第七章第三课时解直角三角形的应用

第七章第三课时：

解直角三角形的应用 要点、考点聚焦

课前热身

典型例题解析

课时训练

要点、考点聚焦

1.本课时重点是把实际问题转化为数学问题.

2.仰角、俯角在我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角(如图7-3-1所示).

图7-3-1

3．坡度(坡比)、坡角

图7-3-2

(1)坡度也叫坡比，用i表示即i=hl，h是坡面的铅直高度，l为对应水平宽度，如图7-3-2所示

(2)坡角：坡面与水平面的夹角.

(3)坡度与坡角(若用α表示)的关系：i=tanα.

4．方向角

5．命题方向

运用解直角三角形知识解决与生活、生产有关的应用题是近年来中考的热点题型，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，以综合题出现的考题也有上升趋势.

课前热身

1．(2003年·北京市)如图7-3-3所示，B 、C 是河对岸的两点，A 是对岸岸边一点，测量∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=60米，则点A 到BC 的距离是米。

图7-3-3

30

2．(2003年·宁夏)在倾斜角为30°的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离为3米，那么，相邻两棵树间的斜23

坡距离为米.

3．如图7-3-4所示，某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡

13

度i=1∶1 5，且AB=m.

图7-3-4

4．升国旗时，某同学站在离旗杆底部20米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角为30°，若双眼离地面1.5米，则旗杆高度为

米

(用含根号的式子来表示).3320+1.55．如图7-3-5所示，一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时至B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°方向，此时灯塔M 与渔船的距离是( ) 图7-3-5A ．72海里

B.142海里

C.7海里

D.14海里

A

【例2】(2003年·盐城)如图7-3-7所示，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造坡比为1∶15的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)

图7-3-7

【例3】(2003年·贵阳市)如图7-3-8所示，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.

(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.

(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：≈1.4，≈1.7)

图7-3-8

方法小结：

1．把实际问题转化成数学问题，这个转化为两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的平面或截面示意图，二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系.

2．把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，画出直角三角形.

课时训练

2

355 一、课堂反馈

1．(2003年·河南省)如图7-3-9所示，为了测量河对岸的旗杆AB 的高度，在点C 处测得旗杆顶端A 的仰角为30°，沿CB 方向前进5米到达D 处，在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为

45°，则旗杆AB 的高度是米。图7-3-9

2．如图

7-3-10所示，在坡角为30°的楼梯表面铺地毯，

地毯的长度至少需()

A．4m B.6m C．(6+2 )m D.(2+2 )m 图7-3-10

D

3.某段公路，每前进100m ，路面就上升4m ，则路面的坡度

为( ) A. B. C.22° D.501251156394.如图7-3-11所示，是某市的一块三角形空地，准备在上面种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为a 元，则购买这种草皮至少需要()A.450a 元 B.225a 元

C.150a 元

D.300a 元

图7-3-11

D C

5.如图7-3-12所示，挂着“庆祝国庆”条幅的氢气球升在广场上空，已知气球的半径为2m，在地面A点测得气球中心O的仰角为60°，测得气球的视角∠BAC=2°(AB、AC 是⊙O的切线，B、C为切点)，则气球中心O离地面的高度

C

OD为(sin1°=0 0175，3=1 732，结果精确到1m)() A.94m B.95m

C.99m

D.105m

图7-3-12

6.如图7-3-13所示，水坝的横断面是等腰梯形，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡AB的水平宽度BE=3 m，AD=2m，求

3

∠B，坝高AE及坝底宽BC.

《解直角三角形及其应用》教案

【教案三】23.2解直角三角形及其应用 一．教学三维目标 (一)、知识目标 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． (二)、能力目标 逐步培养分析问题、解决问题的能力． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 三、教学过程 （一）回忆知识 1．解直角三角形指什么？ 2．解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理：a2+b2=c2 (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°

(3)边角之间的关系： tanA=的邻边的对边A A ∠∠，sinA=斜边的对边A ∠， cosA=斜边的邻边A ∠ （二）新授概念 1．仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义． 2．例1 如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′，求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米) 解：在Rt △ABC 中sinB=AB AC ∴AB=B AC sin =2843.01200 =4221(米) 答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米． 例2.2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P 点的距离是多少？（地球半径约为6400km ，结果精确到0.1km ） 分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。斜边 的邻边 A A ∠=cos 斜边的对边 A A ∠=sin

(完整版)初中解直角三角形练习题

解直角三角形练习题 一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm = 则SinA= cosA= 3、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=5 4 ,AB=10,则BC ＝ 4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝ 6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB=

二、选择题 1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ） A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、 A a sin C 、acosA D 、A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ） A 、41cm B 、21cm C 、43cm D 、2 3 cm

解直角三角形及其应用

解直角三角形及其应用 ?课前热身 1. 图1是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图?其中 地面的水平线， Z ABC=150 ,BC 的长是8 m 则乘电梯从点 沿着长方体的表面从点 A 爬到点B,需要爬行的最短距离是（ ） 3.如图3,先锋村准备在坡角为:的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5米，那 5.如图5,在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间 的水平距离）为 4m 如果在坡度为0.75的山坡上种树, 也要求株距为4m,那么相邻两树间的坡面距离为（ ） A. 5m B . 6m C . 7m D . 8m A. B. 4 m C . 4.3 m D. 8 m 5，一只蚂蚁如果要 2.如图 2,长方体的长为15,宽为10,高为2 0 ,点B 离点 C 的距离为 AB CD 分别表示一楼、二楼 B 到点C 上升的高度h 是（ ） 25 C. 10 .55 D. 35 么这两树在坡面上的距离 AB 为（ ） A. 5cos ： B. C. 5sin ： D. 5 cos ： 5 4.如图 4，在 RtA ABC 中，/ACB =90°, BC =1, 则下列结论正确的是（ A. ) 1 B. tan A =— C. cosB .3 D. tan B =、3 B 图4

【参考答案】 1. B CE 【解析】过点B作直线AB的垂线，，垂足为E,在Rt△ BCE中，sin / CBE= ，即 BC h 1 sin3 0° = ，所以h=4m.【点评】作垂线构造直角三角形，因为知道斜边长，所以利 8 2 用已知锐角的正弦关系解答即可?本题还可以利用“直角三角形中，30°所对的直角边等于 斜边的一半”来求解? 2. B 【解析】根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点B,较短爬行路线有以下4条（红色线段表示）.计算可知最短的是第2条. 【点评】在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形（即表面展开图）来 解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论 5 3.B【解析】利用锐角三角函数解答，在以AB为斜边的直角三角形中，cos ，所 AB 5 以AB= .【点评】在直角三角形中，根据已知边、角和要求的边、角确定函数关系. cos- 4.D【解析】此题考查了特殊角的三角函数值.由已知可知/ A=30°,Z B=60°,对照 30°、60°的三角函数值选择正确答案.【点评】熟记特殊角30°、45°、60°的三角函 数值是解题的关键.本题也可以通过勾股定理计算出AC,然后根据锐角三角函数定义判断. 5.A【解析】考查了勾股定理和坡度的定义.坡度即坡比是铅直高度与水平宽度的比，在 这里设铅直高度为h米，则有h:4=0.75 , h=3，利用勾股定理得相邻两树间的坡面距离为? 32 42=5m.

(完整版)解直角三角形和应用题.doc

解直角三角形和应用题 解直角三角形既是初中几何的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基 础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形 的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问 题： 一、重点难点 解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角 三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。 二、中考导向 掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三 角函数的重要基础。因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。题量一 般在 4%~10% 。分值约在 8%~12% 题型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题。几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。 【典型例题】 例 1. 如图，点两个村庄，现要在A 是一个半径为300 米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有 B、 C B、C 两村庄之间修一条长为 1000 米的笔直公路将两村连通，经测得∠ o o ABC=45，∠ ACB=30，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。 AH 解：在Rt ABH 中， BH tan45 A AH 在Rt ACH 中， CH AH AH tan30 1000 tan45 tan30 B H C AH 500 3 500 300 不会穿过 例 2. 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整 地带，该建筑物顶端宽度AD和高度 DC都可直接测得，从A、D、 C三点可看到塔顶 端H，可 供使用的测量工具有皮尺、测倾器。 （ 1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案。具体要求如下：测量数据尽可能少，在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并 将应测数据标记在图形上（如果测 A、D间距离，用 m表示；如果测 D、C间距离，用 n 表示； 如果测角，用α、β、γ表示）。 （ 2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示，测倾器高度忽略不计）。

解直角三角形及其应用

解直角三角形及其应用 1． 某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图J 25－2①所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆最多只能升起到如图J 25－2②所示的位置，其示意图如图J 25－2③所示(栏杆宽度忽略不计)，其中AB⊥BC，EF ∥BC ，∠AEF ＝143°，AB ＝AE ＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)( ) 图J 25－2 图J 25－3 2．如图J 25－4，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB.已知观测点C 到旗杆的距离CE ＝8 m ，测得旗杆的顶部A 的仰角∠ECA＝30°，旗杆底部B 的俯角∠ECB＝45°，那么旗杆AB 的高度是( ) 图J 25－4 A ．(8 2＋8 3)m B ．(8＋8 3)m C ．(8 2＋ 8 33)m D ．(8＋8 3 3 )m 3．如图J 25－5所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡角是30°，堤高BC ＝5 m ，则坡面AB 的长度是( ) 图J 25－5 A ．10 m B ．10 3 m C ．15 m D ．5 3 m 4．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度(测角仪高度忽略不计)．他们的操作方法如下：如图J 25－6，他们先在B 处测得最高塔塔顶A 的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C 处，再次测得最高塔塔顶A 的仰角为58°.请帮助他们计算出最高塔的高度AD 约为多少米(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)．

解直角三角形练习题

1 ．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF 为梯形的高，其中迎水坡 AB的坡角 α＝45°，坡长AB＝6 2 米， 背水坡CD的坡度i＝1∶ 3 (i为DF与FC 的比值)，则背水坡CD的坡长为________米． （第15题图）（第17题图）（第18题图） 2．已知△ABC中，tan B＝ 2 3 ，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足 BD∶CD＝2∶1，则△ABC面积为________． 3．如图，一艘船以40 n mile/h的速度由西向东航行，航行到A处时，测得灯塔P 在船的北偏东30°方向上，继续航行2.5 h，到达B处，测得灯塔在船的北偏西60° 方向上，此时船到灯塔的距离为________n mile.(结果保留根号) 4．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点 上，AB，CD相交于点P，则 AP PB 的值＝________，tan ∠APD的值＝________． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，E点为线段BC的中点，AD ＝2，tan ∠ABD＝ 1 2 . (1)求AB的长；(2)求sin ∠EDC的值． 6.如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,E为AC边上的中点,BC=14, AD=12, 5 4 sin= B,求: （1）线段CD的长;（2）EDC ∠ tan的值. 7．数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示， 炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿 AC方向前进21 m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．(精 确到1 m．参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°＝0.83，tan 34°≈0.67，3 ≈1.73) 8．如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点

最新(五)解直角三角形的实际应用(含答案)

精品文档 （五 ）解直角三角形的实际应用 （含答案 ） 1. （2017 湖南株洲第 23 题 ）如图示一架水平飞行的无人机 AB 的尾端点 A 测得正前方的桥的左端点 P 的俯角为 α 其中 tan α=2 3 ，无人机的飞行高度 AH 为 500 3米，桥的长度为 1255 米． ①求点 H 到桥左端点 P 的距离； ②若无人机前端点 B 测得正前方的桥的右端点 Q 的俯角为 30°，求这架无人机的长度 AB ． 【答案】①求点 H 到桥左端点 P 的距离为 250 米；②无人机的长度 AB 为5米． ②设 BC ⊥HQ 于 C ． 在 Rt △BCQ 中，∵ BC=AH=500 3，∠ BQC=30°， BC ∴ CQ= =1500 米，∵ PQ=1255 米，∴ CP=245 米， tan30 ∵HP=250 米，∴ AB=HC=250﹣245=5 米． 答：这架无人机的长度 AB 为 5 米． . 考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 2. （ 2017 内蒙古通辽第 22 题）如图，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在 EOA 300 ，在OB 的位置时俯角 FOB 600 .若OC EF ，点 A 比点 B 高 7cm . OA 的位置时俯角

求（ 1）单摆的长度（3 1.7 ）；

精品文档 （2）从点A摆动到点B 经过的路径长（3.1） 答案】（ 1）单摆的长度约为 18.9cm（2）从点 A 摆动到点 B经过的路径长为 29.295cm 1 OP=OAcos∠ AOP= x， 2 在 Rt△ BOQ 中， 由 PQ=OQ﹣ OP 可得3 x﹣1 x=7，22 解得： x=7+7 3 ≈ 18.9（ cm）， . 答：单摆的长度 约为 18.9cm； （2）由（ 1）知，∠ AOP=60°、∠ BOQ =30°，且 OA=OB=7+7 3 ，∴∠ AOB=90°，则在 Rt△ AOP 中， OQ=OBcos∠BOQ= 2

人教版九年级下册《解直角三角形及其应用》同步练习

解直角三角形及其应用 一、选择题 1.如图,一个斜坡长130m,坡顶离水平地面的距离为50m,那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( ) A. 13 5 B. 13 12 C. 12 5 D. 12 13 第1题图第2题图 2.如图,在5x4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶 点上，则sin∠BAC的值为( ) A. 3 4 B. 4 3 C. 5 3 D. 5 4 3.将一张矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使顶点C落在点C'处，其中AB=4,若∠C'ED=30°, 则折痕ED的长为( ) A.4 B.3 4 C.8 D.5 5 4.在Rt△ABC中，∠C= 90°，若AB=4，sinA= 5 3 ，则斜边上的高等于( ) A. 25 64 B. 25 48 C. 5 16 D. 5 12 5.如图，在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC= 30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA,则tan∠DAC 的值为( ) A.3 2+ B.3 2 C.3 3+ D.3 3 第3题图第5题图第6题图 6.如图所示，某地修建高速公路，要从A地向B地修条隧道(点A,B在同一近水平面上).为了测量 A,B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发,垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯 角为α,则A,B两地之间的距离为( ) A.800sinα米 B.800tanα米 C. α sin 800 米 D. α tan 800 米 7.如图, 在矩形ABCD中,DE⊥AC于点E，设∠ADE=α,且cosα= 5 3 ,AB=4,则AD的长为( ) A.3 B. 3 16 C. 3 20 D. 5 16 8.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β ,则竹竿AB与AD的长度 之比为( ) A. β α tan tan B. α β sin sin C. β α sin sin D. α β cos cos 第7题图第8题图 9.在△ABC中，AC=8,∠ABC= 60°，∠C = 45°,AD⊥BC，垂足为D,∠ABC的平分线交AD于点 E,则AE的长为( ) A. 3 2 4 B.2 2 C. 3 2 8 D.2 3 10.如图所示，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)，把一根长 5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1 m处的D点离地面的高度DE=0. 6 m,又量得杆底与坝脚 的距离AB=3m,则石坝的坡度为( ) A. 4 3 B.3 C. 5 3 D.4 第9题图第10题图

解直角三角形的应用教案

解直角三角形的应用教案

解直角三角形的应用教案 ―－俯角仰角问题教学目标： 1、了解仰角、俯角的概念。 2、能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际 问题。 3、能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合的思想方 法。 教学重点： 解直角三角形在实际中的应用。 教学难点： 将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。 教学方法：三疑三探 教学过程： 一、复习引入新课 如图：在△ABC中，∠C=90°， ∠A、∠B、∠C的对边分别为 a,b,c. 则三边之间关系为； 锐角之间关系为；边角之间关系(以锐角A为例)为。 看来大家对基础知识掌握得还是比较牢固的。下面我们来看这样一个问题： 问题：小玲家对面新造 了一幢图书大厦，小玲心想： “站在地面上可以利用解直角 三角形测得图书大厦的高，站 在自家窗口能利用解直角三角 形测出大厦的高吗？他望着大厦顶端和大厦底部，可测出视线与水平线之间的夹角各一个，但这两个角如何命名呢？ ο 46A B C Cο 29 A

AE ＝DE ×tan a ＝BC ×tan a ＝22.7×tan 22° ≈9.17 AB ＝BE ＋AE ＝AE ＋CD ＝9.17＋1.20 ≈10.4（米） 答:旗杆的高度约为10.4米． 2、解：在ΔABC 中，∠ACB =90° ∵ ∠CAB =46° AC=32m tan ∠CAB= ∴BC=AC ·tan46° ≈33.1 在ΔADC 中，∠ACD=90° ∵ ∠CAD=29° AC=32m tan ∠CAD= ∴DC=AC ·tan29° ≈17.7 ∴BD=BC+CD=33.1+17.7=50.8≈51 答：大厦高BD 约为51m. 二、 质疑再探 在本节课的探究和学习过程中你还有那些疑惑或问题？请大胆提出来，大家共同解决。 三、 运用拓展 １、 生自编题 ２、 师补充题 1、一架飞机以300角俯冲400米,则飞机的高度变化情况是( c ) C ο29D A BC AC DC AC ο46A B C

解直角三角形练习题(二)及答案

解直角三角形数学测试题 一、填空题 1、如图：P 是∠α的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4）， 则sin （900 - α）＝_____________. 2、3 2 可用锐角的余弦表示成__________. 3、在△ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于D ，若AC ＝4，BD ＝7， 则sinA ＝ ， tanB ＝ . 4、若α为锐角，tan α＝ 2 1，则sin α＝ ，cos α＝ . 5、当x ＝ 时，x x x x cos sin cos sin -+无意义.（00＜x ＜900 ） 6、求值：=???45cos 2 260sin 21 . 7、如图：一棵大树的一段BC 被风吹断，顶端着地与地面成 300角，顶端着地处C 与大树底端相距4米，则原来大树高 为_________米. 8、已知直角三角形的两直角边的比为3:7，则最小角的正弦值为_______. 9、如图：有一个直角梯形零件ABCD 、AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10cm ，∠D ＝120°，则该零件另一腰AB 的长是__________cm. 10、已知：tanx=2 ，则 sinx+2cosx 2sinx －cosx ＝____________. 二、选择题 1、在Rt △ABC 中，∠C =90°，a ＝1，c ＝4,则sinA 的值是（ ） A. 1515 B. 13 C. 14 D. 154

2、已知△ABC中，∠C=90°，tanA·tan 50°＝1，那么∠A的度数是（） A. 50° B. 40° C. ( 1 50 )° D. ( 1 40 )° 3、已知∠A+∠B=90°,且cosA=1 5 ，则cosB的值为( ) A. 1 5 B. 4 5 C. 26 5 D. 2 5 4、在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a和A，则下列关系式中正确的是（） A. c＝α·sinA B. c＝ α sinA C. c＝α·cosB D. c＝ α cosA 5、如果α是锐角，且cosα＝4 5 ，那么sinα的值是（） A. 9 25 B. 4 5 C. 3 5 D. 16 25 6、1米长的标杆直立在水平的地面上，它在阳光下的影长为0.8米；在同一时刻，若某电视塔的影长为100米，则此电视塔的高度应是( ) A．80米 B. 85米 C. 120米 D. 125米 7、化简(1－sin50°)2－(1－tan50°)2的结果为( ) A. tan50°－sin50° B. sin50°－tan50° C. 2－sin50°－tan50° D. －sin50°－tan50° 8、在Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=3，AC等于10，则S△ABC等于( )

浙教版数学九年级下册1-3解直角三角形同步练习(4).docx

28.2解直角三角形（4） 1、测得某坡面垂直高度为2m,水平宽度为4m,则坡度为 [ ] 2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，b=310，则a= ，c= ； 3、已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34，则底角∠B= ； 4．如图：铁路的路基的横截面是等腰梯形，斜坡AB 的坡度为1∶3，BE 为33米，基面AD 宽2 米，求路基的高AE ，基底的宽BEC 及坡角B 的度数.（答案可带根号） 5．水坝横断面为等腰梯形，尺寸如图，（单位：米）坡度I= DE AE =1，求坡面倾斜角（坡角），并计算修建长1000米的水坝约需要多少土方？ 6．如图，上午9时，一条船从A 处出发，以20节的速度向正北航行，11时到达B 处，从A ，B 望灯塔C ，测得∠NAC ＝36°，∠NBC ＝72°，那么从B 处到灯塔C 的距离是多少海里？ 7．如图，王聪同学拿一把∠ACB ＝30°的小型直角三角尺ABC 目测河流在市区河段的宽度．他先在岸边的点A 顺着30°角的邻边AC 的方向确定河对岸岸边的一棵树M ．然后，沿30°角的对边AB 的方向前进到点B ′，顺着斜边C B ''的方向看见M ，并测得B A '＝100 m ，那么他目测的宽大约为多少？(结果精确到 1m)

8．海中有一个小岛A ，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60°，航行12海里到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30°．如果渔船不改变航向，继续向东捕捞，有没有触礁的危险？ 思考·探索·交流 1．如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°的方向上有一点 A ，以 A 为圆心、500 m 为半径的圆形区域为居民区．取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东 75°．已知MB ＝400 m ，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？ 答案：1、D 2、10，20 3、30° 4．解：∵3133 AE ∴AE=3（米） BC=（2+63）（米） ∠B=30° 5. 45°,444000土方 6．40 海里． 7．河宽约 173 m ． 8．渔船没有触礁的危险． 思考·探索·交流 答案： 1．输水路线不会穿过居民区． 提示：过点A 作MN 的垂线，垂足为C ，求AC ．

《解直角三角形及其应用》 word版 公开课一等奖教案1

当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 解直角三角形及其应用 课题 28.2解直角三角形及其应用1 授课时间 课型 新授 二次修改意见 课时 1 授课人 科目 数学 主备 教学目标 知识与技能 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 过程与方法 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 情感态度价值观 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯 教材分析 重难点 重点：直角三角形的解法 难点： 三角函数在解直角三角形中的灵活运用 教学设想 教法 三主互位导学法 学法 小组合作 教具 三角板，多媒体

本课教学反思 英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。写作是综合性较强的语言运用形式 , 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进。因此 , 写作教案具有重要地位。然而 , 当前的写作教案存在“ 重结果轻过程”的问题 , 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上，忽视了语言的输入。这个话题很容易引起学生的共鸣，比较贴近生活，能激发学生的兴趣 , 在教授知识的同时，应注意将本单元情感目标融入其中，即保持乐观积极的生活态度，同时要珍惜生活的点点滴滴。在教授语法时，应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心，因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句，一个清晰的脉络能为后续学习打下基础。此教案设计为一个课时，主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括，下一个课时则对语法知识进行讲解。 在此教案过程中，应注重培养学生的自学能力，通过辅导学生掌握一套科学的学习方法，才能使学生的学习积极性进一步提高。再者，培养学生的学习兴趣，增强教案效果，才能避免在以后的学习中产生两极分化。 在教案中任然存在的问题是，学生在“说”英语这个环节还有待提高，大部分学生都不愿意开口朗读课文，所以复述课文便尚有难度，对于这一部分学生的学习成绩的提高还有待研究。 课堂设计 一、目标展示 ⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． ⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、预习检测 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 a b A b a A c b A c a A ==== cot ;tan ;cos ;sin b a B a b B c a B c b B = ===cot ;tan ;cos ;sin 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边 ；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠= ∠∠=∠=∠= cot tan cos sin (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据． 三、质疑探究 例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2， a=6，解这个三角形． 例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o ，b=20，解这个三角形． 四、精讲点拨 已知一边一角，如何解直角三角形？ 五、当堂检测 1、Rt △ABC 中，若sinA= 4 5 ，AB=10，那么BC=_____，tanB=______． 2、在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________． 3、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=3 5 ，则cos A 的值是（ ） A ．35 B ．45 C ．916 .2525 D 六、作业布置 板 书 设 计 28.2解直角三角形及其应用1 边角之间关系 例1. 三边之间关系 例2 锐角之间关系 教学反思

解直角三角形(习题课)

解直角三角形（习题课）教学设计 一、教学目标： 1. 掌握直角三角形中锐角三角函数的定义。 2. 熟记30°，45°，60°角的各三角函数值，会计算含特殊角三角函数的代数式的值。 3. 能熟练运用勾股定理、直角三角形中两锐角互余及三角函数定义解直角三角形。 4. 会用解直角三角形的有关知识解简单的实际问题。 二、教学重点： 先构造直角三角形，再综合应用勾股定理和锐角三角函数解决简单的实际问题。 三、教学难点： 把实际问题转化为解直角三角形的数学问题。 教学过程 一、知识回顾 （一）解直角三角形的依据 1、 三边的关系：2 2 2 c b a =+（勾股定理） 2、 两内角的关系：∠A +∠B=90° 3、 边角关系： c a A = sin c b A =cos b a A =tan （二）特殊角30°，45°，60°的三角函数值 （三）在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念

（四）解直角三角形的类型 解直角三角形（如图）只有两种情况：（1）已知两边；（2）已知一条边和一个锐角。 1、已知a 、b ，解直角三角形（即求：∠A ，∠B 和c 边） 2、已知∠A 和a 边，解直角三角形 3、已知∠A 和b 边，解直角三角形 4、已知∠A 和c 边，解直角三角形 二、典型例题 题型1 三角函数 1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则sinA 的值为_______． 2.在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC=4，AC=3，则cosA 的值为______． 3.如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC=5，AC=12，则cosA 等于（ ） A 、122 B 、135 C 、512 D 、13 12 4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，已知AC=5，BC=2，那么sin ∠ABC=（ ） A 、35 B 、3 2 C 、552 D 、25 5．计算：( )830tan 60cos 20 0+ -+- 题型2 解直角三角形 1.如图4，在矩形ABCD 中DE ⊥AC 于E ， 设∠ADE=a ， 且cos α=5 3 ，AB=4，则AD 的长为（ ） A.3 B. 316 C.320 D.5 16 2.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由 四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ， 较短直角边为b ，则a+b 的值为（ ） A ．35 B ．43 C ．89 D ．97

解直角三角形练习题(一)及答案

12 解直角三角形 一. 选择题 1、如图，已知正方形ABCD 的边长为2,如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长 线上的D' 处， 4 那么sinofl 勺值是（）? 5 5 (A)—— 13 12 ⑻—— 13 10 (C)—— 13 5 (D)—— 12 在RtAXBC 中，ZC=90。，下列式子中正确的是( (-4) sin 4 = sin B (B) sin A = cos B (C) tanA = tanB (D) COL 4 = cotB 7、某市在“旧城改造冲 讣划在一 块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境?已知这种草皮每平方米“元，则购买这种草皮至少要 （A ） 450初元 （B ） 225“ 元 （C ） 155 元 （D ） 300“ 元 (A) 30° (B) 45° (C) 60" 9、在ZU9Cr ,於5.於 13, (A) ? (B) 2 13 13 (A)? 1 (B).迈 (C). 返 2 (D). 272 3、 等腰三角形底边长为10 cm. 周长为36cm, 那么底角的余弦等于（ 4、 .以下不能构成三角形三边长的数组是（ (A) Cb 73, 2) (B) ( 73 , 74 . 75 ) (C) (3, 4, 5) (D) (3\ 42, 5=) 8、已知a 为锐角，tan （90° —a ）=y/3.则a 的度数为（ 那么tanZBAD 等于（ 2、如果Q 是锐角. 且 cose 5、 6、在矩形ABCD 中，DE 丄AC 于￡\设 且 cos* 45 = 1则AD 的长为（ 3 (c) Z2 CD) 16 CD ） 75° 则sinJ 的值是 （ 20米 3侏 150

【浙教版初中数学】《解直角三角形》课堂练习

1 《解直角三角形》课堂练习 一、选择题 1．在ABC Rt ?中，c b a C 、、,90ο=∠分别是C B A ∠∠∠、、的对边，下列关系式中错误的是（ ） A ． B b cos = B ．B a b tan = C ．A c a sin = D ．B b a cot = 2．如图，在ABC Rt ?中，CD 为斜边AB 上的高，已知AD ＝8，BD ＝4，那么) (tan =A A ． 22 B ．32 C ．42 D ．8 2 3．如图，在四边形ABCD 中，,3,2,90,60===∠=∠=∠CD BC D B A οο则AB ＝（ ） A ．4 B ．5 C ．32 D ． 33 8 4．下列结论中，不正确的是（ ） A ．0241cos 7348sin '<'οο B ．1cos sin ,9022=+=∠A A C ABC Rt 则中，ο? C ．B B B C ABC Rt cos sin cot ,90==∠则中，ο?

2 D ．B b AB C ABC Rt sin ,90= =∠则中，ο? 5．在) (tan ,13 12 cos ,12,90等于则中，A A AC C ABC Rt = ==∠?ο A ． 135 B ．1213 C ．512 D ．12 5 6．在C B A c b a C ABC ∠∠∠=∠、、分别是中，,,,,90ο?的对边，则有（ ） A ．A a b tan ?= B ．A c b sin ?= C ．B c a cos ?= D ．A a c sin ?= 7．在ABC Rt ?中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值（ ） A ．都没有变化 B ．都扩大2倍 C ．都缩小2倍 D ．不能确定 二、填空题 1． 在直角三角形ABC 中（?=∠90C ）. （1）若已知a 、A ，则______;_____,==c b （2）若已知b 、A ，则______;_____,==c a （3）若已知a 、B ，则______;_____,==c b （4）若已知b 、B ，则______;_____,==c a （5）若已知c 、A ，则______;_____,==b a

专题42：解直角三角形和应用

专题42：解直角三角形和应用 一、选择题 1. （2012广东深圳3分）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300 ，同一时 刻，一根长为l 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为 【 】 A.(6米 B.12米 C.(4+米 D ．10米 【答案】A 。 【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数 定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。 【分析】延长AC 交BF 延长线于E 点，则∠CFE=30°。 作CE⊥BD 于E ，在Rt△CFE 中，∠CFE=30°，CF=4， 在Rt△CED 中，CE=2， ∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4。 ∵△DCE∽△DAB，且CE ：DE=1：2， ∴在Rt△ABD 中，AB=12BD=(12=A 。 2. （2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，A 、B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A 同侧的河岸边选定一点C ，测出AC=a 米，∠A=90°，∠C=40°，则AB 等于【 】米．

A ． asin40° B ． acos40° C ． atan40° D ．0a tan40 【答案】C 。 【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。 【分析】∵△ABC 中，AC=a 米，∠A=90°，∠C=40°， ∴AB=atan40°。故选C 。 3. （2012福建福州4分）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热 气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点煌距离是【 】 A ．200米 B ．2003米 C ．2203米 D ．100(3＋1)米 【答案】D 。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可： 由已知，得∠A＝30°，∠B＝45°，CD ＝100， ∵ CD⊥AB 于点D ， ∴在Rt△ACD 中，∠CDA＝90°，tanA ＝CD AD ，∴ AD＝CD tanA ＝1003 3 ＝1003。 在Rt△BCD 中，∠CDB＝90°，∠B＝45°，∴ DB＝CD ＝100。 ∴ AB＝AD ＋DB ＝1003＋100＝100(3＋1)（米）。故选D 。 4. （2012湖北宜昌3分）在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳 光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为【 】

解直角三角形应用专题带答案-

解直角三角形应用专题带答案

解直角三角形应用专题练习 一?解答题（共21小题） 1 ?在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的 高度?用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30。，再往雕塑方向前进4 米至B 处，测得仰角为45°.问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值?） A B 2?如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处, 它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处, 求此时船距灯塔的距离（参考数据：匚"1.414，二"1.732，结果取整数）. 3. 2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播.如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°, B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号） 4.小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD,小亮 通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为/ EAB=60，/ EAC=30，第2页（共 31页）

且D, B, C在同一水平线上?已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD.（精 确到0.01米.参考数据：匚~ 1.414 , 7^ 1.732 ） 5?我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其 中山脚A C两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米，由 B处望山脚A处的俯角为30°,由B处望山脚C处的俯角为45°,若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据 1.732 ） 6.随着航母编队的成立，我国海军日益强大. 2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡

解直角三角形及其应用

解直角三角形及其应用 第一课时 龙潭镇中心学校潘永贵 教学内容： 课本124~125页观察及例1，125页练习第1、2题。 教学目标： 1、理解直角三角形五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2、选择简便解法解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。 3、培养学生自主探究与合作交流的学习习惯。 教学过程 一、引入课题 1、课件出示课本图23—14，R t△ABC共有六个元素，（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素（三边a,b,c,两锐角A，B）之间有怎样的关系呢？ （1）三边之间的关系 a2 + b2= （2）锐角之间的关系 ∠A+∠B= （3）边角之间的关系 sinA= cosA= tanA=

如果知道了五个元素中的两个元素（至少有一个元素是边），就可以求出其余的三个元素。说一说你对括号内“至少有一个元素是边”这句话的理解。 2、在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。板书课题。 二、探究新知 1、学习例1 在R t△ABC中，∠C=90°，∠B=42°6′，c=287.4，解这个三角形（精确到0.1） 解：如图 （1）∠A=90°－∠B=90°－42°6′=47°54′ （2）由cosB=a ，得 c a=c sinB=287.4×0.7420≈213.3 (3)由sinB=b ,得 c b=c sinB=287.4×0.6704≈192.7 2、说一说求出a后，还可以怎样求b? 强调：①在计算时，最好用原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止一步计算出错，而导致一错到底。②应避免开方运算，使求解简便。 3、小结：“已知一边一角，如何解直角三角形”? 先求另外一个角，然后选取恰当的函数关系式求另两边。 4、学习例2