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微积分习题册(精华版)

微积分练习题册

第一章

函数

1. 1

y x

是无穷小量； 2. 奇函数与偶函数的和是奇函数；

3. 设arcsin y u =

，u =

2arcsin 2+=x y ；

4. 函数 1

lg lg y x

= 的定义域是 1x > 且 10x ≠； 5. 函数 2

x y e -= 在 (0,)+∞ 内无界；

6. 函数 21

1y x =+ 在 (0,)+∞ 内无界；

7. 2

1()cos x f x x

-= 是奇函数；

8. ()f x x = 与

2()g x = 是相同函数； 9. 函数 x y e = 是奇函数；

10. 设 ()sin f x x = ，且2[()]1f x x ?=-，则()x ?的定义域是 (0,1)； 11. y x = 与

y 是同一函数； 12. 函数 31y x x =++ 是奇函数；

13. 函数 1

arcsin 2

x y -= 的定义域是(1,3)- ；

14. 函数 cos3y x = 的周期是 3π ；

15. y x = 与 2

x y x

= 不是同一个函数；

16. 函数 cos y x x =是偶函数 .

填空题

1. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________；

2. 设

cos 0()0x

x f x x ≤??=?>?? ，则 (0)f = __________；

3. 设 x x x f --=24)(2

，则 )2(-f = _______ ；

4. 设 x

x f 1

)(=，x x g -=1)( ，则 )]([x g f = _______ ；

5. 复合函数2

(sin )x y e =是由 ________, ________, _______函数复合而成的； 6. 函数 43y x =- 的反函数是 _______ ；

7. 已知 11

()1f x x =- ，则 (2)f = __________ ；

y =

，其定义域为 __________ ； 9. 设函数 2

()1

x f x x -=- ，则 (1)f -= __________；

10. 考虑奇偶性，函数 ln(y x = 为 ___________ 函数；

11. 函数 2x y e = 的反函数是 1

ln 2

y x = ,它的图象与 2x y e = 的图象关于

________ 对称 .

选择题

1. 函数 3

--=

x x y 的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B) [2,]+∞

(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D)有增有减 3. 下列函数中，是奇函数的是 ( )

(A)42y x x =- (B) 2y x x =- (C)22x x y -=- (D)22x x y -=+

4. 已知函数 20()10ax b

x f x x x +

，则(0)f 的值为 ( )

(A) a b + (B) b a - (C) 1 (D) 2

第二章极限与连续

判断题

1. 函数在点 0x 处有极限，则函数在 0x 点极必连续；

2. 0x → 时，x 与 sin x 是等价无穷小量；

3. 若 00(0)(0)f x f x -=+，则 )(x f 必在 0x 点连续；

4. 当 0x → 时，2sin x x +与 x 相比是高阶无穷小；

5. 函数 221y x =+ 在 (,)-∞+∞ 内是单调的函数；

6. 设 )(x f 在点 0x 处连续，则 00(0)(0)f x f x -=+ ；

7. 函数 2

1sin ,0()0,0x x f x x

x ?≠?

=??=? 在 0x = 点连续； 8. 1=x 是函数 1

2--=

x x y 的间断点； 9.

()sin f x x = 是一个无穷小量；

10. 当 0→x 时，x 与 )1ln(2x + 是等价的无穷小量； 11. 若 )(lim 0

x f x x → 存在，则 )(x f 在 0x 处有定义；

12. 若x 与y 是同一过程下两个无穷大量，则x y -在该过程下是无穷小量；

13. 22--=x y 是一个复合函数；

14. 2

sin lim 0=+→x x x x ；

15. 01

lim sin 1x x x

→= ；

16. 22

lim(1)x x e x

-→∞+= ；

17. 11

,0,,0,,0,48

1数列收敛2；

18. 函数 1

sin y x

= 在

0x = 点连续；

19. 当0x +→x ；

20. 函数 1

()cos f x x x

= ，当 x →∞ 时为无穷大；

21. 当 1x → 时， ln x 与 1x - 是等价无穷小量；

22. 0x = 是函数 ln(2)

x y x

-= 的间断点；

23. 以零为极限的变量是无穷小量；

24. sin lim 1x x

→∞= ；

25. 0sin 25

lim sin 52

x x x →= ；

26. 无穷大量与无穷小量的乘积是无穷小量； 27. ln(1)x +~x ；

28. 1

lim sin 1x x x

→∞= ；

29. 110

lim(1)x

x x e -→-= ；

30. 0tan lim

1x x

→= .

填空题

1. sin lim x x

→∞= _______ ；

2. 711lim 1

x x x →-=- ______ ； 3. x

x x

x sin lim

+∞→ = _______ ； 4. 函数 92

2-+=x x y 在 _______ 处间断；

253lim 22

-+∞→n n n n = _______； 6. 函数 x y ln = 是由 ______， ______ ，______复合而成的；

7. 2

211

1arcsin x

x y -+-= 的定义域是 ______ ；

8. 当 0x → 时，1cos x - 是比 x ______ 阶的无穷小量；

9. 当 0x → 时，若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = ______；

10.

0lim x +→= __________ ；

11. 设 sin 2,0(),0x

x f x x a x ?≠?

=??=? 连续，则 a = _________ ；

12.

0lim

h h

→=___________ ； 13. 函数 y x = 在点 _________连续，但不可导；

14. 2

lim(1)x x x →∞-=________；

15. 0ln(13)

lim sin 3x x x →+=

_________ ；

16. 设 21,0()0,

0x e x f x x -??

≠=??=? 在 0x = 处________（是、否）连续；

17. 当0x →

3是______（同阶、等价）无穷小量.

选择题

1. 当 0x →时，x

y 1

sin = 为 ( )

(A) 无穷小量 (B) 无穷大量 (C) 有界变量但不是无穷小量 (D) 无界变量 2. 1x +→ 时，下列变量中为无穷大量的是 ( )

(A) 113-x (B) 112

--x x (C) x 1

(D) 112--x x

已知函数2,()1,f x x ?-?

=-?11001x x x ≤--<<≤<，则1

l im ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( )

(A) 都存在 (B) 都不存在

4. 函数 ()12

f x ??

=??? 11x x ≠= 的连续区间是 ( ) (A)(,1)-∞ (B)(1,)+∞ (C)(,1)(1,)-∞?+∞ (D) (,)-∞+∞ 5. 函数 4cos 2y x = 的周期是 ( )

(A) 4π (B) 2π (C) π (D) 2

6. 设 232,0

()2,0

x x f x x x +≤?=?->? ，则 0

lim ()x f x +

→= ( ) (A) 2 (B) 0 (C) 1- (D) 2-

7. 函数 1,0

()1,0

x f x x ≥?=?-

(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续

8. 当 n →∞ 时，1

sin n n

是 ( )

(A)无穷小量 (B) 无穷大量 (C) 无界变量 (D) 有界变量

9. 02lim 5arcsin x x

→= ( )

(A) 0 (B) 不存在 (C) 2

(D) 1

10. ()f x 在点 0x x = 处有定义，是 ()f x 在 0x x =处连续的 ( )

(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 11. 下列极限存在的有 ( )

(A)2(1)lim x x x x →∞+ (B) 01lim 21x x →- (C) 1

0lim x

x e →

(D) x

计算与应用题

1. 设 )(x f 在点 2x =处连续，且232

,2(),x x x f x a ?-+?-??

=?????

22=≠x x ，求 a

2. 求极限 20cos 1

lim 2x x x

→-

3. 求极限 121lim(

)21

x x x x +→∞

4. 5

2lim 43-+-∞→x x x x

5. x x x

0)4

1(lim -→

6. 2)211(lim -∞

→-

x x x

7. 2

0cos 1lim x x

x -→

8. 求 2111

lim()22

n n →∞++

9. 求极限 22

lim(1)n n n

→∞-

10. 求极限 lim(

x x x →∞

11. 求极限 211

lim ln x x x

→-

12. 201

lim x x e x x →--

13. 21002

lim(1)x x x +→∞+

14. 求

lim x →-

15. 21lim(

)1x

x x x →∞

16. 求 3131

lim()11x x x

→---

第三章导数与微分

判断题

1. 若函数)(x f 在0x 点可导，则00()[()]f x f x ''=；

2. 若)(x f 在0x 处可导，则 )(lim 0

x f x x → 一定存在；

3. 函数 x x x f =)( 是定义区间上的可导函数；

4. 函数 x x f =)( 在其定义域内可导；

5. 若 )(x f 在 [,]a b 上连续，则 )(x f 在 (,)a b 内一定可导；

6. ()(),()f x f x y e y e f x ''''==已知则；

7. 函数 22,1()ln ,014

x x f x x x ?≥?

=?<

8. 若 (),n f x x = 则 ()(0)!n f n = ；

9. 2()2d ax b ax += ；

10. 若 ()f x 在 0x 点不可导，则 ()f x 在 0x 不连续； 11. 函数 ()f x x x = 在点 0x = 处不可导 .

填空题

()f x = ，则 (0)f '= _________ ；

2. 曲线 3y x = 在点 (1,1) 处的切线方程是 ________ ；

3. 设 ln e x e y x e x e =+++，则 y '= ______ ；

4. sin(1)x y e =+ ，dy =_______ ；

5. 设 222e x y x += ，则 y ' = ________ ；

6. 设 e x y n += ，则 ()n y = ________ ；

7. 曲线 x e x y += 在点 (0,1) 的处的切线方程是_______；

8. 若 )(x u 与 )(x v 在 x 处可导，则 ])

()

(['x v x u = _________ ； 9. ()x x ' = _______；

10. 设 )(x f 在 0x 处可导，且 A x f =')(0，则 h

h x f h x f h )

3()2(lim

000--+→用A 的代数式表示为_______ ；

11. 导数的几何意义为 ________________________ ；

12. 曲线

y = 在 (1,1) 处的切线方程是 ___________ ；

13. 曲线 31y x =+ 在 (1,0)- 处的切线方程是 ___________ ； 14. 函数 32sin(1)y x x =+ 的微分 dy =__________ ； 15. 曲线 2y x = 在点 (0,0)处切线方程是_________ ； 16. dy y -? 的近似值是 _________ ；

17. n y x =(n 是正整数)的 n 阶导数是 ________ .

选择题

1. 设)(x f 在点0x 处可导，则下列命题中正确的是 ( )

(A) 000()()lim x x f x f x x x →-- 存在 (B) 000

()()

lim x x f x f x x x →--不存在

lim x f x f x x

?→-?不存在

2. 设)(x f 在点0x 处可导且0

001

lim

(2)()4

x x f x x f x →=--，则0()f x '等于

( )

(A) 4 (B) –4 (C) 2 (D) –2

设 21,10

()1

,02x x f x x ?+-<≤=?<≤? ，则)(x f 在点x = 0 处 ( )

(A) 可导 (B) 连续但不可导 (C) 不连续 (D) 无定义 4.

设 ()y f x = 可导，则 (2)()f x h f x -- = ( ) (A) ()()f x h o h '+ (B) 2()()f x h o h '-+ (C) ()()f x h o h '-+ (D) 2()()f x h o h '+

设 (0)0f = ，且 0()lim x f x x → 存在，则 0()

lim x f x x

→＝ ( )

(A) ()f x ' (B) (0)f ' (C) (0)f (D) 1

(0)2

f '

函数 )

(x f e y =，则 ="y ( )

(A) )(x f e (B) )(")(x f e x f

函数 x x x f )1()(-=的导数为 ( )

(A)x x x )1(- (B)1)1(--x x (C)x x x ln (D))]1ln(1

[)1(-+--x x x

x x

函数)(x f 在 0x x =处连续，是 )(x f 在 0x 处可导的 ( )

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

(A) 91x - (B) 91x (C) 98!x (D) 98!

10. 函数 x

x f =)( 在 0=x 处 ( )

(A) 连续但不可导 (B) 连续且可导

11. 函数 1,0

()1,0

x f x x ≥?=?-

(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续 12. 设 x x y e e -=+ ，则 y ''=( )

(A) x x e e -+ (B) x x e e -- (C) x x e e --- (D) x x e e --+

13. 函数 0,0

()1

,0x f x x x

≤??=?>?? ，在点 0x = 不连续是因为 ( ) (A) (00)(0)f f +≠ (B) (00)(0)f f -≠ (C) (00)f +不存在 (D) (00)f -不存在

14. 设 1

(2)1

f x x +=+ ，则 ()f x '= ( )

(A) 21(1)x -- (B) 2

(1)x -+ (C) 11x + (D) 11

x -- 15. 已知函数 2ln y x = ，则 dy =（）

(A) 2dx x (B) 2x (C) 21

x (D) 21dx x

16. 设 21cos ,0()0,01

tan ,0x x x f x x x x x

==???>? ，则 ()f x 在 0x =处（）

(A) 极限不存在 (B) 极限存在，但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导 17. 已知 sin y x = ，则 (10)y = ( )

(A) sin x (B) cos x (C) sin x - (D) cos x -

计算与应用题

1. 设 f(x) = x

a a x arccos 22-- (0a >), 求 (2)f a '-

2. 设 ln()y xy = 确定 y 是 x 的函数，求 dx

3. 设 x

x y 1

cos 1ln += ，求 dy

4. 设 21

(1)arctan cos 2

y x x x =++，求 y '

5. 设 x y e y ln = 确定 y 是 x 的函数，求 dx

6. 设 )ln(ln x y =，求 dy

7. 221

arcsin x y e x x

=+-y , 求 'y 及 dy

8. ln tan 2

y = ，求 'y 及 dy

9. sin()y x y =+ ，求 'y 及 dy

10. 2

cos 5ln x x y -+= ，求 y ' 及 dy

11. y e =，求 y ' 及 dy

12. xy e y x -= ，求 y ' 及 dy

13. 已知 2cos 3y x =，求 y '

14. 设 22sin 0y x y --=，求 y '

15. 求 13cos x y e x -= 的微分

16. 设 ln(y x x =，求 y '

17. 设 cos 2x y e = ，求 dy 18. 方程 0y x e e xy -+= 确定 y 是 x 的函数，求 y '

19. 设 2

2arctan()1x

y x

=- ，求 y ' 20. 方程 2cos 0y y x e += 确定 y 是 x 的函数，求 y '

21. 3cos cos x y x x e =+ ，求 dy

22. ln y x x = ，求 y ''

23. 已知 ln(y x = ，求 y '

24. 设 x y x = ，求 y '

25. 已知 ()sin3f x x = ，求 ()2f π

26. 求 2x

e y x

= 的微分

第四章导数的应用

判断题

1. y 轴是曲线 2

4(1)

2x y x

+=- 的铅垂渐近线； 2. 曲线 3

y x x =- 在(,0)-∞是下凹的，在(0,)+∞是上凹的；

3. 1x = 是 31

()3

f x x x =- 在 [2,2]-+ 上的极小值点；

4. 曲线 y =在 0x = 点没有切线；

函数可导，极值点必为驻点；

6. 函数的极值只可能发生在驻点和不可导点；

7. 直线 2y =- 是曲线2)

1(42

-+=x x y 的水平渐近线；

8. 1

x = 是曲线 234161x x y -= 的拐点；

9. 若 )(x f 在 [,]a b 上连续，在 (,)a b 内可导，12a x x b <<<，

则至少存在一点 12(,)x x ξ∈，使得 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ； 10. 若 0)(0='x f ，0)(0<''x f ，则 )(0x f 是 )(x f 的极大值；

11. 函数 )12ln()(+=x x f 在 [0,2] 上满足拉格朗日定理； 12. 若 0x x = 是函数)(x f 的极值点，则0)('0=x f ； 13. 函数 )(x f 在 [,]a b 上的极大值一定大于极小值； 14. 当 x 很小时，ln(1)x x +≈ ；

15. 30sin 1

lim 3

x x x x →-= ；

16. 曲线 3y x = 的拐点是 (0,0)；

17. 函数 ()y f x = 在 0x x = 点处取得极大值，则 0()0f x '= 或不存在； 18. 0()0f x '=是可导函数()y f x =在0x x =点处取得极值的充要条件； 19. 曲线 1ln y x =+ 没有拐点；

20. 设()()()f x x a x ?=-，其中函数()x ?在x a =处可导，则 ()()f a a ?'= ；

21. 因为 1y x = 在区间(0,1)内连续，所以在(0,1)内 1

y x

= 必有最大值；

填空题

1. 求曲线 5

3(2)y x =- 的拐点是 ________； 2. 求曲线 2

x y x =+ 的渐近线为________ ；

3. lim n

ax x x e

→+∞ （ 0,a > n 为正整数）= ________ ；

4. 幂函数 y x α=（ α为常数）的弹性函数是 _________ ；

5. 221y x x =--+ 的单调递增区间为 __________ ；

6. 函数

()f x = 的间断点为 x = ______ ；

7. 函数 1

2+=x y 的单调下降区间为 ______ ；

8. 设 322++=ax x y 在点 1x = 处取得极小值，则 a = _______ ； 9. 设 3)(a x y -= 在 (1,)+∞ 是上凹的，则 a = ______ ；

10. 若函数 )(x f 在区间 (,)a b 内恒有 ()0f x ''>，则曲线 )(x f y = 在

(,)a b 内的凹向是_______；

11. 若 3)(-=''x x f ，则曲线 )(x f y = 的拐点横坐标是 ______ ； 12. 函数 32y x =+ 在 3x = 处的弹性是 ________ ； 13. 函数 33y x x =- 的单调递减区间是 __________ ；

14. x y e -= 的渐近线为 _______ ；

15. 设需求函数(83)Q p p =-，P 为价格，

则需求弹性值2

P EQ

Ep ==_______ ；

16. 函数

(1)(2)

y x x =-- 有 ______ 个间断点；

17.

函数y =[0,5]上满足拉格朗日中值定理的ξ= ______ ； 18. 函数 2(1)y x =-- 的单调递增区间是 _________ ；

19. 函数 2cos y x x =+ 在区间 [0,]2

上的最大值是 __________ ；

20. 曲线

y =的下凹区间是 __________ ；

21. 函数22y x x =-在[0,2]上满足拉格朗日中值定理的 ξ=__________ ； 22. 函数

y x = 在区间 [0,1] 上的最小值是 _________ .

选择题

函数 sin y x = 在区间 [0,]π 上满足罗尔定理的 ξ= ( )

(A) 0 (B) 4π

π (D) π

2. 曲线 2

1x y x

=+ 的铅垂渐近线的方程是 ( )

(A) 1y =- (B) 1y = (C) 1x =- (D) 1x = 3. 函数 ()y f x = 在点 0x x = 处取得极大值，则必有（）

(A) 0()0f x '= (B) 0()0f x ''<

1. 求极限 1

1lim(

)1ln x x x x

→-- 2.

设某产品价格与销量的关系为 10P Q =-（Q 为销量），求： (1) 销量为 30 时的总收益；

(2) 销量为 30时的平均收益； (3) 销量为 30时的边际收益；

(4) 销量为 30时，销量对价格的弹性。

某商品的需求函数为 275Q P =-（ P 为价格，Q 为需求量） (1) 求 4P =时的边际需求；

(2) 求4P = 时的需求弹性，说明经济意义；

(3) 4P = 时，若价格上涨 1% ，总收益变化百分之几？ (4) P 为多少时，总收益最大？最大总收益是多少？

4. 设某糕点加工厂生产 A 类糕点的总成本函数和总收入函数分别是

()10020.02()70.01C x x x R x x x

=++=+

(1) 求边际利润函数；

(2) 当产量分别是 200公斤，250 公斤和 300公斤时的边际利润，并

说明其经济意义。

设商品的需求函数为 4

P Q e -= ，求： (1) 需求弹性函数；

(2) 当 4P = 时的需求弹性，并说明其经济意义。

某商品的成本函数为 4

1000)(2

Q Q C C +==，求：

(1) 20Q =时的总成本，平均成本及边际成本；

(2) 产量 Q 为多少时，平均成本最小？并求最小平均成本。

7. 工厂生产某种产品总成本 ()8125C x x =+ （万元）,其中x 为产品件数，将其投放市场后，所得到的总收入为 2()120.004R x x x =-（万元）。问该产品生产多少件时，所获得利润最大，最大利润是多少？

8. 某工厂生产某种产品x 吨，所需要的成本 ()5200C x x =+（万元）,将其投放市场后，所得到的总收入为 2()100.01R x x x =-（万元）。问该产品生产多少吨时，所获得利润最大，最大利润是多少？ 9.

某产品的总成本 C （万元）与总收益 R （万元）都是产量 x （百台）的函数，其边际成本函数为 C x '= ，边际收益函数为 83R x '=-， (1) 产量多大时，总利润最大？

(2) 从利润最大的生产量又生产了100台，总利润改变了多少？

10. 已知某产品的需求函数为 105

P =-，成本函数为 202C Q =+ ，求产量为多少时利润最大？并验证是否符合最大利润原则。

11. 设某商品的需求函数 5p

Q e -= ，求

(1) 需求弹性函数；

(2) 3P = , 5P = , 6P = 时的需求弹性。

第五章不定积分

判断题

1. ()()F x dx F x C '=+? ；

2. ?

+=C x f dx x f dx d

)()( ； 3.

若 )(x f 可导，则 ?=)()(x f x df ；

4. sin x 是 cos x 的一个原函数；

5. 若 3(),f x dx x C =+? 则 2()f x x = ；

6. 设()1f x '=且(0)0f =,则21

()2

f x dx x x C =-+? ；

cos sin 2cos x xdx x x x C =++? ；

填空题

1. =+?dx x 11

______ ；

2. 设 sin x e x + 是 )(x f 的一个原函数，则 ()f x ' = _______；

=?dx x x ln 1

_______ ；

微积分期末测试题及复习资料

一单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时二填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.

大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

高等数学下册试题(题库)及参考答案

高等数学下册试题库一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α，因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ．解由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2

微积分复习题题库超全

习题 1—2 1．确定下列函数的定义域：（1）91 2 -=x y ；（2）x y a arcsin log =；（3）x y πsin 2 = ；（4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 2 1 arccos 2x x y a -+-= 2．求函数 ?????=≠=) 0(0 )0(1sin x x x y 的定义域和值域。 3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？（1）2)(,)(x x g x x f ==；（2）2 sin 21)(,cos )(2π -==x g x x f ；（3）1)(,1 1 )(2-=+-= x x g x x x f ；（4）0)(,)(x x g x x x f == 。 4．设x x f sin )(=证明： ?? ? ?? +=-+2cos 2sin 2)()(x x x x f x x f ??? 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。 6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？（1）)1(22x x y -= （2）3 23x x y -=；（3）2211x x y +-=；（4）)1)(1(+-=x x x y ；（5）1cos sin +-=x x y （6）2 x x a a y -+=。 7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明：（1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数；（2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。 8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。 10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =；（3）x y πsin 1+=；（4）x x y cos =；（5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。 11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。（1）t x x y sin ,3== （2）2,x u a y u ==；（3）23,log 2+==x u u y a ；（4）2sin ,-==x u u y （5）3,x u u y == （6）2,log 2-==x u u y a 。 12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？（1）321)1(++=x y （2）2 )1(3+=x y ；

大学微积分复习题

0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导一、考试说明考试题型包括：选择题(10道题，每题２分或者3分）。填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。证明题(2道题，平均每题10分）。考试时间：90分钟。二、课程章节要点第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数１．考试内容集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求（１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。（2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限１．考试内容数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念（2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。（3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。（5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续１．考试内容函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求（1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。

微积分中10大经典问题

微积分中10大经典问题最初的想法来自大一，当时想效仿100个初等数学问题，整理出100个经典的高等数学问题（这里高等数学按广义理解）。可惜的是3年多过去了，整理出的问题不足半百。再用经典这把尺子一量，又扣去了一半。这里入选原则是必须配得起“经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平，尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。排名不分先后。 1）开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试，用不着太多的专业知识，不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！ 2）最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。答案是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。其解答一般变分书上均有。本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。最速降线问题通过引入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。 3）曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学家H.A.Schwarz举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。 4）处处连续处处不可导的函数。长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。

微积分试题及答案

5、ln 2111x y y x +-=求曲线，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 21x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim ββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分）1、1sin x y x =求函数的导数 2、 21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、31)x x +计算（ 6、21 0lim(cos )x x x + →计算五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2 )100R x x x =-（，总成本函数为2 ()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数21 y x x =+的图形（12分）六、证明题（每题6分） 1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x + →+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数一、选择题

1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B 二、填空题 1、0x = 2、6,7a b ==- 3、18 4、3 5、20x y +-= 三、判断题 1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、× 四、计算题 1、 1sin 1sin 1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )x x x x x x y x e e x x x x x x x x x x x '='='??=-+??? ?=-+（（ 2、 22()112(arctan )121arctan dy f x dx x x x dx x x xdx ='=+-++= 3、解： 2222)2)22230 2323(23)(23(22)(26) (23x y xy y y x y y x y y x y x y yy y x y --'+'=-∴'=--'----'∴''=-

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课一．关于积分的不等式 1．离散变量的不等式（1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。（3） Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。（4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。（5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。（6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1

关于高等数学方法与典型例题归纳

关于高等数学方法与典型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五曲天尧编写一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→

(微积分II)课外练习题期末考试题库

《微积分Ⅱ》课外练习题一、选择： 1. 函数在闭区间上连续是在上可积的． ( ) A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．无关条件 2. 二元函数定义域是． ( ) B． D．比较大小：． ( ) B． C． D．不确定 4.微分方程的阶数是． ( ) A．5 B．3 C．2 D．1 5.下列广义积分发散的是． ( ) A． B． C． D． 6.是级数收敛的条件． ( ) A．必要非充分 B．充分非必要 C．充分必要 D．无关7．如果点为的极值点，且在点处的两个一阶偏导数存在,则点必为的． ( ) 最大值点 B．驻点 C．最小值点 D．以上都不对微分方程是微分方程． ( ) A．一阶线性非齐次 B. 一阶齐次 C. 可分离变量的 D. 一阶线性齐次 9 .设是第一象限内的一个有界闭区域，而且。记，，，则的大小顺序是． ( ) C. D. 10. 函数的连续区域是． ( ) B. D.

1. ． ( ) B. C. D. 12．下列广义收敛的是． ( ) A． B． C． D．．下列方程中，不是微分方程的是． ( ) A． B． C． D．．微分方程的阶数是． ( ) A．5 B．3 C．2 D．1 ．二元函数的定义域是． ( ) A． B． C． D．．设，则 ( ) A． B． C． D．．= 其中积分区域D为区域：． ( ) A． B． C． D． 18．下列等式正确的是． ( ) A．B． C．D． 19．二元函数的定义域是． ( ) A． B． C． D． 20．曲线在上连续，则曲线与以及轴围成的图形的面积是．( ) A．B．C．D．|| ．． ( ) A． B． C． D． 22．= 其中积分区域D为区域：． ( ) A． B． C． D．

清华大学微积分试题库完整

(3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455)．过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 2 2 1x C C y + =。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312，则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725)．设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477)．函数x C x C y 2s i n 2c o s 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为04=+''y y 。 (4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。

大一上微积分试题(山东大学)

数学试题热工二班温馨提示：各位同学请认真答题，如果您看到有的题目有种似曾相识的感觉，请不要激动也不要紧张，沉着冷静的面对，诚实作答，相信自己，你可以的。祝你成功！一、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 1、求极限2 2lim (1)(1)......(1)n n x x x →∞ +++= (1x <) 2、曲线y=（2x-1）e x 1 的斜渐近线方程是（） 3、计算I=dx e x e x x ? -+2 2 41sin π π =（） 4、设y=x e x 1si n 1t an ，则'y =（） 5、已知()()() 100 2 1000 ln 1212x y x t t t ??=++-+? ?? ? ?dt ，求( ) ()x y 1001 二、选择题（共5小题，每题4分，共20分）６、设()0 ()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →? ?+ ? ? ?=>≠-求20 ()lim x f x x →＝（）Ａ．ln a Ｂ．Ａln a Ｃ２Ａln a Ｄ．Ａ７、函数 1.01 ().12 x x x f x e e x -≤

（）Ａ.当()f x 是偶函数时，()F x 必是偶函数Ｂ.当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数Ｃ．当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数Ｄ．当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数９、设函数()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是（）Ａ．2 0()x f t dt ? Ｂ．2 0()x f t dt ? Ｃ[]0 ()()x t f t f t - -?dt Ｄ．[]0 ()()x t f t f t + -?dt １０、设函数ｙ＝()f x 二阶导数，且 () f x 的一阶导数大于０， ()f x 二阶导数也大于０，x 为自变量ｘ在0x 处得增量，y 与dy 分别为()f x 在点0 x 处的增量与微分，若x ＞０，则（）Ａ．０＜dy ＜ y Ｂ．０＜y ＜dy Ｃ．y ＜dy ＜０Ｄ．dy ＜ y ＜０三、计算，证明题（共６０分）１１、求下列极限和积分（１）222 22 sin cos (1)ln(1tan ) lim x x x x x x e x →--+（５分）（２）3 5 sin sin x xdx π -? （５分）（３）lim (cos 1cos x x x →∞ +-）（５分）１２．设函数()f x 具有一阶连续导数，且 " (0)f （二阶）存在，(0) f

微积分考试题库(附答案)

85 考试试卷（一）一、填空 1．设c b a ,,为单位向量，且满足0=++c b a ，则a c c b b a ?+?+?= 2．x x e 10 lim +→= ，x x e 10 lim -→= ，x x e 1 lim →= 3．设2 11)(x x F -= '，且当1=x 时，π2 3)1(=F ，则=)(x F 4．设= )(x f ? dt t x 2sin 0 ，则)(x f '= 5．???>+≤+=0 ,0 ,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b 二、选择 1．曲线???==-0 1 22z y x 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为（）。（A ）12222=+-z y x ；（B ）122222=--z y x ；（C ）12222=--z y x ；（D ）122222=+-z y x 2．2 )1 1(lim x x x x -∞→-+=（）。（A ）1 （B ）2 1 e （C ）0 （D ）1-e 3．设函数)(x f 具有连续的导数，则=+'? dx x f x f x )]()([（）（A ）c x xf +)(；（B ）c x f x +')(；（C ）c x f x +'+)(；（D ）c x f x ++)( 4．设)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少有一点ξ，使得（）（A ）0)(='ξf （B ）a b a f b f f --= ') ()()(ξ

86 （C ）0)(=ξf （D ）a b dx x f a b f -=?)()(ξ 5．设函数x x a y 3sin 3 1sin +=在x = 3 π 处取得极值，则=a （）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三、计算题 1．求与两条直线?? ? ??+=+==2 11 t z t y x 及112211-= +=+z y x 都平行且过点（3，-2，1）的平面方程。 2．求下列极限（1）12cos 1lim 21 +-+→x x x x π；（2）1 arctan lim 30--→x x e x x 3．计算下列积分（1）?dx x sin ；（2） ? +dx x sin 21 （3）?+dx x x e ln 11 2；（4）?--+2/12/111dx x x 4．求下列导数或微分（1）设3 2 ) 1)(21()2(x x x y +--=，求dy 。（2）? ??+=+-=2 3)1ln(t t y t t x ，求22dx y d 。（3）x x x y sin )1( +=，求dy 。（4）设a y x =+，求隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d 。四、设)1,0()(],1,0[)(D x f C x f ∈∈，且1)2 1(,0)1()0(===f f f ，证明：（1）存在)1,2 1(∈η，使ηη=)(f （2）对任意实数λ，必存在),0(ηξ∈，使1])([)(=--'ξξλξf f

高等数学试题库

高等数学试题库第二章导数和微分一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数

大一微积分下册经典题目与解析

微积分练习册[第八章]多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念 1.填空题：（1）若y x xy y x y x f tan ),(2 2 -+=，则___________),(=ty tx f （2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________y f f x -== （3）若)0()(2 2 y y y x x y f += ，则__________)(=x f （4）若2 2),(y x x y y x f -=+，则____________),(=y x f （5）函数) 1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________ （6）函数y x z -= 的定义域是_______________ (7)函数x y z arcsin =的定义域是________________ （8）函数x y x y z 2222-+=的间断点是_______________ 2.求下列极限：（1）xy xy y x 4 2lim 0 0+-→→ (2)x xy y x sin lim 0→→ (3)2222220 0)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 3.证明0lim 2 2 ) 0,0(),(=+→y x xy y x 4.证明：极限0lim 2 42)0,0(),(=+→y x y x y x 不存在 5.函数?? ? ?? =≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用 1.填空题（1）设y x z tan ln =，则 __________________,=??=??y z x z ;

高等数学习题库

高等数学（1）复习题一、选择题 1．函数112-= x y 的定义域是（） A . (-1,1) B ．[-1,1] C ．(,1][1,)-∞-?+∞ D ．(,1)(1,)-∞-?+∞ 2、函数13lg(2) y x x =+++的定义域是（） A.(3,2)(1,)--?-+∞ B.(2,1)(1,)--?-+∞ C. (3,1)(1,)--?-+∞ D.(2,)-+∞ 3、函数1()ln(2) f x x =-的定义域是（） A.(2,)+∞ B.(3,)+∞ C.(2,3)(3,)+∞U D.(,2)(2,)-∞+∞U 4、下列各式中，运算正确的是（） 5. 设??? ????>≤≤---<+=1,011,11,21)(2x x x x x x f ，则)2(-f = ( ) A .2 3- B .3- C .0 D .25 6．若0 lim x x → f (x )存在, 则f (x )在点x 0是（） A . 一定有定义 B ．一定没有定义 C ．可以有定义, 也可以没有定义 D ．以上都不对 7．下列说法正确的是（）。 A . 无穷小量是负无穷大量 B ．无穷小是非常小的数 C ．无穷大量就是∞+ D ．负无穷大是无穷大量 8.下列说法正确的是( )

A.若函数()f x 在点0x 处无定义，则()f x 在点0x 处无极限。 B.无穷小是一个很小很小的数。 C.函数()f x 在点0x 处连续，则有：0 0lim ()()x x f x f x →= D.在(,)a b 内连续的函数()f x 在该区间内一定有最大值和最小值。 9.函数11 )(2--=x x x f ，当1→x 时的极是（） A.2- B. 2 C. ∞ D.极限不存在 10．极限1lim x →21 1x x -+=（） A ．0 B. 1 C ．2 D ．∞ 11．函数21 ()1x f x x -=+，当1x →-时的极限（） A ．2 B ． 2- C ． ∞ D ．极限不存在 12．极限1lim x →21 1x x ++=（） A ．0 B. 1 C ．2 D ．∞ 13．311 lim 1x x x →-=-（） A.1 B.2 C.3 D.4 14. 极限=-++-→221 lim 221x x x x x ( ) A. 21 B. 1 C .0 D .∞ 15．下列各式中正确的是（） A ．0sin lim 0=→x x x B ．1sin lim =∞→x x x C ．0sin lim 1=→x x x D ．1sin lim 0=→x x x

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