正切-余切图像的性质-反三角函数.

正切、余切函数图象和性质反三角函数

[知识要点]

1．正切函数、余切函数的图象与性质

2．反三角函数的图象与性质

3．已知三角函数值求角

[目的要求]

1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点.

2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质.

3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题.

4．能用反三角函数值表示不同范围内的角.

[重点难点]

1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角

[内容回顾]

一、正切函数与余切函数图象

由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象.

作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法.

与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图

象上三点及两条重要的辅导线——

渐近线，来作正切函

数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”.

若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案.

二、正、余切函数的性质

由图象可得:

上单增

，奇函数

注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）.

2、每个单调区间一定是连续的.

3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内.

三、反三角函数的概念和图象

四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之

成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义:

1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数.

y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数.

y=tanx，x∈的反函数记作y=arctanx, x∈R，称为反正切函数.

y=cotx，x∈(0, π)的反函数记作y=arccotx, x∈R，称为反余切函数.

2．反三角函数的图象

由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象.

注:（1）y=arcsinx, x ∈[-1,1]

图象的两个端点是

（2）y=arccosx, x ∈[-1,1]图象的两个端点是（1，0）和（-1，π）.

（3）y=arctanx, x ∈R

图象的两条渐近线是和.

（4）y=arccotx, x ∈R 图象的两条渐近线是y=0和y=π.

四、反三角函数的性质由图象，有

另外:

1．三角的反三角运算

arcsin(sinx)=x(x ∈) arccos(cosx)=x (x ∈[0, π])

arctan(tanx)=x(x ∈) arccot(cotx)=x(x ∈(0, π))

2．反三角的三角运算

sin(arcsinx)=x (x ∈[-1,1]) cos(arccosx)=x (x ∈[-1,1]) tan(arctanx)=x (x ∈R) cot(arccotx)=x (x ∈R)