《圆》基础练习题

初中数学总复习：《圆》基础练习题

（一）选择题（每题2分，共20分）

1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有………………（ ）

（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个

【提示】若三点在一条直线上，则不能作出过这三点的圆，故②不对．【答案】B ．

【点评】本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念，其中第②个命题不对的原因在于忽视了过三点作图的条件．

2．下列判断中正确的是………………………………………………………………（ ）

（A ）平分弦的直线垂直于弦（B ）平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧

（C ）弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧（D ）平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦

【提示】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦，因此平分弦所对的两条弧．【答案】C ．

3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB ＝∠A ′OB ′＝60°，则………………（ ）

（A ）＝（B ）＞ （C ）的度数＝的度数 （D ）的长度＝的长度

【提示】因为在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，

而∠AOB ＝∠A ′OB ′，所以的度数＝的度数．【答案】C ．

4．如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，

的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC 等于………………………………………………………………………（ ）

（A ）60° （B ）100° （C ）80° （D ）130°

【提示】连结BC ，则∠AEC ＝∠B ＋∠C ＝2

1×60°＋2

1×100°＝80°．

【答案】C ．

5．圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2︰3︰6，则∠D 的度数是（ ）

（A ）67.5° （B ）135° （C ）112.5° （D ）110°

【提示】因为圆内接四边形的对角之和为180°，则∠A ＋∠C ＝∠B ＋∠D ＝180°．又因为∠A ︰∠B ︰∠C

＝2︰3︰6，所以∠B ︰∠D ＝3︰5，所以∠D 的度数为85×180°＝112.5°．【答案】C ． 6．OA 平分∠BOC ，P 是OA 上任一点，C 不与点O 重合，且以P 为圆心的圆与OC 相离，那么圆P 与

OB 的位置关系是………………………………………………（ ）

（A ）相离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）不确定

【提示】因为以点P 为圆心的圆与OC 相离，则P 到OC 的距离大于圆的半径．又因为角平分线上的一点到角的两边的距离相等，则点P 到OB 的距离也大于圆的半径，故圆P 与OB 也相离．【答案】A ．

7．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为（ ）

（A ）21（a ＋b ＋c ）r （B ）2（a ＋b ＋c ）（C ）3

1（a ＋b ＋c ）r （D ）（a ＋b ＋c ）r 【提示】连结内心与三个顶点，则△ABC 的面积等于三个三角形的面积之和，所以△ABC 的面积为

21a ·r ＋21b ·r ＋21c ·r ＝2

1（a ＋b ＋c ）r ．【答案】A ． 8．如图，已知四边形ABCD 为圆内接四边形，AD 为圆的直径，直线MN 切圆于点B ，DC 的延长线交MN 于G ，且cos ∠ABM ＝23

，则tan ∠BCG 的值为……（ ）

（A ）33 （B ）2

3 （C ）1 （D ）3

【提示】连结BD ，则∠ABM ＝∠ADB ．因为AD 为直径，所以∠A ＋∠ADB ＝90°，所以cos ∠ABM ＝2

3＝cos ∠ADB ＝sin A ，所以∠A ＝60°．又因四边形ABCD 内接于⊙O ，所以∠BCG ＝∠A ＝60°．则tan ∠BCG ＝3． 【答案】D ．

9．在⊙O 中，弦AB 和CD 相交于点P ，若P A ＝3，PB ＝4，CD ＝9，则以PC 、PD

的长为根的一元二次方程为…………………………………………………………（ ）

（A ）x 2＋9 x ＋12＝0 （B ）x 2－9 x ＋12＝0（C ）x 2＋7 x ＋9＝0 （D ）x 2－7 x ＋9＝0

【提示】设PC 的长为a ，则PD 的长为（9－a ），由相交弦定理得3×4＝a ·（9－a ）．所以a 2－9 a ＋12＝0，故PC 、PD 的长是方程x 2－9 x ＋12＝0的两根．【答案】B ．

10．已知半径分别为r 和2 r 的两圆相交，则这两圆的圆心距d 的取值范围是………（ ）

（A ）0＜d ＜3 r （B ）r ＜d ＜3 r （C ）r ≤d ＜3 r （D ）r ≤d ≤3 r

【提示】当两圆相交时，圆心距d 与两圆半径的关系为2 r －r ＜d ＜2 r ＋r ，即r ＜d ＜3 r ．【答案】B ．

（三）填空题（每题2分，共20分）

11．某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为_____．

【提示】如图，AB 为弦，CD 为拱高，则CD ⊥AB ，AD ＝BD ，且O 在CD 的延长线上．连结OD 、OA ，则OD

＝22AD OA -＝221213-＝5（米）．所以

CD ＝13－5＝8（米）． 【答案】8米．

12．如图，已知AB 为⊙O 的直径，∠E ＝20°，∠DBC ＝50°，则∠CBE ＝______．

【提示】连结AC ．设∠DCA ＝x °，则∠DBA ＝x °，所以∠CAB

＝x °＋20°．因为AB 为直径，所以∠BCA ＝90°，则∠CBA ＋

∠CAB ＝90°．

又 ∠DBC ＝50°，∴ 50＋x ＋（x ＋20）＝90．

∴ x ＝10．∴ ∠CBE ＝60°．【答案】60°．

13．圆内接梯形是_____梯形，圆内接平行四边形是_______．

【提示】因平行弦所夹的弧相等，等弧所对的弦相等，所以圆内接梯形是等腰梯形．同理可证圆内接平行四边形是矩形．【答案】等腰，矩形．

14．如图，AB 、AC 是⊙O 的切线，将OB 延长一倍至D ，若∠DAC ＝60°，则∠D ＝_____．

【提示】连结OA ．∵ AB 、AC 是⊙O 的切线，∴ AO 平分∠BAC ，且

OB ⊥AB ．又 OB ＝BD ，∴ OA ＝DA ．∴ ∠OAB ＝∠DAB ．

∴ 3∠DAB ＝60°．∴ ∠DAB ＝20°．∴ ∠D ＝70°．

15．如图，BA 与⊙O 相切于B ，OA 与⊙O 相交于E ，若AB ＝

5，EA ＝1，则⊙O 的半径为______．

【提示】延长AO ，交⊙O 于点F ．设⊙O 的半径为r ．

由切割线定理，得AB 2＝AE ·AF ．∴ （

5）2＝1·（1＋2 r ）． ∴ r ＝2．【答案】2．

16．已知两圆的圆心距为3，半径分别为2和1，则这两圆有______条公切线．

【提示】因为圆心距等于两圆半径之和，所以这两圆外切，故有两条外公切线，一条内公切线．

【答案】3．

17．正八边形有_____条对称轴，它不仅是______对称图形，还是_____对称图形．

【提示】正n 边形有n 条对称轴．正2n 边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．

【答案】8，轴，中心．

18．边长为2 a 的正六边形的面积为______． 【提示】把正六边形的中心与六个顶点连结起来，所得六个等边三角形全等．每个等边三角形的面积为43·（2 a ）2＝3a 2，所以正六边形的面积为63a 2． 19．扇形的半径为6 cm ，面积为9 cm 2，那么扇形的弧长为______，扇形的圆心角度数为_____．

【提示】已知扇形面积为9 cm 2，半径为6 cm ，则弧长l ＝

692?＝3；设圆心角的度数为n ，则1806π?n ＝3 cm ，所以n ＝π

90．【答案】3；π90?． 20．用一张面积为900 cm 2的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的底面直径

为_____．

【提示】面积为900 cm 2的正方形的边长为30 cm ，则底面圆的周长30 cm ．设直径为d ，则πd ＝30，故d ＝π30（cm ）．【答案】π

30 cm ． （三）判断题（每题2分，共10分）

21．相交两圆的公共弦垂直平分连结这两圆圆心的线段……………………………（ ）【答案】×．

【点评】相交两圆的连心线垂直平分公共弦，反过来公共弦不一定平分连结两圆圆心的线段．

22．各角都相等的圆内接多边形是正多边形…………………………………………（ ）【答案】×．

【点评】矩形内接于以对角线为直径的圆，但它不是正多边形．

23．正五边形既是轴对称图形，又是中心对称图形…………………………………（ ）【答案】×．

【点评】正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形．

24．三角形一定有内切圆………………………………………………………………（ ）【答案】√．

【点评】作三角形的两条角平分线，设交点为I ，过I 作一边的垂线段，则以点I 为圆心，垂线段长为半径的圆即三角形的内切圆．

25．平分弦的直径垂直于弦……………………………………………………………（ ）【答案】×．

【点评】当被平分的弦为直径时，两直径不一定垂直．

（四）解答题：（共50分）

26．（8分）如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，且AE ＝1 cm ，EB ＝5 cm ，

∠DEB ＝60°，求CD 的长．

【分析】因为AE ＝1 cm ，EB ＝5 cm ，所以OE ＝2

1（1＋5）－1＝2（cm ）．在Rt △OEF 中可求EF 的长，则EC 、ED 都可用DF 表示，再用相交弦定理建立

关于DF 的方程，解方程求DF 的长．

【略解】∵ AE ＝1 cm ，BE ＝5 cm ，∴ ⊙O 的半径为3 cm ．∴ OE ＝3－1

＝2（cm ）．在Rt △OEF 中，∠OEF ＝60°，∴ EF ＝cos 60°·OE ＝2

1·2＝1（cm ）．∵ OF ⊥CD ，∴ FC ＝FD ．∴ EC ＝FC －FE ＝FD －FE ，ED ＝EF ＋FD ．即 EC ＝FD －1，ED ＝FD ＋1．由相交弦定理，得 AE ·EB ＝EC ·ED ．∴ 1×5＝（FD －1）（FD ＋1）．解此方程，得 FD ＝6（负值舍去）．∴ CD ＝2FD ＝26（cm ）．

27．（8分）如图，AB 为⊙O 的直径，P 为BA 的延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，

CD ⊥AB ，垂足为D ，且P A ＝4，PC ＝8，求tan ∠ACD 和sin ∠P 的值．

【提示】连结CB ，易证△PCA ∽△PBC ，所以BC AC ＝PB PC ．由切割线定理可求PB 的长，所以 tan ∠ACD ＝tan ∠CBA ＝BC AC ＝PB

PC ．连结OC ，则在Rt △OCP 中可求 sin ∠P 的值．

【略解】连结OC 、BC ．∵ PC 为⊙O 的公切线，∴ PC 2＝P A ·PB ．

∴ 82＝4·PB ．∴ PB ＝16．∴ AB ＝16－4＝12．易证△PCA ∽△PBC ．∴

BC AC ＝PB

PC ．∵ AB 为⊙O 的直径，∴ ∠ACB ＝90°．又 CD ⊥AB ，∴ ∠ACD ＝∠B ．∴ tan ∠ACD ＝tan B ＝BC AC ＝PB PC ＝168＝2

1． ∵ PC 为⊙O 的切线，∴ ∠PCO ＝90°．∴ sin P ＝PO OC ＝106＝53． 28．（8分）如图，已知ABCD 是圆内接四边形，EB 是⊙O 的直径，且EB ⊥AD ，AD 与BC 的延长线交

于F ，求证FD AB ＝DC BC ．

【提示】连结AC ，证△ABC ∽△FDC ．显然∠FDC ＝∠ABC ．因为AD ⊥直径

EB ，由垂径定理得

＝，故∠DAB ＝∠ACB ．又因为∠FCD ＝∠DAB ，所

以

∠FCD ＝∠ACB ，故△ABC ∽△FDC ，则可得出待证的比例式．

【略证】连结AC ．∵ AD ⊥EB ，且EB 为直径，∴ ＝． ∴ ∠ACB ＝∠DAB ．∵ ABCD 为圆内接四边形，∴ ∠FCD ＝∠DAB ，∠FDC

＝∠ABC ．

∴ ∠ACB ＝∠FCD ．∴ △ABC ∽△FDC ．∴ FD AB ＝DC BC ．

29．（12分）已知：如图，⊙O 1与⊙O 2内切于点P ，过点P 的直线交⊙O 1于点D ，交⊙O 2于点E ；DA

与⊙O 2相切，切点为C ．*（1）求证PC 平分∠APD ；（2）若PE ＝3，P A ＝6，求PC 的长．

【提示】（1）过点P 作两圆的公切线PT ，利用弦切角进行角的转换；在（2）题中，可通过证△PCA ∽△PEC ，得到比例式PE PC ＝PC

PA ，则可求PC ． *（1）【略证】过点P 作两圆的公切线PT ，连结CE ．∵ ∠TPC ＝∠4，∠3＝∠D ．

∴ ∠4＝∠D ＋∠5，∴ ∠2＋∠3＝∠D ＋∠5．∴ ∠2＝∠5．

∵ DA 与⊙O 相切于点C ，∴ ∠5＝∠1．∴ ∠1＝∠2．即

PC 平分∠APD ．

（2）【解】∵ DA 与⊙O 2相切于点C ，∴ ∠PCA ＝∠4．

由（1），可知∠2＝∠1．∴ △PCA ∽△PEC ．

∴ PE PC ＝PC

PA ．即 PC 2＝P A ·PE ．∵ PE ＝3，P A ＝6，∴ PC 2＝18．∴ PC ＝32．

5．（14分）如图，⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆，点D 是劣弧的中点，连

结AD 并延长，与过C 点的切线交于P ，OD 与BC 相交于点E ．（1）求证OE ＝21AC ； *（2）求证：AP DP ＝22AC BD ；（3）当AC ＝6，AB ＝10时，求切线PC 的长． 【提示】（1）因为AO ＝BO ，可证OE 为△ABC 的中位线，可通过证OE ∥AC 得到OE 为中位线；（2）

连结CD ，则CD ＝BD ，可转化为证明AP DP ＝2

2

AC CD ．先证△PCD ∽△P AC ，得比例式AC CD ＝PC PD ，两边平方得22

AC CD ＝22PC PD ，再结合切割线定理可证得2

2AC CD ＝PA PD PD ?2＝PA

PD ；（3）利用（2）可求DP 、AP ，再利用勾股定理、切割线定理可求出PC 的长．

（1）【略证】∵ AB 为直径，∴ ∠ACB ＝90°，

即 AC ⊥BC ．∵ D 为的中点，由垂径定理，得

OD ⊥BC ．∴ OD ∥AC ．又∵ 点O 为AB 的中点，∴ 点E 为BC 的中点．∴ OE ＝

21AC ． *（2）【略证】连结CD ．∵ ∠PCD ＝∠CAP ，∠P 是公共角，∴ △PCD ∽△P AC ．∴ PC PD ＝AC

CD ． ∴ 22PC PD ＝22AC CD ．又 PC 是⊙O 的切线，∴ PC 2＝PD ·DA ．∴ PA PD PD ?2＝2

2AC CD ， ∴ PA PD ＝22AC CD ．∵ BD ＝CD ，∴ PA PD ＝22AC BD ．

（3）【略解】在Rt △ABC 中，AC ＝6，AB ＝10，∴ BC ＝

22610-＝8．∴ BE ＝4． ∵ OE ＝AC 2

1＝3，∴ ED ＝2．则在Rt △BED 中，BD ＝2

2BE ED +＝25， 在Rt △ADB 中，AD ＝22BD AB -＝45．∵ AC PD ＝22AC BD ，∴ 54+PD PD ＝36

20． 解此方程，得 PD ＝55，AP ＝95．又 PC 2＝DP ·AP ，∴ PC ＝5955?＝15．