电磁场理论练习题
习题(数学基础)
1.1 3?2??z y x e e e
A -+= ，z y e e
B ?4?+-= ，2?5?y x e e
C -= 求（1）?A e ；（2）矢量A 的方向余弦；（3）B A ?；（4）B A ?；
（5）验证()()()
B A
C A C B C B A ??=??=?? ；（6）验证
()()()B A C C A B C B A ?-??=??。 1.2 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，则可确定该未知矢
量。设A 为已知矢量，X A B ?=和X A B ?=已知，求X 。
1.3 求标量场32yz xy u +=在点（2,-1,1）处的梯度以及沿矢量z y x e e e
l ?2?2?-+= 方向上的方向导数。
1.4计算矢量()()
3222224???z y x e xy e x e
A z y x ++= 对中心原点的单位立方体表面的面积分，再计算A ??对此立方体的体积分，以验证散度定理。
1.5 计算矢量z y e x e x e
A z y x 22???-+= 沿(0,0)，(2,0)，(2,2)，(0,2)，(0,0)正方形闭合回路的线积分，再计算A ??对此回路所包围的表面积的积分，以验证斯托克斯定理。
1.6 f 为任意一个标量函数，求f ???。
1.7 A 为任意一个矢量函数，求()
A ????。
1.8 证明：A f A f A f ??+?=?)(。
1.9 证明：A f A f A f ??+??=??)()()(。
1.10证明：)()()(B A A B B A ???-???=???。
1.11证明：A A A 2)(?-???=????。
1.12 ?ρ?ρ?ρρsin cos ?),,(32z e e
z A += ，试求A ??，A ??及A 2?。 1.13 θθθ?θ?θcos 1?sin 1?sin ?),,(2r e r e r e r A r ++= ，试求A ??，A ??及A 2?。 1.14 ?ρ?ρsin ),,(z z f =，试求f ?及f 2?。 1.15 2sin ),,(r r f θ?θ=，试求f ?及f 2?。
1.16 求??S
r S e d )sin 3?(θ，S 为球心位于原点，半径为5的球面。 1.17 矢量??θ23cos 1?),,(r
e r A r = ，21< 麦克斯韦方程 练 习 题 1 在直角坐标系中，试将微分形式的麦克斯韦方程写成8个标量方程。 2 试证明：任意矢量E 在进行旋度运算后再进行散度运算，其结果恒为零，即 ? ? (? ? E ) = 0。 3 试由微分形式麦克斯韦方程组，导出电流连续性方程 t ??-=??ρ J 。 4 参看1-4题图，分界面上方和下方两种媒质的介电常数分别为 ε1和 ε2，分解面两侧电场强度矢量E 与单位法向矢量n 21 之间的夹角分别是 θ1和 θ2。假设两种媒质分界 面上的电荷面密度 ρS = 0，试证明： 2121tan tan εεθθ= 上式称为电场E 的折射定律。 5 参看1-4题图，分界面上方和下方两种媒质的磁导率分别为 μ1和 μ2，假设两种媒质的分界面上的表面电流密度矢量J S = 0，把题图中的电场强度矢量E 换成磁感应强度矢量B 。试证明： 2121tan tan μμθθ= 上式称为磁场B 的折射定律。若 μ1为铁磁媒质，μ2为非铁磁媒质，即 μ1 >> μ2，当 θ1 ≠ 90? 时，试问 θ2的近似值为何？请用文字叙述这一结果。 6 已知电场强度矢量的表达式为 E = i sin(ω t - β z ) + j 2cos(ω t - β z ) 通过微分形式的法拉第电磁感应定律 t ??-=??B E ，求磁感应强度矢量B (不必写出与时间t 无关的积分常数)。 7 一平板电容器由两块导电圆盘组成，圆盘的半径为R ，间距为d 。其间填充介质的介电常数为 ε 。如果电容器接有交流电源，已知流过导线的电流为I (t ) = I 0sin(ω t )。忽略边缘效应，求电容器中的电位移矢量D 。 8 在空气中，交变电场E = j A sin(ω t - β z )。试求：电位移矢量D ，磁感应强 1-4题图 度矢量B 和磁场强度矢量H 。 第 2 章 练 习 题 2-1 参看图2-5-1，无限大导板上方点P (0, 0, h ) 处有一点电荷q 。试求：z > 0半无限大空间的电场强度矢量E 和电位移矢量D ，以及导板上的面电荷密度 ρS 和总电荷量q 。 2-2 参看图2-6-3，如果将4块导板的电位分别改为：上板120 V ，左板40 V ，下板30 V ，右板90 V 。按下面步骤和要求用迭代法计算4个内节点处的电位值： (1) 列出联立方程；(2) 用塞德尔迭代法求解；(3) 计算最佳加速因子 α；(4) 用超松弛迭代法求解；(5) 比较两种迭代法的结果和收敛速度。两种迭代方法的迭代次数都取n = 4。 2-3 参看图2-7-1，如果平板电容其中电荷分布的线密度为 ρ = ε0(1 + 4x 2)，其余条件相同，用矩量法(伽辽金法)求两导板之间的电位分布函数 ψ。选择基函数为 f n (x ) = x (1 - x n ) n = 1,2,3,… 2-4 参看例2-7-1以及该题示意图图2-7-1。如果在该问题中选择权函数为 x k R x w k R x w 6)( 2)(2 211-=??=-=??=和 上式中，R 是余数，由式(2-7-8)表示。矩量法中，通过这种方式来选择权函数，又称为最小二乘法。在其他已知条件均不变的情况下，用最小二乘法来求解两导板之间的电位分布函数 ψ。 第3章 练 习 题 3-1 通过直角坐标系试证明，对于任意的矢量A 都满足下面关系： (1) ? ? (?ψ) ≡ 0； (2) ? ? (? ? A ) ≡ 0 3-2 同轴线内、外半径分别为a 和b ，内外导体之间介质的介电常数为 ε，电导率为 σ。设在同轴线内外导体上施加的电压为U ab ，求内外导体之间的漏电流密度J 。 3-3 求图3-3-2中1/4垫圈两个弯曲面 ρ = a 和 ρ = b 之间的电阻。 3-4 参见3-4题图。某输电系统的接地体为 紧靠地面的半球。土壤的平均电导率为 σ = 10-2 S/m 。设有I = 500 A 的电流流入地内。 为了保证安全，需要划出一半径为a 的禁区。 如果人的正常步伐为b = 0.6 m ，且人能经受的 跨步电压为U = 200 V ，问这一安全半径a 应为 多大？ 3-5 参看图2-5-6，半径为a ，间距为D 的 平行双线传输线，周围介质的介电常数为 ε，电导率为 σ。利用例2-5-2的结果，计算平行双线每单位长度的分布漏电导G 1。 3-6 参看图3-2-1(a )，半径分别为a 和b 的两个同心球壳(a < b ) 之间是电 3-4题图 导率为σ = σ0(1+k/r )的导电媒质，试求两球壳之间的电阻R ab 。再问此题中的电流位 ψ 是否满足普拉斯方程。 第4章 练 习 题 4-1 通过直角坐标系试证明，对于任意的矢量A 都满足下面关系： ? ? (? ? A ) ≡ ?(? ? A )－?2A 第5章 练 习 题 5-1 通过直角坐标系验证矢量恒等式： ? ? (E ? H ) = H ? (? ? E ) - E ? (? ? H ) 5-2 根据下面复数形式的简谐场表达式，利用麦克斯韦方程求出其相应的电场或磁场表达式，并把复数形式改写成瞬时值形式。注意，在取实部之前应加上时间因子e j ωt 。 . 2 e )2j ( 3 2 e )j ( 2 2 e )2( 1j m 00000j 0000000j 0ε μηλμεωβεμηλ ωεμωηεμηλ ωεμωβ=π==-=+==π===+=+==π===+=+=--，，)(；，，)(；，， )(x z y kz y x kz y x E E E c k E H H c k E E E k j k j E j i j i H j i j i E 5-3 将下面瞬时形式的简谐场表达式改写成复数形式，并利用麦克斯韦方程求出其相应的电场或磁场表达式。 2 )2cos(sin 2 4 2 )cos()cos(2 3 )sin()cos( 2 )cos()cos( 1.000000000 0000000 εμηλεμωωθηλε μηλμεωβωβηεμημεωββωβωεμηεμωωηωηθθθ=π==π+-===π===== =-+-=+===-+--=+=，， )(；，， )(；，，)(；，，)( k kr t r IL E t z E H x t E x t E E E k ky t E ky t E H H y z y x z e e E j j H k j k j E i k i k H 5-4 自由空间电流元的远区辐射场为 kr kr r l I H r l I E j j e sin 2j e sin 60j --==π==θλθλ???θθθe e H e e E ， 试求：(1) 写出波印亭矢量的瞬时值S ；(2) 写出复数波印亭矢量S C ；(3) 总的平均辐射功率P 。 5-5 在微波环境中，如果平均功率密度 |S av | < 10 mW/cm 2对人体是安全的。分别计算以电场强度E 和磁场强度H 表示的相应标准。已知E = η0H ，η0 = 120π Ω。 5-6 设自由空间一天线辐射的电场强度矢量为 E = i A sin(ωt - kz ) 上式中00εμω=k ，是电磁波的相位常数，已知波阻抗00 0εμη=。试求：(1) 将电场 强度矢量E 改写 成复数形式；(2) 通过麦克斯韦方程求磁场强度矢量H ；(3) 瞬时波印亭矢量S ； (4) 复数波印亭矢量S C 。 5-7 空中交变电磁场的电场强度矢量只有x 分量 E x = A cos(ω t - kz ) + B sin(ω t + kz ) 试求：(1) 由麦克斯韦方程求出磁场强度矢量H ；(2) 瞬时波印亭矢量S ；(3) 复数波印亭矢量S C 。 5-8 将下列指数形式(复数形式)的场表达式变换成正、余弦形式(瞬时值形式)的场表达式，或者做相反的变换。注意，在取实部之前应加上时间因子e j ωt 。 (1) E = i E 0e j αe -j kz ；(2) E = i E 0cos(ωt - kz ) + j 2E 0cos(ωt - kz + π)； (3))(j 4j 0e e z k x k z x E +-π=j E 5-9 已知磁导率为 μ，介电常数为 ε 的均匀媒质中，电场强度矢量的表达式为 E = (i + j j)A e j(ωt - βz ) 上式中，μεωβ=，是电磁波的相位常数，已知波阻抗ε μη=。试求：(1) 瞬时波印亭矢量S ，复数 波印亭矢量S C 和平均波印亭矢量S av ；(2) 电场能量密度w e 和磁场能量密度w m 。 第 6 章 练 习 题 6-1 一频率为f = 100 MHz 的均匀平面电磁波在简单媒质(μr = 1，εr = 4，σ = 0)中沿 + z 方向传播，电场强度矢量为E = i E x (z , t )，电场的振幅值为E 0 = 10-4 V/m 。当t = 0，z = 0.125 m 时，电场的瞬时值达到振幅值E 0 。试写出电场强度矢量E 和磁场强度矢量H 的瞬时表达式。 6-2 已知自由空间中电磁波的振幅为A ，极化方向为j ，圆频率为 ω，传播方向为(- z )，试写出该电磁波的电场强度矢量E 和磁场强度矢量H 。 6-3 试证明在色散媒质中相速v p 和群速v g 之间满足下面关系： λλββd d 2 d d 1p p g p p g v v v v v v -=+= )( ： )( 上两式中，β 和 λ 分别是色散媒质中电磁波的相位常数和波长。 6-4 已知某色散媒质的色散关系为m k v 0p λ=， 其中 λ0是该波在真空中的波长，k ，m 是正实数， 求群速v g 。 6-5 已知自由空间电磁波的电场强度矢量的表达式为 )(j 0e )j (z k t A -+=ωj i E 试求其相伴的磁场强度矢量H ，并指出电磁波的极化方式。 6-6 试判断E x = 2cos(ω t - βz )，E y = 3cos(ω t - βz + 90?) 是什么极化波，并写出E x 和E y 分量所满足的轨迹方程式。 6-7 试判断下列各波的极化状态(线极化应指出极化方向，圆极化应指出旋转方向)。 (1) E x = B sin(ω t + βz )， E y = A cos(ω t + βz + 90?) (2) E y = -A cos(ω t - βx )， E z = A cos(ω t - βx + 90?) (3) E z = B cos(ω t + βy - 270?)， E x = A cos(ω t + βy ) (4) E y = A e j(ωt + k x )， E z = A e j(ωt + k x + 90?) (5) )(j 0)(j 0e j ,e kz t y kz t x A H A H --==ωωηη 6-8 试证明： (1) 一个椭圆极化波可以分解为左旋和右旋的两个圆极化波； (2) 一个圆极化波可以由旋向相反的两个椭圆极化波叠加而成。 6-9 已知无限大均匀理想介质中，电场强度矢量的表达式为 E = (i 2 + j 2 - k j)e - j(x - y ) 试说明该波的极化状态，并计算它的波长 λ。 6-10 z = 0平面是无限大分界面，z < 0一侧为真空，z > 0一侧为相对磁导率和相对介电常数分别为 μr = 1和 εr = 2.25的理想介质。圆频率为 ω 的线极化均匀平面电磁波从真空一侧向分界面垂直投射。已知z = 0分界面上，入射波的电场强度矢量为E i (x , y , 0, t ) = i E i x = i 300πcos(ω t ) (μV/m )。试求：(1) 分界面两侧电磁波的相位常数k ，波长 λ，相速v p 和波阻抗 η ；(2) 分界面两侧入射波、反射波和传输波的电场强度矢量、磁场强度矢量表达式；(3) 验证分界面上满足电磁场边界条件和能量守恒定律。 6-11 把6-10已知条件中的入射波改为垂直入射面极化，即E i (x , y , 0, t ) = j E i y = j 300πcos(ω t ) (μV/m )，按上面3个步骤重作一遍。 6-12 分别把前两题中得到的反射波和传输波在分界面上的表达式作为已知条件，重做3个步骤。 6-13 在什么条件下，两种无耗介质分界面上垂直入射的均匀平面电磁波反射系数和传输系数的大小相等？ 6-14 一右旋圆极化波从空气垂直入射到位于z = 0的理想导体板上，其电场强度矢量为 z k E z 0j 0i e )j ()(--=j i E 试求：(1) 确定入射波和反射波的极化状态；(2) 理想导体板上的感应面电流密度矢量J S ；(3) 写出空气中总的电场强度矢量E 的表达式。 6-15 参见题图，光学仪器中经常使用的等腰三角 形玻璃棱镜。玻璃的相对介电常数为 εr = 4，相对磁导 率为 μr = 1。试计算反射光功率流密度与入射光功率流 密度之比。 6-16 左旋圆极化波 z k A 0j i e )j (21 -+=j i E 从空气垂直入射到无限大介质块上。介质的磁导率为 μ0，介电常数为9ε0。试求：(1) 入射波的磁场强度矢量 H i 表达式，反射波的电场强度矢量E r 和磁场强度矢量H r 表达式，传输波的电场强度矢量E t 和磁场强度矢量H t 表达式；(2) 分别计算入射波、反射波和传输波的功率流密度。(3) 如果介质的磁导率为 μ0，介电常数为4ε0 ，入射波、反射波和传输波的平均功率流密度与例6-5-3是否相同？ 6-17 均匀平面电磁波由空气入射到z = 0的理想导体平面上，电场强度矢量为 E i (x , z ) = j 10e -j(6x + 8z ) (V/m ) 试求：(1) 波的频率f 和波长 λ，以及它的传播方向；(2) 入射波电场强度矢量E i 和磁场强度矢量H i 的瞬时值表达式；(3) 确定斜入射波的入射角(传播方向的单位矢量或方向余弦)；(4) 反射波的电场强度矢量E r 和磁场强度矢量H r 的表达 6-15题图 式；(5) 总的电场强度矢量E 和磁场强度矢量H 的表达式。 第7章 练 习 题 7-1 已知矩形波导横截面的尺寸为a ? b = 2.850 cm ? 1.262 cm ，内部填充空气(μ0, ε0)。波导所传输信号的工作频率为f = 8 GHz ，求主模的截止频率f c (10) ，截止波长 λc (10)，波导波长 λg (10) 和波阻抗10H Z 。已知光速为c = 2.998 ? 108 m/s 。 7-2 已知矩形波导横截面的尺寸为a ? b = 2.286 cm ? 1.016 cm ，内部填充空气(μ0, ε0)。波导所传输信号的工作频率为f = 20 GHz 。试求矩形波导中能传输的波型模式。已知光速为c = 2.998 ? 108 m/s 。 7-3 已知矩形波导横截面的尺寸为a ? b ，填充空气(μ0, ε0)。试写出： (1) TM 11模(E 11模)的场量表达式；(2) x = 0壁内表面上的电流密度矢量J S 。 7-4 已知矩形波导横截面的尺寸为a ? b ，填充空气(μ0, ε0)。试写出： (1) TE 11模(H 11模)的场量表达式；(2) x = a 壁内表面上的电荷密度 ρS 。 7-5 有一空气填充的矩形波导，横截面的尺寸为a = 2.25 cm ，b = 1.00 cm ，工作于TE 10模(H 10模)状态，工作频率为f = 10 GHz 。在不发生击穿现象的情况下，矩形波导内所能通过的最大传输功率为何？ 7-6 矩形波导横截面的尺寸为a ? b = 2.3 cm ? 1.0 cm 。如果该波导分别以 λ0 = 5 cm ，λ0 = 4.7 cm ，λ0 = 4 cm ，λ0 = 3 cm 和 λ0 = 2 cm 等5种工作波长来工作。试问：(1) 若波导填充空气，哪些工作波长的信号不能在波导中传输？哪些工作波长信号能以TE 10模(H 10模)单模传输？哪些工作波长的信号会出现多模传输？(2) 若该波导填充 μr = 1，εr = 4的介质，哪些工作波长的信号能以TE 10模(H 10模)单模传输？哪些工作波长的信号多模传输？ 7-7 欲使工作频率为f = 1.5 GHz 的信号在横截面为a ? b = 5.0 cm ? 2.0 cm 的矩形波导中以TE 10模(H 10模)单模传输，试问该波导中所需要填充介质的相对磁导率 μr 和相对介电常数 εr 分别应为多少？ 7-8 矩形波导横截面的尺寸为a ? b = 7.0 cm ? 3.0 cm ，传输工作频率为f = 1.0 GHz 的信号。试求：(1) 当波导内部填充空气时，信号能否以TE 10模(H 10模)单模传输？(2) 当波导中填充 μr = 1，εr = 4的媒质时，信号能否在波导中以TE 10模(H 10模)单模传输？(3) 当波导中填充 μr = 1，εr = 9的媒质时，波导中会出现哪几种工作模式？(4) 当波导中填充 μr = 1，εr = 25的媒质时，波导中会出现哪几种工作模式？ 7-9 假设矩形波导中单模传输频率为f = 50 Hz 的市电。试问：(1) 当波导内部填充空气时，矩形波导横截面宽边的尺寸a 应该选多大？(2) 当波导内填充 μr = 10，εr = 10的介质时，a 值又如何选择？这样的矩形波导能否实现？ 7-10 已知圆形波导的半径为a = 1.389 cm ，内部填充空气。假设圆形波导中传输信号的频率 为f = 8.6 GHz ，试计算圆形波导主模模） （模○○1111H TE 的截止波长) c(H 11○λ和波导波长 )g(H 11 ○λ，并问此时波导中还存在着那些模式？ 7-11 试写出空气填充的尺寸为a ? b ? d = 8 cm ? 6 cm ? 5 cm 矩形谐振腔的前三个最低模式及其谐振频率。 7-12 试写出空气填充的尺寸为a ? b ? d = 4 cm ? 3 cm ? 5 cm 矩形谐振腔的前三个最低模式及其谐振频率。 思考与练习一 1．证明矢量3?2??z y x e e e -+=A 和z y x e e e ???++=B 相互垂直。 2. 已知矢量 1.55.8z y e ?e ?+=A 和4936z y e ?.e ?+-=B ，求两矢量的夹角。 3. 如果0=++z z y y x x B A B A B A ，证明矢量A 和B 处处垂直。 4. 导出正交曲线坐标系中相邻两点弧长的一般表达式。 5．根据算符?的与矢量性，推导下列公式： ()()()()B A B A A B A B B A ??+???+??+???=??)( ()()A A A A A 2??-?=???2 1 []H E E H H E ???-???=??? 6．设u 是空间坐标z ,y ,x 的函数，证明： u du df u f ?=?)(， ()du d u u A A ??=??， ()du d u u A A ??=??，()[]0=????z ,y ,x A 。 7．设222)()()(z z y y x x R '-+'-+'-='-=r r 为源点x '到场点x 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点。证明下列结果， R R R R =?'-=?， 311R R R R -=?'-=?，03=??R R ，033=??'-=??R R R R )0(≠R （最后一式在0=R 点不成立）。 8. 求[])sin(0r k E ???及[])sin(0r k E ???，其中0E a ,为常矢量。 9. 应用高斯定理证明 ???=??v s d dV f s f ，应用斯克斯（Stokes ）定理证明??=??s L dl dS ??。 10.证明Gauss 积分公式[]??????+???=??s V dv d ψφψφψφ2s 。 11.导出在任意正交曲线坐标系中()321q ,q ,q F ??、()[]321q ,q ,q F ???、()3212q ,q ,q f ?的表达式。 12. 从梯度、散度和旋度的定义出发，简述它们的意义，比较它们的差别，导出它们在正交曲线坐标系中的表达式。 电磁场理论习题 一 1、求函数?=xy+z-xyz 在点（1，1，2）处沿方向角π α= 3， 4π β= ， 3π γ= 的方向的方 向导数. 解：由于 M ? ??x =y －M yz = -1 M y ? ??=2x y －(1,1,2)xz =0 M z ???=2z (1,1,2) xy -=3 1cos 2α= ，cos 2β=，1 cos 2γ= 所以 1cos cos cos =??+??+??= ??γ?β?α?? z y x l M 2、 求函数?＝xyz 在点（5, 1, 2）处沿着点（5, 1, 2）到点（9, 4, 19）的方向的方向导数。 解：指定方向l 的方向矢量为 l ＝(9－5) e x +(4－1)e y +(19－2)e z ＝4e x +3e y +17e z 其单位矢量 z y x z y x e e e e e e l 314 731433144cos cos cos + += ++=γβαο 5 , 10, 2) 2,1,5(==??==??==??M M M M M xy z xz y yz x ? ?? 所求方向导数 314123 cos cos cos =??=??+??+??= ??οl z y x l M ?γ?β?α?? 3、 已知?=x 2+2y 2+3z 2+xy+3x-2y-6z ，求在点（0，0，0）和点（1，1，1）处的梯度。 解：由于??=(2x+y+3) e x +(4y+x-2)e y +(6z-6)e z 所以，(0,0,0)? ?=3e x -2e y -6e z (1,1,1) ??=6e x +3e y 4、运用散度定理计算下列积分： 2232 [()(2)]x y z s xz e x y z e xy y z e ds +-++??g òI= S 是z=0 和 z=(a 2-x 2-y 2)1/2所围成的半球区域的外表面。 解：设：A=xz 2e x +(x 2y-z 3)e y +(2xy+y 2z)e z 则由散度定理 Ω ??????g g òs A ds=Adv A．电磁场理论B基本概念 1．什么就是等值面？什么就是矢量线？ 等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过; ★所有的等值面均互不相交; ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。 矢量线(通量线)---- 一系列有方向的曲线。 线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向, 而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。 例如,电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么就是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？(图) 右手定则就是指当食指指向矢量A的方向,中指指向矢量B的方向,则大拇指的指向就就是矢量积C=A*B的方向。 右手法则又叫右手螺旋法则,即矢量积C=A*B的方向就就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。 本课程中的应用: ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向与传播方向。 3．什么就是电偶极子？电偶极矩矢量就是如何定义的？电偶极子的电磁场分布就是怎样的？ 电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。 电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量与间距的乘积,方向由负电荷指向正电荷。 4、麦克斯韦积分与微分方程组的瞬时形式与复数形式; 积分形式: 微分方式: (1)安培环路定律 (2)电磁感应定律 (3)磁通连续性定律 (4)高斯定律 5、结构方程 6、什么就是电磁场边界条件？它们就是如何得到的？(图) 边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发,得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式(近似式)。 边界条件就是在无限大平面的情况得到的,但就是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7、不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义; (1)导电媒质分界面的边界条件 ★导电媒质分界面上不存在传导面电流,但可以有面电荷。 在不同媒质分界面上,电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量与磁感应强度的法向分量永远就是连续的 (2)理想导体表面的边界条件 ★理想导体内部,时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流与面电荷。 一． 1.对于矢量A u v，若A u v＝ e u u v x A＋y e u u v y A＋z e u u v z A， x 则： e u u v?x e u u v＝；z e u u v?z e u u v＝； y e u u v?x e u u v＝；x e u u v?x e u u v＝ z 2.对于某一矢量A u v，它的散度定义式为； 用哈密顿算子表示为 3.对于矢量A u v，写出： 高斯定理 斯托克斯定理 4.真空中静电场的两个基本方程的微分形式为 和 5.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系为，通常称它为 二.判断：（共20分，每空2分）正确的在括号中打“√”，错误的打“×”。 1.描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（） 2.标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（） 3.梯度的方向是等值面的切线方向。（） 4.恒定电流场是一个无散度场。（） 5.一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可以独立进行分析。（） 6.静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（） 7.研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物质内发生的静电现象。（ ） 8.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ ） 9.静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解都是唯一的。（ ） 10.物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不相关的两方面问题。（ ） 三.简答：（共30分，每小题5分） 1.用数学式说明梯无旋。 2.写出标量场的方向导数表达式并说明其涵义。 3.说明真空中电场强度和库仑定律。 4.实际边值问题的边界条件分为哪几类？ 5.写出磁通连续性方程的积分形式和微分形式。 6.写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。 四.计算：（共10分）半径分别为a,b(a>b),球心距为c(c 高等电磁场理论 教学目的：光学、电子科学与技术和信息与通讯工程等专业研究生的理论基础课。内容提要： 第一章电磁场理论基本方程 第一节麦克斯韦方程 第二节物质的电磁特性 第三节边界条件与辐射条件 第四节波动方程 第五节辅助位函数极其方程 第六节赫兹矢量 第七节电磁能量和能流 第二章基本原理和定理 第一节亥姆霍兹定理 第二节唯一性定理 第三节镜像原理 第四节等效原理 第五节感应原理 第六节巴比涅原理 第七节互易原理 第三章基本波函数 第一节标量波函数 第二节平面波、柱面波和球面波用标量基本波函数展开 第三节理想导电圆柱对平面波的散射 第四节理想导电圆柱对柱面波的散射 第五节理想导电劈对柱面波的散射 第六节理想导电圆筒上的孔隙辐射 第七节理想导电圆球对平面波的散射 第八节理想导电圆球对柱面波的散射 第九节分层介质中的波 第十节矢量波函数 第四章波动方程的积分解 第一节非齐次标量亥姆霍兹方程的积分解第二节非齐次矢量亥姆霍兹方程的积分解第三节辐射场与辐射矢量 第四节口径辐射场 第五节电场与磁场积分方程 第五章格林函数 第一节标量格林函数 第二节用镜像法标量格林函数 第三节标量格林函数的本征函数展开法 第四节标量格林函数的傅里叶变换解法 第五节并矢与并矢函数 第六节自由空间的并矢格林函数 第七节有界空间的并矢格林函数 第八节用镜像法建立半空间的并矢格林函数第九节并矢格林函数的本征函数展开 第六章导行电磁波 第一节规则波导中的场和参量 第二节模式的正交性 第三节规则波导中的能量和功率 第四节常用规则波导举例 第五节规则波导的一般分析 第六节波导的损耗 第七节波导的激励 第八节纵截面电模和磁模 第九节部分介质填充的矩形波导 第十节微带传输线 第十一节耦合微带线 第十二节介质波导 第十三节波导和微带不连续性的近似分析第十四节其它微波毫米波传输线简介 电磁场与电磁波总结 第1章 场论初步 一、矢量代数 A ? B =AB cos θ A B ?=AB e AB sin θ A ?( B ? C ) = B ?(C ?A ) = C ?(A ?B ) A ? (B ?C ) = B (A ?C ) – C ?(A ?B ) 二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系 矢量线元 x y z =++l e e e d x y z 矢量面元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz 单位矢量的关系 ?=e e e x y z ?=e e e y z x ?=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系 矢量线元 =++l e e e z d d d d z ρ?ρρ?l 矢量面元 =+e e z dS d dz d d ρρ?ρρ? 体积元 dV = ρ d ρ d ? d z 单位矢量的关系 ?=??=e e e e e =e e e e z z z ρ??ρρ? 3. 球坐标系 矢量线元 d l = e r d r + e θ r d θ + e ? r sin θ d ? 矢量面元 d S = e r r 2sin θ d θ d ? 体积元 dv = r 2sin θ d r d θ d ? 单位矢量的关系 ?=??=e e e e e =e e e e r r r θ? θ??θ cos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ????????????=-?? ????????????????????? sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A ???? ?????? ? ?=-????????????-?????? θ?θ?θ? θθ?θ?θ?? sin 0cos cos 0sin 0 10r r z A A A A A A ???? ?????? ??=-???????????????? ??θ??θθθθ 三、矢量场的散度和旋度 1. 两导体间的电容与_A__有关 A. 导体间的位置 B. 导体上的电量 C. 导体间的电压 D. 导体间的电场强度 2. 下面关于静电场中的导体的描述不正确的是:____C__ A. 导体处于非平衡状态。 B. 导体内部电场处处为零。 C. 电荷分布在导体内部。 D. 导体表面的电场垂直于导体表面 3. 在不同介质的分界面上，电位是__B_。 A. 不连续的 B. 连续的 C. 不确定的 D. 等于零 4. 静电场的源是A A. 静止的电荷 B. 电流 C. 时变的电荷 D. 磁荷 5. 静电场的旋度等于__D_。 A. 电荷密度 B. 电荷密度与介电常数之比 C. 电位 D. 零 6. 在理想导体表面上电场强度的切向分量D A. 不连续的 B. 连续的 C. 不确定的 D. 等于零 7. 静电场中的电场储能密度为B A. B. C. D. 8. 自由空间中静电场通过任一闭合曲面的总通量，等于B A. 整个空间的总电荷量与自由空间介电常数之比 B. 该闭合曲面内所包围的总电荷量与自由空间介电常数之比。 C. 该闭合曲面内所包围的总电荷量与自由空间相对介电常数之比。 D. 该闭合曲面内所包围的总电荷量。 9. 虚位移法求解静电力的原理依据是G A. 高斯定律 B. 库仑定律 C. 能量守恒定律 D. 静电场的边界条件 10. 静电场中的介质产生极化现象，介质内电场与外加电场相比，有何变化？ A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 不确定 11. 恒定电场中，电流密度的散度在源外区域中等于B____ A. 电荷密度 B. 零 C. 电荷密度与介电常数之比 D. 电位 12. 恒定电场中的电流连续性方程反映了___A_ A. 电荷守恒定律 B. 欧姆定律 C. 基尔霍夫电压定律 D. 焦耳定律 13. 恒定电场的源是___B_ A. 静止的电荷 B. 恒定电流 C. 时变的电荷 D. 时变电流 14. 根据恒定电场与无源区静电场的比拟关系，导体系统的电导可直接由静电场中导体系统的D A. 电量 B. 电位差 C. 电感 D. 电容 15. 恒定电场中，流入或流出闭合面的总电流等于__C___ A. 闭合面包围的总电荷量 B. 闭合面包围的总电荷量与介电常数之比 C. 零 D. 总电荷量随时间的变化率 16. 恒定电场是D A. 有旋度 B. 时变场 C. 非保守场 D. 无旋场 17. 在恒定电场中，分界面两边电流密度矢量的法向方向是B A. 不连续的 B. 连续的 C. 不确定的 D. 等于零 18. 导电媒质中的功率损耗反映了电路中的_D____ 第1~2章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律 1. 设：直角坐标系中，标量场zx yz xy u ++=的梯度为A ，则M （1，1，1）处 A = ，=??A 0 。 2. 已知矢量场xz e xy e z y e A z y x ?4?)(?2 +++= ，则在M （1，1，1）处=??A 9 。 3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A ），则必须同时给定该场矢量 的 旋度 及 散度 。 4. 写出线性和各项同性介质中场量D 、E 、B 、H 、J 所满足的方程（结构方 程）： 。 5. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为 和 。 6. 设理想导体的表面A 的电场强度为E 、磁场强度为B ，则 （a ）E 、B 皆与A 垂直。 （b ）E 与A 垂直，B 与A 平行。 （c ）E 与A 平行，B 与A 垂直。 （d ）E 、B 皆与A 平行。 答案：B 7. 两种不同的理想介质的交界面上， （A ）1212 , E E H H == （B ）1212 , n n n n E E H H == (C) 1212 , t t t t E E H H == (D) 1212 , t t n n E E H H == 答案：C 8. 设自由真空区域电场强度(V/m) )sin(?0βz ωt E e E y -= ，其中0E 、ω、β为常数。则空间位移电流密度d J （A/m 2 ）为： （a ） )cos(?0βz ωt E e y - （b ） )cos(?0βz ωt ωE e y - ???222x y z e e e ++A ??A ??E J H B E D σ=μ=ε= , ,t q S d J S ??-=?? t J ?ρ?-=?? A．电磁场理论B基本概念 1．什么是等值面？什么是矢量线？ 等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过； ★所有的等值面均互不相交； ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。 矢量线（通量线）---- 一系列有方向的曲线。 线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向， 而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。 例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？（图） 右手定则是指当食指指向矢量A的方向，中指指向矢量B的方向，则大拇指的指向就是矢量积C=A*B的方向。 右手法则又叫右手螺旋法则，即矢量积C=A*B的方向就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。 本课程中的应用： ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向和传播方向。 3．什么是电偶极子？电偶极矩矢量是如何定义的？电偶极子的电磁场分布是怎样的？ 电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。 电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量和间距的乘积，方向由负电荷指向正电荷。 4.麦克斯韦积分和微分方程组的瞬时形式和复数形式； 积分形式： 微分方式： （1）安培环路定律 （2）电磁感应定律 （3）磁通连续性定律 （4）高斯定律 5.结构方程 6.什么是电磁场边界条件？它们是如何得到的？（图） 边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发，得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式（近似式）。 边界条件是在无限大平面的情况得到的，但是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7.不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义； （1）导电媒质分界面的边界条件 ★ 导电媒质分界面上不存在传导面电流，但可以有面电荷。 在不同媒质分界面上，电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量永远是连续的 （2）理想导体表面的边界条件 ★ 理想导体内部，时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流和面电荷。 第一章 矢量分析 1.1 3?2??z y x e e e A -+= ，z y e e B ?4?+-= ，2?5?y x e e C -= 求（1）?A e ；（2）矢量A 的方向余弦；（3）B A ?；（4）B A ?； （5）验证()()()B A C A C B C B A ??=??=?? ； （6）验证()()()B A C C A B C B A ?-?=??。 1.2 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，则可确定该未知矢 量。设A 为已知矢量，X A B ?=和X A B ?=已知，求X 。 1.3 求标量场32yz xy u +=在点（2,-1,1）处的梯度以及沿矢量z y x e e e l ?2?2?-+= 方向上的方向导数。 1.4 计算矢量()() 3222224???z y x e xy e x e A z y x ++= 对中心原点的单位立方体表面的面积分，再计算A ??对此立方体的体积分，以验证散度定理。 1.5 计算矢量z y e x e x e A z y x 22???-+= 沿(0,0)，(2,0)，(2,2)，(0,2)，(0,0)正方形闭合回路的线积分，再计算A ??对此回路所包围的表面积的积分，以验证斯托克斯定理。 1.6 f 为任意一个标量函数，求f ???。 1.7 A 为任意一个矢量函数，求()A ????。 1.8 证明：A f A f A f ??+?=?)(。 1.9 证明：A f A f A f ??+??=??)()()(。 1.10 证明：)()()(B A A B B A ???-???=???。 1.11 证明：A A A 2)(?-???=????。 1.12 ?ρ?ρ?ρρsin cos ?),,(32z e e z A += ，试求A ??，A ??及A 2?。 1.13 θθθ?θ?θcos 1?sin 1?sin ?),,(2r e r e r e r A r ++= ，试求A ??，A ??及A 2?。 1.14 ?ρ?ρsin ),,(z z f =，试求f ?及f 2?。 1.15 2sin ),,(r r f θ?θ=，试求f ?及f 2?。 1.16 求??S r S e d )sin 3?(θ，S 为球心位于原点，半径为5的球面。 1.17 矢量??θ23cos 1?),,(r e r A r = ，21< 第十三章 电磁场理论的基本概念 历史背景：十九世纪以来，在当时社会生产力发展的推动下，电磁学得到了迅速的发展： 1． 零星的电磁学规律相继问世（经验定律） 2． 理论的发展，促进了社会生产力的发展，特别是电工和通讯技术的发展→提出了建立理论的要求，提 供了必要的物质基础。 3． ＊（Maxwell,1931~1879）麦克斯韦:数学神童，十岁进入爱丁堡科学院的学校，十四岁获科学院的数 学奖； 1854，毕业于剑桥大学。以后，根据开尔文的建议，开始研究电学,研究法拉第的力线； 1855，“论法拉第的力线”问世，引入δ =???H H ，同年，父逝，据说研究中断； 1856，阿贝丁拉马利亚学院的自然哲学讲座教授，三年； 1860，与法拉第见面； 1861－1862，《论物理力线》分四部分发表；提出涡旋电场与位移电流的假设。 1864，《电磁场的动力理论》向英国皇家协会宣读； 1865，上述论文发表在《哲学杂志》上； 1873，公开出版《电磁学理论》一书，达到顶峰。这是一部几乎包括了库仑以来的全部关于电磁研究信息的经典著作；在数学上证明了方程组解的唯一性定理，从而证明了方程组内在的完备性。 1879，去世，48岁。（同年爱因斯坦诞生） ＊ 法拉第－麦克斯韦电磁场理论，在物理学界只能被逐步接受。它的崭新的思想与数学形式，甚至象赫姆霍兹和波尔兹曼这样有异常才能的人，为了理解消化它也花了几年的时间。 §13－1 位移电流 一． 问题的提出 1. 如图，合上K ， 对传I l d H :S =?? 1 对传I l d H :S =?? 2 2. 如图，合上K ，对C 充电： 对传I l d H :S =?? 1 对02=??l d H :S 3. M axwell 的看法：只要有电动力作用在导体上，它就产生一个电流，……作用在电介质上的电动力，使它的组成部分产生一种极化状态，有如铁的颗粒在磁力影响下的极性分布一样。……在一个受到感应的电介质中，我们可以想象，每个分子中的电发生移动，使得一端为正，另一端为负，但是依然和分子束缚在一起，并没有从一个分子到另一个分子上去。这种作用对整个电介质的影响是在一定方向上引起的总的位移。……当电位移不断变化时，就会形成一种电流，其沿正方向还是负方向，由电位移的增大或减小而定。”这就是麦克斯韦定义的位移电流的概念。 习题(数学基础) 1.1 3?2??z y x e e e A -+= ，z y e e B ?4?+-= ，2?5?y x e e C -= 求（1）?A e ；（2）矢量A 的方向余弦；（3）B A ?；（4）B A ?； （5）验证()()() B A C A C B C B A ??=??=?? ；（6）验证 ()()()B A C C A B C B A ?-??=??。 1.2 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，则可确定该未知矢 量。设A 为已知矢量，X A B ?=和X A B ?=已知，求X 。 1.3 求标量场32yz xy u +=在点（2,-1,1）处的梯度以及沿矢量z y x e e e l ?2?2?-+= 方向上的方向导数。 1.4计算矢量()() 3222224???z y x e xy e x e A z y x ++= 对中心原点的单位立方体表面的面积分，再计算A ??对此立方体的体积分，以验证散度定理。 1.5 计算矢量z y e x e x e A z y x 22???-+= 沿(0,0)，(2,0)，(2,2)，(0,2)，(0,0)正方形闭合回路的线积分，再计算A ??对此回路所包围的表面积的积分，以验证斯托克斯定理。 1.6 f 为任意一个标量函数，求f ???。 1.7 A 为任意一个矢量函数，求() A ????。 1.8 证明：A f A f A f ??+?=?)(。 1.9 证明：A f A f A f ??+??=??)()()(。 1.10证明：)()()(B A A B B A ???-???=???。 1.11证明：A A A 2)(?-???=????。 1.12 ?ρ?ρ?ρρsin cos ?),,(32z e e z A += ，试求A ??，A ??及A 2?。 1.13 θθθ?θ?θcos 1?sin 1?sin ?),,(2r e r e r e r A r ++= ，试求A ??，A ??及A 2?。 1.14 ?ρ?ρsin ),,(z z f =，试求f ?及f 2?。 1.15 2sin ),,(r r f θ?θ=，试求f ?及f 2?。 1.16 求??S r S e d )sin 3?(θ，S 为球心位于原点，半径为5的球面。 1.17 矢量??θ23cos 1?),,(r e r A r = ，21< 1.1. 两导体间的电容与___有关 A. 导体间的位置 B. 导体上的电量 C. 导体间的电压 D. 导体间的电场强度 1.2. 下面关于静电场中的导体的描述不正确的是:______ A. 导体处于非平衡状态。 B. 导体内部电场处处为零。 C. 电荷分布在导体内部。 D. 导体表面的电场垂直于导体表面 1.3. 在不同介质的分界面上，电位是___。 A. 不连续的 B. 连续的 C. 不确定的 D. 等于零 1.4. 静电场的源是 A. 静止的电荷 B. 电流 C. 时变的电荷 D. 磁荷 1.5. 静电场的旋度等于___。 A. 电荷密度 B. 电荷密度与介电常数之比 C. 电位 D. 零 1.6. 在理想导体表面上电场强度的切向分量 A. 不连续的 B. 连续的 C. 不确定的 D. 等于零 1.7. 静电场中的电场储能密度为 A. B. C. D. 1.8. 自由空间中静电场通过任一闭合曲面的总通量，等于 A. 整个空间的总电荷量与自由空间介电常数之比 B. 该闭合曲面内所包围的总电荷量与自由空间介电常数之比。 C. 该闭合曲面内所包围的总电荷量与自由空间相对介电常数之比。 D. 该闭合曲面内所包围的总电荷量。 1.9. 虚位移法求解静电力的原理依据是 A. 高斯定律 B. 库仑定律 C. 能量守恒定律 D. 静电场的边界条件 1.10. 静电场中的介质产生极化现象，介质内电场与外加电场相比，有何变化？ A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 不确定 2.1. 恒定电场中，电流密度的散度在源外区域中等于____ A. 电荷密度 B. 零 C. 电荷密度与介电常数之比 D. 电位 2.2. 恒定电场中的电流连续性方程反映了____ 一． 1.对于矢量A，若A＝ e x A＋y e y A＋z e z A， x 则： e?x e＝；z e?z e＝； y e?x e＝；x e?x e＝ z 2.对于某一矢量A，它的散度定义式为； 用哈密顿算子表示为 3.对于矢量A，写出： 高斯定理 斯托克斯定理 4.真空中静电场的两个基本方程的微分形式为 和 5.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系 为，通常称它为 二.判断：（共20分，每空2分）正确的在括号中打“√”，错误的打“×”。 1.描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（） 2.标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（） 3.梯度的方向是等值面的切线方向。（） 4.恒定电流场是一个无散度场。（） 5.一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可以独立进行分析。（） 6.静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（） 7.研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物质内发生的静电现象。（ ） 8.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ ） 9.静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解都是唯一的。（ ） 10.物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不相关的两方面问题。（ ） 三.简答：（共30分，每小题5分） 1.用数学式说明梯无旋。 2.写出标量场的方向导数表达式并说明其涵义。 3.说明真空中电场强度和库仑定律。 4.实际边值问题的边界条件分为哪几类？ 5.写出磁通连续性方程的积分形式和微分形式。 6.写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。 四.计算：（共10分）半径分别为a,b(a>b),球心距为c(c 电磁场与传输理论B基本概念 1.1什么是右手法则或右手螺旋法则？ 1.2标量函数的梯度的定义是什么？物理意义是什么？ 1.3什么是通量？什么是环量？ 1.4矢量函数的散度的定义是什么？物理意义是什么？ 1.5矢量函数的旋度的定义是什么？物理意义是什么？ 1.6什么是拉普拉斯算子？ 1.7直角坐标系中梯度、散度、旋度和拉普拉斯算子在的表示式是怎样的？ 1.8三个重要的矢量恒等式是怎样的？ 1.9什么是无源场？什么是无旋场？ 1.10在无限大空间中是否存在既无源又无旋的场？为什么？ 2.1什么是自由空间？什么是线性各向同性的电介质？什么是线性各向同性的磁介质？什 么是微分形式欧姆定律？ 2.2电磁学的三大基本实验定律是哪三个？ 2.3穿过任一高斯面的电场强度通量与该闭合曲面所包围的哪些电荷有关？穿过任一高斯 面的电位移通量与该闭合曲面所包围的哪些电荷有关？高斯面上的场矢量与高斯面外的电荷是否有关？为什么？ 2.4磁场强度沿任一闭合回路的环量与哪些电流有关？磁感应强度沿任一闭合回路的环量 与哪些电流有关？闭合回路上的磁场强度与闭合回路以外的电流是否有关？为什么？ 2.5什么是位移电流？什么是位移电流密度？ 2.6什么是电磁场的边界条件？他们是如何得到的？在不同媒质分界面上，永远是连续的 是电磁场的哪些分量？电磁场的哪些分量当不存在传导面电流和自由面电荷时是连续的？ 2.7边界条件有哪三种常用形式？他们有什么特点？什么是理想介质？什么是理想导体？ 3.1静电场是无源场还是无旋场？ 3.2静电场边界条件有哪两种常用形式？他们有什么特点？ 3.3什么是静电场折射定律？ 3.4静电场中任一点的电位是否是唯一的？电场强度是否是唯一的？ 3.5什么是等位面？电场强度矢量与等位面有什么关系？为什么？ 3.6什么是电位的泊松方程和拉普拉斯方程？什么是电场强度的泊松方程和拉普拉斯方 程？ 3.7静电场的能量和能量密度是如何计算的？ 3.8导体的电容与哪些因素有关？与导体的电位和所带的电量是否有关？ 3.9什么是电容器？电容器的电容是如何定义的？电容器的电容与其电场储能有什么关 系？ 3.10静电场的边值问题可以分为哪三类？ 3.11什么是直接积分法？什么情况下可以采用直接积分法？直接积分法的基本步骤是什 么？ 3.12直角坐标系中一维电位分布的拉普拉斯方程的通解是怎样的？电荷均匀分布和线性分 布区域电位的通解各是怎样的？ 3.13什么是分离变量法？什么是分离常数？什么是分离方程？ 3.14直角坐标系中的分离常数有哪几个？直角坐标系中的分离方程是怎样的？ 3.15直角坐标系中的分离方程的通解与分离常数有什么关系？ 3.16直角坐标系中分离变量法的的两种常见的二维问题是指什么情况？ 3.17什么是直角坐标系中分离变量法的基本问题？ 3.18如何根据基本问题的边界条件选取通解的具体形式？ 一、选择题 1、在磁感强度为的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线方向单位矢量与的夹角为α ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) πr 2B ． . (B) 2 πr 2B ． (C) -πr 2B sin α． (D) -πr 2B cos α． ［ D ］ 2、电流由长直导线1沿半径方向经a 点流入一电阻均匀的圆环，再由b 点沿切向从圆环流出，经长直导线2返回电源(如图)．已知直导线上电流为I ， ．若载流长直导线1、2以及圆环中的电流在圆心O 点所产生的磁感强度分别用1B 、2B , 3B 表示，则O 点的磁感强度大小 (A) B = 0，因为B 1 = B 2 = B 3 = 0． (B ) B = 0，因为021=+B B ，B 3 = 0． (C ) B ≠ 0，因为虽然021=+B B ，但B 3≠ 0． (D ) B ≠ 0，因为虽然B 1 = B 3 = 0，但B 2≠ 0． (E ) B ≠ 0，因为虽然B 2 = B 3 = 0，但B 1≠ 0． ［ D ］ 3、边长为L 的一个导体方框上通有电流I ，则此框中心的磁感强度 (A) 与L 无关． (B) 正比于L 2． (C) 与L 成正比． (D) 与L 成反比． (E) 与I 2有关． ［ D ］ 4、无限长直圆柱体，半径为R ，沿轴向均匀流有电流．设圆柱体内( r < R )的磁感强度为B i ，圆柱体外( r > R )的磁感强度为B e ，则有 (A) B i 、B e 均与r 成正比． (B) B i 、B e 均与r 成反比． (C) B i 与r 成反比，B e 与r 成正比． (D) B i 与r 成正比，B e 与r 成反比． ［ D ］ 5、如图，在一圆形电流I 所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路L ，则由安培环路定理可知 电磁场理论发展史 ——著名实验和相关科学家 纲要： 一、定性研究 1、吉尔伯特的研究 2、富兰克林 二、定量研究 1、反平方定律的提出 2、电流磁效应的发现 3、电磁感应定律及楞次定律 4、麦克斯韦方程 5、电磁波的发现 三、小结 一、定性研究 1、吉尔伯特的研究 他发现不仅摩擦过的琥珀有吸引轻小物体的性质，而且一系列其他物体如金刚石、水晶、硫磺、明矾等也有这种性质，他把这种性质称为电性，他是第一个用“电力”、“电吸引”、“磁极”等术语的人。吉尔伯特把电现象和磁现象进行比较，发现它们具有以下几个截然不同的性质： 1.磁性是磁体本身具有的，而电性是需要用摩擦的方法产生； 2.磁性有两种——吸引和排斥，而电性仅仅有吸引（吉尔伯特不知道有排斥）； 3.磁石只对可以磁化的物质才有力的作用，而带电体可以吸引任何轻小物体； 4.磁体之间的作用不受中间的纸片、亚麻布等物体的影响，而带电体之间的作用要受到中间这些物质的影响。当带电体浸在水中，电力的作用可以消失，而磁体的磁力在水中不会消失； 5.磁力是一种定向力，而电力是一种移动力。 2、富兰克林的研究 富兰克林（公元1706一1790）原来是费城的印刷商，他通过书本和科学上的来往获得了丰富知识，他利用莱顿瓶做出的第一项重要工作，是根据莱顿瓶内外两种电荷的相消性，在杜菲的“玻璃电”和“树脂电”的基础上提出正电和负电的概念。 富兰克林所做的第二项重要工作是统一了天电和地电。 二、定量研究 1、反平方定律的提出 1750年前后，彼得堡科学院院士埃皮努斯在实验中发现；当发生相互作用的电荷之间的距离缩短时，两者之间的吸引力和排斥力便增加。1766年富兰克林写信给他在德国的一位朋友普利斯特利（公元1733一1804），介绍了他在实验中发现在金属杯中的软木球完全不受金属杯电性的影响的现象。他请普利斯特利给予验证。 英国科学家卡文迪许在1772年做了一个电学实验，他用一个金属球壳使之带电，发现电荷全部分布在球壳的外表面，球腔中任何一点都没有电的作用。 法国物理学家库仑（公元1736—1806），起先致力于扭转和摩擦方面的研究。由于发表了有关扭力的论文，于1781年当选为国家科学院院士。他从事研究毛发和金属丝的扭转弹性。1784年法国科学院发出船用罗盘最优结构的悬奖征文，库仑转而研究电力和磁力问题。 1785年库仑自制了一台精巧的扭秤，作了电的斥力实验，建立了著名的库仑定律：两电荷之间的作用力与其距离的平方成反比，和两者所带电量的乘积成正比。 公式：F=k*(q1*q2)/r^2 2、电流磁效应的发现 丹麦物理学家奥斯特（公元1777—1851）首次发现电流磁效应，揭开了电和磁两种现象的内在联系，从此开始了电磁学的真正研究。 1820年4月在一次关于电和磁的讲课快结束时，他抱着试试看的心情做了实验，在一根根细的铂丝导线的下面放一个用玻璃罩罩着的小磁针，用伽伐尼电池将铂丝通电，他发现磁针偏转，这现象虽然未引起听讲人的注意，却使他非常激 一.填空：（共20分，每空2分） 1.对于某一标量u 和某一矢量A ： ??（??u ）＝ ；??（??A ）＝ 2.对于某一标量u ，它的梯度用哈密顿算子表示为 ；在直角坐标系下表示为 3.写出安培力定律表达式 写出毕奥－沙伐定律表达式 4.真空中磁场的两个基本方程的积分形式为 和 5.分析静电矢量场时，对于各向同性的线性介质，两个基本场变量之间的关系为 ，通常称它为 二.判断：（共20分，每空2分） 正确的在括号中打“√”，错误的打“×”。 1.电磁场是具有确定物理意义的矢量场，但这些矢量场在一定的区域内并不具有一定的分布规律。（ ） 2.矢量场在闭合路径上的环流和在闭合面上的通量都是标量。（ ） 3.按统一规则绘制出的力线可以确定矢量场中各点矢量的方向，还可以根据力线的疏密判别出各处矢量的大小及变化趋势。（ ） 4.从任意闭合面穿出的恒定电流为零。（ ） 5.在无界真空中，如果电荷分布状态已确定，则他们的电场分布就可以确定。（ ） 6.一根微小的永久磁针周围的磁场分布与微小电流环周围的磁场分布是不同的。（ ） 7.电场强度是“场”变量，它表示电场对带电质点产生作用的能力。（ ） 8.导体或介质所受到的静电力可以由能量的空间变化率计算得出。（ ） 9. 静电场空间中，任意导体单位表面所受力等于该导体单位表面的电荷量与该点的电场强度的乘积。（ ） 10.无自由电流区域的磁场边值问题和无自由电荷区域的静电三.简答：（共30分，每小题5分） 1.解释矢量的点积和差积。 2.说明矢量场的通量和环量。 3.当电流恒定时，写出电流连续性方程的积分形式和微分形式。 4.写出真空中静电场的两个基本方程的积分形式和微分形式。 5.写出静电场空间中，在不同的导电媒质交界面上的边界条件。 6.说明恒定磁场中的标量磁位。 四.计算：（共10分）已知空气填充的平面电容器内的电位分布为2ax b ?=+，求与其相应得电场及其电荷的分布。 五.计算：（共10分）一半径为a 的均匀带电圆盘，电荷面密度为，求圆盘外轴线上任一点的电场强度。 六.计算：（共10分）自由空间中一半径为a 的无限长导体圆柱，其中均匀流过电流I ，求导体内外的磁感应强度。 电磁场试卷答案及评分标准 一. 1.0；0 2.gradu u =?；x y z u u u u e e e x y z ????=++??? 《电磁场理论》题库 《电磁场理论》综合练习题1 一、填空题（每小题 1 分，共 10 分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为μ，则磁感应强度B 和磁场H 满足的 方程为： 。 2．设线性各向同性的均匀媒质中，02 =?φ称为 方程。 3．时变电磁场中，数学表达式H E S ?=称为 。 4．在理想导体的表面， 的切向分量等于零。 5．矢量场)(r A 穿过闭合曲面S 的通量的表达式为： 。 6．电磁波从一种媒质入射到理想 表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。 8．如果两个不等于零的矢量的 等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合 关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用 函数的旋度来表示。 二、简述题 （每题 5分，共 20 分） 11．已知麦克斯韦第二方程为t B E ??- =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 三、计算题 （每题10 分，共30分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数y x e xz e y B ??2+-= 是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。 16．矢量z y x e e e A ?3??2-+= ， z y x e e e B ??3?5--= ，求 （1）B A + （2）B A ? 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 ()jkz y x e E e E e E --=004?3? （1） 试写出其时间表达式； （2） 说明电磁波的传播方向；电磁场理论习题解读
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