第二类欧拉积分在半导体物理中的应用
浅谈欧拉积分【文献综述】
文献综述 信息与计算科学 浅谈欧拉积分 微积分成为一门学科来说是在十七世纪, 但是微分和积分的思想在古代就已经产生了. 公元前三世纪, 古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体体积的问题中, 就隐含着近代积分学的思想. 作为微分学基础的极限理论来说, 早在古代就有比较清楚的论述. 比如我国的周庄所著的《庄子》一书的“天下篇”中, 记有“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”. 三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细, 所失弥小, 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周和体而无所失矣．”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念. 极限的思想方法可追溯到古代. 中国数学家刘徽创立的割圆术用圆内接正九十六边形的面积近似代替圆面积, 求出圆周率 的近似值3.141024, 并指出: “割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以至不可割, 则与圆合体而无所失矣”. 刘徽对面积的深刻认识和他的割圆术方法, 正是极限思想的具体体现. 一个数列n a 如果当n 无限增大时, n a 与某一实数s 无限接近, 就称之为收敛数列, s 为数列的极限. 到了十七世纪, 有许多科学问题需要解决, 这些问题也就成了促使微积分产生的因素. 归结起来, 大约有四种主要类型的问题: 第一类是研究运动的时候直接出现的, 也就是求即时速度的问题; 第二类问题是求曲线的切线的问题; 第三类问题是求函数的最大值和最小值问题; 第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力. 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作, 如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格, 英国的巴罗、瓦里士, 德国的开普勒, 意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论, 为微积分的创立做出了贡献. 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一, 他不但为数学界作出贡献, 更把数学推至几乎整个物理的领域. 他对数学的研究如此广泛, 因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理．欧拉(Euler)积分是其重要贡献之
半导体物理知识点及重点习题总结
基本概念题： 第一章半导体电子状态 1.1 半导体 通常是指导电能力介于导体和绝缘体之间的材料，其导带在绝对零度时全空，价带全满，禁带宽度较绝缘体的小许多。 1.2能带 晶体中，电子的能量是不连续的，在某些能量区间能级分布是准连续的，在某些区间没有能及分布。这些区间在能级图中表现为带状，称之为能带。 1.2能带论是半导体物理的理论基础，试简要说明能带论所采用的理论方法。 答： 能带论在以下两个重要近似基础上，给出晶体的势场分布，进而给出电子的薛定鄂方程。通过该方程和周期性边界条件最终给出E-k关系，从而系统地建立起该理论。 单电子近似： 将晶体中其它电子对某一电子的库仑作用按几率分布平均地加以考虑，这样就可把求解晶体中电子波函数的复杂的多体问题简化为单体问题。 绝热近似： 近似认为晶格系统与电子系统之间没有能量交换，而将实际存在的这种交换当作微扰来处理。 1.2克龙尼克—潘纳模型解释能带现象的理论方法 答案： 克龙尼克—潘纳模型是为分析晶体中电子运动状态和E-k关系而提出的一维晶体的势场分布模型，如下图所示 利用该势场模型就可给出一维晶体中电子所遵守的薛定谔方程的具体表达式，进而确定波函数并给出E-k关系。由此得到的能量分布在k空间上是周期函数，而且某些能量区间能级是准连续的（被称为允带），另一些区间没有电子能级（被称为禁带）。从而利用量子力学的方法解释了能带现象，因此该模型具有重要的物理意义。 1.2导带与价带 1.3有效质量 有效质量是在描述晶体中载流子运动时引进的物理量。它概括了周期性势场对载流子运动的影响，从而使外场力与加速度的关系具有牛顿定律的形式。其大小由晶体自身的E-k 关系决定。 1.4本征半导体 既无杂质有无缺陷的理想半导体材料。 1.4空穴 空穴是为处理价带电子导电问题而引进的概念。设想价带中的每个空电子状态带有一个正的基本电荷，并赋予其与电子符号相反、大小相等的有效质量，这样就引进了一个假想的
无穷限广义积分的计算(1)
指导教师：陈一虎 作者简介：陈雪静(1986-),女,陕西咸阳人，数学与应用数学专业2008级专升本1班． 无穷限广义积分的计算 陈雪静 （宝鸡文理学院 数学系,陕西 宝鸡 721013） 摘 要: 文章归纳总结了利用数学分析、复变函数、积分变换、概率论统计理论等知识计算无穷限广义积分的几种方法.在学习中运用这几种方法可开拓视野,激发学习数学的兴趣. 关键词: 广义积分;收敛;计算方法 广义积分是《高等数学》学习中的一个难点知识,广义积分的概念不仅抽象,而且计算方法灵活,不易掌握.广义积分包括两大类,一类是积分区间无穷型的广义积分,另一类是积分区间虽为有穷,但被积函数在该区间内含有有限个无穷型间断点（瑕点）的广义积分.一般的判别法是对积分区间无穷型的广义积分,先将积分限视为有限的积分区间按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,在用此极限去判定原积分是否收敛.对于第二类广义积分,我们可将积分区间改动,使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理,求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否收敛.但是有些被积函数的原函数不易求出或无法用初等函数表示,使得广义积分无法用常规方法计算,因此需寻求其它的计算方法.本文主要研究无穷限广义积分的计算方法,主要方法包括利用广义积分定义、参量积分、变量代换、二重积分、留数定理、级数展开、概率论知识以及拉普拉斯变换等方法. 1 无穷限广义积分的定义 定义1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续,取t a >.如果极限 lim ()d t a t f x x →+∞? 存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分（也称作广义积分）,
半导体物理重点
半导体重点 第一章 1.能带论：用单电子近似的方法研究晶体中电子状态的理论成为能带论。 2.单电子近似：即假设每个电子是在周期性排列且固定不动的原子核势场及其它电子的平均势场中运动的。 3.金属中，由于组成金属的原子中的价电子占据的能带是部分占满的，所以金属是良好的导体。半导体中，如图所示，下面是被价电子占满的满带，亦称价带，中间为禁带，上面是空带，当温度升高，或者有光照的时候，满带中有少量电子可能被激发到上面的空带中去，此时半导体就能导电了。在半导体中导带的电子和价带的空穴均参与导电，金属中只有电子导电。 4.电子公有化运动：当原子相互接近形成晶体是，不同原子的相似壳层之间就有了一定程度的交叠，电子不再完全局限在一个原子上，可以由一个原子转移到相邻的原子上去，因而，电子可以在整个晶体中运动，这种运动就称为电子的共有化运动。 第二章 1.施主杂质：在Si，Ge中电离是能够施放电子而产生导电电子，并形成正电中心的杂质。常见V族杂质有：P，As，Sb
2.受主杂质：在Si，Ge中电离是能够接收电子而产生导电空穴并形成负电中心的杂质。 常见的III族杂质：B，Al，Ga，In 3．深能级：非III，V族杂质在Si，Ge的禁带中产生的施主能级距导带底较远，产生的受主能级距价带顶也较远，通常称这种能级为深能级，相应的杂质为深能级杂质。 作用：这些深能级杂质能够产生多次电离，每一次电离相应的有一个能级。因此这些杂质在Si，Ge的禁带中往往引入若干个能级，而且有的杂质既能产生施主能级，又能产生受主能级。对于载流子的复合作用比前能级杂质强，Au是一种很典型的复合中心，在制造高速开关器件是，常有意掺入Au以提高器件的速度。 4.补偿作用：在半导体中，施主和受主杂质之间的相互抵消的作用称为杂质的补偿。 （1）当N >>N ：为n型半导体，（2）当N >>N ：为P型半导体，（3）N >>N 时，施主电子刚好填充受主能级，虽然杂质很多，但不能向导带和价带提供电子和空穴，这种现象称为杂质的高度补偿。 利用杂质的补偿作用，可以根据需要用扩散或者离子注入方法来改变半导体中某一区域的导电类型，以制成各种器件。
半导体物理知识点总结
半导体物理知识点总结 本章主要讨论半导体中电子的运动状态。主要介绍了半导体的几种常见晶体结构，半导体中能带的形成，半导体中电子的状态和能带特点，在讲解半导体中电子的运动时，引入了有效质量的概念。阐述本征半导体的导电机构，引入了空穴散射的概念。最后，介绍了Si、Ge和GaAs的能带结构。 在1.1节，半导体的几种常见晶体结构及结合性质。（重点掌握）在1.2节，为了深入理解能带的形成，介绍了电子的共有化运动。介绍半导体中电子的状态和能带特点，并对导体、半导体和绝缘体的能带进行比较，在此基础上引入本征激发的概念。（重点掌握）在1.3节，引入有效质量的概念。讨论半导体中电子的平均速度和加速度。（重点掌握）在1.4节，阐述本征半导体的导电机构，由此引入了空穴散射的概念，得到空穴的特点。（重点掌握）在1.5节，介绍回旋共振测试有效质量的原理和方法。（理解即可）在1.6节，介绍Si、Ge的能带结构。（掌握能带结构特征）在1.7节，介绍Ⅲ-Ⅴ族化合物的能带结构，主要了解GaAs的能带结构。（掌握能带结构特征）本章重难点： 重点： 1、半导体硅、锗的晶体结构（金刚石型结构）及其特点； 三五族化合物半导体的闪锌矿型结构及其特点。 2、熟悉晶体中电子、孤立原子的电子、自由电子的运动有何不同：孤立原子中的电子是在该原子的核和其它电子的势场中运动，自由电子是在恒定为零的势场中运动，而晶体中的电子是在严格周期性重复排列的原子间运动（共有化运动），单电子近似认为，晶体中的某一个电子是在周期性排列且固定不动的原子核的势场以及其它大量电子的平均势场中运动，这个势场也是周期性变化的，而且它的周期与晶格周期相同。 3、晶体中电子的共有化运动导致分立的能级发生劈裂，是形成半导体能带的原因，半导体能带的特点： ①存在轨道杂化，失去能级与能带的对应关系。杂化后能带重新分开为上能带和下能带，上能带称为导带，下能带称为价带②低温下，价带填满电子，导带全空，高温下价带中的一部分电子跃迁到导带，使晶体呈现弱导电性。
半导体物理与器件第四版课后习题答案(供参考)
Chapter 4 4.1 ??? ? ? ?-=kT E N N n g c i exp 2υ ??? ? ??-??? ??=kT E T N N g O cO exp 3003 υ where cO N and O N υ are the values at 300 K. (b) Germanium _______________________________________ 4.2 Plot _______________________________________ 4.3 (a) ??? ? ??-=kT E N N n g c i exp 2υ ( )( )( ) 3 19 19 2 113001004.1108.2105?? ? ????=?T ()()?? ????-?3000259.012.1exp T () 3 382330010912.2105.2?? ? ???=?T ()()()()?? ????-?T 0259.030012.1exp By trial and error, 5.367?T K (b) () 252 12 2105.2105?=?=i n ( ) ()()()()?? ????-??? ???=T T 0259.030012.1exp 30010912.23 38 By trial and error, 5.417?T K _______________________________________ 4.4 At 200=T K, ()?? ? ??=3002000259.0kT 017267.0=eV At 400=T K, ()?? ? ??=3004000259.0kT 034533.0=eV ()()()() 172 22102 210025.31040.11070.7200400?=??= i i n n ? ? ????-??????-???? ??? ?? ??=017267.0exp 034533.0exp 3002003004003 3 g g E E ?? ? ???-=034533.0017267.0exp 8g g E E ()[] 9578.289139.57exp 810025.317-=?g E or ()1714.38810025.3ln 9561.2817=??? ? ???=g E or 318.1=g E eV Now ( ) 3 2 1030040010 70.7?? ? ??=?o co N N υ
(完整版)半导体物理习题及解答-刘诺
第一篇 习题 半导体中的电子状态 1-1、 什么叫本征激发？温度越高，本征激发的载流子越多，为什么？试定性说 明之。 1-2、 试定性说明Ge 、Si 的禁带宽度具有负温度系数的原因。 1-3、 试指出空穴的主要特征。 1-4、简述Ge 、Si 和GaAS 的能带结构的主要特征。 1-5、某一维晶体的电子能带为 [])sin(3.0)cos(1.01)(0ka ka E k E --= 其中E 0=3eV ，晶格常数a=5х10-11m 。求： （1） 能带宽度； （2） 能带底和能带顶的有效质量。 第一篇 题解 半导体中的电子状态 刘诺 编 1-1、 解：在一定温度下，价带电子获得足够的能量（≥E g ）被激发到导带成为 导电电子的过程就是本征激发。其结果是在半导体中出现成对的电子-空穴对。 如果温度升高，则禁带宽度变窄，跃迁所需的能量变小，将会有更多的电子被激发到导带中。 1-2、 解：电子的共有化运动导致孤立原子的能级形成能带，即允带和禁带。温 度升高，则电子的共有化运动加剧，导致允带进一步分裂、变宽；允带变宽，则导致允带与允带之间的禁带相对变窄。反之，温度降低，将导致禁带变宽。
因此，Ge、Si的禁带宽度具有负温度系数。 1-3、解：空穴是未被电子占据的空量子态，被用来描述半满带中的大量电子的集体运动状态，是准粒子。主要特征如下： A、荷正电：+q； B、空穴浓度表示为p（电子浓度表示为n）； C、E P=-E n D、m P*=-m n*。 1-4、解： （1）Ge、Si: a）Eg (Si：0K) = 1.21eV；Eg (Ge：0K) = 1.170eV； b）间接能隙结构 c）禁带宽度E g随温度增加而减小； （2）GaAs： a）E g（300K） 第二篇习题-半导体中的杂质和缺陷能级 刘诺编 2-1、什么叫浅能级杂质？它们电离后有何特点？ 2-2、什么叫施主？什么叫施主电离？施主电离前后有何特征？试举例说明之，并用能带图表征出n型半导体。 2-3、什么叫受主？什么叫受主电离？受主电离前后有何特征？试举例说明之，并用能带图表征出p型半导体。 2-4、掺杂半导体与本征半导体之间有何差异？试举例说明掺杂对半导体的导电性能的影响。
11(3)第十一章3 积分变换法求解定解问题
第十五章 积分变换法求解定解问题 １5.１ 傅里叶变换法解数学物理定解问题 用分离变量法求解有限空间的定解问题时，所得到的本征值谱是分立的，所求的解可表为对分立本征值求和的傅里叶级数．对于无限空间，用分离变量法求解定解问题时，所得到的本征值谱一般是连续的，所求的解可表为对连续本征值求积分的傅里叶积分．因此，对于无限空间的定解问题，傅里叶变换是一种很适用的求解方法．本节将通过几个例子说明运用傅里叶变换求解无界空间（含一维半无界空间）的定界问题的基本方法，并给出几个重要的解的公式．下面的讨论我们假设待求解的函数u 及其一阶导数是有限的． 15.1.1 弦振动问题 例15.1.1 求解无限长弦的自由振动定解问题 （假定：函数u 及其一阶导数是有限的，以后不再特别指出．这一定解问题在行波法中已经介绍，读者可以比较行波解法和傅氏解法） 2000,()|() |()t t x x t t t u a u x u x u x ?ψ==?-=-∞<<∞?=??=? 【解】 应用傅里叶变换，即用i x e ω-遍乘定解问题中的各式，并对空间变量x 积分（这里把时间变量看成参数），按照傅里叶变换的定义，我们采用如下的傅氏变换对： i i (,)(,)d 1(,)(,)d 2πx x U t u x t e x u x t U t e ωωωωω∞ --∞∞-∞==?? 简化表示为 [(,)](,)u x t U t ω=F 对其它函数也作傅氏变换，即为 ()() [][(])()x x ?ωψω==ΦψF F 于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题 222200((,)0(,)|(,))(|)t t t U a U t t U t U t ωωωωωω==Φψ??+=????=??=? 上述常微分方程的通解为 i i (,)()()at at U t A e B e ωωωωω-=+ 代入初始条件可以定出 111()()()22i 111()()()22i A a B a ωωωω ωωωω=Φ+ψ=Φ-ψ 这样 i i i i 1111(,)()()()()22i 22i () ()cos()sin()at at at at U t e e e e a a at at a ωωωωωωωωωωωωωωωω--=Φ+ψ+Φ-ψ=Φ+ψ 最后，上式乘以1 2π并作逆傅氏变换．应用延迟定理和积分定理得到 11(,)[()()]()d 22x at x at u x t x at x at a ??ψξξ+-=++-+?
半导体物理与器件实验报告
课程实习报告 HUNAN UNIVERSITY 题目：半导体物理与器件 学生姓名：周强强 学生学号：20100820225 专业班级：通信二班 完成日期：2012.12.22
运行结果截图： 2.2 函数(),cos(2/)V x t x t πλω=-也是经典波动方程的解。令03x λ≤≤，请在同一坐标中 绘出x 的函数(),V x t 在不同情况下的图形。 (1)0;(2)0.25;(3)0.5;(4)0.75;(5)t t t t t ωωπωπωπωπ =====。 3.27根据式（3.79），绘制出0.2()0.2F E E eV -≤-≤范围内，不同温度条件下的费米-狄拉克概率函数：()200,()300,()400a T K b T K c T K ===。
4.3 画出a （）硅，b （）锗，c （）砷化镓在温度范围200600K T K ≤≤内的本征载流子浓度曲线 （采用对数坐标）。
4.46 已知锗的掺杂浓度为15 3a =310 cm N -?，d =0N 。画出费米能级相对于本征费米能级的位 置随温度变化 200600)K T K ≤≤（的曲线。
5.20硅中有效状态密度为 19 3/2c 2.8 10()300T N =? 193/2 1..0410() 300 T N ν=? 设迁移率为 3/2 n =1350300T μ-?? ? ?? 3/2 =480300T ρμ-?? ? ?? 设禁带宽带为g =1.12V E e ，且不随温度变化。画出200600K T K ≤≤范围内，本征电导率随绝对温度T 变化的关系曲线。
半导体物理习题及复习资料
复习思考题与自测题 第一章 1.原子中的电子和晶体中电子受势场作用情况以及运动情况有何不同, 原子中内层电子和外层 电子参与共有化运动有何不同。 答：原子中的电子是在原子核与电子库伦相互作用势的束缚作用下以电子云的形式存在，没有一个固定的轨道；而晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子，在晶体周期性势场中运动。当原子互相靠近结成固体时，各个原子的内层电子仍然组成围绕各原子核的封闭壳层,和孤立原子一样;然而，外层价电子则参与原子间的相互作用，应该把它们看成是属于整个固体的一种新的运动状态。组成晶体原子的外层电子共有化运动较强，其行为与自由电子相似，称为准自由电子，而内层电子共有化运动较弱，其行为与孤立原子的电子相似。 2.描述半导体中电子运动为什么要引入"有效质量"的概念, 用电子的惯性质量描述能带中电子运动有何局限性。 答：引进有效质量的意义在于它概括了半导体内部势场的作用，使得在解决半导体中电子在外力作用下的运动规律时，可以不涉及半导体内部势场的作用。惯性质量描述的是真空中的自由电子质量，而不能描述能带中不自由电子的运动，通常在晶体周期性势场作用下的电子惯性运动，成为有效质量 3.一般来说, 对应于高能级的能带较宽,而禁带较窄,是否如此，为什么？ 答：不是，能级的宽窄取决于能带的疏密程度，能级越高能带越密，也就是越窄；而禁带的宽窄取决于掺杂的浓度，掺杂浓度高，禁带就会变窄，掺杂浓度低，禁带就比较宽。 4.有效质量对能带的宽度有什么影响，有人说:"有效质量愈大,能量密度也愈大,因而能带愈窄.是否如此，为什么？ 答：有效质量与能量函数对于K的二次微商成反比，对宽窄不同的各个能带，1（k）随k的变化情况不同，能带越窄，二次微商越小，有效质量越大，内层电子的能带窄，有效质量大；外层电子的能带宽，有效质量小。 5.简述有效质量与能带结构的关系； 答：能带越窄，有效质量越大，能带越宽，有效质量越小。 6.从能带底到能带顶,晶体中电子的有效质量将如何变化？外场对电子的作用效果有什么不同；答：在能带底附近，电子的有效质量是正值，在能带顶附近，电子的有效质量是负值。在外电F
半导体物理知识点梳理
半导体物理考点归纳 一· 1.金刚石 1) 结构特点： a. 由同类原子组成的复式晶格。其复式晶格是由两个面心立方的子晶格彼此沿其空间对角线位移1/4的长度形成 b. 属面心晶系，具立方对称性，共价键结合四面体。 c. 配位数为4，较低，较稳定。(配位数：最近邻原子数) d. 一个晶体学晶胞内有4+8*1/8+6*1/2=8个原子。 2) 代表性半导体：IV 族的C ，Si ，Ge 等元素半导体大多属于这种结构。 2.闪锌矿 1) 结构特点： a. 共价性占优势，立方对称性； b. 晶胞结构类似于金刚石结构，但为双原子复式晶格； c. 属共价键晶体，但有不同的离子性。 2) 代表性半导体：GaAs 等三五族元素化合物均属于此种结构。 3.电子共有化运动： 原子结合为晶体时，轨道交叠。外层轨道交叠程度较大，电子可从一个原子运动到另一原子中，因而电子可在整个晶体中运动，称为电子的共有化运动。 4.布洛赫波： 晶体中电子运动的基本方程为： ，K 为波矢，uk(x)为一个与晶格同周期的周期性函数， 5.布里渊区： 禁带出现在k=n/2a 处，即在布里渊区边界上； 允带出现在以下几个区： 第一布里渊区:－1/2a 精简版-半导体物理与器件复习资料 (1).状态密度函数：有效量子态的密度。它是能量的函数，表示为单位体积单位能量中的量子态数量。 (2).电子的有效质量：该参数将晶体导带中电子的加速度与外加的作用力联系起来，该参数包含了晶体中的内力。 (3).费米-狄拉克概率函数：该函数描述了电子在有效能级中的分布，代表了一个允许能量状态被电子占据的概率。 (4).费米能级：用最简单的话说，该能量在T=0K时高于所有被电子填充的状态的能量，而低于所有空状态能量。 (5).空穴的有效质量：该参数同样将晶体价带中空穴的加速度与外加作用力联系起来，而且包含了晶体中的内力。 (6).k空间能带图：以k为坐标的晶体能连曲线，其中k为与运动常量有关的动量，该运动常量结合了晶体内部的 相互作用。 (7).克龙尼克-潘纳模型：由一系列周期性阶跃函数组成，是代表一维单晶晶格周期性势函数的数学模型。 (8).杂质补偿半导体：同一半导体区域内既含有施主杂质又含有受主杂质的半导体。 (9).完全电离：所有施主杂质原子因失去电子而带正电，所有受主杂质原子因获得电子而带负电的情况。 (10).简并半导体：电子或空穴的浓度大于有效状态密度，费米能级位于导带中（n型）或价带中（p型）的半导体。 (11).有效状态密度：即在导带能量范围内对量子态密度函数gc（E）与费米函数fF（E）的乘积进行积分得到的参 数Nc；在价带能量范围内对量子态密度函数gv（E）与【1-fF（E）】的乘积进行积分得到的参数N。(12).非本征半导体：进行了定量施主或受主掺杂，从而使电子浓度或空穴浓度偏离本征载流子浓度产生多数载流子 电子（n型）或多数载流子空穴（p型）的半导体。 (13).束缚态：低温下半导体内的施主与受主呈现中性的状态。此时，半导体内的电子浓度与空穴浓度非常小。 n：本征半导体内导带电子的浓度和价带空穴的浓度（数值相等）。 (14).本征载流子浓度 i E：本征半导体内的费米能级位置。 (15).本征费米能级 Fi (16).本征半导体：没有杂质原子且晶体中无晶格缺陷的纯净半导体材料。 (17).非简并半导体：参入相对少量的施主和（或）受主杂质，使得施主和（或）受主能级分立、无相互作用的半导 体。 (18).爱因斯坦关系：扩散系数和迁移率的关系 (19).电离杂质散射：载流子和电离杂质原子之间的相互作用 (20).晶格散射：载流子和热震动晶格原子之间的相互作用 (21).双极扩散系数：过剩载流子的有效扩散系数 (22).双极迁移率：过剩载流子的有效迁移率 (23).双极输运：具有相同扩散系数，迁移率和寿命的过剩电子和空穴的扩散，迁移和复合过程 (24).双极输运方程：用时间和空间变量描述过剩载流子状态函数的方程 (25).载流子的产生：电子从价带跃入导带，形成电子-空穴对的过程 (26).载流子的复合：电子落入价带中的空能态（空穴）导致电子-空穴对消灭的过程 (27).过剩载流子：过剩电子和空穴的过程 (28).过剩电子：导带中超出热平衡状态浓度的电子浓度 (29).过剩空穴：价带中超出热平衡状态浓度的空穴浓度 (30).过剩少子寿命：过剩少子在复合前存在的平均时间 (31).产生率：电子-空穴对产生的速率（#/cm3-ms） (32).小注入：过剩载流子浓度远小于热平衡多子浓度的情况 (33).少，其中D和τ分别为少子的扩散系数和寿 命 (34).准费米能级：电子和空穴的准费米能级分别将电子和空穴的非平衡状态浓度与本征载流子浓度以及本征费米能 级联系起来 (35).突变结近似：认为从中性半导体区到空间电荷区的空间电荷密度有一个突然的不连续 (36).内建电势差：热平衡状态下pn结内p区与n区的静电电势差。 (37).当pn结由正偏状态转换到反偏状态时，pn结内存储的过剩少数载流子会被移走，即电容放电。放电时间称为 欧拉积分及其应用 摘要：本文阐述了欧拉积分的定义，重点论述Gamma 函数和Bate 函数的性质及其在 求定积分时的应用。对r 函数与B 函数的关系式的证明提出简便的方法，最后推出1 ()r m 的 计算表达式，及r(x)新的表示式，从而得到余元公式新的证明方法。使得对欧拉积分知识有了更深的认识，为定积分的求解提供了新的方法及思路，提高解题能力。 关键词：含参变量积分； Gamma 函数； Bate 函数； 余元公式 1、 知识预备 、(Bohr-Mollerup 定理)如果定义于（0，+ ∞）的函数f （x ）满足以下条件： （1）f(x)>0 x ?∈（0，+ ∞） f(1)=1； （2）(1)()f x x f x +=? x ?∈（0，+ ∞）（3）ln ()f x 为凸函数， 那么必有f(x)=r(x) x ?∈（0，+ ∞）。 、对于p 不是整数时 22 112(1)sin n n p p p p n π π∞==+--∑ 、对于0 第7章 金属－半导体接触 本章讨论与pn 结特性有很多相似之处的金－半肖特基势垒接触。金－半肖特基势垒接触的整流效应是半导体物理效应的早期发现之一： §7.1金属半导体接触及其能级图 一、金属和半导体的功函数 1、金属的功函数 在绝对零度，金属中的电子填满了费米能级E F 以下的所有能级，而高于E F 的能级则全部是空着的。在一定温度下，只有E F 附近的少数电子受到热激发，由低于E F 的能级跃迁到高于E F 的能级上去，但仍不能脱离金属而逸出体外。要使电子从金属中逸出，必须由外界给它以足够的能量。所以，金属中的电子是在一个势阱中运动，如图7-1所示。若用E 0表示真空静 止电子的能量，金属的功函数定义为E 0与E F 能量之差，用W m 表示： FM M E E W -=0 它表示从金属向真空发射一个电子所需要的最小能量。W M 越大，电子越不容易离开金属。 金属的功函数一般为几个电子伏特，其中，铯的最低，为1.93eV ；铂的最高，为5.36 eV 。图7-2给出了表面清洁的金属的功函数。图中可见，功函数随着原子序数的递增而周期性变化。 2、半导体的功函数 和金属类似，也把E 0与费米能级之差称为半导体的功函数，用W S 表示，即 FS S E E W -=0 因为E FS 随杂质浓度变化，所以W S 是杂质浓度的函数。 与金属不同，半导体中费米能级一般并不是电子的最高能量状态。如图7-3所示，非简并半导体中电子的最高能级是导带底E C 。E C 与E 0之间的能量间隔 C E E -=0χ 被称为电子亲合能。它表示要使半导体导带底的电子逸出体外所需要的最小能量。 利用电子亲合能，半导体的功函数又可表示为 )(FS C S E E W -+=χ 式中，E n =E C －E FS 是费米能级与导带底的能量差。 图7-1 金属中的电子势阱 图7－2 一些元素的功函数及其原子序数 图7-3 半导体功函数和电子亲合能 第8章 半导体表面与MIS 结构 许多半导体器件的特性都和半导体的表面性质有着密切关系，例如，晶体管和集成电路的工作参数及其稳定性在很大程度上受半导体表面状态的影响；而MOS 器件、电荷耦合器件和表面发光器件等，本就是利用半导体表面效应制成的。因此．研究半导体表面现象，发展相关理论，对于改善器件性能，提高器件稳定性，以及开发新型器件等都有着十分重要的意义。 §8.1 半导体表面与表面态 在第2章中曾指出，由于晶格不完整而使势场的周期性受到破坏时，禁带中将产生附加能级。达姆在1932年首先提出：晶体自由表面的存在使其周期场中断，也会在禁带中引入附加能级。实际晶体的表面原子排列往往与体内不同，而且还存在微氧化膜或附着有其他分子和原子，这使表面情况变得更加复杂。因此这里先就理想情形，即晶体表面无缺陷和附着物的情形进行讨论。 一、理想一维晶体表面模型及其解 达姆采用图8-l 所示的半无限克龙尼克—潘纳模型描述具有单一表面的一维晶体。图中x ＝0处为晶体表面；x ≥0的区域为晶体内部，其势场以a 为周期随x 变化；x ≤0的区域表示晶体之外，其中的势能V 0为一常数。在此半无限周期场中，电子波函数满足的薛定谔方程为 )0(20202≤=+-x E V dx d m φφφη (8-1) )0()(2202≥=+-x E x V dx d m φφφη (8-2) 式中V (x)为周期场势能函数，满足V (x +a )=V(x )。 对能量E ＜V 0的电子，求解方程(8-1)得出这些 电子在x ≤0区域的波函数为 ])(2ex p[)(001x E V m A x η -=φ (8-3) 求解方程(8-2)，得出这些电子在x ≥0区域中波函数的一般解为 kx i k kx i k e x u A e x u A x ππφ22212)()()(--+= (8-4) 当k 取实数时，式中A 1和A 2可以同时不为零，即方程(8-2)满足边界条件φ1(0)=φ2(0)和φ1'(0)=φ2'(0)的解也就是一维无限周期势场的解，这些解所描述的就是电子在导带和价带中的允许状态。 但是，当k 取复数k =k '+ik ''时（k '和k ''皆为实数），式(8-4)变成 x k x k i k x k x k i k e e x u A e e x u A x '''--''-'+=ππππφ2222212)()()( (8-5) 此解在x→∞或-∞时总有一项趋于无穷大，不符合波函数有限的原则，说明无限周期势场不能有复数解。但是，当A 1和A 2任有一个为零，即考虑半无限时，k 即可取复数。例如令A 2＝0，则 x k x k i k e e x u A x ''-'=ππφ2212)()( (8-6) 图8-l 一维半无限晶体的势能函数 Chapter 3 3、1 If were to increase, the bandgap energy would decrease and the material would begin to behave less like a semiconductor and more like a metal、 If were to decrease, the bandgap energy would increase and the material would begin to behave more like an insulator、 _______________________________________ 3、2 Schrodinger's wave equation is: Assume the solution is of the form: Region I: 、 Substituting the assumed solution into the wave equation, we obtain: which bees This equation may be written as Setting for region I, the equation bees: where Q、E、D、 In Region II, 、 Assume the same form of the solution: Substituting into Schrodinger's wave equation, we find: This equation can be written as: Setting for region II, this equation bees where again Q、E、D、 _______________________________________ 3、3 We have Assume the solution is of the form: The first derivative is and the second derivative bees Substituting these equations into the differential equation, we find bining terms, we obtain We find that Q、E、D、 For the differential equation in and the proposed solution, the procedure is exactly the same as above、 _______________________________________ 3、4 We have the solutions for and for 、 The first boundary condition is which yields The second boundary condition is which yields The third boundary condition is which yields 第十九章含参量积分 教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算。教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定；难点是一致收敛性的判定。 教学时数：12学时 §1含参量正常积分 一. 含参积分:以实例和引入. 定义含参积分和. 含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分. 1. 含参积分的连续性: Th19.5 若函数在矩形域上连续, 则函数 在上连续 . ( 证) P172 Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和 在上连续, 则函数在上连续. ( 证) P173 2. 含参积分的可微性及其应用: Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连续, 则函数在上可导, 且 . ( 即积分和求导次序可换) . ( 证) P174 Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连续,函数和定义在, 值域在上, 且可微, 则含参积分 在上可微, 且 . ( 证)P174 例1 计算积分. P176. 例2设函数在点的某邻域内连续 . 验证当充分小时, 函数 的阶导数存在, 且. P177. §2 含参反常积分 一. 含参无穷积分: 1.含参无穷积分:函数定义在上( 可以是 无穷区间) . 以为例介绍含参无穷积分表示的函 数. 2. 含参无穷积分的一致收敛性: 逐点收敛( 或称点态收敛) 的定义: , , 使 . 引出一致收敛问题 . 定义(一致收敛性) 设函数定义在上 . 若对 , 使对成立, 则称含参无穷积分在( 关于)一致收敛. Th 19.5 ( Cauchy收敛准则) 积分在上一致收敛, 对成立 . 例1 证明含参量非正常积分在上一致收敛, 其中. 但在区间内非一致收敛 . P180 3. 含参无穷积分与函数项级数的关系: 9金属半导体与半导体异质结 一、肖特基势垒二极管 欧姆接触：通过金属-半导体的接触实现的连接。接触电阻很低。 金属与半导体接触时，在未接触时，半导体的费米能级高于金属的费米能级，接触后，半导体的电子流向金属，使得金属的费米能级上升。之间形成势垒为肖特基势垒。 在金属与半导体接触处，场强达到最大值，由于金属中场强为零，所以在金属——半导体结的金属区中存在表面负电荷。 影响肖特基势垒高度的非理想因素：肖特基效应的影响，即势垒的镜像力降低效应。金属中的电子镜像到半导体中的空穴使得半导体的费米能级程下降曲线。附图： 电流——电压关系：金属半导体结中的电流运输机制不同于pn结的少数载流子的扩散运动决定电流，而是取决于多数载流子通过热电子发射跃迁过内建电势差形成。附肖特基势垒二极管加反偏电压时的I-V曲线：反向电流随反偏电压增大而增大是由于势垒降低的影响。 肖特基势垒二极管与Pn结二极管的比较：1.反向饱和电流密度（同上），有效开启电压低于Pn结二极管的有效开启电压。2.开关特性肖特基二极管更好。应为肖特基二极管是一个多子导电器件，加正向偏压时不会产生扩散电容。从正偏到反偏时也不存在像Pn结器件的少数载流子存储效应。 二、金属-半导体的欧姆接触 附金属分别与N型p型半导体接触的能带示意图 三、异质结：两种不同的半导体形成一个结 小结：1.当在金属与半导体之间加一个正向电压时，半导体与金属之间的势垒高度降低，电子很容易从半导体流向金属，称为热电子发射。 2.肖特基二极管的反向饱和电流比pn结的大，因此达到相同电流时，肖特基二极管所需的反偏电压要低。 10双极型晶体管 双极型晶体管有三个掺杂不同的扩散区和两个Pn结，两个结很近所以之间可以互相作用。之所以成为双极型晶体管，是应为这种器件中包含电子和空穴两种极性不同的载流子运动。 一、工作原理 附npn型和pnp型的结构图 发射区掺杂浓度最高，集电区掺杂浓度最低 附常规npn截面图 造成实际结构复杂的原因是：1.各端点引线要做在表面上，为了降低半导体的电阻，必须要有重掺杂的N+型掩埋层。2.一片半导体材料上要做很多的双极型晶体管，各自必须隔离，应为不是所有的集电极都是同一个电位。 通常情况下，BE结是正偏的，BC结是反偏的。称为正向有源。附图： 由于发射结正偏，电子就从发射区越过发射结注入到基区。BC结反偏，所以在BC结边界，理想情况下少子电子浓度为零。 附基区中电子浓度示意图： 电子浓度梯度表明，从发射区注入的电子会越过基区扩散到BC结的空间电荷区， 欧拉积分的运用及余元公式的证明 王国俊 01211071 徐州师范大学 数学系 徐州 221116 摘要 欧拉积分的应用十分广泛，本文着重讲了欧拉积分及其变形在积分计算中的运用,并给出了余元公式的一种新的证明方法,而且意外得到了欧拉积分的一种新的变形. 关键词 欧拉积分；Gamma 函数；Beta 函数；余元公式 现在我们很多时候解决问题的工具还是用初等函数来解决问题，这给我们研究带来很多不便.利用含参变量积分是引进非初等函数的一个重要途径.所谓欧拉积分正是如此.下面先介绍点预备知识： 在一般的数学教材中，欧拉积分定义如下： ) 0,0()1(),() 0()(1 1 1 010 >>-?=B >?=Γ----+∞ q p dx x x q p dx e x q p x ααα 两者分别称为Gamma 函数和Beta 函数,简称为函数函数和B Γ. 欧拉积分的几个基本变形： 函数Γ)1( 令2y x =, 就有 )0(2)(2 120 10 >?=?=Γ--+∞ --+∞ ααααdy e y dx e x y x 令py x =, 则有 )0,0()(10 10 >>?=?=Γ--+∞ --+∞ p dy e y p dx e x py x ααααα 特别地当2 1= α时，由华东师范大学编的数学分析第20章第二节例七有π=Γ)21 (并且 有)()1(αααΓ=+Γ 函数B )2( 令?2 cos =x 就有 ???π d q p p q 121220cos sin 2),(--?=B 令y y x += 1，则有 dy y y q p q p p +-∞ ++?=B ) 1(),(1精简版-半导体物理与器件复习资料
欧拉积分及其应用
半导体物理学第七章知识点
半导体物理学第八章知识点
半导体物理与器件第四版课后习题答案
数学分析之含参量积分
半导体物理与器件基础知识
(积分法)欧拉积分,余元公式