整式的乘法与因式分解能力培优

第十四章 整式的乘法与因式分解

14.1整式的乘法

专题一 幂的性质

1．【2012·湛江】下列运算中，正确的是（ ）

A ．3a 2－a 2＝2

B ．(a 2)3＝a 9

C ．a 3?a 6＝a 9

D ．(2a 2)2＝2a 4

2．【2012·泰州】下列计算正确的是（ ）

A ．3x ·

622x x = B ．4x ·82x x = C ．632)(x x -=- D ．523)(x x =

3．【2012·衢州】下列计算正确的是（ ）

A ．2a 2＋a 2＝3a 4

B ．a 6÷a 2＝a 3

C ．a 6·a 2＝a 12

D ．( －a 6)2＝a 12

专题二 幂的性质的逆用

4．若2a =3，2b =4，则23a+2b 等于（ ）

A ．7

B ．12

C ．432

D ．108

5．若2ｍ=5，2ｎ=3，求23ｍ+2ｎ的值．

6．计算：(1)(－0.125)2014×(－2)2014×(－4)2015；

(2)(－19

)2015×811007．

专题三 整式的乘法

7．下列运算中正确的是（ ）

A ．2325a a a +=

B ．22(2)()2a b a b a ab b +-=--

C ．23622a a a ?=

D ．222(2)4a b a b +=+

8．若（3x 2－2x +1）（x +b ）中不含x 2项，求b 的值，并求（3x 2－2x +1）（x +b ）的值．

9．先阅读，再填空解题：

（x +5）（x +6）=x 2+11x +30；

（x －5）（x －6）=x 2－11x +30；

（x －5）（x +6）=x 2+x －30；

（x +5）（x －6）=x 2－x －30． （1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？答：________．

（2）根据以上的规律，用公式表示出来：________．

（3）根据规律，直接写出下列各式的结果：（a +99）（a －100）=________；（y －80）（y －81）=________．

专题四 整式的除法

10．计算：（3x 3y －18x 2y 2+x 2y ）÷（－6x 2y ）=________．

11．计算：2362743

19132

）（）（ab b a b a -÷-．

12．计算：（a －b ）3÷（b －a ）2+（－a －b ）5÷（a +b ）4．

状元笔记

【知识要点】 1．幂的性质

(1)同底数幂的乘法：n m n m a

a a +=? (m ，n 都是正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

(2)幂的乘方：()m n mn a a

=(m ，n 都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘． (3)积的乘方：()n n n

ab a b =(n 都是正整数)，即积的乘方，等于把积中的每一个因式分别

乘方，再把所得的幂相乘．

2．整式的乘法

(1)单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

(2)单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘单项式的每一项，再把所得的积相加．

(3)多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

3．整式的除法

(1)同底数幂相除：m n m n a a a

-÷=(m ，n 都是正整数，并且m ＞n )，即同底数幂相除，底

数不变，指数相减．

(2)0a =1(a ≠0)，即任何不等于0的数的0次幂都等于1．

(3)单项式除以单项式：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

(4)多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

【温馨提示】

1．同底数幂乘法法则与合并同类项法则相混淆．同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”；而合并同类项法则是“系数相加，字母及字母的指数不变”．

2．同底数幂相乘与幂的乘方相混淆．同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”；幂的乘方，应是“底数不变，指数相乘”．

3．运用同底数幂的乘法(除法)法则时，必须化成同底数的幂后才能运用上述法则进行计算．

4．在单项式(多项式)除以单项式中，系数都包括前面的符号，多项式各项之间的“加、减”符号也可以看成系数的符号来参与运算．

【方法技巧】

1．在幂的性质中，公式中的字母可以表示任意有理数，也可以表示单项式或多项式．

2．单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误．

3．单项式与多项式相乘，多项式除以单项式中，结果的项数与多项式的项数相同，不要漏项．

参考答案:

1．C 解析：A 中，3a 2与－a 2是同类项，可以合并，3a 2―a 2＝2a 2，故A 错误；B 中，(a 2)3＝a 2×3=a 6，故B 错误；C 中，a 3?a 6＝a 3+6＝a 9，故C 正确；D 中，(2a 2)2＝22（a 2）2＝4a 4，故D 错误．故选C ．

2．C 解析：3x ·

2235x x x +==，选项A 错误；4x ·2246x x x +==，选项B 错误；23236()x x x ?-=-=-，选项C 正确；32236()x x x ?==，选项D 错误. 故选C ．

3．D 解析：A 中，22223a a a +=，故A 错误；B 中，624

a a a ÷=，故B 错误；C 中，628a a a ?=，故C 错误. 故选D ．

4．C 解析：23a+2b =23a ×22b =（2a ）3×（2b ）2=33×42=432．故选C ． 5．解：23ｍ+2ｎ=23ｍ·22ｎ=（2ｍ）3·（2ｎ）2 =53·32=1125.

6．解：(1)原式=(0.125×2×4)2014×(－4)=12014×(－4)=－4．

(2)原式=(－19)2015×92014=(19×9)2014×(－19)=－19

． 7．B 解析：A 中，由合并同类项的法则可得3a+2a=5a ，故A 错误；B 中，由多项式与多项式相乘的法则可得22(2)()22a b a b a ab ab b +-=-+-=222a ab b --，故B 正确；C 中，由单项式与单项式相乘的法则可得232322a a a +?==52a ，故C 错误；D 中，由多项式与多项式相乘的法则可得222(2)44a b a ab b +=++，故D 错误. 综上所述，选B ．

8．解：原式=3x 3+（3b －2）x 2+（－2b+1）x+b ，

∵不含x 2项，

∴3b －2=0，得b=

23

． ∴（3x 2－2x+1）（x+23

） =3x 3－2x 2+x+2x 2－43x+23

=3x 3－13x+23． 9．解：（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系是：

一次项系数是两因式中的常数项的和，常数项是两因式中的常数项的积；

（2）根据以上的规律，用公式表示出来：（a+b ）（a+c ）=a 2+（b+c ）a+bc ；

（3）根据（2）中得出的公式得：（a+99）（a －100）=a 2－a －9900；（y －80）（y －81）=y 2－161y+6480．

10．－

12x+3y －16

解析：（3x 3y －18x 2y 2+x 2y ）÷（－6x 2y ）=（3x 3y ）÷（－6x 2y ）－18x 2y 2÷（－6x 2y ）+x 2y÷（－6x 2y ）=－12x+3y －16．

11．解：原式

。

）（169

19191329

191322626262746

26274-=÷-÷=÷-=b a b a b a b a b a b a b a b a 12．解：（a －b ）3÷（b －a ）2+（－a －b ）5÷（a+b ）4，

=（a －b ）3÷（a －b ）2－（a+b ）5÷（a+b ）4，

=（a －b ）－（a+b ），

= a －b －a －b ， =－2b ．

14.2乘法公式

专题一乘法公式

1．下列各式中运算错误的是（）

A．a2+b2=(a+b)2－2ab B．(a－b)2=(a+b)2－4ab

C．(a+b)(－a+b)=－a2+b2D．(a+b)(－a－b)=－a2－b2

2．代数式(x+1)(x－1)(x2+1)的计算结果正确的是（）

A．x4－1 B．x4+1 C．(x－1)4D．(x+1)4

3．计算：(2x+y)(2x－y)+(x+y)2－2(2x2－xy)（其中x=2，y=3）．

专题二乘法公式的几何背景

4．请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（）

A．（a+b）（a－b）=a2－b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2

C．（a－b）2=a2－2ab+b2D．（a+b）2=a2+ab+b2

5．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（）

A．a2－b2=（a+b）（a－b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2

C．（a－b）2=a2－2ab+b2D．a（a+b）=a2+ab

6．我们在学习完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立．在习题中我们又遇到了题目“计算：（a+b+c）2”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明（大致画出图形即可）并计算（a+b+c）2吗？

【知识要点】

1．平方差公式

(a+b)(a－b)=a2－b2，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

2．完全平方公式

(a±b)2=a2±2ab+b2，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．

【温馨提示】

1．不要将平方差公式和完全平方公式相混淆，注意它们项数和符号的不同．

2．完全平方公式中，中间项是左边两个数的和的2倍，注意系数的特点．

【方法技巧】

1．公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式．只要符合公式的结构特征，就可以利用公式．

2．有些题目往往不能直接应用公式求解，但稍做适当的变形后就可以用乘法公式求解．如：位置变化，符号变化，数字变化，系数变化，项数变化等．

1．D 解析：A中，由完全平方公式可得(a+b)2－2ab=a2+2ab+b2－2ab=a2+b2，故A正确；B中，由完全平方公式可得(a－b)2=a2－2ab+b2，(a+b)2－4ab=a2+2ab+b2－4ab=a2－2ab+b2，故B正确；C中，由平方差公式可得(a+b)(－a+b)=(a+b)(b－a)=b2－a2=－a2+b2，故C正确；D中，(a+b)(－a－b)=－(a+b)2=－a2－2ab－b2，故D错误．

2．A 解析：原式=(x2－1)(x2+1)=(x2)2－1=x4－1．

3．解：原式=4x2－y2+x2+2xy+y2－4x2+2xy=x2+4xy，

当x=2，y=3时，原式=22+4×2×3=4+24=28．

4．B 解析：这个图形的整体面积为(a+b)2；各部分的面积的和为a2+2ab+b2；所以得到公式（a+b）2=a2+2ab+b2．故选B．

5．C 解析：从图中可知：阴影部分的面积是（a－b）2和b2，剩余的矩形面积是（a－b）b和（a－b）b，即大阴影部分的面积是（a－b）2，∴（a－b）2=a2－2ab+b2，故选C．6．解：（a+b+c）2的几何背景如图，整体的面积为：（a+b+c）2，用各部分的面积之和表示为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

14.3因式分解

专题一因式分解

1．【2012·西宁】下列分解因式正确的是（）

A．3x2－6x =x(x－6) B．－a2+b2=(b+a)(b－a) C．4x2－y2=(4x－y)(4x+y) D．4x2－2xy+y2=(2x－y)2 2．【2012·广元】分解因式：3m3－18m2n+27mn2=____________．

3．分解因式：(2a+b)2－8ab=____________．

专题二在实数范围内分解因式

4．在实数范围内因式分解x4－4=____________．

5．把下列各式因式分解（在实数范围内）

（1）3x2－16；（2）x4－10x2+25．

6．在实数范围内分解因式：

（1）x3－2x；（2）x4－6x2+9．

专题三因式分解的应用

7．如果m－n=－5，mn=6，则m2n－mn2的值是（）

A．30 B．－30 C．11 D．－11

8．利用因式分解计算32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=___________．9．在下列三个不为零的式子：x2－4x，x2+2x，x2－4x+4中，

（1）请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解；

（2）请你选择其中两个并用不等号连接成不等式，并求其解集．

【知识要点】

1．因式分解

我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

2．因式分解的方法

(1)提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写出公因式与另一个因式的乘积的形式，这样分解因式的方法叫做提公因式法．

(2)将乘法公式的等号两边互换位置，得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．

(3)平方差公式：a 2－b 2=(a+b)(a －b)，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．

(4)完全平方公式：a 2±2ab+b 2=(a ±b)2，两个数的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．

【温馨提示】

1．分解因式的对象必须是多项式，如把25a bc 分解成abc a ?5就不是分解因式，因为2

5a bc 不是多项式．

2．分解因式的结果必须是积的形式，如21(1)1x x x x +-=+-就不是分解因式，因为结果(1)1x x +-不是积的形式．

【方法技巧】

1．若首项系数为负时，一般要提出“—”号，使括号内首项系数为正，但要注意，此时括号内的各项都应变号，如)2(22

--=+-x x x x ．

2．有些多项式的特点与公式相比，只是某些项的符号不符，这时就需要先对符号进行变化，使之符合公式的特点．

1．B 解析：A中，3x2－6x=3x(x－2)，故A错误；B中，－a2+b2=－(a－b)(a+b)=(b+a)(b －a)，故B正确；C中，4x2－y2=(2x)2－(2y)2=(2x－y)(2x+y)，故C错误；D中，4x2－2xy+y2的中间项不是2×2x×y，故不能因式分解，故D错误．综上所述，选B．

2．3m(m－3n)2解析：3m3－18m2n+27mn2=3m(m2－6mn+9n2)=3m(m－3n)2．

3．(2a－b)2解析：(2a+b)2－8ab=4a2+4ab+b2－8ab=4a2－4ab+b2=(2a－b)2．

4．(x2+2)(x+2)(x－2) 解析：x4－4=(x2+2)(x2－2)=(x2+2)(x+2)(x－2)．5．解：(1)3x2－16=(3x+4)(3x－4)；(2)x4－10x2+25=(x2－5)2=(x+5)2(x－5)2．6．解：(1)x3－2x=x(x2－2)=x(x+2)(x－2)；(2)x4－6x2+9=(x2－3)2=(x+3)2(x－3)2．

7．B 解析：∵m－n=－5，mn=6，∴m2n－mn2=mn（m－n）=6×（－5）=－30，故选B．8．2013 解析：32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=0.32×2013+0.54×2013+0.14×2013=2013×（0.32+0.54+0.14）=2013×1=2013．

9．解：(1)答案不唯一，如：（x2－4x）+（x2+2x）=2x2－2x=2x（x－1）．

(2) 答案不唯一，如：x2－4x＞x2+2x，

合并同类项，得－6x＞0，

解得x＜0．

浙教版七年级下《第4章因式分解》单元培优试题有答案-(数学)

浙教版七下数学第4章《因式分解》单元培优测试题 班级_________ 姓名_____________ 得分_____________ 注意事项：本卷共有三大题23小题，满分120分，考试时间120分钟. 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1﹒下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（） A﹒2x2+8x－1＝2x(x+4)－1 B﹒(x+5)(x－2)＝x2+3x－10 C﹒x2－8x+16＝(x－4)2D﹒6ab＝2a·3b 2﹒将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（） A﹒a2－1B﹒a2+a－2C﹒a2+a D﹒(a－2)2－2(a+2)+1 3﹒多项式15m3n2+5m2n－20m2n3的公因式是（） A﹒5mn B﹒5m2n2C﹒5m2n D﹒5mn2 4﹒下列因式分解正确的是（） A﹒－a2－b2＝(－a+b)(－a－b)B﹒x2+9＝(x+3)2 C﹒1－4x2＝(1+4x)(1－4x)D﹒a3－4a2＝a2(a－4) 5﹒下列各式中，能用完全平方公式分解的是（） C﹒9－6y+y2D﹒x2－2xy－A﹒a2－2ab+4b2B﹒4m2－m+1 4 y2 6﹒已知x，y为任意有理数，记M＝x2+y2，N＝2xy，则M与N的大小关系为（）A﹒M＞N B﹒M≥N C﹒M≤N D﹒不能确定 7﹒把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x－3)，则a+b的值是（）A﹒－5B﹒5C﹒1D﹒－1 8﹒已知x2－x－1＝0，则代数式x3－2x+1的值为（） A﹒－1B﹒1 C﹒－2D﹒2 9﹒如图，边长为a、b的长方形的周长为14，面积为10，

精讲精练：因式分解方法分类总结-培优(含答案)

因式分解·提公因式法 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过 程中常用的因式变换。 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---322 22 ) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987 521136898745613689872681368987123? +?+?+? 分析：算式中每一项都含有987 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结 果。 解：原式)521456268123(1368987 +++?= =?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23 532 x y x y +=-=-???，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的 值。 分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。 解 ：

八年级数学上册 因式分解40题 培优练习卷(含答案)

2017-2018学年八年级数学上册因式分解培优练习卷 1、分解因式：6xy2-9x2y-y3. 2、分解因式：1-16y4. 3、分解因式：4+12(x-y)+9(x-y)2. 4、分解因式:(a-3)(a-5)+1. 5、分解因式:4(a-b)2-9(a+b)2. 6、分解因式：x3-4x2-45x. 7、分解因式：(a2+b2)2-4a2b2. 8、分解因式：(a+b)2-4b(a+b)+4b2. 9、分解因式：(m＋n)2－4m(m＋n)＋4m2 10、分解因式：x4－y4 11、分解因式：(x+2)(x+4)+x2-4. 12、分解因式：(a+1)(a-1)-8. 13、分解因式：4x3y+4x2y2+xy3. 14、分解因式：4-12(x+y)+9(x+y)2. 15、分解因式：x2-2xy+y2-z2. 16、分解因式：36a2-(a2+9)2. 17、分解因式：2a2-8axy+8ay2. 18、分解因式：10b(x－y)2－5a(y－x)2； 19、分解因式：x2-2xy+y2-9. 20、分解因式：(x2+y2)2-4x2y2. 21、分解因式：(a 2+1)2-4a2 22、分解因式：(1-x2)(1-y2)-4xy. 23、分解因式：(x2+y2-z2)2-4x2y2. 24、分解因式：a2(x-2a)2+a(2a-x)3. 25、分解因式：(a＋2b)2－10(a＋2b)＋25. 26、分解因式：x n＋4－169x n＋2 (n是自然数)； 27、分解因式：9(2a+3b)2-4(3a-2b)2. 28、分解因式：9(m+n)2-4(m-n)2.

因式分解培优练习题及答案

因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 22+8x+8 2x2）（（1）3p﹣6pq 2．将下列各式分解因式 3322．﹣6a b+3ab2 （）3a ）（1x y﹣xy ．分解因式32 22222）﹣4x y）﹣）1（）a（x﹣y+16（yx）（2（x+y 4．分解因式：22（ 2 2x（1）﹣x ）16x﹣1 3 2 2 2 （）yx+9yx4+12﹣﹣6xy3（）9xyy4）（﹣）（﹣ 5．因式分解：2 223﹣2am1（）8a y+xy+4x4x）2（ ．将下列各式分解因式：6． 322222 yx﹣+y4x）（2）（1（）3x﹣12x 223 22 y﹣2xy）+y﹣2）（x+2y（7．因式分解：（1）xy 8．对下列代数式分解因式： 2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（（1）nx﹣3）+1

2222﹣ba2a+1 ﹣a10﹣4a+4﹣b．分解因式：．分解因式：9 11．把下列各式分解因式： 42422 a﹣2）x+2ax+1+x （x﹣7x +1 （1） 22242432+2x+1 x+3x+2x （4（1﹣y+x））（1﹣y）1+y（3）（）2x﹣ 12．把下列各式分解因式： 32222224445+x+1；x ） b +2ac（+2bc3﹣a﹣b﹣c ；2a2 ；4x1（）﹣31x+15 （） 32432．a+2﹣6a﹣a﹣2a）5（；9﹣+3x+5xx）4（． 2﹣6pq=3p（p﹣2q1）3p），解答：解：（222．（x+2x）+4x+4），=2（2）2x+8x+8，=2（ 2．将下列各式分解因式 3322．6a （2）3ab+3ab﹣（1）x y﹣xy 分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可； （2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 2﹣1）=xy（x+1）（x﹣解：（1）原式=xy（x1）；解答：222．﹣b））=3a（（2）原式=3a（aa﹣2ab+b 3．分解因式 222222．）y﹣（2）（x4x+y﹣y）+16（y﹣x）；（1）a （x 22﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4（）+16y﹣x），=（x﹣y）（a）；解答：解：（1）a （x﹣y22222222222．）（x﹣2xy+y），﹣4x=y（，=（xx+y+2xy+y））（（2）（xx+yy）﹣ 4．分解因式： 222232．）（x﹣y4+12（x﹣）6xyy﹣9x）y﹣y+9；（4（1）2x16x﹣x；（2））﹣1；（3 2﹣x=x（2x﹣1（1）2x）；解答：解：2﹣1=（4x+1）（16x4x﹣1）；（2）223222；﹣y），）=﹣yy，=﹣y（9x（﹣6xy+y（3）6xy3x﹣9xy﹣222．﹣3y+2），=（3x﹣y）﹣，=[2+3（xy）]（（4）4+12x﹣y）+9（x 5．因式分解： 2322 y+xy+4x （2）4x （1）2am ﹣8a； 22﹣4）=2a（m+2）（8a=2a（mm﹣2）；解答：解：（1）2am﹣322222．），=x4x，=x（（+4xy+y （2）4x2x+y+4x）y+xy 6．将下列各式分解因式： 322222．y（x﹣+y4x）（2）（1）3x﹣12x 32）=3x（1+2x）（1﹣2x）1（）3x﹣12x；=3x（1﹣4x 解答：解：22222222222．）y （x+y﹣﹣2xy）（x）+y）=﹣4x（y（=xx+y+yx+2xy）（）（2

因式分解培优复习进程

因式分解培优

分解因式 一、分解因式的定义：（关键：看等号右边是否为几个整式的积的形式） 二、分解因式一般步骤：一提、二套、三分、四查 三、分解因式常用方法： Ⅰ、提公因式法：（关键：确定公因式） ma +mb +mc = 。 Ⅱ、运用公式法：（关键：确定a 、b ） ①平方差公式：22a b -= ②完全平方公式： 22 2a ab b ±+= 。 （一）将下列多项式因式分解（填空） 1、 _______________________2、322363x x y xy -+=___________________ 3、=__________________4、 =________________ 5、= ___________________ 6、= （二）分解因式（写出详细过程） 1、)()()(23m n n m n m +--+ 2、 3、 4、2222224)(b a b a c --- （三）已知x 、y 都是正整数，且，求x 、y 。 （四）化简：，且当时，求原式的值。

Ⅲ、十字相乘法： （一）二次项系数为1的二次三项式：))(()(2 q x p x pq x q p x ++=+++ 特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。 1、分解因式：（1）652++x x （2）276m m -+ (3)1522--y y (4)245a a +- 2、分解因式(1)2 223y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)226b ab a -- （4）221288b ab a -- （5）10)(3)(2 -+-+y x y x （二）二次项系数不为1的二次三项式：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++ 条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 1、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y 2、分解因式（1）17836--x x （2）8622+-ax x a （3）2 2151112y xy x --

(完整版)因式分解培优题(超全面、详细分类)

因式分解专题培优 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 因式分解的一般方法及考虑顺序： 1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法． 2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法． 3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法． 一、运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2－b2=(a+b)(a－b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)； (4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)； (7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数； (8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例题1 分解因式： (1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4； (2)x3－8y3－z3－6xyz； (3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab； (4)a7－a5b2+a2b5－b7．

初中数学因式分解培优训练

第一讲:因式分解(一） 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强, 学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必 需的，而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. １.运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2－b2＝(a＋b）（a-b)； (2）a2±２ab+b２=(a±b)２; （3)a3＋ｂ3＝(a＋b)(a２-ab+b２)； (4)a3-b３=(ａ-b)(a２＋ａb+b2）． 下面再补充几个常用的公式： (５）ａ2+ｂ2+c2+2ab＋2bc+2ca=(a+b+c）2； （6）a３＋b3+c3-3abc=(ａ+b+c)(a2＋b2＋c２-aｂ－bc-c ａ); (7)a n－b n=（a－b）(aｎ-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-２+b n-1)其中n为正整数； (8)aｎ－ｂn=(a+b）(aｎ-１-a n-2b+a n-3b2-…+ａｂn-2-bｎ-1),其中ｎ为偶数; (9)ａn+b n=(ａ+b)(aｎ-1-a n－2b+a n－３b2－…-ａｂn-2+ｂｎ-1),其中ｎ为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式: (１）-2x5n-1y n+4ｘ3n-1yｎ+２－2x n-1yｎ+4； (2)x3-８y3-z３-6xyz; (3）a２+b2+c２－2bc+2cａ-2ab; 7５2２５7 ＝-２xｎ-1yｎ［(x２n）２-2x２ｎy2＋(y2)2] ＝－2ｘn-1yｎ(x2n-y２)２ =-2x n-１ｙｎ(xｎ-ｙ）2(x n＋y)２． （２)原式=x３+(-2y)3+（－z)3-3x(－2y)（-Ｚ) =(x-2y-z)（x2+４y2＋z2＋2xy+xz-2yｚ). （3）原式=(a２－２ab+b2)+(-2ｂc+2cａ)+ｃ2 =(a-b)２＋２c（ａ-b)+c2 =(a-b+c)2. 本小题可以稍加变形，直接使用公式(５）,解法如下: 原式=a2+(－b)2+c2+2(－b)c＋２ca+2a(－b) =(a-b+c）2 （4)原式=(a7-a5b２)+(ａ2b5－ｂ7) =ａ５(ａ２-b2)+b５(a２－ｂ2） =(a2-b2）（a5+b５） =（a+b）(ａ-ｂ）(a＋ｂ)(a4-a３b+a2b2-ab3+ｂ４）＝(ａ+ｂ）2(ａ-b)(ａ4-ａ3ｂ+a２ｂ2-ａｂ3+ｂ4) 例2 分解因式：a3＋ｂ３+c3－３ａbc. 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)． 分析我们已经知道公式 (a+b)３＝ａ3+3ａ2b+３ａb2+b3 的正确性，现将此公式变形为 ａ3＋b3=（ａ+b)3-3ab（a+b). 这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导． 解原式=（a＋b)3-３aｂ（a+b)+c3－３ａｂc =[(a＋b)3+ｃ3]-3ab(ａ+b+ｃ) ＝（ａ+b+ｃ)［(a+ｂ）2-c（a+b)+c2]-3ab（a+ｂ+c) =(a+b+c)(a2＋b2+c2-aｂ-ｂc－ca). 说明公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推

培优专题3_用分组分解法进行因式分解(含答案)

3、用分组分解法进行因式分解 【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式，所得的结果为（ ） A a a B a a C a a D a a .().().().()22 2222221111+--+++-- 分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。 解：原式=+++++211242a a a a a (() =++++=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a a a a a 4324322222222321 2221 21 1()()()()() 故选择C 例2. 分解因式x x x x x 54321-+-+- 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x x 54-，x x x 321--和分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解法1： 原式=-+--+=--+=-++-+()() ()() ()()()x x x x x x x x x x x x x 54323222111111 解法2：

因式分解培优专题

把下列各式因式分解 2 m2 m 1 a x abx a(a b)3 2a 2(b m m3 acx ax a)2 2ab(b a) (1)若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“一”号，使括号内的第 2.利用提公因式法简化计算过程 例? 计算 987 987 例：计算123 268 - 1368 1368 分析：算式中每一项都含有 竺 1368 987 521 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 456 987 1368 解: 说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要 注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。 举一反三： 1、分解因式： (1) 4m 2n 3 12m 3n 22mn 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组 2x y 3 , 5x 3y 2 求代数式(2x y)(2x 3y) 3x(2x y)的值。 (2) a 2x n 2 abx n 1 acx n adx n 1(n 为正整数) 初三数学因式分解培优专题(一) 一、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括 号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配 律。多项式的公因式的确定方法是： (1) 当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幕。 (2) 系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解 析】 1. (1) (2) 分析： 分析：不要求解方程组，我们可以把 2x y 和5x 3y 看成整体，它们的值分别是 3 和2，观察代数式，发现每一项都含有2x y ，利用提公因式法把代数式恒等变形， 化为含有2x y 和5x 3y 的式子，即可求出结果。 解： 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数 n , 3n 22n 23n 2n 一定是10的倍数。 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是 10的倍数 即可。 解： 一项系数是正数，在提出“―”号后，多项式的各项都要变号。 解： (2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当 n 为自 然数时，(a b)2n (b a)2n ； (a b)2n 1 (b a)2n 1，是在因式分解过程中 常用的因式变换。 解： 5、中考点拨： 例1。因式分解3x(x 2) (2 x) 解： 说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得 到。 例 2 .分解因式：4q(1 p)3 2( p 1)2 解：

八年级数学下培优卷因式分解

八年级数学下培优卷：因式分解 知识点一、因式分解的意义 1．下列由左边到右边的变形，是分解因式的有（ ） ①a 2﹣9=（3）（a ﹣3） ②（2）（m ﹣2）2﹣4 ③a 2﹣b 2=（）（a ﹣b ）+1 ④2π2π2π（） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 2．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A ． a 2x ﹣（﹣1） B ． a 2﹣32（a ﹣3）+2 C ． 2x （x ﹣1）=2x 2﹣22x D ． x 21=（1）2 知识点二、提公因式法：1．观察下列各式：①2和； ②5m （a ﹣b ）和﹣； ③3（）和﹣a ﹣b ；④x 2﹣y 2和x 22；其中有公因式的是（ ） A ． ①② B ． ②③ C ． ③④ D ． ①④ 2．把多项式9a 2b 2﹣182分解因式时，应提出的公因式是（ ） A ． 9a 2b B ． 92 C ． a 2b 2 D ． 182 3．分解因式﹣22+6x 3y 2﹣10时，合理地提取的公因式应为（ ） A ． ﹣22 B ． 2 C ． ﹣2 D ． 2x 2y 4．把多项式p 2（a ﹣1）（1﹣a ）分解因式的结果是（ ） A ． （a ﹣1）（p 2） B ． （a ﹣1）（p 2﹣p ） C ． p （a ﹣1）（p ﹣1） D ． p （a ﹣1）（1） 5．下列多项式的分解因式，正确的是（ ） A ． 8﹣12a 2x 2=4（2﹣3） B ． ﹣6x 3+6x 2﹣12﹣6x （x 2﹣2） C ． 4x 2﹣622x （2x ﹣3y ） D ． ﹣3a 29﹣6﹣3y （a 2+3a ﹣2） 6、22)()(y x x y -=-； （2）)2)(1()2)(1(--=--x x x x 7．多项式10a （x ﹣y ）2﹣5b （y ﹣x ）的公因式是 ． 8、不解方程组23532x y x y +=-=-??? ，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++ 9、分解因式：(1)、322x x x ()()--- （2）412132q p p ()()-+- （3）-+-41222332m n m n mn （4）2 1222+ +x x

因式分解培优专题(一)

初三数学因式分解培优专题（一） 一、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解： （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。 解： 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 9875211368 9874561368 9872681368 987123?+?+?+? 分析：算式中每一项都含有9871368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 解： 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23 532 x y x y +=-=-???，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。 分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。 解： 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 解：

(完整)因式分解提高培优

因式分解拓展提高(1) ① 2 x 7x 6 ; ②3x 2 2x 1 ； ③ x 2 5x 6 ； ④ 4x 2 5x 9; 2 ⑤15x 23x 8 ； ⑥ x 4 11x 2 12 A . 2个 B . 3个 C . 4个 D .5个 -二、填空题 7 . 2 x 3x 10 & 2 m 5m 6 (m + a)(m + b). a = ,b = 9 . 2x 2 5x 3 (x — 3)( ). 10 2 .x 2y 2 (x — y)( ____ ). 11. a 2 -a ( _________ ) ( _________ 2. m 12 .当k= _____ 时，多项式3x 2 7x k 有一个因式为( ___________ 17 3 22 3 13 .若x — y = 6, xy ，则代数式x y 2x y xy 的值为 36 三、解答题 14 .把下列各式分解因式： (1) x 4 7x 2 6 ； (3) 4x 4 65x 2 y 2 16y 4 ； (5) 6a 4 5a 3 4a 2 ； 4 2 (2) x 5x 36 ; (4) a 6 7a 3b 3 8b 6 ； (6) 4a 6 37a 4b 2 9a 2b 4. 15 .把下列各式分解因式： 2 2,2 (1) (x 3) 4x ； 2 2 2 2 一、选择题 1.如果X 2 px q (x a)(x b)，那么p 等于 A . ab 2 2.如杲 x (a b) x 5b C . — ab 2 x x 30，贝y b 为 D . - (a + b) B . — 6 C . — 5 D . 6 3.多项式x 2 3x a 可分解为(x — 5)(x — b)，则a , b 的值分别为 A . 10 和一2 B . — 10 和 2 C . 10 和 2 D . — 10 和一2 4.不能用十字相乘法分解的是 A . x 2 x 2 C . 4x 2 x 2 B . 3x 2 10x 2 3x D . 5x 2 6xy 8y 2 5. 分解结果等于(x + y — 4)(2x + 2y — 5)的多项式是 A . 2(x y)2 13(x y) 20 B . (2x 2y)2 13(x y) 20 C . 2(x y)2 13(x y) 20 D . 2(x y)2 9(x y) 20 6. 将下述多项式分解后，有相同因式 x — 1的多项式有 () () () () () () .). (2) x 2(x 2)2 9; (4) (x 2 x)2 2 17(x x) 60 ；

七年级数学因式分解培优试题

1.若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 2.若6,422=+=+y x y x 则=xy ____________ . 设z x y 23+=，求xz z y x 449222++-的值是________. 3.已知2=+b a ，求)(8)(22222b a b a +--的值.______________ 4.若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____, 若 051294422=+-+-y y x x , 求 的值_________. 5.若7,9x y xy +=-=-，求 x y -的值。______ 6．因式分解： （1）.提公因式法： a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 2883223x y x y xy ++= -2x 5n-1y n +4x 3n-1y n+2-2x n-1y n+4 （2）.公式法： 22414y xy x +-- yz z y x z y x 4))((-+--+ a 2-4b 2-4c 2 -8bc (3).分组分解法: = --+124323x x x a 2-c 2+2ab+b 2-d 2-2cd (4).添项拆项法 x 3-3x+2 x 4+4 2x 2 +x-1 x 4+x 2+1 x 4-7x 2+1 x 3+2x 2+2x+1 ---=++--=+--332222)1(1344422331n m m n m n y y xy x x b b a a ）分解因式：（）分解因式：（）分解因式：（---= ++--= +--3 32222)1(1344422331n m m n m n y y xy x x b b a a ）分解因式：（）分解因式：（）分解因式：（1 4)1(222+-+-n mn n m y x 3 26+

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第一讲因式分解的常用方法和技巧(含答案)

第一讲因式分解的常用方法和技巧 趣题引路】 你知道如何分解因式^-+X9+/+/+1吗？试作一代换：若令疋= )，,贝IJ原式=h + )，3+y2 + y+l, 指数为连续整数,可考虑用公式/-l = (^-l)(/ + / + / + y+l),则原式 =V4 + V3 + V2 + V + 1 = —(y5 -1) )‘一1 x-l x2 + X + 1 = (x4 + x3 +x2 +x+ l)(x8 -x7 +x5 +x3 -x + 1) 一个代换，把一个复杂的问题转化为一个较简单的问题，这是数学方法之美.多项式的因式分解是数学中恒等变形的一种重要方法，它在初等数学乃至高等数学中都有广泛的应用，因式分解的方法很多，技巧性强，认真学好因式分解，不仅为以后学习分式的运算及化简、解方程和解不等式等奠定良好的基础，而且有利于思维能力的发展. 知识拓展】 因式分解与整式乘法的区别是：前者是把一个多项式变成几个整式的积，后者是把几个整式的积变成一个多项式，因式分解初中可在有理数域或实数域中进行，高中还可在复数域中进行.因式分解后每个因式应在指定数域中不能再分. “例如X4-A在有理数域内可分解为(X+2)(/-2),其中每个因式就不能再分，不然分解式的系数会超过有理数的范围；在实数域中，它的分解式是(X2+2)(X+>/2)(X->/2):在复数域中，它的分解式是 因式分解的方法很多，除了数学教材中的提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法以外, 还有换元法、待定系数法、拆项添项法和因数定理法等. 本讲在中学数学教材的基础上，对因式分解的方法、技巧作进一步的介绍.

因式分解提高培优

一、选择题 1．如果))((2 b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b ) 2．如果305)(22--=+++?x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．6 3．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－2 4．不能用十字相乘法分解的是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+- C ．242++x x D ．22865y xy x -- 5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．20)(9)(22++-+y x y x 6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题 7．=-+1032x x __________． 8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________， b ＝__________． 9．=--3522 x x (x －3)(__________)． 10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 11．22 ____)(____(_____)+=++a m n a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)． 13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题 14．把下列各式分解因式： （1）6724+-x x ； （2）3652 4--x x ； （3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --； （5）234456a a a --； （6）4 22469374b a b a a +-． 15．把下列各式分解因式： （1）2224)3(x x --； （2）9)2(22--x x ； （3）2222)332()123(++-++x x x x ； （4）60)(17)(222++-+x x x x ； （5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ； （6）48)2(14)2(2++-+b a b a ． 16．把下列各式分解因式： （1）b a ax x b a +++-2)(2； （2）))(()(222q p q p pq x q p x -+++-； （3）81023222-++--y x y xy x ； （4）310434422-+---y x y xy x ； （5）120)127)(23(22-++++x x x x ； （6）4222212)2)((y y xy x y xy x -++++． 17．已知6019722 3+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式． 18．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．

因式分解方法培优试题

2015年因式分解方法培优试题 专题一、（1）提公因式法. （2）运用公式法. 例（1）分解因式 （2） 专题二、分组分解法 在分解因式时，有时为了创造运用公式的条件，需要将所给多项式先进行分组结合，将之整理成便于使用公式的形式，再进行因式分解。 （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、（1）分解因式：ay ax y x ++-2 2（2）2 222c b ab a -+- 例4、已知x －2y ＝3，求 的值。 专题三、配方法 把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式． 例5、分解因式：34442 2-+--y y x x

练习5（1）分解因式：3242 2+++-b a b a 的结果是 ． （2）若25)(22 2++-++y x a y xy x 是完全平方式，则a = ． 专题四、十字相乘法 对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式 进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合 条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。 对于二次三项（a 、b 、c 都是整数，且 ）来说，如果存在四 个整数满足 ，并且，那么二次三 项式 即 可以分解为 。 这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复 杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。 例6、分解因式：652 ++x x 练习6、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x 例7、分解因式：672+-x x 练习7、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x 例8、分解因式：101132+-x x 练习8、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y

超级资源：(合集)八年级数学培优和竞赛讲义附练习及答案(15套)

超级资源：（合集）八年级数学培优和竞赛讲义附练习及答 案（15套） 1、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式

变换。 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 ) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987 521136898745613689872681368987123?+?+?+? 分析：算式中每一项都含有987 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 解：原式)521456268123(1368987 +++?= = ?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23 532 x y x y +=-=-?? ?，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。 分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。 解：()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+- 把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式，求得代数式的值是-6。 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n ，3 2322 2n n n n ++-+-一定是10的倍数。 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 3 23233222 222n n n n n n n n ++++-+-=+-- =+-+=?-?33122110352 22n n n n ()() 对任意自然数n ，103?n 和52?n 都是10的倍数。 ∴-+-++3 2322 2n n n n 一定是10的倍数 5、中考点拨：

因式分解培优提高题用

1、因式分解： （1）34x x - （2）42 82a a - （3）22 33m n m n --- （4）2 2 24x xy y ++- （5）2 25x xy x +- （6）2 2 25x y xy xy +- （7）432 462x x x --+ （8）4 2 3 4 462x y x y xy --+ （9）()()2232a x y b x y --- （10）()()()223242a x y b y x c x y ----- （11）()()2 2 4292a b a b --+ （13）22111439 x xy y -+- （12）()()2961a b a b ++++ （13）22111439 x xy y -+-

（14）()()() 22 2316131p x y p x y p x +++++2 15(2)(3)4x x x +++-（） （16）y y x x 3922--- （17）yz z y x 22 22--- （18）652++x x （19）672 +-x x （20）101132+-x x （21）6752 -+x x 2、求证：不论x 、y 为何有理数，2 2 10845x y x y +-++的值均为正数。 3、若a 为整数，证明()2 211a +-能被8整除。 4、计算：3232 2002220022000 200220022003 -?-+-

5、已知22 26100a a b b ++-+=，求a 、b 的值。 6、 如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干，如果要拼一个长为(a ＋2b)、 宽为(a ＋b)的大长方形，则需要C 类卡片 ． 利用1个a a ?的正方形，1个b b ?的正方形和2个a b ?的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式__________. 7、 给出三个多项式： 21212x x +-，21412 x x ++，21 22x x -．请选择你最喜欢的两个 多项式进行加法运算，并把结果因式分解． 8、在三个整式2 2 2 2,2,x xy y xy x ++中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得 整式可以因式分解，并进行因式分解． 9、当a 、b 的值为多少时，多项式2 2 3625a b a b +-++有最小值，并求出这个最小值。 10、若一个三角形的三边长a ，b ，c ，满足2 2 2 2220a b c ab bc ++--=，试判断三角形的