数学版人教版七年级上册数学 压轴题 期末复习试卷
一、压轴题
1.如图1,O 为直线AB 上一点,过点O 作射线OC ,∠AOC =30°,将一直角三角板(其中∠P =30°)的直角顶点放在点O 处,一边OQ 在射线OA 上,另一边OP 与OC 都在直线AB 的上方.将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周. (1)如图2,经过t 秒后,OP 恰好平分∠BOC . ①求t 的值;
②此时OQ 是否平分∠AOC ?请说明理由;
(2)若在三角板转动的同时,射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周,如图3,那么经过多长时间OC 平分∠POQ ?请说明理由;
(3)在(2)问的基础上,经过多少秒OC 平分∠POB ?(直接写出结果).
2.如图,已知数轴上有三点 A ,B ,C ,若用 AB 表示 A ,B 两点的距离,AC 表示 A ,C 两点的 距离,且 BC = 2 AB ,点 A 、点C 对应的数分别是a 、c ,且| a - 20 | + | c +10 |= 0 .
(1)若点 P ,Q 分别从 A ,C 两点同时出发向右运动,速度分别为 2 个单位长度/秒、5个单位长度/ 秒,则运动了多少秒时,Q 到 B 的距离与 P 到 B 的距离相等?
(2)若点 P ,Q 仍然以(1)中的速度分别从 A ,C 两点同时出发向右运动,2 秒后,动点 R 从 A 点出发向左运动,点 R 的速度为1个单位长度/秒,点 M 为线段 PR 的中点,点 N 为线段 RQ 的中点,点R 运动了x 秒时恰好满足 MN + AQ = 25,请直接写出x 的值. 3.已知AOD α∠=,OB 、OC 、OM 、ON 是AOD ∠内的射线.
(1)如图1,当160α=?,若OM 平分AOB ∠,ON 平分BOD ∠,求MON ∠的大小; (2)如图2,若OM 平分AOC ∠,ON 平分BOD ∠,20BOC ∠=?,60MON ∠=?,求
α.
4.已知120AOB ∠?= (本题中的角均大于0?且小于180?)
(1)如图1,在AOB ∠内部作COD ∠,若160AOD BOC ∠∠?+=,求COD 的度数;
(2)如图2,在AOB ∠内部作COD ∠,OE 在AOD ∠内,OF 在BOC ∠内,且
3DOE AOE ∠∠=,3COF BOF ∠=∠,7
2
EOF COD ∠=∠,求EOF ∠的度数;
(3)射线OI 从OA 的位置出发绕点O 顺时针以每秒6?的速度旋转,时间为t 秒(050t <<且30t ≠).射线OM 平分AOI ∠,射线ON 平分BOI ∠,射线OP 平分MON ∠.若
3MOI POI ∠=∠,则t = 秒.
5.已知∠AOB =110°,∠COD =40°,OE 平分∠AOC ,OF 平分∠BOD . (1)如图1,当OB 、OC 重合时,求∠AOE ﹣∠BOF 的值;
(2)如图2,当∠COD 从图1所示位置绕点O 以每秒3°的速度顺时针旋转t 秒(0<t <10),在旋转过程中∠AOE ﹣∠BOF 的值是否会因t 的变化而变化?若不发生变化,请求出该定值;若发生变化,请说明理由.
(3)在(2)的条件下,当∠COF =14°时,t = 秒.
6.如图1,已知面积为12的长方形ABCD ,一边AB 在数轴上。点A 表示的数为—2,点B 表示的数为1,动点P 从点B 出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设点P 运动时间为t (t>0)秒.
(1)长方形的边AD长为单位长度;
(2)当三角形ADP面积为3时,求P点在数轴上表示的数是多少;
(3)如图2,若动点Q以每秒3个单位长度的速度,从点A沿数轴向右匀速运动,与P
点出发时间相同。那么当三角形BDQ,三角形BPC两者面积之差为1
2
时,直接写出运动时
间t 的值.
7.借助一副三角板,可以得到一些平面图形
(1)如图1,∠AOC=度.由射线OA,OB,OC组成的所有小于平角的和是多少度?
(2)如图2,∠1的度数比∠2度数的3倍还多30°,求∠2的度数;
(3)利用图3,反向延长射线OA到M,OE平分∠BOM,OF平分∠COM,请按题意补全图(3),并求出∠EOF的度数.
8.已知数轴上两点A、B,其中A表示的数为-2,B表示的数为2,若在数轴上存在一点C,使得AC+BC=n,则称点C叫做点A、B的“n节点”.例如图1所示:若点C表示的数为0,有AC+BC=2+2=4,则称点C为点A、B的“4节点”.
请根据上述规定回答下列问题:
(1)若点C为点A、B的“n节点”,且点C在数轴上表示的数为-4,求n的值;
(2)若点D是数轴上点A、B的“5节点”,请你直接写出点D表示的数为______;
(3)若点E在数轴上(不与A、B重合),满足BE=1
2
AE,且此时点E为点A、B的“n节
点”,求n的值.
9.已知多项式3x 6﹣2x 2﹣4的常数项为a ,次数为b .
(1)设a 与b 分别对应数轴上的点A 、点B ,请直接写出a = ,b = ,并在数轴上确定点A 、点B 的位置;
(2)在(1)的条件下,点P 以每秒2个单位长度的速度从点A 向B 运动,运动时间为t 秒:
①若PA ﹣PB =6,求t 的值,并写出此时点P 所表示的数;
②若点P 从点A 出发,到达点B 后再以相同的速度返回点A ,在返回过程中,求当OP =3时,t 为何值?
10.已知线段30AB cm =
(1)如图1,点P 沿线段AB 自点A 向点B 以2/cm s 的速度运动,同时点Q 沿线段点B 向点A 以3/cm s 的速度运动,几秒钟后,P Q 、两点相遇? (2)如图1,几秒后,点P Q 、两点相距10cm ?
(3)如图2,4AO cm =,2PO cm =,当点P 在AB 的上方,且060=∠POB 时,点P 绕着点O 以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止,同时点Q 沿直线BA 自B 点向
A 点运动,假若点P Q 、两点能相遇,求点Q 的运动速度.
11.数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到,例如:如图①,若点A ,B 在数轴上分别对应的数为a ,b (a
如图②,一个点从数轴上的原点开始,先向左移动2个单位长度到达A 点,再向右移动3个单位长度到达B 点,然后向右移动5个单位长度到达C 点. (1)请你在图②的数轴上表示出A ,B ,C 三点的位置.
(2)若点A 以每秒1个单位长度的速度向左移动,同时,点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右移动,设移动时间为t 秒. ①当t =2时,求AB 和AC 的长度;
②试探究:在移动过程中,3AC -4AB 的值是否随着时间t 的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请求其值.
12.已知:A 、O 、B 三点在同一条直线上,过O 点作射线OC ,使∠AOC :∠BOC =1:2,将一直角三角板的直角顶点放在点O 处,一边OM 在射线OB 上,另一边ON 在直线AB 的下方.
(1)将图1中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转至图2的位置,使得ON 落在射线OB 上,此时三角板旋转的角度为 度;
(2)继续将图2中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转至图3的位置,使得ON 在∠AOC 的内部.试探究∠AOM 与∠NOC 之间满足什么等量关系,并说明理由;
(3)将图1中的三角板绕点O 按5°每秒的速度沿逆时针方向旋转一周的过程中,当直角三角板的直角边OM 所在直线恰好平分∠BOC 时,时间t 的值为 (直接写结果). 13.如图,在数轴上从左往右依次有四个点,,,A B C D ,其中点,,A B C 表示的数分别是
0,3,10,且2CD AB =.
(1)点D 表示的数是 ;(直接写出结果)
(2)线段AB 以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动,同时线段CD 以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动,设运动时间是t (秒),当两条线段重叠部分是2个单位长度时. ①求t 的值;
②线段AB 上是否存在一点P ,满足3BD PA PC -=?若存在,求出点P 表示的数x ;若不存在,请说明理由.
14.已知:如图,点A 、B 分别是∠MON 的边OM 、ON 上两点,OC 平分∠MON ,在∠CON 的内部取一点P (点A 、P 、B 三点不在同一直线上),连接PA 、PB . (1)探索∠APB 与∠MON 、∠PAO 、∠PBO 之间的数量关系,并证明你的结论; (2)设∠OAP=x°,∠OBP=y°,若∠APB 的平分线PQ 交OC 于点Q ,求∠OQP 的度数(用含有x 、y 的代数式表示).
15.已知数轴上三点A,O,B表示的数分别为6,0,-4,动点P从A出发,以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动.
(1)当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时,点P在数轴上表示的数是______;(2)另一动点R从B出发,以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动,若点P、R同时出发,问点P运动多少时间追上点R?
(3)若M为AP的中点,N为PB的中点,点P在运动过程中,线段MN的长度是否发生变化?若发生变化,请你说明理由;若不变,请你画出图形,并求出线段MN的长度.
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、压轴题
1.(1)①5;②OQ平分∠AOC,理由详见解析;(2)5秒或65秒时OC平分∠POQ;
(3)t=70
3
秒.
【解析】
【分析】
(1)①由∠AOC=30°得到∠BOC=150°,借助角平分线定义求出∠POC度数,根据角的和差关系求出∠COQ度数,再算出旋转角∠AOQ度数,最后除以旋转速度3即可求出t 值;②根据∠AOQ和∠COQ度数比较判断即可;
(2)根据旋转的速度和起始位置,可知∠AOQ=3t,∠AOC=30°+6t,根据角平分线定义可知∠COQ=45°,利用∠AOQ、∠AOC、∠COQ角之间的关系构造方程求出时间t;(3)先证明∠AOQ与∠POB互余,从而用t表示出∠POB=90°﹣3t,根据角平分线定义再用t表示∠BOC度数;同时旋转后∠AOC=30°+6t,则根据互补关系表示出∠BOC度数,同理再把∠BOC度数用新的式子表达出来.先后两个关于∠BOC的式子相等,构造方程求解.
【详解】
(1)①∵∠AOC=30°,
∴∠BOC=180°﹣30°=150°,
∵OP平分∠BOC,
∴∠COP=1
2
∠BOC=75°,
∴∠COQ=90°﹣75°=15°,
∴∠AOQ=∠AOC﹣∠COQ=30°﹣15°=15°, t=15÷3=5;
②是,理由如下:
∵∠COQ=15°,∠AOQ=15°,
∴OQ平分∠AOC;
(2)∵OC平分∠POQ,
∴∠COQ=1
2
∠POQ=45°.
设∠AOQ=3t,∠AOC=30°+6t,
由∠AOC﹣∠AOQ=45°,可得30+6t﹣3t=45,解得:t=5,
当30+6t﹣3t=225,也符合条件,
解得:t=65,
∴5秒或65秒时,OC平分∠POQ;
(3)设经过t秒后OC平分∠POB,
∵OC平分∠POB,
∴∠BOC=1
2
∠BOP,
∵∠AOQ+∠BOP=90°,
∴∠BOP=90°﹣3t,
又∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣30°﹣6t,
∴180﹣30﹣6t=1
2
(90﹣3t),
解得t=70 3
.
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用,根据角度的和差倍分关系,列出方程,是解题的关键.
2.(1)10
7
秒或10秒;(2)
14
13
或
114
13
.
【解析】
【分析】
(1)由绝对值的非负性可求出a,c的值,设点B对应的数为b,结合BC 2 AB,求出b 的值,当运动时间为t秒时,分别表示出点P、点Q对应的数,根据“Q到B的距离与P 到B的距离相等”列方程求解即可;
(2)当点R运动了x秒时,分别表示出点P、点Q、点R对应的数为,得出AQ的长,
由中点的定义表示出点M 、点N 对应的数,求出MN 的长.根据MN +AQ =25列方程,分三种情况讨论即可. 【详解】
(1)∵|a -20|+|c +10|=0, ∴a -20=0,c +10=0, ∴a =20,c =﹣10. 设点B 对应的数为b .
∵BC =2AB ,∴b ﹣(﹣10)=2(20﹣b ). 解得:b =10.
当运动时间为t 秒时,点P 对应的数为20+2t ,点Q 对应的数为﹣10+5t . ∵Q 到B 的距离与P 到B 的距离相等, ∴|﹣10+5t ﹣10|=|20+2t ﹣10|, 即5t ﹣20=10+2t 或20﹣5t =10+2t , 解得:t =10或t =107
. 答:运动了
10
7
秒或10秒时,Q 到B 的距离与P 到B 的距离相等.
(2)当点R 运动了x 秒时,点P 对应的数为20+2(x +2)=2x +24,点Q 对应的数为﹣10+5(x +2)=5x ,点R 对应的数为20﹣x ,∴AQ =|5x ﹣20|. ∵点M 为线段PR 的中点,点N 为线段RQ 的中点, ∴点M 对应的数为224202x x ++-=442
x
+,
点N 对应的数为2052
x x
-+=2x +10, ∴MN =|
442
x
+﹣(2x +10)|=|12﹣1.5x |. ∵MN +AQ =25,∴|12﹣1.5x |+|5x ﹣20|=25. 分三种情况讨论:
①当0<x <4时,12﹣1.5x +20﹣5x =25,
解得:x =14
13
;
当4≤x ≤8时,12﹣1.5x +5x ﹣20=25, 解得:x =
66
7>8,不合题意,舍去; 当x >8时,1.5x ﹣12+5x ﹣20=25, 解得:x 3
114
1=
.
综上所述:x的值为14
13
或
114
13
.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性以及两点间的距离,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键.
3.(1)80°;(2)140°
【解析】
【分析】
(1)根据角平分线的定义得∠BOM=1
2
∠AOB,∠BON=
1
2
∠BOD,再根据角的和差得
∠AOD=∠AOB+∠BOD,∠MON=∠BOM+∠BON,结合三式求解;(2)根据角平分线的定
义∠MOC=1
2
∠AOC,∠BON=
1
2
∠BOD,再根据角的和差得∠AOD=∠AOC+∠BOD-∠BOC,
∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC结合三式求解.【详解】
解:(1)∵OM平分∠AOB,ON平分∠BOD,
∴∠BOM=1
2
∠AOB,∠BON=
1
2
∠BOD,
∴∠MON=∠BOM+∠BON=1
2
∠AOB+
1
2
∠BOD=
1
2
(∠AOB+∠BOD).
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=α=160°,
∴∠MON=1
2
×160°=80°;
(2)∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,
∴∠MOC=1
2
∠AOC,∠BON=
1
2
∠BOD,
∵∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC,
∴∠MON=1
2
∠AOC+
1
2
∠BOD -∠BOC=
1
2
(∠AOC+∠BOD )-∠BOC.
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD,∠AOC=∠AOB+∠BOC,
∴∠MON=1
2
(∠AOB+∠BOC+∠BOD )-∠BOC=
1
2
(∠AOD+∠BOC )-∠BOC,
∵∠AOD=α,∠MON=60°,∠BOC=20°,
∴60°=1
2
(α+20°)-20°,
∴α=140°.
【点睛】
本题考查了角的和差计算,角平分线的定义,明确角之间的关系是解答此题的关键. 4.(1)40o;(2)84o;(3)7.5或15或45
【解析】 【分析】
(1)利用角的和差进行计算便可;
(2)设AOE x ∠=?,则3EOD x ∠=?,BOF y ∠=?,通过角的和差列出方程解答便可;
(3)分情况讨论,确定∠MON 在不同情况下的定值,再根据角的和差确定t 的不同方程进行解答便可. 【详解】
解:(1))∵∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOD+∠COD=∠AOB+∠COD 又∵∠AOD+∠BOC=160°且∠AOB=120° ∴COD AOD BOC AOB ∠=∠+∠-∠
160120=?-? 40=?
(2)
3DOE AOE ∠=∠,3COF BOF ∠=∠
∴设AOE x ∠=?,则3EOD x ∠=?,BOF y ∠=?
则3COF y ∠=?,
44120COD AQD BOC AOB x y ∴∠=∠+∠-∠=?+?-?
EOF EOD FOC COD ∠=∠+∠-∠
()()3344120120x y x y x y =?+?-?+?-?=?-?+?
7
2
EOF COD ∠=∠
7
120()(44120)2
x y x y ∴-+=+-
36x y ∴+=
120()84EOF x y ∴?+??∠=-=
(3)当OI 在直线OA 的上方时,
有∠MON=∠MOI+∠NOI=12(∠AOI+∠BOI ))=12∠AOB=1
2
×120°=60°, ∠PON=
1
2
×60°=30°,
∵∠MOI=3∠POI,
∴3t=3(30-3t)或3t=3(3t-30),
解得t=15
2
或15;
当OI在直线AO的下方时,
∠MON═1
2
(360°-∠AOB)═
1
2
×240°=120°,
∵∠MOI=3∠POI,
∴180°-3t=3(60°-6120
2
t-
)或180°-3t=3(
6120
2
t-
-60°),
解得t=30或45,
综上所述,满足条件的t的值为15
2
s或15s或30s或45s.
【点睛】
此是角的和差的综合题,考查了角平分线的性质,角的和差计算,一元一次方程(组)的应用,旋转的性质,有一定的难度,体现了用方程思想解决几何问题,分情况讨论是本题的难点,要充分考虑全面,不要漏掉解.
5.(1)35°;(2)∠AOE﹣∠BOF的值是定值,理由详见解析;(3)4.
【解析】
【分析】
(1)首先根据角平分线的定义求得∠AOE和∠BOF的度数,然后根据∠AOE﹣∠BOF求解;
(2)首先由题意得∠BOC=3t°,再根据角平分线的定义得∠AOC=∠AOB+3t°,∠BOD=∠COD+3t°,然后由角平分线的定义解答即可;
(3)根据题意得∠BOF=(3t+14)°,故
3
31420
2
t t
+=+,解方程即可求出t的值.
【详解】
解:(1)∵OE平分∠AOC,OF平分∠BOD,
∴11
AOE AOC 11022?∠=
∠=?=55°,11AOF BOD 402022
??∠=∠=?=, ∴∠AOE ﹣∠BOF =55°﹣20°=35°; (2)∠AOE ﹣∠BOF 的值是定值 由题意∠BOC =3t°,
则∠AOC =∠AOB+3t°=110°+3t°,∠BOD =∠COD+3t°=40°+3t°, ∵OE 平分∠AOC ,OF 平分∠BOD ,
()
11AOE AOC 1103t =22??∴∠=∠=?+3
552
t ??+
∴()
113
BOF BOD 403t 20t 222
????∠=
∠=+=+, ∴33AOE BOF 55t 20t 3522?
?????
???
∠-∠=+
-+= ? ??
???
, ∴∠AOE ﹣∠BOF 的值是定值,定值为35°; (3)根据题意得∠BOF =(3t+14)°, ∴3
314202
t t +=+, 解得4t =. 故答案为4. 【点睛】
本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质,理解角度之间的和差关系是关键. 6.(1)4;(2)-3.5或-0.5;(3)t 的值为1116、1316、138或118
. 【解析】 【分析】
(1)先求出AB 的长,由长方形ABCD 的面积为12,即可求出AD 的长;
(2)由三角形ADP 面积为3,求出AP 的长,然后分两种情况讨论:①点P 在点A 的左边;②点P 在点A 的右边.
(3) 分两种情况讨论:①若Q 在B 的左边,则BQ = 3-3t .由|S △BDQ -S △BPC |=1
2
,解方程即可;②若Q 在B 的右边,则BQ = 3t -3.由|S △BDQ -S △BPC |=1
2
,解方程即可. 【详解】
(1)AB =1-(-2)=3.
∵长方形ABCD 的面积为12,∴AB ×AD =12,∴AD =12÷3=4. 故答案为:4.
(2)三角形ADP 面积为:12AP ?AD =1
2
AP ×4=3, 解得:AP =1.5,
点P 在点A 的左边:-2-1.5=-3.5,P 点在数轴上表示-3.5; 点P 在点A 的右边:-2+1.5=-0.5,P 点在数轴上表示-0.5. 综上所述:P 点在数轴上表示-3.5或-0.5.
(3)分两种情况讨论:①若Q 在B 的左边,则BQ =AB -AQ =3-3t . S △BDQ =
12BQ ?AD =1(33)42t -?=66t -,S △BPC =12BP ?AD =1
42
t ?=2t , 1(66)22
t t --=,680.5t -=±,解得:t =1316或1116;
②若Q 在B 的右边,则BQ =AQ -AB =3t -3.
S △BDQ =12BQ ?AD =1(33)42t -?=66t -,S △BPC =12BP ?AD =1
42
t ?=2t ,
1(66)22
t t --=,460.5t -=±,解得:t =138或11
8.
综上所述:t 的值为1116、1316、138或11
8
.
【点睛】
本题考查了数轴、一元一次方程的应用,用到的知识点是数轴上两点之间的距离公式. 7.(1)75°,150°;(2)15°;(3)15°. 【解析】 【分析】
(1)根据三角板的特殊性角的度数,求出∠AOC 即可,把∠AOC 、∠BOC 、∠AOB 相加即可求出射线OA ,OB ,OC 组成的所有小于平角的和; (2)依题意设∠2=x ,列等式,解方程求出即可;
(3)依据题意求出∠BOM ,∠COM ,再根据角平分线的性质得出∠MOE ,∠MOF ,即可求出∠EOF . 【详解】
解:(1)∵∠BOC =30°,∠AOB =45°, ∴∠AOC =75°,
∴∠AOC +∠BOC +∠AOB =150°;
答:由射线OA ,OB ,OC 组成的所有小于平角的和是150°; 故答案为:75;
(2)设∠2=x ,则∠1=3x +30°, ∵∠1+∠2=90°, ∴x +3x +30°=90°, ∴x =15°, ∴∠2=15°, 答:∠2的度数是15°;
(3)如图所示,∵∠BOM =180°﹣45°=135°,∠COM =180°﹣15°=165°, ∵OE 为∠BOM 的平分线,OF 为∠COM 的平分线,
∴∠MOF=1
2
∠COM=82.5°,∠MOE=
1
2
∠MOB=67.5°,
∴∠EOF=∠MOF﹣∠MOE=15°.
【点睛】
本题主要考查了三角板各角的度数、角平分线的性质及列方程解方程在几何中的应用,熟记概念是解题的关键.
8.(1)n= 8;(2)-2.5或2.5;(3)n=4或n=12.
【解析】
【分析】
(1)根据“n节点”的概念解答;
(2)设点D表示的数为x,根据“5节点”的定义列出方程分情况,并解答;
(3)需要分类讨论:①当点E在BA延长线上时,②当点E在线段AB上时,③当点E在
AB延长线上时,根据BE=1
2
AE,先求点E表示的数,再根据AC+BC=n,列方程可得结论.
【详解】
(1)∵A表示的数为-2,B表示的数为2,点C在数轴上表示的数为-4,∴AC=2,BC=6,
∴n=AC+BC=2+6=8.
(2)如图所示:
∵点D是数轴上点A、B的“5节点”,
∴AC+BC=5,
∵AB=4,
∴C在点A的左侧或在点A的右侧,
设点D表示的数为x,则AC+BC=5,
∴-2-x+2-x=5或x-2+x-(-2)=5,
x=-2.5或2.5,
∴点D表示的数为2.5或-2.5;
故答案为-2.5或2.5;
(3)分三种情况:
①当点E在BA延长线上时,
∵不能满足BE=1
2 AE,
∴该情况不符合题意,舍去;
②当点E在线段AB上时,可以满足BE=1
2
AE,如下图,
n=AE+BE=AB=4;
③当点E在AB延长线上时,
∵BE=1
2 AE,
∴BE=AB=4,
∴点E表示的数为6,
∴n=AE+BE=8+4=12,
综上所述:n=4或n=12.
【点睛】
本题考查数轴,一元一次方程的应用,解题的关键是掌握“n节点”的概念和运算法则,找出题中的等量关系,列出方程并解答,难度一般.
9.(1)﹣4,6;(2)①4;②1319
,
22
或
【解析】
【分析】
(1)根据多项式的常数项与次数的定义分别求出a,b的值,然后在数轴上表示即可;(2)①根据PA﹣PB=6列出关于t的方程,解方程求出t的值,进而得到点P所表示的数;②在返回过程中,当OP=3时,分两种情况:(Ⅰ)P在原点右边;(Ⅱ)P在原点左边.分别求出点P运动的路程,再除以速度即可.
【详解】
(1)∵多项式3x6﹣2x2﹣4的常数项为a,次数为b,
∴a=﹣4,b=6.
如图所示:
故答案为﹣4,6;
(2)①∵PA=2t,AB=6﹣(﹣4)=10,
∴PB=AB﹣PA=10﹣2t.
∵PA﹣PB=6,
∴2t﹣(10﹣2t)=6,解得t=4,
此时点P所表示的数为﹣4+2t=﹣4+2×4=4;
②在返回过程中,当OP=3时,分两种情况:
(Ⅰ)如果P 在原点右边,那么AB+BP =10+(6﹣3)=13,t =132
; (Ⅱ)如果P 在原点左边,那么AB+BP =10+(6+3)=19,t =19
2
. 【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用,路程、速度与时间关系的应用,数轴以及多项式的有关定义,理解题意利用数形结合是解题的关键.
10.(1)6秒钟;(2)4秒钟或8秒钟;(3)点Q 的速度为7/cm s 或2.4/cm s . 【解析】 【分析】
(1)设经过ts 后,点P Q 、相遇,根据题意可得方程2330t t +=,解方程即可求得t 值;(2)设经过xs ,P Q 、两点相距10cm ,分相遇前相距10cm 和相遇后相距10cm 两种情况求解即可;(3)由题意可知点P Q 、只能在直线AB 上相遇,由此求得点Q 的速度即可. 【详解】
解:(1)设经过ts 后,点P Q 、相遇. 依题意,有2330t t +=, 解得:6t =.
答:经过6秒钟后,点P Q 、相遇;
(2)设经过xs ,P Q 、两点相距10cm ,由题意得
231030x x ++=或231030x x +-=, 解得:4x =或8x =.
答:经过4秒钟或8秒钟后,P Q 、两点相距10cm ;
(3)点P Q 、只能在直线AB 上相遇,
则点P 旋转到直线AB 上的时间为:()120430s =或()120180
1030
s +=, 设点Q 的速度为/ycm s ,则有4302y =-,
解得:7y =; 或10306y =-, 解得 2.4y =,
答:点Q 的速度为7/cm s 或2.4/cm s . 【点睛】
本题考查了一元一次方程的综合应用解决第(2)(3)问都要分两种情况进行讨论,注意不要漏解.
11.(1)详见解析;(2)①16;②在移动过程中,3AC ﹣4AB 的值不变 【解析】 【分析】
(1)根据点的移动规律在数轴上作出对应的点即可;
(2)①当t=2时,先求出A、B、C点表示的数,然后利用定义求出AB、AC的长即可;
②先求出A、B、C点表示的数,然后利用定义求出AB、AC的长,代入3AC-4AB即可得到结论.
【详解】
(1)A,B,C三点的位置如图所示:
.
(2)①当t=2时,A点表示的数为-4,B点表示的数为5,C点表示的数为12,∴AB=5-(-4)=9,AC=12-(-4)=16.
②3AC-4AB的值不变.
当移动时间为t秒时,A点表示的数为-t-2,B点表示的数为2t+1,C点表示的数为3t +6,则:AC=(3t+6)-(-t-2)=4t+8,AB=(2t+1)-(-t-2)=3t+3,∴3AC-4AB=3(4t+8)-4(3t+3)=12t+24-12t-12=12.
即3AC﹣4AB的值为定值12,∴在移动过程中,3AC﹣4AB的值不变.
【点睛】
本题考查了数轴上的动点问题.表示出对应点所表示的数是解答本题的关键.
12.(1)90°;(2)30°;(3)12秒或48秒.
【解析】
【分析】
(1)依据图形可知旋转角=∠NOB,从而可得到问题的答案;
(2)先求得∠AOC的度数,然后依据角的和差关系可得到∠NOC=60°-
∠AON,∠AOM=90°-∠AON,然后求得∠AOM与∠NOC的差即可;
(3)可分为当OM为∠BOC的平分线和当OM的反向延长为∠BOC的平分线两种情况,然后再求得旋转的角度,最后,依据旋转的时间=旋转的角度÷旋转的速度求解即可.
【详解】
(1)由旋转的定义可知:旋转角=∠NOB=90°.
故答案为:90°
(2)∠AOM﹣∠NOC=30°.
理由:∵∠AOC:∠BOC=1:2,∠AOC+∠BOC=180°,
∴∠AOC=60°.
∴∠NOC=60°﹣∠AON.
∵∠NOM=90°,
∴∠AOM=90°﹣∠AON,
∴∠AOM﹣∠NOC=(90°﹣∠AON)﹣(60°﹣∠AON)=30°.
(3)如图1所示:当OM为∠BOC的平分线时,
∵OM 为∠BOC 的平分线, ∴∠BOM =∠BOC =60°, ∴t =60°÷5°=12秒.
如图2所示:当OM 的反向延长为∠BOC 的平分线时,
∵ON 为为∠BOC 的平分线, ∴∠BON =60°.
∴旋转的角度=60°+180°=240°. ∴t =240°÷5°=48秒. 故答案为:12秒或48秒. 【点睛】
本题主要考查的是三角形的综合应用,解答本题主要应用了旋转的定义、直角三角形的定义以及角的和差计算,求得三角板旋转的角度是解题的关键. 13.(1)16;(2)①t 的值为3或143秒;②存在,P 表示的数为31
4
. 【解析】 【分析】
(1)由数轴可知,AB=3,则CD=6,所以D 表示的数为16,
(2)①当运动时间是t 秒时,在运动过程中,B 点表示的数为3+2t,A 点表示的数为2t, C 点表示的数为10-t ,D 点表示的数为16-t ,分情况讨论两条线段重叠部分是2个单位长度解答即可;②分情况讨论当t=3秒, t=14
3
秒时,满足3BD PA PC -=的点P , 注意P 为线段AB 上的点对x 的值的限制. 【详解】 (1)16
(2)①在运动过程中,B 点表示的数为3+2t,A 点表示的数为2t,C 点表示的数为10-t ,D 点表示的数为16-t.
当BC =2,点B 在点C 的右边时, 由题意得:32-10-2BC t t =+=(),
解得:t =3,
当AD=2,点A 在点D 的左边时, 由题意得:16--22AD t t ==, 解得:t =
143
. 综上,t 的值为3或143
秒 ②存在,理由如下:
当t=3时,A 点表示的数为6,B 点表示的数为9,C 点表示的数为7,D 点表示的数为13. 则13-94-6|-7|BD PA x PC x ====,,,
-3BD PA PC =,
()4--6|-7|x x ∴=,
解得:314x =或112
, 又
P 点在线段AB 上,则69x ≤≤ 314x ∴=.
当143t =时,A 点表示的数为
283,B 点表示的数为373,C 点表示的数为16
3,D 点表示的数为343
. 则37343816-1-|-|3333
BD PA x PC x =
===,,, -3BD PA PC =,
∴ 2816
1--
|-|33
x x ??= ???, 解得:7912x =或
17
6
, 又
283733
x ≤≤, x ∴无解
综上,P 表示的数为31
4
. 【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及数轴,解题的关键是:(1)由路程=速度×时间结合运动方向找出运动t 秒时点A 、B 、C 、D 所表示的数,(2)根据3BD PA PC -=列出关于t 的含绝对值符号的一元一次方程. 14.(1)见解析;(2)∠OQP=180°+
12x°﹣12y°或∠OQP=12x°﹣1
2
y°.
【解析】
【试题分析】(1)分下面两种情况进行说明;
①如图1,点P在直线AB的右侧,∠APB+∠MON+∠PAO+∠PBO=360°,
②如图2,点P在直线AB的左侧,∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO,
(2)分两种情况讨论,如图3和图4.
【试题解析】
(1)分两种情况:
①如图1,点P在直线AB的右侧,∠APB+∠MON+∠PAO+∠PBO=360°,
证明:∵四边形AOBP的内角和为(4﹣2)×180°=360°,
∴∠APB=360°﹣∠MON﹣∠PAO﹣∠PBO;
②如图2,点P在直线AB的左侧,∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO,
证明:延长AP交ON于点D,
∵∠ADB是△AOD的外角,
∴∠ADB=∠PAO+∠AOD,
∵∠AP B是△PDB的外角,
∴∠APB=∠PDB+∠PBO,
∴∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO;
(2)设∠MON=2m°,∠APB=2n°,
∵OC平分∠MON,
∴∠AOC=∠MON=m°,
∵PQ平分∠APB,
∴∠APQ=∠APB=n°,
分两种情况:
第一种情况:如图3,∵∠OQP=∠MOC+∠PAO+∠APQ,即∠OQP=m°+x°+n°①∵∠OQP+∠CON+∠OBP+∠BPQ=360°,
∴∠OQP=360°﹣∠CON﹣∠OBP﹣∠BPQ,即∠OQP=360°﹣m°﹣y°﹣n°②,①+②得2∠OQP=360°+x°﹣y°,
∴∠OQP=180°+x°﹣y°;