第9讲_离散型随机变量的均值与方差

第9讲 离散型随机变量的均值与方差

【2013年高考会这样考】

1．考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念． 2．利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题． 【复习指导】

均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，是高考在考查概率时考查的重点，复习

时，要掌握期望与方差的计算公式，并能运用其性质解题．

基础梳理

离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为

X x 1 x 2 … x i … x n P

p 1

p 2

…

p i

…

p n

两个防范

在记忆D (aX ＋b )＝a 2

D (X )时要注意：D (aX ＋b )≠aD (X )＋b ，D (aX ＋b )≠aD (X )． 三种分布

(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )； (2)X ～B (n ，p )，则

E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )；

(3)若X 服从超几何分布， 则E (X )＝n M

N

. 六条性质

(1)E (C )＝C (C 为常数

)

(1)均值

称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值

或 数学期望 ，它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 ． (2)方差 称D (X )＝ i ＝1

n

[x i －E (X )]2

p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均 偏离程度 ，其算术平方根D X 为随机变量X 的标准差．

(2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b (a 、b 为常数) (3)E (X 1＋X 2)＝EX 1＋EX 2

(4)如果X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝E (X 1)E (X 2) (5)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2 (6)D (aX ＋b )＝a 2

·D (X )

双基自测

1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )． A.

65 B.6

5

C. 2 D ．2 解析 由题意知a ＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a ＝－1. s 2

＝

－1－12

＋0－12

＋1－12

＋2－12

＋3－12

5

＝2. 答案 D

2．已知X 的分布列为

X －1 0 1 P

12

13

16

设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( )．

A.7

3 B ．

4 C ．－1 D ．1 解析 E (X )＝－12＋16＝－1

3

，

E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－2

3＋3＝73

.

答案 A

3．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：

ξ

7

8 9 10

P x 0.1

0.3

y

已知ξ的期望E (ξ)＝8.9，则y 的值为________． A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.9 解析 x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，即x ＋y ＝0.6.①

又7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，化简得7x ＋10y ＝5.4.②

由①②联立解得x ＝0.2，y ＝0.4. 答案 A

4．设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( )． A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p ＝0.4 C ．n ＝5，p ＝0.32 D ．n ＝7，p ＝0.45 解析 ∵X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np ＝1.6，

D (X )＝np (1－p )＝1.28，∴?

??

??

n ＝8，

p ＝0.2.

答案 A

5．(2010·上海)随机变量ξ的概率分布列由下表给出：

ξ

7 8 9 10 P

0.3

0.35

0.2

0.15

该随机变量ξ的均值是________．

解析 由分布列可知E (ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2. 答案 8.2

考向一 离散型随机变量的均值和方差

【例1】?A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B 1、B 2、B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：

对阵队员

A 队队员胜的概率

A 队队员负的概率

A 1和

B 1 2

3 13 A 2和B 2 25 35 A 3和B 3

25

35

现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A 队，B 队最后所得总分分别为X ，Y (1)求X ，Y 的分布列；(2)求E (X )，E (Y )．

[审题视点] 首先理解X ，Y 的取值对应的事件的意义，再求X ，Y 取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望． 解 (1)X ，Y 的可能取值分别为3,2,1,0.

P (X ＝3)＝23×25×25＝875

，

P (X ＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2875

， P (X ＝1)＝23

×35

×35＋13

×25

×35

＋13×35

×25

＝25

， P (X ＝0)＝13

×35

×35＝325

；

根据题意X ＋Y ＝3，所以

P (Y ＝0)＝P (X ＝3)＝875，P (Y ＝1)＝P (X ＝2)＝2875

， P (Y ＝2)＝P (X ＝1)＝25

，P (Y ＝3)＝P (X ＝0)＝325

. X 的分布列为

X 0 1 2 3 P

325

25

2875

875

Y 的分布列为

Y 3 2 1 0 P

325

25

2878

875

(2)E (X )＝3×

875＋2×2875＋1×25＋0×325＝2215

； 因为X ＋Y ＝3，所以E (Y )＝3－E (X )＝23

15

.

(1)求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列，然后利用公

式计算．

(2)由X 的期望、方差求aX ＋b 的期望、方差是常考题之一，常根据期望和方差的性质求解． 【训练1】 (2011·四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，1

2；两小时以上且不超过三小时

还车的概率分别为12，1

4；两人租车时间都不会超过四小时．

(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)．

解 (1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，1

4.

记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则

P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516

.

所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为5

16.

(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.

P (ξ＝0)＝14×12＝18

； P (ξ＝2)＝14

×14

＋12

×12＝516

； P (ξ＝4)＝12

×14

＋14

×12＋14

×14

＝516

； P (ξ＝6)＝12

×14

＋14

×14＝316

； P (ξ＝8)＝14

×14

＝116

.

甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为

ξ

0 2 4 6 8 P

18

516

516

316

116

所以E (ξ)＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝7

2

.

考向二 均值与方差性质的应用

【例2】?设随机变量X 具有分布P (X ＝k )＝1

5

，k ＝1,2,3,4,5，求E (X ＋2)2，D (2X －1)，

D X －1.

[审题视点] 利用期望与方差的性质求解．

解 ∵E (X )＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15＝15

5

＝3.

E (X 2)＝1×15＋22×15＋32×15＋42×15＋52×15

＝11.

D (X )＝(1－3)2×15

＋(2－3)2×15

＋(3－3)2×15

＋(4－3)2×15

＋(5－3)2×15＝15

(4＋1＋0＋1＋4)

＝2.

∴E (X ＋2)2＝E (X 2＋4X ＋4)

＝E (X 2)＋4E (X )＋4＝11＋12＋4＝27.

D (2X －1)＝4D (X )＝8，D X －1＝D X ＝ 2.

若X 是随机变量，则η＝f (X )一般仍是随机变量，在求η的期望和方差时，熟

练应用期望和方差的性质，可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算．

【训练2】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号． (1)求X 的分布列、期望和方差；

(2)若η＝aX ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解 (1)X 的分布列为

X 0 1 2 3 4 P

12

120

110

320

15

∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×1

5

＝1.5.

D (X )＝(0－1.5)2×1

2＋(1－1.5)2×

120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15

＝2.75.

(2)由D (η)＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2. 又E (η)＝aE (X )＋b ，

所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2. 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4. ∴???

??

a ＝2，

b ＝－2，

或???

??

a ＝－2，

b ＝4，

即为所求．

考向三 均值与方差的实际应用

【例3】?(2011·福建)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．

(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：

X 1 5 6 7 8 P

0.4

a b

0.1

且X 1的数学期望E (X 1)＝6，求a ，b 的值；

(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：

3 5 3 3 8 5 5 6 3 4

6 3 4

7 5 3 4

8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．

注：(1)产品的“性价比”＝

产品的等级系数的数学期望

产品的零售价

；

(2)“性价比”大的产品更具可购买性．

[审题视点] (1)利用分布列的性质P 1＋P 2＋P 3＋P 4＝1及E (X 1)＝6求a ，b 值． (2)先求X 2的分布列，再求E (X 2)，(3)利用提示信息判断．

解 (1)因为E (X 1)＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6，即6a ＋7b ＝3.2. 又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1，即a ＋b ＝0.5. 由?

??

??

6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得?

??

??

a ＝0.3，

b ＝0.2.

(2)由已知得，样本的频率分布表如下：

X 2 3 4

5 6 7 8 f

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0.1

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：

X 2 3 4 5 6 7 8 P

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0.1

所以

E (X 2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8.

即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下：

因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为6

6＝1.

因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.8

4＝1.2.

据此，乙厂的产品更具可购买性．

解决此类题目的关键是将实际问题转化为数学问题，正确理解随机变量取每一个

值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率，本题第(1)问中充分利用了分布列的性质p 1＋p 2＋...＋p n ＋ (1)

【训练3】 某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能

不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为12，14，1

4；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，

也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．

(1)如果把10万元投资甲项目，用X 表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求X 的概率分布及E (X )；

(2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．

解 (1)依题意，X 的可能取值为1,0，－1，

X 的分布列为

X 1 0 －1 P

12

14

14

E (X )＝1

2

－14

＝14

.

(2)设Y 表示10万元投资乙项目的收益，则Y 的分布列为：

Y 2 －2 P

α

β E (Y )＝2α－2β＝4α－2，依题意要求4α－2≥14

，

∴9

16

≤α≤1.

规范解答23——离散型随机变量的均值与方差的计算

【问题研究】 期望和方差是离散型随机变量的两个重要数学特征，是高考概率考查的重要知识点，常与排列组合、导数等知识相结合，对考查生的数学应用能力、数学表达能力、创新能力都进行了考查．

【解决方案】 (1)掌握好期望与方差的性质．(2)记住或理解一些特殊分布的均值与方差，如两点分布、二项分布等．(3)注意运算技巧，随机变量的均值与方差计算比较复杂，在运算时要注意一些运算技巧，如把问题归结为二项分布的期望与方差，运用期望与方差的性质简化运算，运算时注意一些项的合并．

【示例】?(本小题满分12分)甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲机投弹一次命中目标的概率为23，乙机投弹一次命中目标的概率为1

2，两机投弹互不影响，每机各投弹两

次，两次投弹之间互不影响．

(1)若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率；

(2)记目标被命中的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

对于第(1)问，甲、乙两机的投弹都是独立重复试验概型，根据至少两次命中分

类求解，或使用间接法求解，注意运用相互独立事件同时发生的概率乘法公式；对于第(2)问，根据题意，随机变量ξ＝0,1,2,3,4，根据独立重复试验概型及事件之间的相互关系，计算其概率即可求出分布列，根据数学期望的计算公式求解数学期望．

[解答示范] 设A k 表示甲机命中目标k 次，k ＝0,1,2，B l 表示乙机命中目标l 次，l ＝0,1,2，则A k ，B l 独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有 P (A k )＝C k 2????23k ????132－k ，P (B l )＝C l 2

????12l ???

?122－l .

据此算得P (A 0)＝19，P (A 1)＝49，P (A 2)＝49

.

P (B 0)＝1

4，P (B 1)＝12，P (B 2)＝14

.(2分)

(1)所求概率为

1－P (A 0B 0＋A 0B 1＋A 1B 0)＝

1－????19×14＋19×12＋49×14＝1－736＝2936.(4分)

(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且

P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝P (A 0)·P (B 0)＝19×14＝136

， P (ξ＝1)＝P (A 0B 1)＋P (A 1B 0)＝19

×12

＋49

×14

＝16

，

P (ξ＝2)＝P (A 0B 2)＋P (A 1B 1)＋P (A 2B 0)＝19×14

＋49

×12

＋49

×14＝1336

，(8分) P (ξ＝3)＝P (A 1B 2)＋P (A 2B 1)＝49

×14

＋49

×12

＝13， P (ξ＝4)＝P (A 2B 2)＝49

×14

＝19.(10分)

综上知，ξ的分布列如下：

ξ

0 1 2 3 4 P

136

16

1336

13

19

从而ξ的期望为E (ξ)＝0×136＋1×16＋2×1336＋3×13＋4×19＝7

3

.(12分)

概率问题的核心就是互斥事件、相互独立事件的概率计算、随机变量的分布以及

均值等问题，并且都是以概率计算为前提的，在复习时要切实把握好概率计算方法．若本题第(2)问是单纯求随机变量ξ的数学期望，则可以直接根据二项分布的数学期望公式和数学

期望的性质解答：令ξ1，ξ2分别表示甲、乙两机命中的次数，则ξ1～B ????2，23，ξ2～B ????2，1

2，

故有E (ξ1)＝2×23＝43，E (ξ2)＝2×12＝1，而知E (ξ)＝E (ξ1)＋E (ξ2)＝7

3

.

【试一试】 (2011·北京)(本小题共13分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．

(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望．

(注：方差s 2＝1

n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均

数)

解 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10， 所以平均数为：x ＝

8＋8＋9＋104＝35

4

；

方差为：s 2＝14×[(8－354)2＋(8－354)2＋(9－354)2＋(10－354)2]＝11

16

.

(2)当X ＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P (Y ＝17)＝216＝18.同理可得P (Y ＝18)＝14；P (Y ＝19)＝14；P (Y ＝20)＝14；P (Y ＝21)＝1

8

.所以随机变量Y 的分布列为：

Y 17 18 19 20 21 P

1

8

14

14

14

18

EY ＝17×P (Y ＝17)＋18×P (Y ＝18)＋19×P (Y ＝19)＋20×P (Y ＝20)＋21×P (Y ＝21)＝17×

18

＋18×14＋19×14＋20×14＋21×1

8

＝19.

[尝试解答] 由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知，f (x )在[－2,2]上递增，又f (x －4)＝－f (x )?f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，故函数f (x )以8为周期，f (－25)

＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)，f (80)＝f (0)，故f (－25)＜f (80)＜f (11)．故选D. 答案 D

1.（2012年江苏高考）

设ξ为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0=ξ；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1=ξ. （1）求概率()0=ξP ；

（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()ξE .

2.(2012年课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式；

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表： 日需求量n 14

15 16 17 18 19 20 频数

10

20

16

16

15

13

10

以100天记录的各需求量发生的频率。

①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；

②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。

本题考查了利用样本频率估计总体概率以及离散型随机变量的期望与方差，掌握期望与方差的意义是解题的关键。

3．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”。

(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22?列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关？

(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率。现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽 样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X 。若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X 。

附：2

2

112212211212

(),n n n n n n n n n χ++++-=

4.（2012年高考安徽卷）某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题。若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类型试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有m n +道试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题。以X 表示两次调题工作完成后，试题库中A 类型试题的数量。

（1）求2+=n X 的概率；

（2）设n m =，求X 的分布列和均值（数学期望）。

本题考查基本事件概率，条件概率，离散型随机变量及其分布列、均值等基础知识，考查分类思想和应用思想与创新意识。准确理解题意和准确运算时求解本题的关键。

离散型随机变量及其分布列教案

离散型随机变量及其分布列第一课时 2.1.1离散型随机变量 教学目标：1、引导学生通过实例初步了解随机变量的作用，理解随机变量、离散型随机变量的概念．初步学会在实际问题中如何恰当地定义随机变量． 2、让学生体会用函数的观点研究随机现象的问题，体会用离散型随机变量思想 描述和分析某些随机现象的方法，树立用随机观念观察、分析问题的意识． 3、发展数学应用意识，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，逐步认识 数学的科学价值和应用价值． 教学重点：随机变量、离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当的定义随机变量．教学难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究． 教学方法：启发讲授式与问题探究式． 教学手段：多媒体 教学过程： 一、创设情境，引出随机变量 提出思考问题1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1，2，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示？ 启发学生：掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但可以将结果于数字建立对应关系． 在让学生体会到掷骰子的结果与出现的点数有对应关系后，也能创造性地提出用数字表示掷一枚硬币的结果．比如可以用1表示正面向上的结果，用0表示反面向上的结果．也可以分别用1、2表示正面向上与反面向上的结果． 再提出思考问题2：一位篮球运动员3次罚球的得分结果可以用数字表示吗？ 让学生思考得出结论：投进零个球——— 0分 投进一个球——— 1分 投进两个球——— 2分 投进三个球——— 3分 得分结果可以用数字0、1、2、3表示． 二、探究发现 1、随机变量 问题1.1：任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？ 引导学生从前面的例子归纳出：如果将实验结果与实数建立了对应关系，那么随机试验的结果就可以用数字表示．由于这个数字随着随机试验的不同结果而取不同的值，因此是个变量． 问题1.2：如果我们将上述变量称之为随机变量，你能否归纳出随机变量的概念？ 引导学生归纳随机变量的定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． 随机变量常用字母X、Y、ξ、η来表示． 问题1．3：随机变量与函数有类似的地方吗？ 引导学生回顾函数的理解： 函数 实数实数 在引导学生类比函数的概念，提出对随机变量的理解：

知识讲解离散型随机变量的均值与方差(理)(基础)

离散型随机变量的均值与方差 【学习目标】 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题； 2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题； 【要点梳理】 要点一、离散型随机变量的期望 1.定义： 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 要点诠释： （1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． （2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p … n p n 1= =，=ξE +1(x +2x …n x n 1 )?+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。 （3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 2．性质： ①()E E E ξηξη+=+； ②若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，有b aE b a E +=+ξξ)(； b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下：： η的分布列为 于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++… ＝+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)＝b aE +ξ

∴b aE b a E +=+ξξ)(。 要点二：离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念： 已知一组数据1x ，2x ，…，n x ，它们的平均值为x ，那么各数据与x 的差的平方的平均数 [1 2n S = 21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差： 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋22 2)(p E x ?-ξ＋…＋2()n i x E p ξ-?＋…称为随机变量ξ的方差，式中 的ξE 是随机变量ξ的期望． ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ． 要点诠释： ⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）． ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系： 22()()D E E ξξξ=- 4.方差的性质： 若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，2 ()D D a b a D ηξξ=+=； 要点三：常见分布的期望与方差 1、二点分布： 若离散型随机变量ξ服从参数为p 的二点分布，则 期望E p ξ= 方差(1).D p p ξ=-

知识讲解离散型随机变量的均值与方差

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离散型随机变量的均值与方差 【学习目标】 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题； 2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题； 【要点梳理】 要点一、离散型随机变量的期望 1.定义： 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 要点诠释： （1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． （2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有 =1p =2p …n p n 1= =，=ξE +1(x +2x …n x n 1 )?+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。 （3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 2．性质： ①()E E E ξηξη+=+； ②若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，有 b aE b a E +=+ξξ)(； b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下：： η的分布列为

于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++… ＝+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)＝b aE +ξ ∴b aE b a E +=+ξξ)(。 要点二：离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念： 已知一组数据1x ，2x ，…，n x ，它们的平均值为x ，那么各数据与x 的差的平方的平均数 [1 2n S = 21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差： 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋222)(p E x ?-ξ＋…＋2()n i x E p ξ-?＋…称为随机变量ξ的方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ． 要点诠释： ⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）． ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系：

常用离散型和连续型随机变量

常用离散型随机变量的分布函数 (1) 离散型随机变量 [1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者 无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。其相应的概 率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分 布或分布律，表格表示形式如下： [2] 性质： ? 0i p ≥ ?11n i i p ==∑ ?分布函数()i i x x F x p == ∑ ?1{}()()i i i P X x F x F x -==- (2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非 负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有： ()()x F x f x dx -∞= ? 则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函 数或者密度函数。

[2] 连续型随机变量的密度函数的性质 ?()0f x ≥ ? ()1f x dx +∞ -∞=? ?{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞ -∞<≤=-= ? ?若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '= (3) 连续型随机变量和离散型随机变量的区别： [1] 由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是 (),-∞+∞，对于任何x ，000 {}()()0P X x F x F x ==--=；而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间 断点，其图形呈阶梯形。 [2] 概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随 机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1. [3] 连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何 给定值的概率都为0. [4] 对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之间 取值的概率与区间端点无关，即：

选修2-3教案2.3.1离散型随机变量的均值

§2.3.1 离散型随机变量的均值 教学目标 （1）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义； （2）能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题． 教学重点，难点：取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义． 教学过程 一．问题情境 1．情景： 前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？ 甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不 合格品数分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下． 2．问题： 如何比较甲、乙两个工人的技术？ 二．学生活动 1． 直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率 比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论． 2． 学生联想到“平均数”，，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？ 3． 引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法． 三．建构数学 1．定义 在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式1122...n n x p x p x p +++计算样本的平均值，其中i p 为取值为i x 的频率值．

其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称1122...n n x p x p x p +++为随机变量X 的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ． 2．性质 （1）()E c c =；（2）()()E aX b aE X b +=+．（,,a b c 为常数） 四．数学运用 1．例题： 例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X ，求X 的数学期望． 分析：从口袋中摸出5个球相当于抽取5n =个产品，随机变量X 为5个球中的红球的 个数，则X 服从超几何分布(5,10,30)H ． 从而 2584807585503800700425 ()012345 1.66672375123751237512375123751237513 E X =? +?+?+?+?+?=≈ 答：X 的数学期望约为1.6667． 说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到0 ()r n r n M N M n r N r C C M E X n C N --===∑ ． 例2．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品 率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X 的数学期望 ()E X ． 解：由于批量较大，可以认为随机变量~(10,0.05)X B ， 1010()(1),0,1,2, (10) k k k P X k p C p p k -===-=

61随机变量的概率分布、期望与方差1

如皋市薛窑中学2011届高三理科数学一轮复习 61随机变量的概率分布、期望与方差 【考点解读】 离散型随机变量及其分布列：A;超几何分布：A;条件概率及相互独立事件：A； n次独立重复试验的模型及二项分布：B;离散型随机变量的均值与方差：B 【复习目标】 1?了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；会求某些简单的离散型随机变量的分布列。 2?了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 3?了解条件概率和两个事件相互独立的概念( 对条件概率的应用题不作要求 )。 4 ?理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。 5?了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。 活动一：基础知识 1. 随机变量： 1) 定义： _________________________________________________________ 。 2) ____________________________________ 表示方法：。 2. 随机变量分布列的定义： 假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是X1,X2丄X n且P(X=x i)=p i ,i=1,2, -n,① 称①为随机变量X 的概率分布列，简称X的分布列 3. 概率分布表 将①用表的形式表示如下： 4. 分布列的性质： 概率分布列中P(i 1,2L n)满足以下两个条件: (1) ______________________________ (2) ______________________________ 5. 两点分布 如果随机变量X只取两个可能值_0 和__________ 1 ___ ，则称该随机变量X服从0-1分布或两点分布并记为X?0-1或X?两点分布. 其概率分布表为： 其中丨min{ M , n}，且n N,M N,n,M,N N .称分布列

2.5 随机变量的均值和方差

2.5随机变量的均值和方差 扬州市新华中学查宝才 教学目标： 1．通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义； 2．能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题． 教学重点： 取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义． 教学方法： 问题链导学． 教学过程： 一、问题情境 1．情景． 前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．怎样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？ 甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的概率分布如下． 2．问题． 如何比较甲、乙两个工人的技术？ 二、学生活动 1．直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，

似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论． 2．学生联想到“平均数”，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？ 3．引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法． 三、建构数学 1．定义． 在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式x1p1＋x2p2＋…＋x n p n 计算样本的平均值，其中p i为取值为x i的频率值． 类似地，若离散型随机变量X的分布列或概率分布如下： X x1x2…x n P p1p2…p n 其中，p i≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋p n＝1，则称x1p1＋x2p2＋…＋x n p n为随机变量X的均值或X的数学期望，记为E(X)或μ． 2．性质． （1）E(c)＝c；（2）E(aX＋b)＝aE(X)＋b．（a，b，c为常数） 四、数学应用 1．例题． 例1高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色之外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X，求X的数学期望． 分析从口袋中摸出5个球相当于抽取n＝5个产品，随机变量X为5个球中的红球的个数，则X服从超几何分布H(5，10，30)． 例2从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格品数，求随机变量X的数学期望E(X)． 说明例2中随机变量X服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当X～B(n，p) 时，E(X)＝np． 例3设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场, 那么比赛宣告结束，假定A，B在每场比赛中获胜的概率都是1 2 ，试求需要比赛 场数的期望．

离散型随机变量的均值与方差(含答案)

离散型随机变量的均值与方差测试题（含答案） 一、选择题 1．设随机变量()~,B n p ξ，若()=2.4E ξ，()=1.44D ξ，则参数n ，p 的值为（ ） A ．4n =，0.6p = B ．6n =，0.4p = C ．8n =，0.3p = D ．24n =， 0.1p = 【答案】B 【解析】由随机变量()~,B n p ξ，可知()==2.4E np ξ，()=(1)=1.44D np p ξ-，解得 6n =，0.4p =． 考点：二项分布的数学期望与方差． 【难度】较易 2．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则p =（ ） A ．13 B ．23 C ．15 D ．25 【答案】A 考点：二项分布的数字特征. 【题型】选择题 【难度】较易 3．若随机变量),(~p n B ξ，9 10 3 5==ξξD E ，，则=p ( ) A. 31 B. 32 C. 52 D. 5 3 【答案】A 【解析】由题意可知，()5,3 101,9E np D np p ξξ? ==????=-=?? 解得5,1,3n p =???=??故选A. 考点：n 次独立重复试验.

【题型】选择题 【难度】较易 4．若随机变量ξ的分布列如下表，其中()0,1m ∈，则下列结果中正确的是（ ） ξ 0 1 P m n A ．()()3 ,E m D n ξξ== B ．()()2 ,E m D n ξξ== C ．()()2 1,E m D m m ξξ=-=- D ．()()2 1,E m D m ξξ=-= 【答案】C 考点：离散型随机变量的概率、数学期望和方差． 【题型】选择题 【难度】较易 5．已知ξ～(,)B n p ，且()7,()6E D ξξ==，则p 等于( ) A. 7 1 B. 6 1 C. 5 1 D. 4 1 【答案】A 【解析】∵ξ～(,)B n p ，∴()7,()(1)6E np D np p ξξ===-=，∴1 49,7 n p ==，故选A. 考点：二项分布的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】较易 6．设随机变量ξ～(5,0.5)B ，若5ηξ=，则E η和D η的值分别是（ ）

独立随机变量期望和方差的性质

第七周多维随机变量，独立性 7.4独立随机变量期望和方差的性质 独立随机变量乘积的期望的性质： Y X ,独立，则()()() Y E X E XY E =以离散型随机变量为例，设二元随机变量(),X Y 的联合分布列() ,i j P X x Y y ==已知，则()()(),i j i j P X x Y y P X x P Y y ====?=， () 1,2,,; 1,2,,i m j n == ()() 11,m n i j i j i j E XY x y P X x Y y =====∑∑()() 11 m n i j i j i j x y P X x P Y y =====∑∑()() 1 1 m n i i j j i j x P X x y P Y y =====∑∑()() E X E Y =***********************************************************************独立随机变量和的方差的性质： Y X ,独立，则()()() Y Var X Var Y X Var +=+()()() 2 2 Var X Y E X Y E X Y ??+=+-+?? ()222E X XY Y =++()()()()22 2E X E X E Y E Y ??-++? ? ()()()()2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()()()22E XY E X E Y +-()()()() 2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()() Var X Var Y =+若12,,,n X X X 相互独立，且都存在方差，则()() 121 n m k k Var X X X Var X =+++=∑ ***********************************************************************利用独立的0-1分布求和计算二项分布随机变量()~,X b n p 期望和方差 我们在推导二项分布随机变量的方差时，已经利用了独立随机变量和的方差等于方差

离散型随机变量的方差教案教学内容

精品文档 精品文档 离散型随机变量的方差 一、三维目标： 1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。 2、过程与方法：了解方差公式“D (aξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。 3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。 二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差 三、教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 四、教学过程： （一）、复习引入： 1..数学期望 则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 3. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 5、如果随机变量X 服从二项分布，即X ～ B （n,p ），则EX=np （二）、讲解新课： 1、(探究1) 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？ (探究2) 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？ 2、离散型随机变量取值的方差的定义: 设离散型随机变量X 的分布为： 则(x i -EX)2描述了x i (i=1,2,…n)相对于均值EX 的偏离程度，而 DX 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度。我们称DX 为随机变量X 的方差，其算术平方根DX 叫做随机变量X 的标准差. 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量偏离于均值的平均程度的平均程度，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。 （三）、基础训练 求DX 和 解：00.110.220.430.240.12EX =?+?+?+?+?= 104332221111+++++++++=X 2101 4102310321041=?+?+?+?=] )()()[(122212x x x x x x n s n i -++-++-=ΛΛ1 ])24()23()23()22()22()22()21()21()21()21[(10 1 22222222222=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=s 2 2222)24(101)23(102)22(103)21(104-?+-?+-?+-?=s ∑=-=n i i i p EX x 1 2)(DX

离散型随机变量的均值

2．3离散型随机变量的均值与方差2．3.1离散型随机变量的均值 1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点) 2．掌握两点分布、二项分布的均值．(重点) 3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点) [基础·初探] 教材整理1离散型随机变量的均值 阅读教材P60～P61例1，完成下列问题． 1．定义：若离散型随机变量X的分布列为： 则称E(＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量 2．意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 3．性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝ax i＋b)＝P(X＝x i)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 1．下列说法正确的有________．(填序号) ①随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化； ②随机变量的均值反映样本的平均水平；

③若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则E (2X )＝4； ④随机变量X 的均值E (X )＝ x 1＋x 2＋…＋x n n . 【解析】 ①错误，随机变量的数学期望E (X )是个常量，是随机变量X 本身固有的一个数字特征．②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．③正确，由均值的性质可知．④错误，因为E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n . 【答案】 ③ 2．已知离散型随机变量X 的分布列为： 则X 的数学期望E (【解析】 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝3 2. 【答案】 3 2 3．设E (X )＝10，则E (3X ＋5)＝________. 【解析】 E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝3×10＋5＝35. 【答案】 35 教材整理2 两点分布与二项分布的均值 阅读教材P 62～P 63，完成下列问题． 1．两点分布和二项分布的均值 (1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ； (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . 2．随机变量的均值与样本平均值的关系 随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值． 1．若随机变量X 服从二项分布B ? ? ???4，13，则E (X )的值为________. 【导学号：29472067】

离散型随机变量的方差()

离散型随机变量的方差（一） 白河一中 邓启超 教学目标： 1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。 2、过程与方法：会利用离散型随机变量的均值（期望）和方差对所给信息进行整合和分析，得出相应结论。 3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。 二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差 三、教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 四、教学过程： （一）、复习引入： 1..数学期望 则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，也称为随机变量的均值。 3. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 4、常见特殊分布的变量的均值（期望） （1）如果随机变量X 服从二项分布（包括两点分布），即X ～ B （n,p ），则 E ξ=np （2）如果随机变量X 服从超几何分布，即X ～H （N ，M ，n ）,则 E ξ= N M n （二）、讲解新课： 1、(探究1):A ，B 两种不同品牌的手表，它们的“日走时误差”分别为X ，Y （单位： S ），X A 型手表 B 型手表 np EX =

问题：（1）分别计算X,Y 的均值，并进行比较； （2）这两个随机变量的分布有什么不同，如何刻画这种不同 分析：ＥＸ＝ＥＹ，也就是说这两种表的平均日走时误差都是０. 因此，仅仅根据平均误差，不能判断出哪一种品牌的表更好。 进一步观察，发现Ａ品牌表的误差只有01.0±而Ｂ品牌的误差为±0.05 结论：Ａ品牌的表要好一些。 探究（2）：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列 2 8 9 10 0.4 0.2 0.4 分析： 甲和乙射击环数均值相等，甲的极差为2，乙的极差也为2，该如何比较？ 思考：怎样定量刻画随机变量的取值与其均值的偏离程度呢？ 样本方差： 类似的，随机变量X 的方差： 222221)(......)......()()(EX X EX X EX X EX X DX n i -+-+-+-= =2)(EX X E i - 思考：离散型随机变量的期望、方差与样本的期望、方差的区别和联系是什 9 ,921==EX EX ? ? ????-++-+-=---2 n 22212)x (x )x (x )x (x n 1s ...n 1)x (x n 1)x (x n 1)x (x s 2n 22212? -++?-+?-=---...

随机变量的数学期望与方差

第9讲随机变量的数学期望与方差 教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。 2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。 教学重点： 1．随机变量的数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use 2．随机变量函数的数学期望 3．数学期望的性质 4．方差的定义 For personal use only in study and research; not for commercial use 5．方差的性质 教学难点：数学期望与方差的统计意义。 教学学时：2学时。 For personal use only in study and research; not for commercial use 教学过程： 第三章随机变量的数字特征 §3.1 数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use

在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X 的概率分布，那么X 的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。 1．离散随机变量的数学期望 我们来看一个问题： 某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张每天生产的废品数X 是一个随机变量，如何定义X 取值的平均值呢？ 若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品，21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为 27.1100 21 3100172100301100320=?+?+?+? 这个数能作为X 取值的平均值吗？ 可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27。 对于一个随机变量X ，若它全部可能取的值是 ,,21x x ， 相应的概率为 ,,21P P ，则对X 作一系列观察(试验)所得X 的试验值的平均值是随机的。但是，如果试验次数很大，出现k x 的频率会接近于K P ，于是试验值的平均值应接近 ∑∞ =1 k k k p x

随机变量的均值与方差

随机变量的均值与方差 一、填空题 1．已知离散型随机变量X 的概率分布为 则其方差V (X )＝解析 由0.5＋m ＋0.2＝1得m ＝0.3，∴E (X )＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，∴V (X )＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44. 答案 2.44 2．(优质试题·西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________． 解析 设没有发芽的种子有ξ粒，则ξ～B (1 000,0.1)，且X ＝2ξ，∴E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝2×1 000×0.1＝200. 答案 200 3．已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值分别为________． 解析 由二项分布X ～B (n ，p )及E (X )＝np ，V (X )＝np ·(1－p )得2.4＝np ，且1.44＝np (1－p )，解得n ＝6，p ＝0.4. 答案 6,0.4 4．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝1 5，E (ξ)＝1，则V (ξ)＝________. 解析 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则????? 15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1， 解得????? a ＝3 5，b ＝1 5，

所以V(ξ)＝(0－1)2×1 5＋(1－1) 2× 3 5＋(2－1) 2× 1 5＝ 2 5. 答案2 5 5．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则E(η)，V(η)分别是________．解析由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，V(η)＝(－1)2V(X)＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案 2.4 6．口袋中有5只球，编号分别为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E(X)的值是________． 解析由题意知，X可以取3,4,5，P(X＝3)＝1 C35＝ 1 10， P(X＝4)＝C23 C35＝ 3 10，P(X＝5)＝ C24 C35＝ 6 10＝ 3 5， 所以E(X)＝3×1 10＋4× 3 10＋5× 3 5＝4.5. 答案 4.5 7．(优质试题·扬州期末)已知X的概率分布为 设Y＝2X＋1，则 解析由概率分布的性质，a＝1－1 2－ 1 6＝ 1 3， ∴E(X)＝－1×1 2＋0× 1 6＋1× 1 3＝－ 1 6， 因此E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2 3. 答案2 3 8．(优质试题·合肥模拟)某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分

离散型随机变量的均值教案

关于《离散型随机变量的均值》的说课稿 银川二中（西校区）黄海霞 说课内容：普通高中人教A版（数学选修2-3）第二章第3节第一课时─《离散型随机变量的均值》. 下面，我将分别从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学媒体设计、教学过程设计及教学评价设计等六个方面对本节课的设计进行说明. 一、背景分析： 1、学习任务分析 《离散型随机变量的均值》是《随机变量及其分布》第三节第一小节的内容，本节课是第一课时. 本节课主要的学习任务是从平均的角度引入离散型随机变量均值的概念，引导学生通过实际问题建立取有限值的离散型随机变量均值的概念，然后推导出离散型随机变量均值的线性性质()()b E+ aX +. = X aE b 取有限值的离散型随机变量的均值是在学生学习完离散型随机变量及其分布列的概念基础上，进一步研究离散型随机变量取值特征的一个方面.学习本节课的内容既是随机变量分布的内容的深化，又是后续内容离散型随机变量方差的基础，所以学好本节课是进一步学习离散型随机变量取值特征的其它方面的基础.离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的一个数字特征，是从一个侧面刻画随机变量取值的特点. 在实际问题中，离散型随机变量的均值具有广泛的应用性.因此我以为本节课的重点是：取有限值的离散型随机变量均值的概念. 2、学生情况分析 本节课之前，学生已有平均值、概率、离散型随机变量及其分布列，二项分布及其应用等基础知识，具备了学习本节知识的知识储备.本节课是一节概念新授课，教材从学生熟悉的平均值出发，从身边的实际问题中抽象出了取有限值的离散型随机变量均值的概念，这需要一定的概括和抽象能力.鉴于学生的概括、抽象能力不是太强，因此学生对概念的形成和理解会有一定的困难. 基于以上认识，我以为本节课的教学难点是：离散型随机变量均值概念的形成和理解。

随机变量的均值与方差的计算公式的证明

随机变量的均值与方差的计算公式的证明 姜堰市励才实验学校 姜近芳 组合数有很多奇妙的性质,笔者试用这些性质证明了随机变量的均值与方差的两组计算公式。 预备知识: 1. ()()()()11!!1!1! !!--=-?--?=-??=k n k n nC k n k n n k n k n k kC 2. k k n C 2=()1111111-------+=k n k n k n C k n nC nkC =()22111-----+k n k n C n n nC 3.N 个球中有M 个红色的,其余均为白色的,从中取出n 个球,不同的取法有: n N l n M N l M n M N M n M N M n M N M C C C C C C C C C =++++------- 22110 ()()M n l ,m i n =. 公式证明: 1.X ～()p n B , ()()X E 1.np =()()X V 2().1p np -= 证明:()n n p x p x p x p x X E ++++= 332211 ()()()n n n n n n n n n p nC p p C p p C p p C ++-+-+-?=-- 222110012110 ()()[] n n n n n n n p C p p C p p C n 11221110111------++-+-= ()[] 11-+-=n p p np .np = ()()()()n n p x p x p x X V 2 222121μμμ-++-+-= n n p x p x p x p x 2323222121++++= ()n n p x p x p x p x ++++- 3322112μ ()n p p p p +++++ 3212μ ()() 2222222112121μμ+-++-+-=--n n n n n n n p C n p p C p p C ()()[]11121110111-------++-+-=n n n n n n n p C p p C p C np ()()()[] 22223122022111μ-++-+--+-------n n n n n n n p C p p C p C p n n

离散型随机变量的方差

2．3.2离散型随机变量的方差 整体设计 教材分析 本课仍是一节概念新授课，方差与均值都是概率论和数理统计的重要概念，是反映随机变量取值分布的特征数．离散型随机变量的均值与方差涉及的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题、选题、选课、做题、考试问题、试验、游戏、竞赛、研究性问题、旅游、交通问题、摸球问题、取卡片、数字和入座问题、信息、投资、路线等问题．从近几年高考试题看，离散型随机变量的均值与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识，主要考查能力． 课时分配 1课时 教学目标 知识与技能 了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差． 过程与方法 了解方差公式“D(aX＋b)＝a2D(X)”，以及“若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差． 情感、态度与价值观 承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值． 重点难点 教学重点：离散型随机变量的方差、标准差． 教学难点：比较两个随机变量的均值与方差的大小，从而解决实际问题． 教学过程 复习旧知 1 则称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为ξ的数学期望． 2．数学期望的一个性质：E(aξ＋b)＝aEξ＋b. 3．若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np. 教师指出：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示随机变量在随机试验中取值的平均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别它们的，还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．探究新知 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数ξ1、ξ2的分布列如下：

2.3.1离散型随机变量的均值教案

2．3．1离散型随机变量的均值 教学目标： 知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值 或期望． 过程与方法：理解公式“E （aX+b ）=a E(X)+b ”，以及“若X ~B （n,p ），则E(X)=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。 教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念 教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望 授课类型：新授课 教 具：小黑板 教学过程： 一、复习引入： 离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率是P ，则在这n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数 二、讲解新课： 1.问题情境 前面我们学习了离散型 根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数X 的分布列如下 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望 根据射手射击所得环数X 的分布列， 我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有 n n P 02.0)4(=?=ξ 次得4环； n n P 04.0)5(=?=ξ 次得5环； ………… n n P 22.0)10(=?=ξ 次得10环． 故在n 次射击的总环数大约为 +??n 02.04++?? n 04.05n ??22.010 +?=02.04(++? 04.05n ??)22.010， 从而，预计n 次射击的平均环数约为 +?02.04++? 04.0532.822.010=?． 这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．