???≤≤===????∞+∞-∞+∞-其它其它y y xydx dx y x f y f x x xydy dy y x f x f Y X 由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立. 五、设随机变量X 的密度函数为???≤≤=其它 ,01 0,3)(2x x x f X ，求随机变量 12+=X Y 的密度函数. 解法一：Y 的分布函数为 )2 1 (}21{}12{}{)(-=-≤ =≤+=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y ， 两边对y 求导，得 ?? ???≤≤≤-≤-=-=-=其它即,03112 10,)1(83)21( 23)21(21)(2 2y y y y y f y f X Y 解法二：因为12+=x y 是10≤≤x 上单调连续函数，所以 ?? ???≤≤≤-=≤-=?-==其它即,03112 1)(0,)21(2321)21( 3|)(|))(()(2 2y y y h y y dy y dh y h f y f X Y 注：2 1 )(-==y y h x 为12+=x y 的反函数。 二、设甲、乙、丙三人生产同种型号的零件，他们生产的零件数之比为5:3:2. 已知甲、乙、丙三人生产的零件的次品率分别为 %2%,4%,3. 现从三人生产的零件中任取一个. )1(求该零件是次品 的概率；)2(若已知该零件为次品，求它是由甲生产的概率. 解：设事件321,,A A A 分别表示取到的零件由甲、乙、丙生产，事件 B 表示取到的零件是次品. (1) 028.0%210 5 %4103%3102)|()()(3 1 =?+?+?= =∑=i i i A B P A P B P ； (2) 143028.0%32.0)()|()()()()|(1111=?=== B P A B P A P B P B A P B A P . 三、设一袋中有6个球，分别编号1，2，3，4，5，6. 现从中任取2个球，用X 表示取到的两个球的最大编号. )1(求随机变量X 的概率分布；)2(求EX . 解：X 可能取6,5,4,3,2，且 6,5,4,3,2,15 1 1}{2 6=-=-= =k k C k k X P 所以X 的概率分布表为 3 /115/45/115/215/16 5432P X 且3 14 1516 2 =-? =∑=k k k EX . 四、设随机向量),(Y X 的密度函数为???≤≤≤≤=其它, 02 0,10,),(y x x y x f . )1(求}1{≤+Y X P ； )2(求Y X ,的边缘密度，并判断X 与Y 的独立性. 解： (1) 31),(}1{1 2 01 01 ====≤+?????≤+dx x xdy dx dxdy y x f Y X P x y x ； (2) ,,02 0,2 1),()(, ,01 0,2),()(1020?? ??? ≤≤===?? ???≤≤===????∞+∞-∞+∞-其它其它y xdx dx y x f y f x x xdy dy y x f x f Y X 由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立. 五、设随机变量X 服从区间]3,0[上的均匀分布，求随机变量13-=X Y 的密度函数. 解法一：由题意知???≤≤=其它,03 0,3/1)(x x f X . Y 的分布函数为 )3 1 (}31{}13{}{)(+=+≤ =≤-=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y ， 两边对y 求导，得 ??? ??≤≤-≤+≤=+=其它即,08133 10,91 )31(31)(y y y f y f X Y 解法二：因为13-=x y 是30≤≤x 上单调连续函数，所以 ?? ???≤≤-≤+= ≤=?==其它即,081,33 1)(0,91 3131|)(|))(()(y y y h dy y dh y h f y f X Y 注：3 1 )(+==y y h x 为13-=x y 的反函数。 三、 已知一批产品中有90%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.05，一个次品被误判为合格品的概率是0.04．求： （1）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率； （2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率． 解：设=1A “确实为合格品”，=2A “确实为次品”， =B “判为合格品” （1）)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P += 859.004.01.095.09.0=?+?= （2）9953.0) () |()()|(111==B P A B P A P B A P 四、 设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为 ?? ?<<=-其他 0),(y x e y x f y ，求： （1）边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ； （2）判断X 与Y 是否相互独立，并说明理由； （3）}1{<+Y X P ． 解：（1）???≤>=?????≤>==-+∞-∞ +∞ -??000000),()(x x e x x dy e dy y x f x f x x y X ?? ?≤>=?????≤>== --∞ +∞ -?? 00 00 0),()(0y y ye y y dx e dx y x f y f y y y Y （2）)()(),(y f x f y x f Y X ≠Θ ∴ X 与Y 不独立 （3）15.0210 121}1{----+-==<+?? e e dxdy e Y X P x x y 四、 设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为 ?? ?<<>=-其他 1 0,02),(y x ye y x f x ，求： （1）边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ； （2）判断X 与Y 是否相互独立，并说明理由； （3）}{Y X P <． 解：（1）?? ?≤>=?????≤>== --∞ +∞ -??0 00 00 02),()(10x x e x x dy ye dy y x f x f x x X ???<<=?????<<== ?? +∞-∞ +∞ -其他其他01 020 102),()(0y y y dx ye dx y x f y f x Y （2）)()(),(y f x f y x f Y X =Θ ∴ X 与Y 独立 （3）142}{1101 -==<--??e dxdy ye Y X P x x 一、单项选择题 1. 对任何二事件A 和B ，有=-)(B A P （ C ）. A. )()(B P A P - B. )()()(AB P B P A P +- C. )()(AB P A P - D. )()()(AB P B P A P -+ 2. 设A 、B 是两个随机事件，若当B 发生时A 必发生，则一定有（ B ）. A. )()(A P AB P = B. )()(A P B A P =? C. 1)/(=A B P D. )()/(A P B A P = 3. 甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次，命中率分别为0.5,0.8，则目标被击中的概率为（ C ）（甲乙至少有一个击中） A. 0.7 B. 0.8 C. 0.9 D. 0.85 4. 设随机变量X 的概率分布为 则a ，b 可以是（ D ）（归一性）. A. 416 1 = =,b a B. 125121==,b a C. 15 2 121==,b a D. 3 1 41== ,b a 5. 设函数0.5,()0, a x b f x ≤≤?=? ?其它 是某连续型随机变量X 的概率密度，则区间],[b a 可以是（ B ）（归一性）. A. ]1,0[ B. ]2,0[ C. ]2,0[ D. ]2,1[ 6. 设二维随机变量),(Y X 的分布律为 则==}0{XY P ( D ). A. 0.1 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.7 7. 设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则有（ D ）（期望和方差的性质）. A. 12(-X E np 2)= B. 14)12(-=-np X E C. 1)1(4)12(--=-p np X D D. )1(4)12(p np X D -=- 8．已知随机变量(,)X B n p :，且 4.8, 1.92EX DX ==,则,n p 的值为（ A ） A. 8,0.6 n p == B. 6,0.8 n p == C.16,0.3n p == D.12,0.4n p == 9．设随机变量(1,4)X N :，则下式中不成立的是（ B ） A. 1EX = B. 2DX = C. {1}0P X == D. {1}0.5P X ≤= 10. 设X 为随机变量，1,2=-=DX EX ，则)(2X E 的值为（ A ）（方差的计算公式）. A ．5 B. 1- C. 1 D. 3 11. 设随机变量X 的密度函数为?? ?≤≤+=其它, 01 0,)(x b ax x f ，且EX=0， 则（ A ）（归一性和数学期望的定义）. A. 6,4a b =-= B. 1,1a b =-= C. 6,1a b == D. 1,5a b == 12. 设随机变量X 服从参数为0.2的指数分布，则下列各项中正确的是（ A ） A. ()0.2,()0.04E X D X == B. ()5,()25E X D X == C. ()0.2,()4E X D X == D. ()2,()0.25E X D X == 13. 设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则X 与Y 不相关的充分必要条件是（ D ）. A. X 与Y 相互独立 B. ()()()E X Y E X E Y +=+ C. ()()()E XY E X E Y = D. 221212(,)(,,,0)X Y N μμσσ: 二、填空题 1. 已知P （A ）=0.6，P （A-B ）=0.3，且A 与B 独立，则P （B ）= 0.5 . 2. 设B A ,是两个事件，8.0)(,5.0)(=?=B A P A P ，当A, B 互不相容时，P(B)= ___0.3__；当A, B 相互独立时，P(B)=5 3 . 3. 设在试验中事件A 发生的概率为p ，现进行n 次重复独立试验，那么事件A 至少发生一次的概率为1(1)n p --. 4. 一批产品共有8个正品和2个次品，不放回地抽取2次，则第2次才抽得次品的概率P = 8 45 . 5. 随机变量X 的分布函数F (x )是事件 P(X )x ≤ 的概率. 6. 若随机变量X ~ )0)(,(2>σσμN ，则X 的密度函数为 . 7.设随机变量X 服从参数2=θ的指数分布,则X 的密度函数()f x = ； 分布函数F(x)= . 8. 已知随机变量X 只能取-1，0，1，三个值，其相应的概率依次为 125 236,,c c c ，则c = 2 （归一性） . 9. 设随机变量X 的概率密度函数为2,01 ()0, x x f x λ?<<=??其它，则λ＝ 3 （归一性） . 10. 设随机变量X ～2(2,)N σ，且{23}0.3P X <<=，则{1}P X <= 0.2 . 22 2 32 {23}{ } 11()(0)0.3,(0)0.5()=0.82 12 11 {1}{ }=()=1()=0.2 X P X P X P X P σ σ σ σσ σ σ σσ ---<<=< < =Φ-Φ=Φ=∴Φ--<=< Φ--Φ又，， 11. 设随机变量X ～N （1，4），φ（0.5）=0.6915，φ（1.5）=0.9332，则P{|X |﹥2}= 0.3753 . {||>2}1{||2}1{22} 211211 1{}1{1.50.5} 2222 1((0.5)( 1.5)0.9332),( 1.5)0.06680.69150.06680.31(1.5)=1-{||>2}=1((0.5)( 1.5))=751)3 (P X P X P X X X P P P X ==-≤=--≤≤-----=-≤≤=--≤≤=-Φ-Φ-Φ-=-Φ∴-Φ-Φ--=-又 12. 设随机变量X ~ ),(211σμN ，Y ~ ),(222σμN ，且X 与Y 相互独立，则X+Y ~221212(,)N μμσσ++ 分布. 13. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差0DX >都存在，令 DX EX X Y -= ，则____0__=EY ；___1___=DY . 14. 若X 服从区间[0，2]上的均匀分布，则2()E X ＝4/3 . 15. 若X ～(4,0.5)B ，则(23)D X -= 9 . 17. 设随机变量X 的概率密度23,01()0,x x f x ?<<=?? 其它， ()_____E X =,()_____D X =. 18. 设随机变量X 与Y 相互独立，1,3DX DY ==，则 (321)D X Y -+=(3)(2)9()4()D X D Y D X D Y +=+=21 . 三、计算题 1. 设随机变量X 与Y 独立，X ～(1,1)N ，Y ～)2,2(2N ，且0.2XY ρ=,求随机变量函数23Z X Y =-的数学期望与方差. 四、证明题 1. 设随机变量X 服从标准正态分布，即X ～)1,0(N ，2X Y =，证明：Y 的密度函数为 ?? ? ??≤>=-0 ,00,21 )(2y y e y y f y Y π . 五、综合题 1.设二维随机变量（X ，Y ）的联合密度为 ?? ?<<<<=其它 , 01 0,10, 6),(2y x xy y x f ， 求：（1）关于X ，Y 的边缘密度函数；（2）判断X ，Y 是否独立；（3）求{}P X Y >. 概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________. 2011 ~2012 学年第一学期《概率论与数理统计》考试试题A卷班级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： --------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 ----------------------- ---- 线 -------------------------------------------- ----- （答题不能超出密封线） 使用班级（老师填写）：数学09-1,3班可以普通计算器 题号一二三四五六七八九总分得分 阅卷 人 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填 在括号中） （本大题共 11 小题，每小题2分，总计 22 分） 1、设A,B为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是(C ). A.P) B.,其中P(B)>0 C. D. 2、为一列随机事件,且,则下列叙述中错误的是(D ). A.若诸两两互斥,则 B.若诸相互独立,则 C.若诸相互独立,则 D. 3、设有个人,,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均 等的,则此个人中至少有某两个人生日相同的概率为( A ). A. B. C. D. 4、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且则的值为( B ）. A. B. C. D.. 解：由于X服从参数为的泊松分布，故.又故，因此 5、设随机变量X的概率密度函数为的密度函数为(B ). A. B. C. D. 解：这里，处处可导且恒有，其反函数为，直接套用教材64页的公式（5.2），得出Y的密度函数为 6、若,且X,Y相互独立,则( C ). A. B. ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0 （2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?， 第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。 1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。 习题 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1) 掷两颗骰子,观察两颗骰子出现的点数. (2) 从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数. (3) 连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止. (4) 对某工厂出厂的产品进行检查,如连续检查出两个次品,则停止检查,或 检查四个产品就停止检查,记录检查的结果. (5) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标. 解:(1){(,)|1,2,,6,1,2, ,6}i j i j Ω===; (2){|0,1, ,9}i i Ω==; (3)Ω={(正), (反, 正), (反, 反, 正), (反, 反, 反, 正), … }; (4)Ω={(次, 次), (次, 正, 正, 正), (次, 正, 正, 次), (次, 正, 次, 次), (次, 正, 次,正), (正, 次, 次), (正, 次, 正, 正), (正, 次, 正, 次)}; (5)22{(,)|,,1}x y x R y R x y Ω=∈∈+≤. 2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示: (1) A =”出现的点数之和为偶数”. (2) B =”出现的点数之和为奇数, 但没有骰子出现1点”. (3) C =”至少掷出一个2点”. (4) D =”两颗骰子出现的点数相同”. 解: (1) {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),A = {(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}=; (2){(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,3),(6,5)}B =; (3){(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}C =; (4){(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}D =. 3. 设,,A B C 是三个事件,试用,,A B C 来表示下列事件: 一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=< 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? 福州大学概率论与数理统计课后习题答案 高等教育出版社 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数 之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -. 概率论与数理统计 答案 一．1．（D ）、2.（D ）、3.（A ）、4.（C ）、5.（C ） 二．1．0.85、2. n =5、3. 2 ()E ξ=29、4. 0.94、5. 3/4 三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分 （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故 P (A )=5/625=1/125------------------------------------------------------5 分 (2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有 302415=C C 种方法----------------------------------------------------7 分 4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故 125 72625360)(== B P --------------------------------------------------10分 四．解：（1） ?? ∞∞-==+=3 04ln 1,4ln 1)(A A dx x A dx x f ---------------------3分 （2）? ==+=<10 212ln 1)1(A dx x A P ξ-------------------------------6分 （3）3 300()()[ln(1)]1Ax E xf x dx dx A x x x ξ∞-∞= ==-++?? 13(3ln 4)1ln 4ln 4 =-=-------------------------------------10分 五．解：（1）ξ的边缘分布为 ??? ? ??29.032.039.02 1 0--------------------------------2分 η的边缘分布为 ??? ? ??28.034.023.015.05 4 2 1---------------------------4分 因)1()0(05.0)1,0(==≠===ηξηξP P P ,故ξ与η不相互独立-------5分 （2）ξη?的分布列为 概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】概率论与数理统计期末复习资料(学生)
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