自动控制原理第四章

第四章4-1根轨迹的基本概念

4-2 绘制根轨迹的基本原则

4-3 参量根轨迹

第四章 根轨迹法

[教学目的]：理解三大性能分析的出发点，掌握根轨迹法的实质目的，初步理解根轨迹的条件和作图方法。 掌握系统根轨迹所揭示出的系统极零点对系统性质的影响，熟练掌握系统根轨迹图的作图步骤，会根据系统的根轨迹分析系统的性质。 [主要内容]：

一、根轨迹的基本概念 二、系统根轨迹的绘制原则 三、零度根轨迹与参数根轨迹

[重点]：掌握根轨迹的基本概念。根轨迹的定义及根轨迹方程，相角条件和幅值条件。

[难点]：根轨迹的正确绘制。深刻理解开环传递函数零极点与闭环传递函数零极点的关系，根轨迹图上反映出的系统信息。

[讲授技巧及注意事项]：由第三章的内容引出，并紧紧依靠时域分析所建立起来的基本概念，尽可能地用已学过的知识导出新知识。 引言

1.不同研究内容所需的传递函数：

()()()()

()

()1G s C s s R s G s H s Φ==+()()()

()

B s G s H s E s =()()10

G s H s +=闭环传递函数：

()1E s 闭环系统开环传递函数：

特征方程

2.三大性能同各个传递函数的关系

1）稳定性：用特征方程来分析，只与开环传递函数有关；实质上是研究闭环极点的分布。

2）稳态性能：用闭环系统的误差传递函数来研究，也是只于开环传递函数有关；实质上是研究开环传递函数中原点处的极点个数和开环增益。

3）动态性能：用闭环传递函数，这时不但同开环传递函数直接相关，而且也与开环传递函数中的前向通路传递函数相关。研究闭环系统的零极点及闭环增益。

3.分析方法及思路

1）从数学模型的建立看开环传递函数的特点：

物理元件→典型环节→开环结构→闭环结构→系统数学模型

（1）开环结构中的典型环节直接对应着开环传递函数的零极点，-------很容易获得；

（2）各个典型环节中的参数可以直接反映系统的物理参数，这一点对分析系统和改造系统非常有利；

（3）可以直接求取稳态误差；

(4）同各种传递函数（如闭环传递函数和误差传递函数）有简单的关系。

2)一个美好的愿望：

开环零极点图+开环增益→闭环零极点全部可能的分布图→分析系统的三大类性能。

对此，1948年美国的伊凡思(W.R.Evans)提出了一种图解反馈系统特征方程的工程方法，该方法称为根轨迹法。

根轨迹法是在已知反馈系统的开环极点与零点分布基础上，通过系统参数变化图解特征方程，即根据参数变化研究系统闭环极点分布的一种图解法。应用根轨迹法通过简单计算便可确定系统的闭环极点分布，并同时可以看出参数变化对闭环极点分布的影响。 4-1根轨迹的基本概念

根据伊凡思提出的方法，用来绘制根轨迹的方程式称为根轨迹方程。根轨迹方程得自反馈系统的特征方程，其求取步骤是： 1.写出反馈系统的特征方程，即

式中 G(s) ——反馈系统前向通道传递函数；H(s) ——反馈系统主反馈通道传递函数；

G(s)H(s) —— 反馈系统的开环传递函数；“+”号对应负反馈系统；“-”号对应正反馈系统。

2绘制反馈系统根轨迹的根轨迹方程，即

（负反馈系统） 及 （正反馈系统）

A. 绘制反馈系统根轨迹之前，需对根轨迹方程中的开环传递函数G(s)H(s)

化成通过极点与零点表达的标准形式，即 式中:

K* ——绘制根轨迹的可变参数，称为参变量， 0≤k*<∞ p i ——(i=1，2，3，…，n)为系统的开环极点；

()

()() 1 4-7G s H s =-()()() 1 4-8G s H s =+()9-4 )

())(()())(()()(2121n m p s p s p s z s z s z s k s H s G ------=*ΛΛ绘制根轨迹时的注意事项

（4-1）

()9-4

)

())(()

())(()()(2121n m p s p s p s z s z s z s k s H s G ------=*ΛΛ z i ——(i=1，2，3，…，m)为系统的开环零点。

注意:开环传递函数的标准形式必须具有下列特征1) 参变量k*必须是G(s)H(s)分子连乘因子中的一个；

B. G(s)H(s)必须通过其极点与零点来表示；

C. 构成G(s)H(s)分子、分母的每个因子（ s-z i ) (i=o ，1，2 …，m )及（s-pi ） (i=o ，

1，2 ，…，n)中s 的项系数必须是+1。

3、得到的根轨迹方程为180°(负反馈系统)根轨迹，即或写成

统)根轨迹，即 或写成

(幅值条件) (相角条件)

4-2 绘制根轨迹的基本原则

设已知反馈系统的开环传递函数具有如下标准形式：

式中z i (i=1，2，…，m) 、 p i (i=1，2，…，m) 分别为开环零点与极点，它们既可以是实数，也可以是共轭复数。

下面基于式（4-1）所示开环传递函数分别介绍按相角条件式绘制

)

(0360)()()11 (i=0,1,2,) 4-13j i G s H s e ?+?=+=?L ()()1

G s H s =()

()()0360 (i=0,1,2,) 4-14G s H s i ∠=?+?L )

(180360)()()11 (i=0,1,2,) 4-13j i G s H s e ?+?=-=?L ()()1G s H s =()()0360 (i=0,1,2,G s H s i ∠=?+?L 说明：相角条件是绘制根轨迹的充要条件；幅值条件常用来求根轨迹上一点的K*值

式（4-1）

180°根轨迹的基本原则。

下面给出的绘制180°根轨迹基本规则

假若根轨迹方程为

其中G(s)H(s)具有式（4-17）所示的标准形式，则需按相角条件

绘制180°根轨迹。绘制规则是： 1.根轨迹的分支数

根轨迹的分支数等于反馈系统特征方程的阶数n ，或者说根轨迹的分支数与闭环极点的数目相同。 2.根轨迹的连续性与对称性

从式（4-11）及式（4-17）求得

结论：上式表明参变量k 无限小的增量与s 平面上长度|s-p i | (i=1，2，…，n) 及|s-z i | (i=1，2，…，m)的无限小增量相对应，这是复变量s 在n 条根轨迹上将产生一个无限小的位移。这个结论对于参变量k 在[0，∞)上取任何值都是正确的，这便说明了根轨迹线是连续的。

由于反馈系统特征方程的系数仅与系统参数有关，而对实际的物理系统来说，系统参数又都是实数，从而特征方程的系数也必然都是实数。因为具有实数的代数方程的根如为复数，则必为共轭复数，所以实际物理系统的根轨迹必然是对称于实轴的曲线。

()()1

G s H s =-()

1

1

()()()()

180360m

n

i i i i G s H s s z s p i ==∠=∠--∠-=?+? ι=0,1,2,∑∑L ()1212||||||

|| 4-21||||||

n m s p s p s p k s z s z s z -?--=

-?--L L 式（4-2）

因此得绘制根轨迹的基本原则二：根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。 3.根轨迹的起点与终点

根轨迹的起点是指参变量k=0时闭环极点在s 平面上的分布位置而言，而根轨迹的终点则是k →∞时闭环极点在s 平面上的分布位置。

据开环传递函数为-1，系统的根轨迹方程可写成如下形式

说明过程：从上式可看出，在k=0时，根轨迹方程的解为s=p i(i=1,2,…,n)。这说明，在k=0时，闭环极点与开环极点相等。当k →∞时，根轨迹的解为s=z i(i=1,2,…,m)。这意味着参变量k 趋于无穷大时，闭环极点与开环极点相重合。如果开环零点数目m 小于开环极点数目n ，则可认为有n-m 个开环零点处于s 平面上的无穷远处。因此，在m

因此得绘制根轨迹的基本原则三：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果开环零点数目m 小于开环极点数目n ，则有n-m 条根轨迹终止于s 平面上的无穷远处。

在实际物理系统中m ≤n ，所以闭环极点数目与开环极点数目n 相等。这样，起始于n 个开环极点的n 条根轨迹，便构成了反馈系统根轨迹的全部分支。

4.根轨迹的渐进线 由特征方程得

()22-4 1)

()

(1

1k

p s z s n

i i

m

i i

-=--∏∏==式（4-3） 式（4-4）

或写成

当时k →∞，由于m

次较高的几项已足够。这样，由式（4-23）写出下列近似式 将式（4-24）等号两边开(m-n)次方，得到

式（4-7）等号左边开方项按二项式定理展开，并略去变量1/s 二次以上高次

项，得到

1

)

())(()

())((2121-=------n m p s p s p s z s z s z s k

ΛΛ()23-4 1)

()()

()(1

11

11

1k

p s p s z s

z s n

i i n n

i i n m

i i m m

i i m

-=-++-+-++-+∏∑∏∑=-==-=ΛΛ()24

-4 )s ,(k 1)()(11

11∞→∞→??

? ??-=?

?

????---+--==-∑∑n

m n

m n

i i m i i n m k p z s ()

25-4 )s ,(k 1)()(111

11

∞→∞→??

? ??-=??

???

?

????

??---+

--==∑∑n

m n

m m i n

i i i k s p z s )s ,(k 1)()(1111

1

∞→∞→??

? ??-=?????

???????---?-+-==∑∑n m m i n

i i i k s p z n m s

)s ,(k 1)

()(11

1

∞→∞→??

?

??-=----+

-==∑∑n

m m i n

i i i k n

m p z s ()

()

)s ,(k 1)

()(s 111

1

∞→∞→-?+----=

--==∑∑m

n m

n m

i n

i i

i

k m

n p z 式（4-5） 式（4-6） 式（4-7） 式（4-8）

考虑到e -j(2l+1)p =-1(l=0,1,2,…)，上式可写成

式（4-9）所示便是180°根轨迹方程在k →∞情况下的解。

绘制根轨迹的基本原则四：若反馈系统的开环零点数目m 小玉其开环极点数目n ，则当参变量k →∞时，跟轨迹共有(n-m)渐进线。这些渐进线在实轴上共交于一点，其坐标是

渐进线与实轴正方向的夹角分别是

5.实轴上的根轨迹在实轴上的点，若在其右侧的开环实极点与开环实零点的总数为奇数，则该点所在线段必是实轴上根轨迹部分。 证明过程：找点用相角条件进行试探

6.根轨迹分离（会合）点

证明过程：分离点与会合点的坐标用下式求得证明过程见课本146

7.出射角与入射角

()

26-4 )

()(s 1

211

1

πm

n l j

m

n m i n

i i

i

e

k

m

n p z -+-==?+----=

∑∑

)1,,2,1,0,s ,(k --=∞→∞→m n l Λ

j0,)()(1

1????

?

? ??--∑∑==m n z p n i m

i i i ())

1,,2,1,0(m

-n 12--=+m n l l Λπ式（4-9）

1111

n

m

j i j

i s p s z ===--∑∑

8.根轨迹与虚轴的交点

根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中的一部分位于虚轴上，亦即反馈系统特征方程根s=±jw。因此，将s=jw 代入系统特征方程1+G(s)H(s)=0，得到由上式写出实部方程与虚部方程有

便可方程组(4-32)解出根轨迹与虚轴交点坐标w 以及与交点对应参变量k 的临界值kc 。因此得绘制根轨迹的基本原则八：反馈系统180°根轨迹与虚轴的交点坐标w 以及参变量临界值kc 为方程组(4-32)的实数解。 9.闭环极点的和与积

设反馈系统的特征方程为

的根为s 1,s 1,…,s 1，则由

根据代数方程根与系统间的关系，可写出对于稳定反馈系统,上式中的第二式

0)()(1=+ωωj H j G )32-4 0)]()(1Im[0)]()(1Re[??

?

?

?

=+=+ωωωωj H j G j H j G 0

0111=++++--a s a s a s n n n Λ0

)())((210111=---=++++--n n n n s s s s s s a s a s a s ΛΛ33-4 11??

?

-=∏=-n

i n i a s ∑∑-++=n

i

m

i c k 1)12(βαπθ这一部分为出发的极点减去所有开环零点的向量相角之和

式（4-10） 式（4-11）

可写成

因此得绘制根轨迹的基本原则九：在已知反馈系统的部分闭环极点情况下，可确定闭环极点在s 平面上的分布位置,还可以计算出与系统闭环极点对应的参变量。

10.开环增益K 的求取 设参变量k 是由开环增益K 决定的变量。对于根轨迹分支上的某一点sl ，其所对应的参变量kl 可按式(4-21)计算为 因为参变量k 为非负变量,所以上式可改写成

式(4-13)说明，与根轨迹上一点sl 对应的参变量值kl 可通过该点至全部开环极点与开环零点的几何长度|sl-ki| (i=1,2,…,n) 、|sl-zi| (i=1,2,…,m)来计算。

因此得到绘制180°根轨迹的基本原则十：根据kl 和反馈系统的型别及其开环极点与零点应用式可求取根轨迹分支上点sl 对应的开环增益K 。 例1: 设某系统的开环传递函数为

试绘制该系统的根轨迹。

解:由式(4-7)求得给定负反馈系统的根轨迹方程为 n=4, p 1=0, p 2=-1+j, p 3=-1-j, p 4=-2.73 ， m=0

因为给定系统的开环传递函数已具有式(4-9)所示标准形式，所以该系统的根轨迹图需按绘制180°根轨迹的基本原则来绘制。

)34-4 ||1

∏=-=n

i i

a s

|

|||||||||||||2121m l l l n l l l z s z s z s p s p s p s k --?---?-=

ΛΛ()35-4 |

||||||

|||||2121m l l l n l l l l z s z s z s p s p s p s k --?---?-=

ΛΛ式（4-12）

式（4-13） )

22)(73.2()()(2+++=

s s s s k

s H s G

1.由已知有

2.因为n=4,所以给定系统的根轨迹有四个根轨迹分支。

3.根轨迹的四个分支都是在s 平面上的连续且对称于实轴的曲线。 3.因为n-m=4，所以其始开环极点p 1~p 4的四个根轨迹分支随着参变量均伸向s 平面的无穷远。

4.由于n-m=4，所以给定系统共有四条渐进线，它们在实轴上的交点坐

标

它们与实轴正方向的夹角

分别为±45°及±135°。5.在实轴上，[0,-2.73]线段隶属于180°根轨迹。

6.起始于开环极点p1=0及p4=-2.73的两个分支脱离实轴时的分离点坐标求解

得出a ≈-1.3。

7.起始于开环共轭复极点p2,3=-1±j 的两个分支在p2、p3处的出射角，由出射角公式qp2=-75°由对称性可得qp3=+75°。

1

)

22)(73.2(2-=+++s s s s k

18

.10

40

)73.2()1()1(0)

()(1

1

-=-+-+--++-+=

----=∑∑==j j m

n p z m i n

i i

i

a σ)3,2,1,0( 4

1

2=+=

l l l π?0)]22)(73.2([)()(211

=+++=??????

??????--====∏∏a

s a

s m i i n i i s s s s ds d z a p a ds d

8.起始于开环共轭复极点p2,3的两个根轨迹分支与虚轴的交点坐标由式(4-32)分别求解实部方程与虚部方程

得到w1=0(k=0)及w2,3=±1.07rad/sec(k>0)。将w=1.07代入实部方程求得参变量k 的临界值kc=7.28。因为给定系统为Ⅰ型，所以应用式(4-19)由kc=7.28求得给定系统的开环增益Kv 的临界值Kvc 为 其中m=0，故取

根据上列各点可绘制出给定系统的根轨迹，如图4-6所示。从图中可清楚的看到开环增益 K v 对系统稳定性的影响。

说明：

1、具体例题可参见课本，或PPT 文件。

2、有时间的话在板书上规范做一题，然后再用MATLAB 实现一下，

3、此块儿使学生达到的要求为：快速涂手绘制根轨迹法，及用MATLAB 进行工程实现的方法。

二、绘制0°根轨迹的基本原则

除了四、五、七、八几点外，绘制0°根轨迹的基本原则与绘制180°根

46.724=+-k ωω0

46.573.43=-ωω1

1

133.1)

73.2)(1)(1(1

28.7)

()

(-===+-?

=--=∏∏s j j p z k K n

i i

m

i i

c

vc 1

)(1

=-∏=m

i i

z

轨迹的基本原则均相同。故绘制绘制0°根轨迹时只需对绘制180°根轨迹的基本原则中的四、五、七、八几点做一些修改就可以了。 4.渐进线在实轴上相交于一点,其坐标是(sa,j0)，其中

各条渐进线与实轴正方向的夹角为

在上式中p i(i=1,2,…,m)为开环极点；z i(i=1,2,…,n)为开环零点。

5.在实轴上取实验点s ，若其右侧的开环实极点数目与开环实零点的数目的总和等于偶数时，实轴部分为根轨迹部分。

7.始于开环复极点的0°根轨迹的出射角qpl 和止于开环复零点的0°根轨迹的入射角qzl 分别按下式计算，即

8.0°根轨迹与虚轴的交点坐标及参变量的临界值为方程组的解。

4-3 参量根轨迹

为区别与以开环增益为参变量的普通根轨迹，以非开环增益的其它参量为参变量的根

轨迹称为反馈系统的参量根轨迹。 反馈系统参量根轨迹图的绘制步骤为：

m

n z p n i m

i i

i

a --=

∑∑==1

1

)

()(σ() 36-4

1)-m -n , ,2,1,0 2Λ=-=

(l m

n l l π?)38-4 ) ,2,1,0 )()()(36001111p i Λ=-----+?+?=∑∑∑+=-==(i z z z z p z i m

l j j l l j j l n j j l θ)37-4 ) ,2,1,0 )()()(36001

111p i Λ=-----+?-?=∑∑∑+=-==(i p p p p z p i n

l j j l l j j l m j j l θ)39-4

0)]()(1Im[0)]()(1Re[?

??

=-=-ωωωωj H j G j H j G 式（4-14） 式（4-15

） 式（4-16） 式（4-17）

1.将系统特征方程

整理成

式中G(s,X)——系统的开环传递函数；

X ——参变量，非开环增益；

P(S)、Q(s)——不含参变量的复变量的多项式，其中最高次幂项的系数需化为+1，即需标准形式。

2.根据根轨迹方程按绘制180°根轨迹或绘制0°根轨迹的基本原则，同绘制以开环增益为参变量的普通根轨迹图一样，来绘制参变量X=0∽∞的参量根轨迹图。

例2： 已知某负反馈系统的开环传递函数为

试绘制以时间常数t 为参变量的参量根轨迹，其中开环增益K 及时间常数T 为已知常数。

解：由已知的开环传递函数可写出给定负反馈系统的特征方程为 将上列特征方程式按式（4-18）要求进行整理，即

),(1=±X s G ()

40-4 1)

()(±=s Q s XP ()()(1)(1)

K

G s H s s s Ts τ=

++(1)(1)0

s s Ts K τ+++=22(1)(

(1)

(1)s Ts s Ts s Ts s Ts K

ττ++++=++式（4-18）

将上列以时间常数t为参变量的根轨迹方程按式（4-9）要求进一步完成标准化处理，即由上式直接求得开环极点

及三个开环零点

小结

1.公式小结前边已经给出；

2.MATLAB函数：

rlocus(sys)、asymprl(sys)、rasymp(sys)、ltiview、sisotool等。

3.根轨迹分析方法的思路

1）先绘出基本的系统根轨迹图；

2）讨论根增益全程变化时的三大性能，关键是确定临界稳定和临界阻尼两个特殊点；

3）讨论增加零极点对根轨迹图的影响，寻找一个你能够用试探法得到的更好的结果：

这时：不考虑最好，只追求更好。（基本思想：对比讨论法）

4.sisotool是你可以找到的最好的辅助工具,也是今后工作中离不开的得力工具。

此处还应提供一些源程序，用MATLAB来实现根轨迹。

[作业]：4-2,4-3，4-4，4-8

一级倒立摆的建模与控制分析

控制工程与仿真课程设计报告 报告题目直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计 组员1专业、班级14自动化1 班姓名朱永远学号1405031009 组员1专业、班级14自动化1 班姓名王宪孺学号1405031011组员1专业、班级14自动化1 班姓名孙金红学号1405031013 报告评分标准 评分项目权重评价内容评价结果项目得分 内容70设计方案较合 理、正确，内容 较完整 70-50分 设计方案基本合 理、正确，内容 基本完整 50-30分 设计方案基本不 合理、正确，内 容不完整 0-30分 语言组织15语言较流顺，标 点符号较正确 10-15分语言基本通顺， 标点符号基本正 确 5-10分 语言不通顺，有 错别字，标点符 号混乱 5分以下 格式15 报告格式较正 确，排版较规范 美观 10-15分 报告格式基本正 确，排版不规范 5-10分 报告格式不正 确，排版混乱 5分以下总分

直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计 一状态空间模型的建立 1.1直线一级倒立摆的数学模型 图1.1 直线一级倒立摆系统 本文中倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义及相关数值如表1.1所示。

图1.2是系统中小车的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 图1.2 系统中小车的受力分析图 图1.3是系统中摆杆的受力分析图。F s 是摆杆受到的水平方向的干扰力, F h 是摆杆受到的垂直方向的干扰力，合力是垂直方向夹角为α的干扰力F g 。

图1.3 摆杆受力分析图 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： ()11- 设摆杆受到与垂直方向夹角为α 的干扰力Fg ，可分解为水平方向、垂直方向的干扰力，所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力FS 、垂直干扰力Fh 产生的力矩。 ()21- 对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： ()θsin 22 l x dt d m F N S +=- ()31- 即： αθθθθsin sin cos 2f F ml ml x m N +-+= ()41- 对图1.3摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： ()θcos 22 l l dt d m F mg P h -=++- ()51- 即 θθθθ αcos sin cos 2 ml ml F mg P g +=++- ()61- 力矩平衡方程如下： 0cos sin sin cos cos sin =++++θθθθαθα I Nl Pl l F l F g g ()71- 代入P 和N ，得到方程： () 0cos 2sin sin 2cos sin cos 2cos sin 2222=+-++++θθθθθθθαθαx ml ml mgl ml I l F l F g g ()81- 设φπθ+=，（φ是摆杆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位是弧度），代入上式。假设φ<<1，则可进行近似处理： φφφφφφφ===?? ? ??==2sin ,12cos ,0,sin ,1cos 2 dt d N x f F x M --= α sin g S F F =α cos g h F F =

自动控制原理第六章

5-25 对于典型二阶系统，已知参数3=n ω，7.0=ξ，试确定截止频率c ω和相角裕度γ。 解 依题意，可设系统的开环传递函数为 ) 12 .4(143 .2) 37.02(3)2()(22+=??+=+=s s s s s s s G n n ξωω 绘制开环对数幅频特性曲线) (ωL 如图解5-25所示，得 143.2=c ω ?=+?=63)(180c ω?γ 5-26 对于典型二阶系统，已知σ％=15％，s 3=s t ，试计算相角裕度γ。 解 依题意，可设系统的开环传递函数为 ) 2()(2n n s s s G ξωω+= 依题 ???? ?====--n s o o o o t e σξξπ 5.33152 1 联立求解 ???==257.2517 .0n ωξ 有 )1333 .2(1824 .2) 257.2517.02(257.2)(2 +=??+= s s s s s G 绘制开环对数幅频特性曲线)(ωL 如图解5-26所示，得 1824.2=c ω ?=+?=9.46)(180c ω?γ 5-27 某单位反馈系统，其开环传递函数 G s s s s s ().(.)(.)(.) = +++1670810251006251 试应用尼柯尔斯图线，绘制闭环系统对数幅频特性和相频特性曲线。 解 由G(s)知：20lg16.7=24.5db 交接频率：ω11 08 125= =.. , ω210254==. , ω310062516==.

图解5-27 Bode 图 Nyquist 图 5-28 某控制系统，其结构图如图5-83所示，图中 ) 20 1(8.4)(,81) 1(10)(21s s s G s s s G += ++= 试按以下数据估算系统时域指标σ％和t s 。 （1）γ和ωc （2）M r 和ωc （3）闭环幅频特性曲线形状 解 (1) ) 20 1)(81()1(48)()()(21s s s s s G s G s G +++= = db 6.3348lg 20= 20, 1,125.081321====ωωω 065,6≈=∴ γωc 查图5-56 得 13.16 .6, %21%== =C S t ωσ秒 (2) 根据M r ,ωC 估算性能指标 当 ω=5 时: L(ω)=0, ?(ω)=-111°

自动控制原理作业参考答案(第五章

5.1 （1）)(20)(20)(20)(12)(t r t r t c t c t c +=++ （2）21)10)(2()1(20)(s s s s s C ?+++= = s s s s 4 .0110275.02125.02+++-++- 所以 c(t)=4.0275.0125.0102++----t e e t t c(0)=0;c(∞)=∞; （3）单位斜坡响应，则r(t)=t 所以t t c t c t c 2020)(20)(12)(+=++ ，解微分方程加初始条件 解的： 4.04.02)(102++-+=--t e e t c t t c(0)=2, c(∞)=∞; 5.2 (1)t t e e t x 35.06.06.3)(---= (2)t e t x 2)(-= (3) t w n n n t w n n n n n n n e w b w a e w b w a t x )1(22)1(22221 2)1(1 2)1()(----+----+-+ -+----= ξξωξξωξξξωξξξω(4)t a A t a Aa e a a b t x at ωωωωωωωcos sin )()(2 22222+-++++=- 5.3 (1)y(kT)=)4(16 19 )3(45)2(T t T t T t -+-+-δδδ+…… (2) 由y(-2T)=y(-T)=0;可求得y(0)=0,y(T)=1; 则差分方程可改写为y[kT]-y[(k-1)T]+0.5y[(k-2) T]=0;,k=2,3,4…. 则有0))0()()((5.0))()(()(121=++++----y T y z z Y z T y z Y z z Y 2 11 5.015.01)(---+--=z z z z Y =.....125.025.025.05.015431----++++z z z 则y *(t)=0+)5(25.0)4(25.0)3(5.0)2()(T t T t T t T t T t -+-+-+-+-δδδδδ+… (3)y(kT)=k k k k k T T k T T )1(4 )1(4)1(4)1(4++---- 5.4

自动控制原理西北工大版习题解答第四章Word版

第四章根轨迹法习题及答案4-1 系统的开环传递函数为 )4 )( 2 )( 1 ( ) ( ) ( * + + + = s s s K s H s G 试证明点3 1 1 j s+ - =在根轨迹上，并求出相应 的根轨迹增益* K和开环增益K。 解若点 1 s在根轨迹上，则点 1 s应满足相角条 件π)1 2( ) ( ) (+ ± = ∠k s H s G，如图解4-1所示。 对于3 1j s+ - =，由相角条件 = ∠) ( ) (1 1s H s G = + + - ∠ - + + - ∠ - + + - ∠ -)4 3 1 ( )2 3 1 ( )1 3 1 ( 0j j j π π π π - = - - - 6 3 2 满足相角条件，因此3 1 1 j s+ - =在根轨迹上。将 1 s代入幅值条件： 1 4 3 1 2 3 1 1 3 1 ) ( * 1 1= + + - ? + + - ? + + - = j j j K s H s G） （ 解出：12 *= K， 2 3 8 * = = K K 4-2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。 （ａ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）

解根轨如图解4-2所示： 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴ )1 5.0 )(1 2.0( ) ( + + = s s s K s G ⑵ )3 )( 2 ( )5 ( ) ( * + + + = s s s s K s G ⑶ )1 2( )1 ( ) ( + + = s s s K s G （ｅ）（ｆ）（ｇ）（ｈ） 题4-22图开环零、极点分布图 图解4-2 根轨迹图

自动控制原理 胡寿松 第二版 课后答案 第一章_参考答案

控制系统导论习题及参考答案 自动控制原理胡寿松第二版课后答案 1-2下图是仓库大门自动控制系统原理示意图，试说明系统自动控制大门开、闭的工作原理，并画出系统方框图。 解当合上开门开关时，电桥会测量出开门位置与大门实际位置间对应的偏差电压，偏差电压经放大器放大后，驱动伺服电动机带动绞盘转动，将大门向上提起。与此同时，和大门连在一起的电刷也向上移动，直到桥式测量电路达到平衡，电动机停止转动，大门达到开启位置。反之，当合上关门开关时，电动机带动绞盘使大门关闭，从而可以实现大门远距离开闭自动控制。系统方框图如下图所示。 1-3根据图示的电动机速度控制系统 工作原理图，完成： (1) 将a，b与c，d用线连接成负 反馈状态； (2) 画出系统方框图。

解：（1）负反馈连接方式为：d b?； a?，c （2）系统方框图如图所示。 1-3 图(a)，(b)所示的系统均为电压调节系统。假设空载时两系统发电机端电压均为110V，试问带上负载后，图(a)，(b)中哪个能保持110V不变，哪个电压会低于110V？为什么? 解：带上负载后，开始由于负载的影响，图(a)与(b)系统的端电压都要下降，但图(a)中所示系统能恢复到110伏而图(b)系统却不能。理由如下： 图(a)系统,当u低于给定电压时，其偏差电压经放大器K放大后，驱动电机D转动，经减速器带动电刷，使发电机F的激磁电流 I增大，发电机的输出电压会升高，从而 j 使偏差电压减小，直至偏差电压为零时，电机才停止转动。因此，图(a)系统能保持110伏不变。 图(b)系统，当u低于给定电压时，其偏差电压经放大器K后，直接使发电机激磁电流增大，提高发电机的端电压，使发电机G 的端电压回升，偏差电压减小，但不可能等于零，因为当偏差电压为0时， i=0，发电机就不能工作。即图(b)所示系统的稳 f 态电压会低于110伏。

自动控制原理习题第六章

第六章： 例1 图6-1是一采用PD 串联校正的控制系统。 图6-1 PD 串联校正的控制系统 （1）当10,1p d K K ==时，求相位裕量γ。 解：系统的开环传递函数为 ()(1) p d K K K s W s s s += + 当10,1p d K K ==时，有10(10.1) ()(1) K s W s s s +=+。 开环对数幅频特性为 ()20lg1020lg L ωω=+- 0.1ω=时，()20lg1020lg 40L dB ωω=-= 1ω=时，()20lg1020lg 20L dB ωω=-= 剪切频率c ω为 ()20lg1020lg 20lg 0L dB ωωω=--= ，c ω相位裕量γ为 1 18090arctan arctan 35.10.1 c c γωω=?-?+-=? （2）若要求该系统剪切频率5c ω=，相位裕量50γ=?，求,p d K K 的值。 解： 系统的开环传递函数为 (1) ()(1) (1) p d p d p K K K s K K K s W s s s s s ++= = ++ 相位裕量为 18090arctan arctan 50d c c p K K γωω=?-?+-=?

得，/0.16d p K K = 当5c ω=，可以得到(5)20lg 20lg 520lg 50p L K =--=，最后解得 25,4p d K K == 例2 已知单位负反馈系统开环传递函数为 ()(0.051)(0.21) K K W s s s s = ++ 试设计串联校正装置，使系统1 5s v K -≥，超调量不大于25％，调节时间不大于1s 。 解 （1） 由性能指标可知，系统提出的是时域指标，可利用它和频域指标的近似关系，先用频域法校正，然后再进行验算。由 2 %0.160.4(1)0.25%12 1.5(1) 2.5(1)1sin ()p s c p p p c M k t k M M M δπωγω=+-≤?? ?=≤?? ?=+-+-???= ?? 得系统要求的各项指标为 ?? ? ??=== 7.54)(74.7225.1c c p M ωγω （2）由5v K ≥，可以计算出放大系数5K =。其传递函数为 55 ()(0.051)(0.21)(1)(1) 205 W s s s s s s s = = ++++ 其对数幅频特性如图6-14所示。 系统未校正时，按下式可计算出其穿越频率,c ω如认为 1,20c ω>>得 5 ()15 c c c A ωωω≈ =? 故得5c ω≈ 其相位裕度为

自动控制原理_第四章习题集配套答案

第四章 根轨迹分析法习题 4-2 单位回馈控制系统的开环传递函数1 )(+= s K s G r ，试用解析法绘出r K 从零变化到无穷时的死循环根轨迹图，并判断-2, j1, (-3+j2)是否在根轨迹上。 解：1-s 01s 0r =?=+=时，K 2-s 02s 1r =?=+=时，K 3-s 03s 2r =?=+=时，K …… -2 在根轨迹上，（-3+j2），j1不在根轨迹上。 4-3 回馈控制系统的开环传递函数如下，0≥r K ，试画出各系统的根轨迹图。 (2) )4)(1() 5.1()(+++=s s s s K s G r (3) 2 )1()(+=s s K s G r ， 解：（2） 1）开环零、极点：p 1=0，p 2=-1,p 3=-4,z=-1.0，n=3，m=1 2）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-1.5，-4） 3）根轨迹的渐近线： ? ±=±=-+±= -=----= 902 )12(, 75.12 )5.1(410)2( π π?σm n k a a 夹角交点条渐近线 4）分离点和会合点 6 .05.1141111-=+= ++++d d d d d 试探法求得 （3） 1）开环零、极点：p 1=0，p 2,3=-1，n=3 2）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-1，-∞） 3）根轨迹的渐近线：

? ?±=±=-+±= -=--= 180,603 )12(,3 2 3110)3( π π?σm n k a a 夹角交点条渐近线 4）分离点和会合点 3 1 01 2 1- =?=++d d d 5）与虚轴交点：02r 2 3=+++K s s s 4-5 系统的开环传递函数为) 1() 2()(++= s s s K s G r ， (1) 画出系统的根轨迹，标出分离点和会合点； (2) 当增益r K 为何值时，复数特征根的实部为-2？求出此根。 解： （1） 1）开环零、极点：p 1=0，p 2=-1 z=-2，n=2，m=1 2）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-2，-∞） 3）分离点和会合点 414 .3,586.02 11112 1 -=-=?+= ++d d d d d 可以证明该根轨迹是一个半径为1.414，原点在-2处的标准圆 （2）系统特征方程为02)1(r r 2 =+++K s K s 2j 2322 122 ,1r r ±-==-=+-=- s K K a b ，，得：由 0 1 23 s s s s r 2K -r 21 1K r K j ,20 2r r ±==?=-s K K

一阶倒立摆控制系统

一阶直线倒立摆系统 姓名： 班级： 学号：

目录 摘要 (3) 第一部分单阶倒立摆系统建模 (4) （一）对象模型 (4) （二）电动机、驱动器及机械传动装置的模型 (6) 第二部分单阶倒立摆系统分析 (7) 第三部分单阶倒立摆系统控制 (11) （一）内环控制器的设计 (11) （二）外环控制器的设计 (14) 第四部分单阶倒立摆系统仿真结果 (16) 系统的simulink仿真 (16)

摘要： 该问题源自对于娱乐型”独轮自行车机器人”的控制，实验中对该系统进行系统仿真，通过对该实物模型的理论分析与实物仿真实验研究，有助于实现对独轮自行车机器人的有效控制。 控制理论中把此问题归结为“一阶直线倒立摆控制问题”。另外，诸如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制、海上钻井平台的稳定控制、飞机安全着陆控制等均涉及到倒立摆的控制问题。 实验中通过检测小车位置与摆杆的摆动角，来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机（IPC）完成。实验将借助于“Simulink封装技术——子系统”，在模型验证的基础上，采用双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。实验过程涉及对系统的建模、对系统的分析以及对系统的控制等步骤，最终得出实验结果。仿真实验结果不仅证明了PID方案对系统平衡控制的有效性，同时也展示了它们的控制品质和特性。 第一部分单阶倒立摆系统建模

（一） 对象模型 由于此问题为”单一刚性铰链、两自由度动力学问题”，因此，依据经典力学的牛顿定律即可满足要求。 如图1.1所示，设小车的质量为0m ，倒立摆均匀杆的质量为m ，摆长为2l ，摆的偏角为θ，小车的位移为x ，作用在小车上的水平方向上的力为F ，1O 为摆杆的质心。 图1.1 一阶倒立摆的物理模型 根据刚体绕定轴转动的动力学微分方程，转动惯量与角加速度乘积等于作用于刚体主动力对该轴力矩的代数和，则 1）摆杆绕其重心的转动方程为 sin cos y x l F J F l θθθ=-&& （1-1） 2）摆杆重心的水平运动可描述为 2 2(sin )x d F m x l dt θ=+ （1-2） 3）摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为 2 2(cos )y d F mg m l dt θ-= （1-3） 4）小车水平方向运动可描述为 202x d x F F m dt -= （1-4）

《自动控制原理》第四章自学要点

一、自学提纲 1、根轨迹是如何提出来的？在分析自动控制系统方面，它什么优点？ 2、根轨迹的概念、含义，什么是根轨迹方程？什么是常规根轨迹（180°根轨 迹）？ 3、复习复向量的加、减、乘、除、求模值、求相角运算，理解根轨迹方程的模值条 件和相角条件。 4、根轨迹的绘制法则1，根轨迹的分支数、对称性和连续性。 5、根轨迹的绘制法则2，根轨迹的起点和终点。 6、根轨迹的绘制法则3，根轨迹在实轴上的分布。 7、根轨迹的绘制法则4，根轨迹的渐近线。 8、根轨迹的绘制法则5，根轨迹的分离点和分离角。 9、根轨迹的绘制法则6，根轨迹与虚轴的交点。 10、根轨迹的绘制法则7，根轨迹的出射角。 11、根轨迹的绘制法则8，闭环特征方程的极点之和=开环极点之和。 12、参数根轨迹（广义根轨迹）的绘制，与常规根轨迹的绘制有何不同？ 13、正反馈根轨迹的绘制（0°根轨迹），与负反馈根轨迹的绘制有何不同？ 14、利用闭环主导极点估算系统的性能。 15、闭环偶极子对根轨迹的影响。 16、闭环偶极子对根轨迹的影响。 17、附加开环零点对根轨迹的影响。 18、附加开环极点对根轨迹的影响。 19、掌握利用Matlab绘制控制系统的根轨迹，并与手绘图形进行比较。 二、讨论分10个小组（同第一章讨论），习题共11道，第一题所有小组都做，后面10题，指定各小组做1题（可抽签选择）。 三、每组讨论共同的题目，所有成员独自完成一份手写报告，准备在课堂上讲解。报告需要指出每道题目涉及到的知识点（见自习提纲），将计算步骤详细完整地写出，并将手工绘图结果与Matlab绘图结果对比。字体工整，能以此报告为讲稿通俗易懂地在课堂上讲解给其他同学听。 四、课堂讨论时，教师随机选定每组的一名或多名同学讲解，如果讲解的不好，同组的其他同学可补充。给每组一个评定成绩，作为该组所有成员的讨论成绩。

自动控制原理第六章课后习题答案

自动控制原理第六章课后习题答案（免费） 线性定常系统的综合 6－1 已知系统状态方程为： ()100102301010100x x u y x ? -???? ? ?=--+ ? ? ? ?????= 试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为－1，－2，－3. 解: 由()100102301010100x x u y x ? -???? ? ?=--+ ? ? ? ?????=可得: (1) 加入状态反馈阵()0 12K k k k =,闭环系统特征多项式为: 32002012()det[()](2)(1)(2322)f I A bK k k k k k k λλλλλ=--=++++-+--+- (2) 根据给定的极点值,得期望特征多项式: *32()(1)(2)(3)6116f λλλλλλλ=+++=+++ (3) 比较()f λ与*()f λ各对应项系数,可得:0124,0,8;k k k === 即:()408K =

6－2 有系统： ()2100111,0x x u y x ? -????=+ ? ?-????= （1） 画出模拟结构图。 （2） 若动态性能不能满足要求，可否任意配置极点？ （3） 若指定极点为－3，－3，求状态反馈阵。 解(1) 模拟结构图如下: (2) 判断系统的能控性； 0111c U ?? =?? -?? 满秩，系统完全能控，可以任意配置极点。 (3)加入状态反馈阵01(,)K k k =,闭环系统特征多项式为: ()2101()det[()](3)22f I A bK k k k λλλλ=--=+++++ 根据给定的极点值,得期望特征多项式: *2()(3)(3)69f λλλλλ=++=++ 比较()f λ与*()f λ各对应项系数,可解得:011,3k k == 即:[1,3]K =

自动控制原理第五章复习总结(第二版)

第五章计算机控制系统 1. 现代过程工业发展的需要； 2．生产的安全性和可靠性、生产企业的经济效益等指标的需要； 3．运算速度快、精度高、存储量大、编程灵活以及有很强的通信能力等的需要。 第一节概述 一．计算机直接数字控制系统与常规的模拟控制系统的异同： 相同： 1．基本结构相同。 2．基本概念和术语相同。 3．控制原理相同。（都是基于“检测偏差、纠正偏差”的控制原理） 不同： 1．信息的传输形式不同。（前者是断续的、数字化的，后者是连续的、模拟的） 二．计算机直接数字控制系统概述 1．基本结构：如图5-1所示。 2．对模拟控制系统的改进： 3．计算机控制系统的控制过程： 4．与模拟控制系统相比，计算机控制系统具有很多优点： 第二节计算机控制系统的组成及分类一．计算机控制系统的组成 计算机控制系统组成： 1．工业对象 2．工业控制计算机

硬件：计算机主机、外部设备、外围设备、工业自动化仪表和操作控制台等。 软件：计算机系统的程序系统。 计算机控制系统结构：如图5-2 所示。 （一）、硬件部分 1． 主机 2．过程输入输出通道 3．操作设备 4．常规外部设备 5．通信设备 6．系统支持功能 （二）、软件部分 1．软件包含系统软件和应用软件两部分。 系统软件：一般包括编译系统，操作系统，数据库系统，通讯网络软件，调试程序，诊断程序等。 应用软件：一般包括过程输入程序、过程控制程序、过程输出程序、打印显示程序、人机接口程序等。 2．使用语言为汇编语言，或者高级算法语言、过程控制语言。 以及它们的汇编、解释、 二．计算机控制系统的分类 包括： 数据采集和数据处理系统 直接数字控制系统DDC 监督控制系统SCC 分级计算机控制系统 集散型控制系统等

自动控制原理 题库 第四章 线性系统根轨迹 习题

4-1将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函数。 （1）210s cs c +++=，以c 为可变参数。 （2）3(1)(1)0s A Ts +++=，分别以A 和T 为可变参数。 （3）1()01I D P k k s k G s s s τ?? ++ + =? ?+? ? ，分别以P k 、I K 、T 和τ为可变参数。 4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为 (31)()(21) K s G s s s += + 试用解析法绘出开环增益K 从0→+∞变化时的闭环根轨迹图。 4-2已知开环零极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求确定分离点坐标）。 （1）()(0.21)(0.51)K G s s s s = ++ （2）(1)()(21) K s G s s s +=+ （3）(5)()(2)(3) K s G s s s s += ++ 4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求算出起始角）。 （1）(2) ()(12)(12) K s G s s s j s j += +++- （2）(20) ()(1010)(1010) K s G s s s j s j +=+++-

4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为 * 2 ()()(10)(20) K s z G s s s s += ++ 试确定闭环产生纯虚根1j ±的z 值和*K 值。 4-6已知系统的开环传递函数为 * 2 2 (2)()()(49) K s G s H s s s += ++ 试概略绘出闭环根轨迹图。 4-7设反馈控制系统中 * 2 ()(2)(5) K G s s s s = ++ （1）设()1H s =，概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性 （2）设()12H s s =+，试判断()H s 改变后的系统稳定性，研究由于()H s 改变所产生的影响。 4-8试绘出下列多项式的根轨迹 （1）322320s s s Ks K ++++= （2）323(2)100s s K s K ++++= 4-9两控制系统如下图所示，试问： （1）两系统的根轨迹是否相同？如不同，指出不同之处。 （2）两系统的闭环传递函数是否相同？如不同，指出不同之处。 （3）两系统的阶跃响应是否相同？如不同，指出不同之处。 4-10设系统的开环传递函数为 12 (1)(1) ()K s T s G s s ++= （1）绘出10T =，K 从0→+∞变化时系统的根轨迹图。 （2）在（1）的根轨迹图上，求出满足闭环极点阻尼比0.707ξ=的K 的值。 （3）固定K 等于（2）中得到的数值，绘制1T 从0→+∞变化时的根轨迹图。 （4）从（3）的根轨迹中，求出临界阻尼的闭环极点及相应的1T 的值。 4-11系统如下图所示，试 （1）绘制0β=的根轨迹图。 （2）绘制15K =，22K =时，β从0→+∞变化时的根轨迹图。 （3）应用根轨迹的幅值条件，求（2）中闭环极点为临界阻尼时的β的值。

一级倒立摆【控制专区】系统设计

基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计 一、设计目的 倒立摆是一个非线性、不稳定系统,经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。 二、设计要求 倒立摆的设计要求是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。实验参数自己选定，但要合理符合实际情况，控制方式为双PID控制，并利用MATLAB进行仿真，并用simulink对相应的模块进行仿真。 三、设计原理 倒立摆控制系统的工作原理是：由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度，作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。计算机根据一定的控制算法，计算出空置量，并转化为相应的电压信号提供给驱动电路，以驱动直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡。 四、设计步骤 首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图 一阶倒立摆控制系统示意图如图所示： 分析工作原理，可以得出一阶倒立摆系统原理方框图：

一阶倒立摆控制系统动态结构图 下面的工作是根据结构框图，分析和解决各个环节的传递函数！ 1.一阶倒立摆建模 在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中： M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置 θ：摆杆与垂直向上方向的夹角 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知： （1） 摆杆绕其重心的转动方程为 （2） 摆杆重心的运动方程为 得 sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=-2 22 2(sin ) (2) (cos ) (3) x y d F m x l d t d F mg m l d t θθ=+=-

自动控制原理课后习题答案第四章

第 四 章 4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分离点坐标d)： (1) )15.0)(12.0()(++= s s s K s G （2）)12()1()(++=s s s K s G 解：(1))5)(2()15.0)(12.0()(* ++=++=s s s K s s s K s G ，K K 10*= ① n ＝3，根轨迹有3条分支； ② 起点：p1＝0，p2＝-2，p3＝-5；没有零点，终点：3条根轨迹趋向于无穷远处。 ③ 实轴上的根轨迹：[-2,0],(5,-∞-]; ④ 渐进线： 373520-=--= a σ，πππ?,33)12(±=+=K a ； ⑤ 分离点：051211=++++d d d 求解得：79.31-=d （舍去），88.02-=d ； 作出根轨迹如图所示： (2) *(1)(1)()(21)(0.5)K s K s G s s s s s ++= =++，*0.5K K = ① n ＝2，根轨迹有2条分支； ② 起点：p1＝0，p2＝-0.5，；终点： 11z =-，1n m -=条根轨迹趋向于无穷远处。 ③ 实轴上的根轨迹：[-0.5,0],(,1-∞-]; ④ 分离点：1110.51d d d +=++ 求解得：1 0.29d =-，2 1.707d =-； 作出根轨迹如图所示：

4-6 设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，要求： 确定 )20)(10()()(2+++=*s s s z s K s G 产生纯虚根为±ｊ1的ｚ值和*K 值。 解： 020030)()20)(10()(**234*2=++++=++++=z K s K s s s z s K s s s s D 令j s =代入0)(=s D ，并令其实部、虚部分别为零，即： 02001)]1(Re[*=+-=z K j D ，030)]1(Im[*=+-=K j D 解得：63.6,30*==z K 画出根轨迹如图所示： 4-10 设单位反馈控制系统的开环传递函数 )102.0)(101.0()(++= s s s K s G 要求： (1) 画出准确根轨迹(至少校验三点)； (2) 确定系统的临界稳定开环增益K ｃ； (3) 确定与系统临界阻尼比相应的开环增益K 。 分析：利用解析法，采用逐个描点的方法画出系统闭环根轨迹。然后将s j ω=代入特征方程中，求解纯虚根的开环增益，或是利用劳斯判据求解临界稳定的开环增益。对于临界阻尼比相应的开环增益即为实轴上的分离点对应的开环增益。

一级直线倒立摆系统模糊控制器设计---实验指导书

一级直线倒立摆系统模糊控制器设计 实验指导书

目录 1 实验要求................................................................................. . (3) 1.1 实验准备................................................................................. . (3) 1.2 评分规则................................................................................. . (3) 1.3 实验报告容................................................................................. .. (3) 1.4 安全注意事项................................................................................. .. (3) 2 倒立摆实验平台介绍................................................................................. .. (4) 2.1 硬件组成................................................................................. . (4) 2.2 软件结构................................................................................. . (4) 3 倒立摆数学建模（预习 容） .............................................................................. (6) 4 模糊控制实验................................................................................. (8) 4.1 模糊控制器设计（预习容）............................................................................... (8) 4.2 模糊控制器仿真................................................................................. (12) 4.3 模糊控制器实时控制实验................................................................................. .. (12) 5 附录：控制理论中常用的MATLAB 函

自动控制原理第五章习题及答案

第五章习题与解答 5-1 试求题5-1图(a)、(b)网络的频率特性。 c u r c (a) (b) 题5-1图 R-C 网络 解 （a)依图： ???? ????? +==+=++= + + =21211112 12111111 22 1 )1(11) ()(R R C R R T C R R R R K s T s K sC R sC R R R s U s U r c ττ ω ωτωωωωω111 21212121) 1()()()(jT j K C R R j R R C R R j R j U j U j G r c a ++=+++== (b)依图： ?? ?+==++= + ++ =C R R T C R s T s sC R R sC R s U s U r c )(1 1 11) () (2122222212ττ ω ω τωωωωω2221211)(11)()()(jT j C R R j C R j j U j U j G r c b ++= +++== 5-2 某系统结构图如题5-2图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出)(t c s 和稳态误差)(t e s （1） t t r 2sin )(= （2） )452cos(2)30sin() (?--?+=t t t r 题5-2图 反馈控制系统结构图

解 系统闭环传递函数为: 2 1)(+=Φs s 频率特性: 2 244221)(ω ω ωωω+-++=+=Φj j j 幅频特性: 2 41 )(ω ω+= Φj 相频特性: )2arctan()(ωω?-= 系统误差传递函数: ,2 1 )(11)(++=+= Φs s s G s e 则 )2 arctan( arctan )(, 41)(2 2ω ωω?ω ωω-=++= Φj j e e （1）当t t r 2sin )(=时, 2=ω，r m =1 则 ,35.081 )(2== Φ=ωωj 45)2 2 arctan( )2(-=-=j ? 4.186 2 arctan )2(, 79.085 )(2==== Φ=j j e e ?ωω )452sin(35.0)2sin()2( -=-Φ=t t j r c m ss ? )4.182sin(79.0)2sin()2( +=-Φ=t t j r e e e m ss ? （2） 当 )452cos(2)30sin()(?--?+=t t t r 时: ???====2 , 21,12211m m r r ωω 5.26)21arctan()1(45.055)1(-=-=== Φj j ? 4.18)3 1arctan()1(63.0510)1(====Φj j e e ? )]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t c m m ss ??+-?Φ-++?Φ= )902cos(7.0)4.3sin(4.0 --+=t t )]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t e e e m e e m ss ??+-?Φ-++?Φ= )6.262cos(58.1)4.48sin(63.0 --+=t t 5-3 若系统单位阶跃响应

单级倒立摆经典控制系统

单级倒立摆经典控制系统 摘要：倒立摆控制系统虽然作为热门研究课题之一，但见于资料上的大多采用现代控制方法，本课题的目的就是要用经典的方法对单级倒立摆设计控制器进行探索。本文以经典控制理论为基础，建立小车倒立摆系统的数学模型，使用PID控制法设计出确定参数(摆长和摆杆质量)下的控制器使系统稳定，并利用MATLAB软件进行仿真。 关键词：单级倒立摆；经典控制；数学模型；PID控制器；MATLAB 1绪论 自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。它的发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，并主要用于工业控制。 控制理论在几十年中，迅速经历了从经典理论到现代理论再到智能控制理论的阶段，并有众多的分支和研究发展方向。 1.1经典控制理论 控制理论的发展，起于“经典控制理论”。早期最有代表性的自动控制系统是18世纪的蒸汽机调速器。20世纪前，主要集中在温度、压力、液位、转速等控制。20世纪起，应用范围扩大到电压、电流的反馈控制，频率调节，锅炉控制，电机转速控制等。二战期间，为设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统及其他基于反馈原理的军用装备，促进了自动控制理论的发展。

至二战结束时，经典控制理论形成以传递函数为基础的理论体系，主要研究单输入-单输出、线性定常系统的分析问题。经典控制理论的研究对象是线性单输入单输出系统，用常系数微分方程来描述。它包含利用各种曲线图的频率响应法和利用拉普拉斯变换求解微分方程的时域分析法。这些方法现在仍是人们学习控制理论的入门之道。 1.2倒立摆 1.2.1倒立摆的概念 图1 一级倒立摆装置 倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂、多变量、存在严重非线性、非自治不稳定系统。

自动控制原理第五章

自动控制原理第五章 现代控制理论基础 20世纪50年代诞生，60年代发展。 标志和基础：状态空间法。 特点：揭示系统内部的关系和特性，研究和采用优良和复杂的控制方法。 适用范围：单变量系统，多变量系统，线性定常系统，线性时变系统，非线性系统。 状态：时间域中系统的运动信息。 状态变量：确定系统状态的一组独立（数目最少的）变量。能完全确定系统运动状态而个数又最少的一组变量。 知道初始时刻一组状态变量的值及此后的输入变量，可以确定此后全部状态（或变量）的值。 n阶微分方程描述的n阶系统，状态变量的个数是n。

状态变量的选取不是唯一的。 状态向量：由n个状态变量组成的向量。 状态空间：以状态变量为坐标构成的n维空间。 状态方程：描述系统状态变量之间及其和输入之间的函数关系的一阶微分方程组。 输出方程：描述系统输出变量与状态变量（有时包括输入）之间的函数关系的代数方程。 状态空间表达式：状态方程与输出方程的组合。 线性定常系统状态空间表达式的建立 根据工作原理建立状态空间表达式 选择状态变量：与独立储能元件能量有关的变量，或试选与输出及其导数有关的变量，或任意ｎ个相互独立的变量。

由微分方程和传递函数求状态空间表达式 1.方程不含输入的导数,传递函数无零点 2.方程含有输入的导数,传递函数有零点 根据传函实数极点建状态空间表达式 状态变量个数一定，选取方法很多，系数矩阵多样。z=Px(│P│≠0)是状态向量。 │sI-A│：系统或矩阵的特征多项式。 │sI-A│=0：特征值或特征根，传递函数极点。 同一个系统特征值不变。 状态变量图包括积分器，加法器，比例器。 表示状态变量、输入、输出的关系。 n阶系统有n个积分器。