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【数学】福建省师大附中2015-2016学年高二上学期期末考试

福建省师大附中2015-2016学年高二上学期期末考试

数学（理）

第I 卷共60分

一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．抛物线22y x =的准线方程为（） A ．12y =-

B ．1

y =- C ．1

x =-

D ．18

x =-

2．下列有关命题的说法正确的是（）

A ．命题“若x a ≠且x b ≠，则2()0x a b x ab -++≠”的否命题为：“若x a =且x b =，则2()0x a b x ab -++=”

B ．命题“若1x =-，则2560x x --=”的逆命题是真命题

C ．命题“x R ?∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ?∈，均有210x x ++<”

D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题

3．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，

若，则k 的值为（） A ．4-

B ．2-

C ．2

D ．4

4．如图，空间四边形OABC 中，点M 在OA 上，且2OM MA =，点N

为BC 中点，MN xOA yOB zOC =++

，则,,x y z 的值分别是（）

A ．211,,

322- B ．121

,,232-

C ．111,,222-

D ．221,,332

5．在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，

M 和N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（）

A ．52-

B ．10

C ．52

D ．53

6．0,0a c >>是方程2

ax y c +=表示椭圆的（）

α()11,2,2n =- β()22,4,n k =--

//α

A ．充要条件

B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

7．设椭圆22

22:1x y C a b

+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,

212PF F F ⊥,1230PF F ∠= ,则C 的离心率为（）

A ．

36 B ．13 C ．12 D ．3

8．与双曲线有相同渐近线，且与椭圆22182y x +=有共同焦点的双曲线方程是

（）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．已知点P 是抛物线24x y =上的动点，点P 在其准线上的射影是点M ，点A 的坐标(4,2)，则||||PA PM +的最小值是（） A ．

B ．

C ．3

D ．2

10．过点(4,0)C 的直线与双曲线22

1412

x y -=的右支交于A B ,两点，则直线AB 的斜率k 的取值范围是（）

A ．||3k >

B ．||3k ≤

C ．||1k ≥

D ．||1k <

11．若点O 和点(2,0)F -分别为双曲线22

21(0)x y a a

-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线

右支上的任意一点，则OP FP ?

的取值范围为（）

A ．7[,)4-+∞

B ．7[,)4

+∞C ．[323,)-+∞D ．[323,)++∞

12．过抛物线2

2y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60

的直线l ，若直线l 与抛物线在

第一象限的交点为A ，且点A 在双曲线22

22:1x y C a b

-=（0a >，0b >）的一条渐近线上，

则双曲线C 的离心率为（）

2=-y x 14222=-y x 14222=-x y 12422=-y x 1242

2=-x y

A ．13

B ．5

C ．

213 D ．233

第Ⅱ卷共90分

二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.

13．若向量(1

)λ=，，1a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为3

，则λ的值为. 14．已知M 是椭圆

1259

x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，1260F MF ∠= ，则 12F MF ?的面积为.

15．如图，在二面角AB αβ--中，线段,AC BD αβ??，AC AB ⊥，

BD AB ⊥，4,2AC CD AB BD ====，则二面角AB αβ--的大

小为.

16．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →

＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →

取得最小值时，点Q 的坐标为.

三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）已知命题:p “方程

191

x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆”, 命题:q “方程22(2)1kx k y +-=表示双曲线”.若“p q ∨”是真命题, “q ?”是真命题，求实数k 的取值范围.

18．（本小题满分10分）如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中,11AB AD AA ===,

60BAD ∠= ,01145BAA DAA ∠=∠=.

（Ⅰ）求1BD ；

（Ⅱ）求证：BD ⊥平面11ACC A .

19．（本小题满分12分）

如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．

（Ⅰ）求证平面；（Ⅱ）求直线BE 与平面所成角的余弦值；（Ⅲ）求点B 到平面的距离．

20．(本小题满分12分)

已知抛物线)0(2:2

>=p px y C 上的一点M 的横坐标为3，焦点为F ，且||4MF =.直线

42:-=x y l 与抛物线C 交于,A B 两点.

（Ⅰ）求抛物线C 的方程；

（Ⅱ）若直线1l l ，且直线1l 与抛物线C 相切于点P ，求直线1l 的方程及ABP ?的面积.

ABCD ⊥BCEF ABCD BCEF //BF CE BC CE ⊥4DC CE ==2BC BF ==：

//AF CDE ADE

ADE

21．(本小题满分12分)

如图，四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是矩形，且22AD CD ==，12AA =，13

A AD π

∠=

，若O 为AD 的中点，且1CD AO ⊥．

（Ⅰ）求证：1

AO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角1D A A P --的大小为3

？若存在，求出BP 的长；若不存在，说明理由．

22．（本小题满分14分）

如图所示，点1(1,0)F -，2(1,0)F ，动点M 到点2F 的距离是22，线段1MF 的中垂线交

2MF 于点P ．

（Ⅰ）当点M 变化时，求动点P 的轨迹G 的方程；

（Ⅱ）设直线：与轨迹G 交于、两点，直线与的倾斜角分别为、，且，求证：直线经过定点，并求该定点的坐标．

l y kx m =+M N 2F M 2F N αβαβπ+=

参考答案

一、选择题：

1-5 BDDAC 6-10 CDBAA 11-12 DC 二、填空题：

13．5-或1 14．33 15. 3

16.????

43，43，83

三、解答题：

17．解:若p 成立，则910k k ->->，即15k << ……3分若q 成立，则(2)0k k -<，即0k <或2k > ……6分

若“p q ∨”是真命题, “q ?”是真命题

∴p 真q 假 ……8分 ∴15

02k k <

≤≤?

∴12k <≤ ……………………10分

18．解:（Ⅰ）111BD AD AB AD AA AB =-=+- ……………………2分 2211()BD AD AA AB =+-

2221112()AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-+--

2=……………………4分

所以12BD =

……………………5分

（Ⅱ）1111

()022

AA BD AA AD AB =-=-=

，则1BD AA ⊥, ………8分又ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥……………………9分

1,AA AC ?平面11ACC A ，且1AA AC A ?=……………………10分

所以BD ⊥平面11ACC A

19．解：（Ⅰ）（法一）取中点为，连接、，

且，

∴，则且．四边形为矩形，且，且，

CE G DG FG //BF CG BF CG =四边形BFGC 为平行四边形//BC FG BC FG = ABCD //BC AD ∴BC AD =//FG AD ∴FG AD =

，则． ……………………2分

平面，平面， ……………………3分

平面．

法二四边形为直角梯形，四边形为矩形，

，，

又平面平面，且平面平面，

平面．

CE ……………………1分

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，

所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系．

根据题意我们可得以下点的坐标：

，，，，，，…………2分

则，．

)0,0,2(=n 为平面的一个法向量．…………3分

又，

∴AF CB ⊥

……………………4分

∵平面……………………5分

平面．

（Ⅱ）设平面的一个法向量为，

，，则，取，得．……………7分 (2,4,0)BE =-

，设直线BE 与平面所成角为，则

111||410

sin |cos ,|5||||252

BE n BE n BE n θ?=<>===

．……………………8分所以215

cos 1sin 5

θθ=-=

∴四边形AFGD 为平行四边形//AF DG DG ? CDE AF ?CDE //AF ∴CDE BCEF ABCD ∴BC CE ⊥BC CD ⊥ ABCD ⊥BCEF ABCD BCEF BC =DC ∴⊥BCEF DC ∴⊥C CB x CE y CD z (2,0,4)A (2,0,0)B (0,0,0)C (0,0,4)D (0,4,0)E (2,2,0)F (0,2,4)AF =- (2,0,0)CB =

CDE 0220(4)00AF CB ?=?+?+-?=

AF ?CDE //AF ∴CDE ADE 1111(,,)n x y z =

(2,0,0)AD =- (0,4,4)DE =- 110,0.AD n DE n ??=???=?? ∴11120

440

x y z -=??-=?1

1z =1(0,1,1)n = ADE θ

所以BE 与平面所成角的余弦值为

……………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的一个法向量为(2,4,0)BE =-

∴11||422||2

BE n d n ?===

……………………11分 ∴点B 到平面的距离为22 ……………………12分 20．解：（Ⅰ）依题意得

342

+=，所以2p = 所以抛物线方程为x y C 4:2= ……………………3分

（Ⅱ）联立方程224

4y x y x =-??=?，设),(),,(2211y x B y x A ，

消去x 得2

280y y --=从而1212

8y y y y +=??=--?

有弦长公式得534)(4

1||21221=-+?+

=y y y y AB ，……………………6分设直线1l 的方程为2y x b =+，……………………7分

联立方程224y x b y x

=+??=?得2

220y y b -+= ……………………8分

由480b ?=-=得12b =

，所以直线1l 的方程为1

y x =+ ……10分直线1l 与l 的距离为1|

952105

+=……………………11分所以19527

352104

ABP S ?=

??=

……………………12分 21.（Ⅰ）证明：∵13

A AD π

∠=，且12AA AD ==，

∴1A AD ?为等边三角形

∵O 为AD 的中点∴1AO AD ⊥， ……………………2分又1CD AO ⊥，且CD AD D = ， ……………………3分

ADE ADE 1(0,1,1)n =

ADE

∴1

AO ⊥平面ABCD ．（Ⅱ）解：过O 作//Ox AB ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -（如图）则(0,1,0)A -，1(0,0,3)A ，……………………4分设(1,,0)P m ([1,1])m ∈-，……………………5分

平面1A AP 的法向量为1(,,)n x y z = ，

∵1

(0,1,3)AA = ，(1,1,0)AP m =+ ，且11130(1)0

n AA y z n AP x m y ??=+=???=++=?? ，取1z =，得1(3(1),3,1)n m =+-

……………………7分平面11A ADD 的一个法向量为2(1

,0,0)n =

……………………8分由题意得12213(1)

|cos ,||

|23(1)311

m n n m +<>==+++? ，……………………9分解得13m =-

或5

m =-（舍去），……………………11分 ∴当BP 的长为

32时，二面角1D A A P --的值为3

.……………………12分 22．（Ⅰ）连接1PF ，由2||22MF =，∴2||||22PM PF +=，

又∵1||||PM PF =，∴1212||||22||2PF PF F F +=>=，……………………3分

由椭圆的定义可知动点P 的轨迹G 的方程为2

212

x y +=．……………………5分（Ⅱ）依题意，消去，得：……6分

设、，则……7分又，依题意得：，……9分 2

212x y y kx m ?+=???=+?y 222

(21)4220k x kmx m +++-=11(,)M x y 22(,)N x y 2121222

422

,2121

km m x x x x k k -+=-=++221212,11

F M F N kx m kx m

k k x x ++=

=--220F M F N k k +=

即：

，化简得： ∴，整理得：……12分 ∴直线的方程为，因此直线经过定点，该定点坐标为．

……………………………………14分

1212011

kx m kx m

x x +++=--12122()()20kx x m k x x m +-+-=22

22242()()202121

m km

k m k m k k -+---=++ 2m k =-l (2)y k x =-l (2,0)

高二数学上学期期末考试题及答案

高二数学上学期期末考试题一、选择题：（每题5分，共60分） 2、若a,b 为实数，且a+b=2,则3a +3b 的最小值为（）（A ）18，（B ）6，（C ）23，（D ）243 3、与不等式x x --23≥0同解的不等式是（）（A ）（x-3）(2-x)≥0, (B)00的解集是（–21,3 1），则a-b= . 14、由x ≥0,y ≥0及x+y ≤4所围成的平面区域的面积为 . 15、已知圆的方程?? ?-=+=θθsin 43cos 45y x 为（θ为参数），则其标准方程为 .

16、已知双曲线162x -9 2 y =1，椭圆的焦点恰好为双曲线的两个顶点，椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则椭圆的方程为 . 三、解答题：（74分） 17、如果a ，b +∈R ，且a ≠b ，求证： 4 22466b a b a b a +>+（12分） 19、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作线段PP 1，求线段PP 1中点M 的轨迹方程。（12分） 21、某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池 222、131719x=x 2 000000将 x 44)1(2,2200=+==y x y y x 得代入方程即14 22 =+y x ，所以点M 的轨迹是一个椭圆。 21、解：设水池底面一边的长度为x 米，则另一边的长度为米x 34800，又设水池总造价为L 元，根据题意，得答：当水池的底面是边长为40米的正方形时，水池的总造价最低，

福建省师大附中重点高中自主招生物理试题_图文

福建省师大附中重点高中自主招生物理试题_图文一、选择题 1．隐型眼镜是一种直接贴在眼睛角膜表面的超薄镜片，可随眼球的运动而运动。目前使用的软质隐型眼镜由甲醛丙烯酸羟乙酯（HEMA）制成，中心厚度只有 0.05mm．如图是某人观察物体时，物体在眼球内成像的示意图，则该人所患眼病及矫正时应配制的这种隐型眼镜的镜片边缘的厚度分别为（） A．近视眼，大于 0.05mm B．近视眼，小于 0.05mm C．远视眼，大于 0.05mm D．远视眼，小于 0.05mm 2．如图甲，静止在水平面上的物块，受水平拉力F作用，F随时间t的变化关系如图乙所示。从t＝0开始，小兵每隔2s记录的物块位置和时刻如图丙所示，下列说法正确的是（） A．0﹣6s内，物块受到的摩擦力小于2N B．12﹣l4s内，力F做功48J C．从10s开始F的功率保持24W不变 D．若t＝12s时撤去所有外力，物体将做减速运动 3．如图所示，用相同的滑轮构成甲、乙两个装置，在相等的时间里分别把不同的物体匀速提升相同高度，绳端的拉力相等。不计绳重及摩擦，下列说法正确的是（） A．甲、乙装置所提物体的重力相同 B．甲、乙装置的额外功相同 C．甲、乙装置绳端拉力的功率相同 D．甲、乙装置的机械效率相同 4．如图所示，汽车装有日间行车灯可以提高行车安全，当汽车启动时，S1闭合，日间行车灯L1立即亮起：再闭合S2车前大灯L2也亮起．符合这一情况的电路图是（）

A．B． C．D． 5．关于透镜的应用，下列说法正确的是 A．近视眼镜利用了凹透镜对光的会聚作用B．照相时，景物在镜头二倍焦距以外C．投影仪利用凸透镜成正立放大的实像D．借助放大镜看地图时，地图到放大镜的距离应大于一倍焦距 6．如图甲所示电路，电源电压保持不变，电流表量程为0~0.6A，图乙中A、B分别是小灯泡和电阻R1通过的电流随电压变化的图象，只闭合开关S、S3，调节滑片P，当滑动变阻器接入电路中的电阻为10 时，小灯泡两端电压恰好为2V；只闭合开关S、S1，滑动变阻器的滑片P移至a端时，电路中的电流为0.2A，滑动变阻器的滑片移至b端时，小灯泡恰好正常发光。则（） A．电源电压为10V B．只闭合开关S、S1、S2，为保证电路安全，滑动变阻器的滑片可以移至b端 C．只闭合开关S，改变其它开关的通断及滑片的位置，电路消耗的最小功率大于1.2W D．只闭合开关S、S2，滑动变阻器的滑片移至a端时，1.5min电流通过R1产生的热量为640J 7．如图所示的四个物态变化中，属于吸热的是( ) A．春天，冰雪消融

(完整版)高二数学期末试卷(理科)及答案

高二数学期末考试卷（理科）一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1、与向量(1,3,2)a =-r 平行的一个向量的坐标是（） A ．（ 3 1 ，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，2 3 ，－1） D ．（2，－3，－22） 2、设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3，判断命题“p ?”、“q ?”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、“a ＞b ＞0”是“ab ＜2 2 2b a +”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4、椭圆14 2 2=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于（）. A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或8 5、已知空间四边形OABC 中，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则=（） A ． 21 3221+- B ．21 2132++- C ．2 1 2121-+ D ．2 13232-+ 6、抛物线2 y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（） A ． 1716 B ．1516 C ．7 8 D ．0 7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（） A.5或 54 或 C. D.5或5 3 8、若不等式|x －1|