人教版 高中数学 选修2-2 1.2.1基本初等函数的导数公式学案
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1．2 导数的计算
1．2.1 基本初等函数的导数公式
1．掌握各基本初等函数的求导公式．
2．能根据导数定义，求几个常用函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2
，y ＝1x
的导数．
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
基础梳理 1．几个常用函数的导数.
解析：几何意义：表示在函数y ＝x 的图象上每一点处的切线的斜率都为1； 物理意义：若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则f ′(x )＝1表示物体的瞬时速度始终为1，即物体做匀速直线运动．
2．基本初等函数的导数公式.
想一想：(1)计算过程：? ????cos 6′＝－sin 6＝－2，正确吗？ (2)已知f (x )＝x 2
，则f ′(3)＝________．
(1) 解析：不正确，因为cos π6＝3
2
，为常数，而常数的导数为0.
(2) 解析：因为f ′(x )＝2x ，所以f ′(3)＝2×3＝6.
自测自评 1．下列各式正确的是(D )
A ．(log a x )′＝1x
B ．(log a x )′＝ln 10
x
C ．(3x )′＝3x
D ．(3x )′＝3x
ln 3
2．已知函数f (x )＝? ??
??12x
，则函数图象在x ＝0处的切线方程为(B )
A ．x ln 2－y －1＝0
B ．x ln 2＋y －1＝0
C ．x ＋y ln 2－1＝0
D ．x －y ln 2－1＝0
解析：f ′(x )＝??????? ????12x ′＝? ????12x ln 12＝－? ????12x ln 2；所以切线的斜率为k ＝f ′(0)＝－
ln 2，又切点坐标为(0，1)，则切线方程为y －1＝－x ln 2，即x ln 2＋y －1＝0.故选B.
3．下列结论中正确的个数为(D )
①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－2
27；
③y ＝2x
，则y ′＝2x
ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝
1
x ln 2
.
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：对于y ＝ln 2，y ′＝0，所以①错；对于y ＝1x
2，y ′＝(x －2)′＝－2x －3
，所以y ′|x
＝3
＝－233＝－227
，所以②正确；对于y ＝2x ，y ′＝(2x )′＝2x ln 2，所以③正确；对于y ＝log 2x ，
y ′＝1
x ln 2
，所以④正确．故选D.
基础巩固
1．下列函数满足f (x )＝f ′(x )的是(C ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝x C ．f (x )＝0 D ．f (x )＝1
2．已知f (x )＝x n
且f ′(－1)＝－4，则n 等于(A ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 解析：∵f ′(x )＝nx n －1
，∴f ′(－1)＝n (－1)
n －1
＝－4.
若(－1)n －1
＝－1，则n ＝4，此时满足(－1)n －1
＝－1；
若(－1)
n －1
＝1，则n ＝－4，此时不满足(－1)
n －1
＝1.∴n ＝4故选A.
3．一个物体的运动方程为s (t )＝1－t ＋t 2
，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是(C )
A ．7米/秒
B ．6米/秒
C ．5米/秒
D ．8米/秒
解析：v (t )＝s ′(t )＝－1＋2t ，所以v (3)＝－1＋2×3＝5(米/秒)，故选C.
4．在点P (1，1)处与曲线y ＝x 4
相切的切线与直线4x －y ＋1＝0的位置关系是________． 解析：因为y ＝x 4
，所以y ′＝4x 3
，所以切线的斜率k ＝4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0，与已知直线平行．
答案：平行
能力提升
5．过曲线y ＝1
x
上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为(B )
A.? ??
??12，2
B.? ????12，2或? ????－12，－2
C.? ????－12，－2
D.? ??
??12，－2 6．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是(A )
A.??????0，π4∪????
??34π，π B ．[0，π)
C.??
????π4，34π D.?
?????0，π4∪??????π2，34π
解析：∵(sin x )′＝cos x ，∴直线l 的斜率k l ＝cos x ，
∴－1≤k l ≤1，∴直线l 的倾斜角的范围是??????0，π4∪????
??34π，π.
7．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝_____________. 解析：因为f ′(x )＝
1x ln a ，所以f ′(1)＝1
ln a
＝－1. 所以ln a ＝－1，所以a ＝1
e .
答案：1e
8．曲线y ＝x 3
在点(1，1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为________． 解析：∵y ′＝3x 2
.∴切线的斜率为y ′|x ＝1＝3×12
＝3，
∴切线方程为y －1＝3(x －1)，与x 轴的交点为? ??
??23，0，与直线x ＝2的交点为(2，4)．
∴S ＝12??????2－23×4＝83.
答案：83
9．已知函数y ＝a sin x ＋b 的图象过点A (0，0)，B ? ??
?
?3π2，－1，试求过原点的函数的
切线方程．
解析：因为y ＝a sin x ＋b 的图象过点A (0，0)，B ? ????3π2，－1，所以?????0＝b ，－1＝a sin 3π
2＋b ，解得???
??a ＝1，b ＝0，
所以y ＝sin x . 又因为y ′＝cos x ， 所有y ′|x ＝0＝1， 所以切线方程为y ＝x .
10. 已知抛物线y ＝x 2
，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解析：根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2
的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 2
0)，因为y ′＝2x ，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1,
所以x 0＝12，所以切点坐标为? ????12，14， 所以切点到直线x －y －2＝0的距离
d ＝
??????12－14－22
＝
72
8
，
所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.
高中高等数学常用导数积分公式查询表
导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
(完整版)基本初等函数的导数公式随堂练习
1.2.2 基本初等函数的导数公式 1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝e 3 ，则y ′＝0 B ．若y ＝ 1 x ，则y ′＝－1 2x C ．若y ＝－x ，则y ′＝－1 2x D ．若y ＝3x ，则y ′＝3 2．下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②? ????sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′|x =3＝－227.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．1 2 4．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．??????0，π4∪??????3π4，π B ．[0，π) C ．??????π4，3π4 D ．??????0，π4∪??????π2，3π4 5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2 )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.12e 2 B.94 e 2 C ．2e 2 D ．e 2 6．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N * )在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( ) A ．1n B ．1n ＋1 C ．n n ＋1 D ．1 课后探究 1．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为 2．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为
一、选择题 2．已知函数f (x )＝x 3 的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 4．y ＝x α 在x ＝1处切线方程为y ＝－4x ，则α的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．1 D ．－1 5．f (x )＝ 1x 3 x 2 ，则f ′(－1)＝( ) A ．52 B ．－52 C ．53 D ．－53 6.函数y ＝e x 在点(2，e 2 )处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( ) A ．94e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D ．e 2 2 二、填空题 7．曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n 等于________． 8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5 t ，则质点在t ＝32时的速度等于________． 9．在曲线y ＝4 x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________． 三、解答题 10．求证双曲线y ＝1 x 上任意一点P 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值． 一、选择题 11．(2014·北京东城区联考)曲线y ＝13x 3 在x ＝1处切线的倾斜角为( ) A ．1 B ．－π4 C ．π4 D ．5π4
常用基本初等函数求导公式积分公式
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则
设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或 ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出． 可以推出下表列出的公式：
高中数学导数与积分知识点
高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
高中数学公式大全 文科
第1页（共11页） 高中数学公式及知识点速记 （文科55个） 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x 、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在 上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在 上是减函数. (2)设函数)(x f y 在某个区间内可导，若0)( x f ，则)(x f 为增函数；若0)( x f ，则)(x f 为减函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f ，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f ，则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数)(x f y 在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y 在点0x 处的导数是曲线)(x f y 在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ，相应的切线方程是))((000x x x f y y .
第2页（共11页） 4、几种常见函数的导数 ①'C 0 ；②1')( n n nx x ； ③x x cos )(sin ' ；④x x sin )(cos ' ； ⑤a a a x x ln )(' ；⑥x x e e ')(； ⑦a x x a ln 1)(log ' ；⑧x x 1)(ln ' 5、导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v . （2）' ' ' ()uv u v uv . （3）'' '2()(0)u u v uv v v v . 6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数 y f x 的极值的方法是：解方程 0f x ．当 00f x 时： (1) 如果在0x 附近的左侧 0f x ，右侧 0f x ，那么 0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧 0f x ，右侧 0f x ，那么 0f x 是极小值． 二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 8、同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1 ，tan = cos sin . 9、正弦、余弦的诱导公式 k 的正弦、余弦，等于 的同名函数，前面加上把 看成锐角时该函数的符号； 2 k 的正弦、余弦，等于 的余名函数，前面加上把 看成锐角时该函数的符号。
基本初等函数的导数公式表
导数基本知识汇总试题 基本知识点： 知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、=c '0 2、 =n n x nx -1'（） （n 为正整数） 3、 ln =x x a a a '（） =x x e e '（） 4、ln =a long x x a 1'（） 5、ln =x x 1 '（） 6、sin cos =x x '（） 7、 cos sin =-x x '（） 8、=-x x 211'（） 知识点二：导数的四则运算法则 1、v =u v u '''±±（） 2、 =u v uv v u '''+（） 3、(=Cu Cu '' ） 4、u -v =u v u v v 2'''（） 知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b ，()f x '>0，则()f x 在此区间是增区间，(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b ，()f x '<0，则()f x 在此区间是减区间，(,)a b 为()f x 的单调减区间。 一、计算题 1、计算下列函数的导数； （1）y x 15= （2） )-y x x 3=≠0（ （3）)y x x 54=0 （ （4）)y x x 23=0 （ （5）)-y x x 23 =0 （ （6）y x 5=
（7）sin y x = （8）cos y x = （9）x y =2 （10）ln y x = （11）x y e = 2、求下列函数在给定点的导数； （1）y x 1 4= ，x =16 （2）sin y x = ，x π =2 （3）cos y x = ，x π=2 （4）sin y x x = ，x π =4 （5）3y x = ，11 28（，） （6）+x y x 2=1 ，x =1 （7）y x 2 = ，,24（）
高中数学导数题型总结
导数 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值； （2）若对于任意的[03]x ∈， ，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值围。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。
例7. 已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析：（1）()a x ax x x f 442 3 +--=，∴ ()423'2 --=ax x x f 。 （2）()04231'=-+=-a f ，2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3 4 =x ， 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ，最 小值为()2 9 1= -f 。 答案：（1）()423'2 --=ax x x f ；（2）最大值为275034- =?? ? ??f ，最小值为()2 91=-f 。 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。 考点七：导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。
基本初等函数的导数公式的推导过程
基本初等函数的导数公式推导过程 一、幂函数()f x x α=（α∈Q *）的导数公式推导过程 命题 若()f x x α=（α∈Q *），则()1f x x αα-'=． 推导过程 ()f x ' ()()()()()()000112220 011222011222011220 lim lim C C C C lim C C C C lim C C C lim lim C C C x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα αααααααααααααααααααααααα ααααααα?→?→--?→--?→--?→--?→+?-=?+?-=?+?+?++?-=?-+?+?++?=??+?++?=?=+?++L L L L ()11 11 C x x x ααααααα---?== 所以原命题得证． 二、正弦函数()sin f x x =的导数公式推导过程 命题
推导过程 ()f x ' ()() ()()()()0000020lim sin sin lim sin cos cos sin sin lim cos sin sin cos sin lim cos sin sin cos 1lim cos 2sin cos sin 12sin 1222lim x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→?→?→+?-=?+?-=??+?-=??+?-=??+?-=???????????+?-- ? ????????=2 00002sin cos cos 2sin sin 222lim 2sin cos cos sin sin 222lim 2sin cos 22lim sin 2lim cos 22x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→????????- ???=???????- ???=?????+ ???=?????????=+??? ???????? 当0x ?→时，sin 22 x x ??=，所以此时sin 212x x ?=?． 所以()0lim cos cos 2x x f x x x ?→???'=+= ??? ，所以原命题得证． 三、余弦函数()cos f x x =的导数公式推导过程 命题
高中数学选修2-2导数--导数的运算(解析版)
高中数学选修2-2导数--导数的运算（解析版） 1．若f (x )＝sin π 3 －cos x ，则f ′(α)等于( ) A ．Sin α B ．Cos α C ．sin π3＋cos α D ．cos π 3＋sin α [答案] A [解析] ∵f (x )＝sin π 3 －cos x ，∴f ′(x )＝sin x ，∴f ′(α)＝sin α，故选A. 2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1B ．n ＋2n ＋1C.n n －1 D ．n ＋1n [答案] A [解析] ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，∴数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和为： S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1 n (n ＋1)＝????1－12＋????12－13＋…＋????1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1 ，故选A. 3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( ) [答案] B [解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图象为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B. 4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．e － 1B ．－1C ．－e － 1 D ．－e [答案] C [解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1 e ， 解得f ′(e)＝－1 e ，故选C.
高中文科数学公式大全(完美版)
高三文科数学公式及知识点 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是 ))((000x x x f y y -'=-. 4、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos ' -=； ⑤a a a x x ln )(' =；⑥x x e e =' )(； ⑦a x x a ln 1)(log ' = ；⑧x x 1)(ln ' = 5、导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v ±=±. （2）' ' ' ()uv u v uv =+. （3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 8、同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=，tan θ= θ θ cos sin . 10、和角与差角公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±=.
高中导数公式大全
C'=0(C为常数函数)； (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数 (sinx)' = cosx； (cosx)' = - sinx； (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx (cscx)'=-cotx·cscx (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=-hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx (cschx)'=-cothx·cschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) (e^x)' = e^x； (a^x)' = a^xlna （ln为自然对数） (Inx)' = 1/x（ln为自然对数） (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2) .y=c(c为常数) y'=0 .y=x^n y'=nx^(n-1) .y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x y=lnx y'=1/x .y=sinx y'=cosx .y=cosx y'=-sinx .y=tanx y'=1/cos^2x .y=cotx y'=-1/sin^2x
基本初等函数的导数公式表
导数基本知识汇总试题 基本知识点： 知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、"0 2、 （乂7二心I （n 为正整数） 3、 Ca x y=a x \na Ce x y=e x （long a xy=-^— 4、 xina （lnxX=- 5、 x 6、 （sin Q 二 cos x 7 （cos x ）‘二-sin x '（ly=-± 8. x 对 知识点二：导数的四则运算法则 1、 （"土 v y=u ± v r 2、 （nv ）r =u F v + //v r 3、 （Cu7=Cu 4、 v 知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1. 如果在广（力＞°,则/a ）在此区间是增区间，为/（X ）的单调增区间。 2、如果在（""），广（x ）v0,则/（x ）在此区间是减区间，（心）为/（X ）的单调减区 间。 一、计算题 1. 计算下列函数的导数: (1) y = x 15 (2) y = x* (XH O) (3) 5 y = x 4 (x a 0) (4) 2 y = x^ (XA O) (5) 2 y = x 3 (X A 0) (6) y = x 5
(7) ＞，=v2 , 24) (7) y = sin x (8) y = cos x (9) y=r (10) y = In x (11) y = e x 2、求下列函数在给泄点的导数: 2 (1)尸存，“16 7T . X =— (4) y = xsinx , 4 x y = --- (6) 1+F ,兀=1 (2) y = sinx (3)y = cosx x = 2TT 3 (5) ＞，=v
基本初等函数及常数的导数公式
()()()()()()()( )( )()()1 222 2 ()'0 ()'()'ln '1 (log )'ln 1ln '(sin )'cos cos 'sin tan 'sec cot 'csc sec 'sec tan csc 'csc cot arcsin 'arccos '1arctan '11cot '1a a x x x x a c x ax a a a e e x x a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x x -========-==-==-= ==+-=+ 导数运算法则 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2'''''''''u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x v x u x v x u x v x u x u x ±=±=+??-= ? ???????
1220 ln 1ln 1log ln sin cos cos sin tan sec cot csc sec sec tan csc csc cot arcsin arccos 1arctan 1arc cot u u x x x x a dc dx ux dx de e dx da a adx d x dx x d x dx x a d x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d x x xdx d x x xdx d x dx d x dx d x dx x d x -========-==-==-= ==+-=211dx x + 微分的四则运算： ()()2()0d u v du dv d uv udv vdu v udv vdu d u u u ±=±=+-??=≠ ???
高中数学-导数的概念及运算练习
高中数学-导数的概念及运算练习 1．y ＝ln 1 x 的导函数为( ) A ．y ′＝－1 x B ．y ′＝1 x C ．y ′＝lnx D ．y ′＝－ln(－x) 答案 A 解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1 x . 2．(·东北师大附中摸底)曲线y ＝5x ＋lnx 在点(1，5)处的切线方程为( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．6x －y ＋1＝0 D ．6x －y －1＝0 答案 D 解析 将点(1，5)代入y ＝5x ＋lnx 成立，即点(1，5)为切点．因为y ′＝5＋1x ，所以y ′|x ＝1＝5＋1 1＝6. 所以切线方程为y －5＝6(x －1)，即6x －y －1＝0.故选D. 3．曲线y ＝x ＋1 x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 答案 D 解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2 （x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝ y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－1 2 ，故选D. 4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2 ＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 答案 D 解析 ∵s＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2 －3t ＋2. 令v ＝0，得t 2 －3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2. 5．(·郑州质量检测)已知曲线y ＝x 2 2－3lnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12 答案 A
基本初等函数的导数公式表
基本初等函数的导数 公式表 Revised on November 25, 2020
导数基本知识汇总试题 基本知识点： 知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、=c '0 2、=n n x nx -1'（） （n 为正整数） 3、ln =x x a a a '（） =x x e e '（） 4、ln =a long x x a 1 '（） 5、ln =x x 1 '（） 6、sin cos =x x '（） 7、cos sin =-x x '（） 8、=-x x 211 '（） 知识点二：导数的四则运算法则 1、v =u v u ''' ±±（） 2、=u v uv v u '''+（） 3、(=Cu Cu ''） 4、u -v =u v u v v 2'' '（） 知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b 内，()f x '>0，则()f x 在此区间是增区间，(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b 内，()f x '<0，则()f x 在此区间是减区间，(,)a b 为()f x 的单调 减区间。 一、计算题 1、计算下列函数的导数； （1）y x 15=
（2） )-y x x 3=≠0（ （3）)y x x 54=0 （ （4）)y x x 23=0 （ （5）)-y x x 23=0 （ （6）y x 5= （7）sin y x = （8）cos y x = （9）x y =2 （10）ln y x = （11）x y e = 2、求下列函数在给定点的导数； （1）y x 14= ，x =16 （2）sin y x = ， x π=2 （3）cos y x = ，x π=2 （4）sin y x x = ， x π=4 （5）3y x = ，1128（，）
基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式 学习目标： 掌握初等函数的求导公式； 学习重难点： 用定义推导常见函数的导数公式． 一、复习 1、导数的定义； 2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的流程图。 （1）求函数的改变量()(x f x x f y -?+=? （2）求平均变化率 x y = ?? （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ??→?0 lim 本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。 （1）、y=x （2）、y=x 2 （3）、y=x 3 问题：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？ 问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？ 二、学习过程 1、基本初等函数的求导公式： ⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '= ⑷ 2()2x x '= ⑸ 32()3x x '= ⑹ 2 1 1()x x '=- ⑺ '= 由⑶~⑹你能发现什么规律? ⑻ 1()x x ααα-'= （α为常数） ⑼ ()ln (01)x x a a a a a '=>≠， ⑽ a a 11(log x)log e (01) x xlna a a '= = >≠，且 ⑾ x x e )(e =' ⑿ x 1)(lnx =' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －=' 从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。
例1、求下列函数导数。 （1）5-=x y ( 2）x y 4= （3）x x x y = (4)x y 3log = （5）y=sin(2 π +x) (6) y=sin 3 π （7）y=cos(2π－x) 例2.若直线y x b =-+为函数1y x = 图象的切线,求b 的值和切点坐标. 变式1.求曲线y=x 2 在点(1,1)处的切线方程. 总结切线问题：找切点 求导数 得斜率 变式2:求曲线y=x 2过点(0,-1)的切线方程 变式3:已知直线1y x =-,点P 为y=x 2 上任意一点,求P 在什么位置时到直线距离最短. 三:课堂练习. 1.求下列函数的导数 (1)3y x = (2)y = (3)2 1y x = (4)3x y = (5)2log y x = (6)cos y x = 四、小结 （1）基本初等函数公式的求导公式 （2）公式的应用 随堂检测： 1. 已知3()f x x =,则'(1)f = 。 2．设y = ，则它的导函数为 。 3．过曲线3y x -=上的点1 (2,)8 的切线方程为 。 4．求下列函数的导函数 （1）2y x -= （2）y = (3）41y x = （4）2x y = （5）4log y x = （6）ln y x = （7）sin()2y x π=- （8）3cos()2 y x π =+ 5．求曲线x y e =在0x =处的切线方程。
基本初等函数导数公式附导数运算法则
1.2．2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）教学目的：1熟练掌握基本初等函数的导数公式。 2掌握导数的四则运算法则； 3能利用给出的公式和法则求解函数的导数。 教学重点难点 重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学安排：两课时 教学过程： 引入：复习巩固导数的基本公式，及其基本运算规律。 且 知识讲解： 一：基本初等函数的导数公式 为了方便我们将可以直接使用的基本初等函数的导数公式表如下：
关于表特别说明：1 常数函数 的导 数是 0； 2幂函数 导数是以对应幂函数的指数为系数 3 余弦函 数的导数是正弦函数的相反 数。 从图像上来看，正弦函数在区间上单调递增，瞬时变化率为正， 和余弦函数在该区间的正负是一致的， 余弦函数在区间上是单调递减，瞬时变化率为负， 和正弦函数在该区间的正负是相反的，故 有一个负号。 4
的导数是它自身。 5 例1计算下列函数的导数 强调：1幂函数和指数函数是两种不同的函数，关键是看变量所处的 位置是在底数上还是在指数上。 2 导函数的定义域决定于原函数的定义域。 练习：求下列函数的导数。 例 2．（课本P14例1）假设某国家在20 那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约 是多少（精确到0.01 ）？ /年） 在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．
提出问题： 10个年头，这种 0.01）？ 二导数的计算法则 推论1 导数不变） 2 （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数 的导数） 3 解决问题： 公式和求导法则，有 /年） 0.4元/年的速度上涨．例3 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数，并注明定义域。
导数的运算法则及基本公式应用
120 导数的运算法则及基本公式应用 导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导. ●难点磁场 (★★★★★)已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标. ●案例探究 ［例1］求函数的导数： )1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y x x x y ω 命题意图：本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型，属于★★★★级题目. 知识依托：解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数. 错解分析：本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错. 技巧与方法：先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y 222222222222222222222cos )1(sin )1)(1(cos )12(cos )1(] sin )1(cos 2)[1(cos )1(cos )1(]))(cos 1(cos )1)[(1(cos )1(cos )1(]cos )1)[(1(cos )1()1(:)1(++-+--=++---+-=+'++'+--+-=-+'+--+'-='解 (2)解：y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωx y ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′ =3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′) =3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx ) (3)解法一：设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则 y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·2 1v －21·2x =f ′(12+x )·21 112+x ·2x =),1(122+'+x f x x 解法二：y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′
高中数学导数及其应用.doc
高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （ 1）导数的定义
（Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x 在处有增量△x （△ x 可正可负），则函数y 相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率；
③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （ 2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记, 则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。 事实上，在点处的增量