最新高中数学导数知识点归纳总结及例题

导 数

考试内容：

导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c 为常数)、y=xn(n ∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．

§14. 导 数 知识要点

1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x

x f x x f x y ?-?+=

??)

()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y

x x ?-?+=??→?→?)()(lim

lim

0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，

记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x

x f x x f x y

x x ?-?+=??→?→?)()(lim

lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零.

②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：

⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 导

数

导数的概念

导数的运算

导数的应用

导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值

常见函数的导数 导数的运算法则

于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000

00

x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→

).

()(0)()(lim lim )

()(lim )]()()([

lim 000'0000000000x f x f x f x f x

x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x

x x y ??=

??|

|，当x ?＞0时，1=??x y ；当x ?＜0时，1-=??x

y ，故x y

x ??→?0lim

不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

3. 导数的几何意义：

函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为

).)((0'0x x x f y y -=-

4. 求导数的四则运算法则：

''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=?

''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数）

)0(2

'''

≠-=??

?

??v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、

积、商不一定不可导.

例如：设x x x f 2sin 2)(+=，x

x x g 2

cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和

=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导.

5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ??=或x u x u y y '''?= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

6. 函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；

如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.

注：①0)( x f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)( x f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)( x f 是f （x ）递减的充分非必

要条件.

②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）

当函数)(x f 在点0x 处连续时，

①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.

也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①

. 此外，函数不

可导的点也可能是函数的极值点②

. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.

②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.

8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：

I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '

= 2

'

11)(arcsin x

x -=

1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= 2

'11)(arccos x

x --

=

II. x x 1)(ln '

= e x x a a log 1)(log '= 1

1)(arctan 2'+=x x

x x e e =')( a a a x x ln )('= 1

1)cot (2'+-

=x x arc

III. 求导的常见方法： ①常用结论：x

x 1

|)|(ln '=

.②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两

边同取自然对数，可转化求代数和形式.

③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边

求导可得x x x x x y y x y y x

x x y y +=?+=??+=ln ln 1

ln '''.

导数中的切线问题

例题1：已知切点，求曲线的切线方程

曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ）

例题2：已知斜率，求曲线的切线方程

与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）

注意：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用?法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0?=，得1b =-，故选Ｄ．

例题3：已知过曲线上一点，求切线方程

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．

例题4：已知过曲线外一点，求切线方程

求过点(20)，且与曲线1

y x =相切的直线方程．

练习题： 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程． 看看几个高考题

1.（2009全国卷Ⅱ）曲线21

x

y x =

-在点()1,1处的切线方程为2.（2010江西卷）设函数2

()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为

3.（2009宁夏海南卷）曲线21x

y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为 。 4.（2009浙江）（本题满分15分）已知函数3

2

()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； 5.（2009北京）（本小题共14分）

设函数3

()3(0)f x x ax b a =-+≠.

（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值；

.1 函数的单调性和导数

1．利用导数的符号来判断函数单调性: 一般地，设函数()y f x =在某个区间可导，

如果在这个区间内'

()0f x >，则()y f x =为这个区间内的 ； 如果在这个区间内'()0f x <，则()y f x =为这个区间内的 。 2．利用导数确定函数的单调性的步骤：

(1) 确定函数f (x )的定义域； (2) 求出函数的导数；

(3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间； 解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间．

【例题讲解】

a) 求证：3

1y x =+在(,0)-∞上是增函数。

b)

确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.

【课堂练习】

1．确定下列函数的单调区间 (1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3

２．已知函数x x x f ln )(=，则（ ）

A ．在),0(+∞上递增

B ．在),0(+∞上递减

C ．在??? ??e 1,0上递增

D ．在??

? ??e 1,0上递减

３．函数53)(2

3--=x x x f 的单调递增区间是_____________．

函数图象及其导函数图象 1. 函数()y f x =在定义域3

(,3)2

-内可导，其图象如

图，记()y f x =的导函数为/

()y f x =，则不等式/

()0f x ≤的解集为_____________ 2. 函数)(x f 的定义域为开区间3

(,3)2

-

，导函数)(x f '在3

(,3)2

-内的图象如图所示，则函数)

(x f 的单调增区间是

_____________ )(x f y '=

3. 如图为函数32()f x ax bx cx d =+++的图象，'()f x 为函数

()f x 的导函数，则不等式'()0x f x ?<的解集为_____ _

4. 若函数2

()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则其导函

数'()f x 的图象是（ ）

5. 函数()y f x =的图象过原点且它的导函数'()f x 的图象是如图所示的一

条直线，则()y f x =图象的顶点在（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

6. (2007年广东佛山)设)(x f '是函数)(x f 的导函数,)(x f y '=

的图象如右图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ ）

7. 设函数f (x )在定义域内可导，y=f (x )的图象如下左图所示，则导函数y=f '(x )的图象可能

为( )

8. （安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右图

所示，则()y f x '=的图像可能是

（

）

O 1 2 x

y x

y

y O

1 2 y O

1 2 x

O 1

2

x

A

B

C D

O

1 2

x

y

o

y

x

-33

)(x f y '=

9. (2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已

知函数f x ()的导函数2f x ax bx c '=++()的图象如右图，则f x ()的图象可能是( )

10. （2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某一

容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）

(A) (B) (C)

(D)

11. (2008广州二模文、理)已知二次函数()x f 的图象如图1所示 , 则其导函数()x f

'

的图

象大致形状是（ ）

12. （2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数．．．

在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是

( )

x

o

y O t

h

h t O h t O O t h 正视图侧视图

俯视图

A ．

B ．

C ．

D ．

13. （福建卷11）如果函数)(x f y =的图象如右图，那么导

函数()y f x '=的图象可能是 ( )

14. （2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么

y=f(x),y=g(x)的图象可能是 （ ）

15. (2008珠海一模文、理)设)('x f 是函数)(x f 的导函数，将)(x f y =和)('x f y =的图

像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

16. (湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数

)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（ ）

函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点

函数

)(x f 有2个极大值点，2个极小值点 函数)(x f 有3个极大值点，1个极小值点 函数)(x f 有1个极大值点，3个极小值点

17. (2008珠海质检理)函数)(x f

的定义域为x

y

1x x

4 O 2x 3x ????a

b a

b a

o x

o

x

y

b a o

x

y

o x y

b y

),(b a ，其导函数),()(b a x f 在'内的图象如图所示，则函数)(x f 在区间),(b a 内极小

值点的个数是（ ）

(A).1 (B).2 (C).3 (D).4

18. 【湛江市·文】函数2

2

1ln )(x x x f -=的图象大致是

A ．

B ．

C ． D

．

19.

20. 【珠海·文】如图是二次函数a bx x x f +-=2

)(的部分图

象，则函数)(ln )(x f x x g '+=的零点所在的区间是 （ ） A.)21,41( B.)1,2

1(

C.)2,1(

D.)3,2( 21.

22. 定义在R 上的函数)(x f 满足(4)1f =．)(x f '为)(x f 的导函

数，已知函数)(x f y '=的图象如右图所示.若两正数b a ,满足

1)2(<+b a f ，则2

2

b a ++的取值范围是 （ ）

A ．11(,)32

B ．()1(,)3,2-∞+∞

C ．1

(,3)2

D ．(,3)-∞-

23.

24. 已知函数3

2

()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，

其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：

（Ⅰ）0x 的值； （Ⅱ）,,a b c 的值. x

x

x

x

y y y

y

O

O

O O x

y

O