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高考理科数学试卷及答案完整版

高考理科数学试卷及答

案

HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

2010年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P

M =

（A ）{}1,2 （B ）{}0,1,2 （C ）{}|03x x ≤< （D ） {}|03x x ≤≤ （2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 （3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为

（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C （5）极坐标方程(1)()0(0)ρθπρ--=≥表示的图形是

（A ）两个圆（B ）两条直线

（C ）一个圆和一条射线（D ）一条直线和一条射线（6）a b 、为非零向量.“a b ⊥”是“函数()()()f x xa b xb a =+-为一次函数”的

（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件

（7）设不等式组1103305390x y x y x y +-≥??

-+≥??-+≤?

表示的平面区域为D ，若指数函数x y a =的图像上

存在区域D 上的点，则a 的取值范围是

（A ）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3,

+∞]

(8)如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点E 、F 在棱

11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF=1，1A E=x ，

DQ=y ，D Ｐ＝z （x y z 、、大于零），则四面体PEFQ 的体积（Ａ）与x y z 、、都有关（Ｂ）与x 有关，与y 、z 无关（Ｃ）与y 有关，与x ，z 无关（Ｄ）与z 有关，与x ，y 无关

第II 卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在复平面内，复数21i

-对应的点的坐标为。（10）在△ABC 中，若b = 1，323C π

∠=，则a

= 。

（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数

据可知a ＝。若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为。

（12）如图，O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A 。若BD ⊥AE ，AB ＝4, BC ＝2, AD ＝3,

则DE ＝；CE ＝。

（13）已知双曲线

χγ-

=的离心率为2，焦点与椭圆

125

χγ+

=的焦点相同，那

么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。

（14）如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动.设顶点(,)P x y 的轨迹方程是

()y f x =，则函数()f x 的最小正周期为；()y f x =在其两个相邻零点间的图

象与x 轴所围区域的面积为。

说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动。沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续. 类似地，正方形PABC 可以沿x 轴负方向滚动。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过

程。

（15）（本小题共13分）

已知函数2()2cos 2sin 4cos .f x x x x =+- （Ⅰ）求()3

f π

的值；

（Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值。（16）（本小题共14分）

如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，

CE⊥AC,EF∥AC,AB=2，CE=EF=1. （Ⅰ）求证：AF ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDE ；（Ⅲ）求二面角A-BE-D 的大小。 (17)(本小题共13分)

某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为

，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p ＞q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

ξ 0 1

(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (Ⅱ)求p ，q 的值； (Ⅲ)求数学期望E ξ。 (18)(本小题共13分)

已知函数2

()ln(1)(0)2

k f x x x x k =+-+

≥ (Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求f (x )的单调区间。（19）（本小题共14分）

在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且

直线AP 与BP 的斜率之积等于1

3-.

(Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；

(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x =3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。（20）（本小题共13分）

已知集合121{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n S X X x x x x i n n ==∈=≥…，… 对于12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为 A 与B 之间的距离为111(,)n

i d A B a b ==∑-

（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ?∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=;

（Ⅱ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ?∈三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P n S ?，P 中有m(m≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为()d P -

. 证明：()2(1)

d P m -

≤

2010年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）

因为[]cos 1,1x ∈-,

所以，当cos 1x =-时()f x 取最大值6；当2cos 3x =时，()f x 取最小值73

- （16）（共14分）

证明：（Ⅰ）设AC 与BD 交于点G.

因为EF ∥AG,且EF=1，AG =

AC=1 所以四边形AGEF 为平行四边形所以AF ∥EG

因为EG ?平面BDE,AF ?平面BDE, 所以AF ∥平面BDE

（Ⅱ）因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，且CE AC ⊥ 所以CE ABCD ⊥平面

如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系

C xyz -

则(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0)C A B 所以

22(

,,1),(0,2,1),(2,0,1)22

CF BE DE ==-=- 所以0110,1010CF BE CF DE =-+==-++= 所以,CF BE CF DE ⊥⊥ 所以CF BDE ⊥平面

（17）（共13分）

解：事件1A 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，1,2,3.i =由题意知（Ⅰ）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“0ξ=”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是

（Ⅱ）由题意知

整理得 6

,125

pq p q =+= (18)共13分

解：（Ⅰ）当2k =时，2'1

()ln(1),()121f x x x x f x x x

=+-+=-++ 由于'3(1)ln 2,(1)2

f f ==

所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为即 322ln 230x y -+-=

（Ⅱ）'(1)

(),(1,)1x kx k f x x x

+-=

∈-+∞+

当0k =时，'()1x

f x x =-+

所以，在区间(1,0)-上，'()0f x >；在区间(0,)+∞上，'()0f x < 故()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞

当01k <<时，由'(1)()01x kx k f x x +-=

=+，得1210,0k

x x k -==>

所以，在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上，'()0f x >，在区间1(0,)k

k -上，

'()0f x <

故()f x 的单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)k

当1k =时，2

()1x f x x

故()f x 的单调递增区间是(1,)-+∞

当1k >时，由 '(1)()01x kx k f x x +-=

=+，得121(1,0),0k

x x k

-=∈-=

所以，在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上，'()0f x >；在区间1(,0)k

k -上，

'()0f x <

故()f x 的单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)k

- （19）（共14分）

（Ⅱ）解法一：设点P 的坐标为00(,)x y ，点M N 、的坐标分别为(3,),(3,)M N y y

则直线AP 的方程式为001

1(1)1

y y x x --=

++，直线BP 的方程式为001

1(1)1

y y x x ++=

-- 令3x =得0000004323

,11

M N y x y x y y x x +--+=

=+-

于是PMN ?的面积

又直线AB

的方程为0,x y AB +== 点P 到直线AB

的距离d = 于是PAB ?的面积

当PAB PMN S S ??=时，得2

000002

(3)1

x y x x y x +-+=-

又000x y +≠

所以22

00(3)1x x -=-，解得053

x =

因为220

034x y +=

，所以09

y =± 故存在点P 使得PAB ?与PMN ?的面积相等，此时点P

的坐标为

5(,3 解法二：若存在点P 使得PAB ?与PMN ?的面积相等，设点P 的坐标为00(,)x y 则

sin sin 22

PA PB APB PM PN MPN ∠=∠ 因为sin sin APB MPN ∠=∠

故存在点P 使得PAB ?与PMN ?的面积相等，此时点P 的坐标为5(,39

（20）（共13分）

证明：（Ⅰ）设121212(,,...,),(,,...,),(,,...,)n n n n A a a a B b b b C c c c S ===∈ 因为{}{},0,1,0,1(1,2,....,)i i i i a b a b i n ∈-∈=所以

从而1122(,,....,)n n n A B a b a b a b S -=---∈ 又1(,)n

i i i i i d A C B C a c b c =--=---∑

由题意知{},,0,1(1,2,...,)i i i a b c i n ∈= 当0i c =时，i i i i i i a c b c a b ---=-

当1i c =时，(1)(1)i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=- 所以1(,)(,)n

i i i d A C B C a b d A B =--=-=∑

所以(1,2,...,)i i b a i n -=中1的个数为k ，(1,2,...,)i i c a i n -=中1的个数为l

设t 是使1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，则2h l k t =+- 由此可知，,,k l h 三个数不可能都是奇数

即(,),(,),(,)d A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数（Ⅲ）21()(,)A B P

d P d A B C ∈=

∑、表示P 中所有两个元素间距离的综合

设P 中所有元素的第i 个位置的数字中共有i t 个1，i m t -个0 则

(,)()n

i A B P

d A B t m t =∈=-∑∑、

由于2

()(1,2,...,)4i i m t m t i n -≤= 所以2

(,)4A B P

nm d A B ∈≤∑、

从而22

()(,)2(1)4A B P

m nm mn

d P d A B m C C ∈=≤=-∑、