有限元分析(机械优化设计) 试题

适用专业（层次）：机械工程硕士

山东科技大学2013—2014学年第 一 学期

《有限元分析（机械优化设计）》试题

班级 姓名 学号 （所有答案都写在答题纸上）

一、填空题（每空2分，共20分）

4、在n 维空间内，具有（n+1）个顶点的超多面体称为 。

5、坐标轮换法属于 中的直接法。

6、在有限元法求解问题的主要计算步骤包括：连续体离散化、 、整体分析。

7、常用的FEM 软件（如ANSYS ）主要包括前处理模块、 、 等三个模块。

二、选择题（每题2分，共10分）

三、简述题（共40分）

1、试述机械产品的设计过程。（6分）

2、如何选用优化设计的数学模型？（6分）

3、数值迭代法的基本思想是什么?常用的迭代终止准则有哪些？（8分）

4、图解优化问题：minF(X)=(x 1-6)2+(x 2-2)2

s.t. 0.5x 1+x 2≤4

3x 1+x 2≤9

x 1+x 2≥1

x 1≥0,x 2≥0 求最优点和最优值。（6分）

5、在内点罚函数法中，初始罚因子的大小对优化计算过程有何影响? （7分） 题号

一 二 三 四 总得分 评卷人 审核人 得分

6、简述可行方向法中，对于约束优化设计问题： minF(X) (X ∈R n )

s.t.g u (X)≤0(u=1,2,…,m)

确定适用可行方向S 时应该满足的要求。（7分）

四、计算题（共30分）

1、用黄金分割法求函数243)(3+-=x x x f 的极小点，给定0x =0,1=h , 2.0=ξ。（8分）

2、求函数213232221)()()()(x x x x x x x F -+-+-=的Hessian 矩阵，并判别其性质。（8分）

3、设目标函数为2122212141060)(x x x x x x x f -++--=，起始点为T x ]0,0[)0(=，试用

DFP 算法求其极小点和极小值。（14分）

有限元分析与应用详细例题

《有限元分析与应用》详细例题 试题1：图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下几种计算方案进行比 较： 1）分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算； 2）分别采用不同数量的三节点常应变单元计算； 3）当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案计算。 一．问题描述及数学建模 无限长的刚性地基上的三角形大坝受齐顶的水压作用可看作一个平面问题，简化为平面三角形受力问题，把无限长的地基看着平面三角形的底边受固定支座约束的作用，受力面的受力简化为受均布载荷的作用。 二．建模及计算过程 1. 分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算 下面简述三节点常应变单元有限元建模过程（其他类型的建模过程类似）： 1.1进入ANSYS 【开始】→【程序】→ANSYS 10.0→ANSYS Product Launcher →change the working directory →Job Name: shiti1→Run 1.2设置计算类型 ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural →OK 1.3选择单元类型 单元是三节点常应变单元，可以用4节点退化表示。 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type→Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 4 node 42 →OK (back to Element Types window)→Options… →select K3: Plane Strain→OK→Close (the Element Type window) 1.4定义材料参数

《机械优化设计》习题与答案

机械优化设计习题及参考答案 1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。 答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[]12T n x x x x =L 使 ()min f x → 且满足约束条件 ()0 (1,2,)k h x k l ==L ()0 (1,2,)j g x j m ≤=L 2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？ 答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的 形式：?? ??????????????=??+??=??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f ρ 令xo T x f x f x f x f x f ?? ????????=????=?21]2 1[)0(， 则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。 （1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。 （2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ?方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ?方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。 2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最 大的方向和数值。

解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p 表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ?。求f （x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下： ()??? ???-=????? ?+-=???? ??????????=?120122214210x x x x f x f x f 2 221)0(?? ? ????+??? ????=?x f x f x f =5 ????? ???????-=??????-=??=5152512)0()0(x f x f p ? 2-3.试求目标函数()2 221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下 降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。 解：求目标函数的偏导数 212 21124,46x x x f x x x f +-=??-=?? 则函数在X 0=[1,0]T 处的最速下降方向是 ??????-=??????-+-=?????? ??????????-=-?=====462446)(0 121210 1210 2121x x x x x x x x x f x f X f P 这个方向上的单位向量是： 13]2,3[4 )6(]4,6[T 22T -=+--==P P e 新点是

机械优化设计试卷期末考试及答案(补充版)

4、最优点、最优值和最优解 答：选取适当优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可解得一组设计变量，记作: x * = [x1* , x2* , x3* , . . . , x n *]T 使该设计点的目标函数F (x*)为最小，点x*称为最优点(极小点)。相应的目标函数值F (x*) 称为最优值(极小值)。一个优化问题的最优解包着最优点(极小点)和最优值(极小值) 。把最优点和最优值的总和通称为最优解。 或： 优化设计就是求解n个设计变量在满足约束条件下使目标函数达到最小值，即 min f(x)=f(x*) x €R n s.t. g u (x)w 0,u= 1,2,... ,m； h v (x) = 0,v= 1,2,... ,p

有限元分析试题(同济)

同济大学本科课程期终考试统一命题纸A卷 2007—2008学年第二学期 一．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) （1）用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。（）（2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。（）（3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。（）（4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。（）（5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。（）（6）等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。（）（7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。（）（8）四边形单元的Jacobi行列式是常数。（）（9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。（）（10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。（）二．单项选择题（共20分，每小题2分） 1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为 ________________。 （A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法 2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用______的结点和______的插值函数。 （A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同 3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与___________相等。 （A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数 4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般___________。 （A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律 5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少 是______完全多项式。 （A）m-1次（B）m次（C）2m-1次 6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式，因此，不用进 行回代计算。 （A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵 7 对称荷载在对称面上引起的________________分量为零。 （A）对称应力（B）反对称应力（C）对称位移（D）反对称位移 8 对分析物体划分好单元后，__________会对刚度矩阵的半带宽产生影响。 （A）单元编号（B）单元组集次序（C）结点编号 9 n个积分点的高斯积分的精度可达到______阶。 （A）n-1 （B）n（C）2n-1 （D）2n 10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的__________。 （A）对称性（B）稀疏性（C）奇异性 三．简答题（共20分，每题5分）

《机械优化设计》习题及答案

机械优化设计习题及参考答案 1-1、简述优化设计问题数学模型的表达形式。 答:优化问题的数学模型就是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后,优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[]12 T n x x x x =使 ()min f x → 且满足约束条件 ()0 (1,2,)k h x k l == ()0(1,2,)j g x j m ≤= 2-1、何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？ 答:二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式:?? ??????????????=??+??=??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f 令xo T x f x f x f x f x f ?? ????????=????=?21]21[)0(, 则称它为函数f(x 1,x 2)在x 0点处的梯度。 (1)梯度方向就是函数值变化最快方向,梯度模就是函数变化率的最大值。 (2)梯度与切线方向d 垂直,从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ?方向为函数变化率最大方向,也就就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ?方向为函数变化率最小方向,即最速下降方向。 2-2、求二元函数f(x 1,x 2)=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最 大的方向与数值。 解:由于函数变化率最大的方向就就是梯度的方向,这里用单位向量p 表

示,函数变化率最大与数值时梯度的模)0(x f ?。求f(x1,x2)在x0点处的梯度方向与数值,计算如下: ()??????-=??????+-=???? ??????????=?120122214210x x x x f x f x f 2221)0(?? ? ????+??? ????=?x f x f x f =5 ????? ???????-=??????-=??=5152512)0()0(x f x f p 2-3、试求目标函数()2221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降 方向,并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。 解:求目标函数的偏导数 212 21124,46x x x f x x x f +-=??-=?? 则函数在X 0=[1,0]T 处的最速下降方向就是 ??????-=??????-+-=????????????????-=-?=====462446)(0121210 121021 21x x x x x x x x x f x f X f P 这个方向上的单位向量就是: 13]2,3[4 )6(]4,6[T 22T -=+--==P P e 新点就是 ????? ???????-=+=132133101e X X 新点的目标函数值

机械优化设计试卷及答案.doc

百度文库 《机械优化设计》复习题及答案 一、填空题 、用最速下降法求 2 2 2 2 的最优解时，设X （0）T ，第一步迭代 1 1 ＝[,] 1 f(X)=100(x - x ) +(1- x ) 的搜索方向为 [-47;-50] 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因子。 3、当优化问题是 __凸规划 ______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和 终点，它们的函数值形成高-低-高趋势。 5、包含 n 个设计变量的优化问题，称为n 维优化问题。 、函数 1 X T HX B T X C 的梯度为HX+B 。 6 2 7、设 G 为 n×n 对称正定矩阵，若 n 维空间中有两个非零向量0，d1，满足 (d0 T1 ，d ) Gd =0 则 d0、d1之间存在 _共轭_____关系。 8、设计变量、约束条件、目标函数是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数 f (x1 , x2 ) ，若在 x 0 ( x10 , x20 ) 点处取得极小值，其必要条件是梯 度为零，充分条件是海塞矩阵正定。 10、库恩-塔克条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作 用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11 、用黄金分割法求一元函数 f ( x) x2 10 x 36的极小点，初始搜索区间 [ a,b] [ 10,10] ，经第一次区间消去后得到的新区间为[,] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、约束条件目标函数、 13、牛顿法的搜索方向 d k= ，其计算量大，且要求初始点在极小点逼近位置。 14、将函数f(X)=x 2 2 表示成 1 X T HX T X C 的形 1 +x2 -x1x2-10x1-4x2+60 2 B 式。 15、存在矩阵 H，向量 d ，向量 d ，当满足(d1)TGd2=0 ，向量 d 和向量 d 1 2 1 2 是关于 H 共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因 子 r 数列，具有由小到大趋于无穷特点。 17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即

(完整版)机械优化设计试卷期末考试及答案

第一、填空题 1.组成优化设计的数学模型的三要素是 设计变量 、目标函数 和 约束条件 。 2.可靠性定量要求的制定，即对定量描述产品可靠性的 参数的选择 及其 指标的确定 。 3.多数产品的故障率随时间的变化规律，都要经过浴盆曲线的 早期故障阶段 、 偶然故障阶段 和 耗损故障阶段 。 4.各种产品的可靠度函数曲线随时间的增加都呈 下降趋势 。 5.建立优化设计数学模型的基本原则是在准确反映 工程实际问题 的基础上力求简洁 。 6.系统的可靠性模型主要包括 串联模型 、 并联模型 、 混联模型 、 储备模型 、 复杂系统模型 等可靠性模型。 7. 函数f(x 1,x 2)=2x 12 +3x 22-4x 1x 2+7在X 0=[2 3]T 点处的梯度为 ，Hession 矩阵为 。 （2.）函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ????，海赛矩阵为2442-???? -?? 8.传统机械设计是 确定设计 ；机械可靠性设计则为 概率设计 。 9.串联系统的可靠度将因其组成单元数的增加而 降低 ，且其值要比可靠 度 最低 的那个单元的可靠度还低。 10.与电子产品相比，机械产品的失效主要是 耗损型失效 。 11. 机械可靠性设计 揭示了概率设计的本质。 12. 二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定。 13.对数正态分布常用于零件的 寿命疲劳强度 等情况。 14.加工尺寸、各种误差、材料的强度、磨损寿命都近似服从 正态分布 。 15.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 模型求解 两方面的内容。 17.无约束优化问题的关键是 确定搜索方向 。 18.多目标优化问题只有当求得的解是 非劣解 时才有意义，而绝对最优解存在的可能性很小。 19.可靠性设计中的设计变量应具有统计特征，因而认为设计手册中给出的数据

机械优化设计试卷期末考试及答案(补充版)

第一、填空题 1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。 2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ? ??? ，海赛矩阵 为2442-?? ? ? -?? 3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。 4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。 5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。 6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步 长按一定的比例 递增的方法。 7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收 敛速度较 慢 。 8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定 9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。 10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩 11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。 13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。 14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。 16.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。 二、名词解释

机械优化设计课后习题答案

第一章习题答案 1-1 某厂每日（8h 制）产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h ，正确率为98％，计时工资为4元／h ；二级检验员标准为：速度为15件／h ，正确率为95％，计时工资3元／h 。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解：（1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ?? ????=? ??? ??二级检验员一级检验员 21x x ； （2）建立数学模型的目标函数； 取检验费用为目标函数，即： f (X ) = 8*4*x 1+ 8*3*x 2 + 2（8*25*0.02x 1 +8*15*0.05x 2 ） =40x 1+ 36x 2 （3）本问题的最优化设计数学模型： min f (X ) = 40x 1+ 36x 2 X ∈R 3· s.t. g 1(X ) =1800-8*25x 1+8*15x 2≤0 g 2(X ) =x 1 -8≤0 g 3(X ) =x 2-10≤0 g 4(X ) = -x 1 ≤0 g 5(X ) = -x 2 ≤0 1-2 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ，许用最大变形量[]λ。欲选择一组设计变量T T n D d x x x ][][2 32 1 ==X 使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n ≥， 簧丝直径0.5d ≥，弹簧中径21050D ≤≤。试建立该优化问题的数学模型。 注：弹簧的应力与变形计算公式如下 3 22234 881 ,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比）， 解： （1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ????? ? ????=??????????n D d x x x 2321； （2）建立数学模型的目标函数； 取弹簧重量为目标函数，即： f (X ) = 322 12 4 x x rx π （3）本问题的最优化设计数学模型：

北京科技大学有限元试题及答案

一 判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小 （√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是 薄板 ，但前者受力特点是： 平行于板面且沿厚度均布载荷作用 ，变形发生在板面内； 后者受力特点是： 垂直于板面 的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量： σx ，σy ，τxy ，三个独立的应变分量：εx ，εy ，γxy ，但对应的弹性体几何形状前者为 薄板 ，后者为 长柱体 。3．位移模式需反映 刚体位移 ，反映 常变形 ，满足 单元边界上位移连续 。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性 ， 奇异性 ，还可按节点分块。 5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元 ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 二 维问题处理。 6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是 节点位移 ，单元应力可由它求得，其计算公式为 {}{} [][]e D B σδ=。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u ，v ，w 9．变形体基本变量有位移应变应力 基本方程 平衡方程 物理方程 几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元

机械优化设计题目答案

1－1．简述优化设计问题数学模型的表达形式。 答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后,优化设计问题就可以表示成一般数学形式。 求设计变量向量[] 1 2 T n x x x x = 使 ()min f x →且满足约束条件 ()0 (1,2, )k h x k l == ()0 (1,2, )j g x j m ≤= 利用可行域概念,可将数学模型的表达进一步简练。设同时满足 ()0 (1,2, ) j g x j m ≤=和 ()0 (1,2, )k h x k l ==的设计点集合为R ,即Ｒ为优化问题的可行域，则优化问题的数学模型可简练地写成 求x 使 min ()x R f x ∈ 符号“∈”表示“从属于”。 在实际优化问题中,对目标函数一般有两种要求形式：目标函数极小化 ()min f x →或目标函数极大化 ()max f x →。由于求()f x 的极大化与求()f x -的极小化等价，所以今后优化问题的数学表达一律采用目标函数极小 化形式。 １-２.简述优化设计问题的基本解法。（不要抄书,要归纳) 答：求解优化问题可以用解析解法，也可以用数值的近似解法。 解析解法就是把所研究的对象用数学方程（数学模型)描述出来，然后再用数学解析方法（如微分、变分方法等）求出有化解。 但是，在很多情况下,优化设计的数学描述比较复杂,因而不便于甚至不可能用解析方法求解；另外，有时对象本身的机理无法用数学方程描述，而只能通过大量试验数据用插值或拟合方法构造一个近似函数式,再来求其优化解,并通过试验来验证;或直接以数学原理为指导，从任取一点出发通过少量试验(探索性的计算),并根据试验计算结果的比较,逐步改进而求得优化解。这种方法是属于近似的、迭代性质的数值解法。 数值解法不仅可用于求复杂函数的优化解，也可以用于处理没有数学解析表达式的优化问题。因此,它是实际问题中常用的方法,很受重视。其中具体方法较多,并且目前还在发展。但是,应当指出,对于复杂问题,由于不能把所有参数都完全考虑并表达出来,只能是一个近似的最后的数学描述。由于它本来就是一种近似,那么，采用近似性质的数值方法对它们进行解算，也就谈不到对问题的精确性有什么影响了。 不管是解析解法，还是数值解法，都分别具有针对无约束条件和有约束条件的具体方法。 可以按照对函数倒数计算的要求，把数值方法分为需要计算函数的二阶导数、一阶导数和零阶导数(即只要计算函数值而不需计算其导数)的方法。 2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义? 答:二元函数f(x １,x2)在x0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式 ?? ??????????????=??+??=??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f 令xo T x f x f x f x f x f ?? ????????= ????=?21]2 1[)0(并称它为函数f （x1，x2）在x0点处的梯度。 假设?? ????=2cos 1cos θθd 为D 方向上的单位向量,则有d T x f xo d f )0(?=?? 即函数f （x1,x2）在x ０点处沿某一方向d 的方向导数 xo d f ??等于函数在该点处的梯度)0(x f ?与d 方向单位向量的内积。 梯度方向是函数值变化最快的方向,而梯度的模就是函数变化率的最大值。 梯度与切线方向d 垂直,从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ?方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ?方向为函数变化率最小方向,即最速下降方向。 2－2.求二元函数 212 2212122),(x x x x x x f +-+=在T x ] 0,0[0=处函数变化率最大的方向和数值。 解;由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向,这里用单位向量p 表示,函数变化率最大和数值时梯度的模) 0(x f ?。 求f （ｘ1，x ２）在ｘ0点处的梯度方向和数值,计算如下： ()??? ???-=??????+-=???? ??????????=?120122214210x x x x f x f x f

《机械优化设计》试卷及答案

《机械优化设计》复习题及答案 、填空题 1、用最速下降法求f(X)=100(x2- X12) 2+(1- x i) 2的最优解时，设X (°)=[-0.5,0.5]T，第一 步迭代的搜索方向为[-47;-50]_________________ 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因 子 ________ 。 3、当优化问题是—凸规划______ 的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和 终点，它们的函数值形成高-低-高___________ 趋势。 5、包含n个设计变量的优化问题，称为__n _______ 维优化问题。 1 6、函数—X T HX B T X C的梯度为HX+B 。 2 7、设G为n>n对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量d0，d1，满足(d°)T Gd—=0, 则d0、d1之间存在—共轭 ______ ■关系。 8、设计变量、约束条件______________ 、目标函数________________ 是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数f(X1,X2)，若在X°(X10,X20)点处取得极小值，其必要条件是_梯度为 零，充分条件是海塞矩阵正定 ______________ 。 10、 ________________ 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作 用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数f (x) x2 10x 36的极小点，初始搜索区间 [a,b] [ 10,10]，经第一次区间消去后得到的新区间为[-2.36236] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设_________ 、 13、牛顿法的搜索方向d k= ______ ，其计算量大，且要求初始点在极小点逼近位置。 14、将函数f(X)=x 12+X22-X1X2-10x1-4x2+60 表示成-X T HX B T X C 的形 2 式 ________________________ 。 15、存在矩阵H，向量d1，向量d2,当满足(d1)TGd2=0 ，向量d1和向量d2是关于H共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因 子r数列，具有____________ 由小到大趋于无穷 ________________ 特点。 17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即 求 _____________ 。

机械优化设计习题集

机械优化设计复习题 一、单项选择题 1.机械优化设计中，凡是可以根据设计要求事先给定的独立参数，称为（ ） （P19-21） A ． 设计变量 B ．目标函数 C ．设计常量 D ．约束条件 2.下列哪个不是优化设计问题数学模型的基本要素（ ）（P19-21） A ．设计变量 B .约束条件 C .目标函数 D .最佳步长 3.凡在可行域内的任一设计点都代表了一允许采用的方案，这样的设计点为（ ） （P19-21） A .边界设计点 B .极限设计点 C .外点 D .可行点 4.当设计变量的数量n 在下列哪个范围时，该设计问题称为中型优化问题 （P19-21） A .n<10 B .n=10~50 C .n<50 D .n>50 5. 机械最优化设计问题多属于什么类型优化问题（ ）（P19-24） A .约束线性 B .无约束线性 C .约束非线性 D .无约束非线性 6. 工程优化设计问题大多是下列哪一类规划问题（ ）（P22-24） A .多变量无约束的非线性 B .多变量无约束的线性 C .多变量有约束的非线性 D .多变量有约束的线性 7. n 元函数在()k x 点附近沿着梯度的正向或反向按给定步长改变设计变量时，目 标函数值（ ）（P25-28） A .变化最大 B .变化最小 C .近似恒定 D .变化不确定 8.()f x ?方向是指函数()f x 具有下列哪个特性的方向（ ）（P25-28） A . 最小变化率 B .最速下降 C . 最速上升 D .极值 9. 梯度方向是函数具有（ ）的方向 （P25-28） A ．最速下降 B ．最速上升 C ．最小变化 D ．最大变化率 10. 函数()f x 在某点的梯度方向为函数在该点的（）（P25-28） A .最速上升方向 B .上升方向 C .最速下降方向 D .下降方向 11. n 元函数()f x 在点x 处梯度的模为（ ）（P25-28） A .f ?= B .12...n f f f f x x x ????=++??? C .22212()()...()n f f f f x x x ????=++??? D .f ?=12.更适合表达优化问题的数值迭代搜索求解过程的是（ ） （P25-31） A ．曲面或曲线 B ．曲线或等值面 C ．曲面或等值线 D ．等值线或等值面 13.一个多元函数()f x 在*x 点附近偏导数连续，则该点为极小值点的充要条件 （ ）（P29-31） A.*()0f x ?= B. *()0G x = C. 海赛矩阵*()G x 正定 D. **()0G()f x x ?=，负定

lhz有限元分析及应用-课程试卷

有限元分析与应用试题 1.有限元求解问题的主要思路是什么？并做简要介绍。 ● 将连续系统分割成有限个分区或单元（离散化） 离散化 将直杆划分成n 个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。两段之间的连接点称为节点，每个有限段称为单元。第i 个单元的长度为L i ，包含第i ，i+1个节点。 ● 用标准方法对每个单元提出一个近似解（单元分析） 单元分析 用单元节点位移表示单元内部位移－第i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示。 线性插值所得到的 第i 结点的位移 第i 结点的坐标 第i 个单元的 应变 ) ()(1i i i i i x x L u u u x u --+=+i u i x i i i i L u u dx du -== +1εi i i i i L u u E E )(1-= =+εσ

应力 内力 将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统（整体分析） 首先把外载荷集中到节点上： 把第i 单元和第i+1单元重量的一半，集中到第i+1结点上 建立结点的力平衡方程：对于第i+1结点，由力的平衡方程可得 （i=1，n-1） i i i i i L u u EA A N ) (1-= =+σ2 ) (11+++= -i i i i L L q N N ) (2 )()(11121++++++=---i i i i i i i i L L q L u u EA L u u EA

令 对于第n+1个结点，第n 个单元的内力与第n+1个结点上的外载荷平衡， 再加上约束条件 因此可以得到n+1个方程构成的方程组，可解出n+1个结点的位移。 有限元方法的基本思想和原理是“简单”而“朴素”的，在发展初期，许多学术权威对该方法的学术价值有所鄙视，国际著名刊物Journal of Applied Mechanics 许多年来拒绝刊登有关有限元方法的文章，其理由是没有新的科学实质。 现在完全不同了，由于有限元方法在科学研究和工程分析中的地位， 1 += i i i L L λ22 1)11(2)1(i i i i i i i L EA q u u u λλλ+=-++-++1()2 n n n n n n EA u u qL N A L σ+-== = EA qL u u n n n 221= +-+0 1=u

~机械优化设计复习题及答案

机械优化设计复习题 一.单项选择题 1．一个多元函数()F X 在X * 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ） A ．() *0F X ?= B. ()* 0F X ?=,() *H X 为正定 C ．() *0H X = D. ()* 0F X ?=,() *H X 为负定 2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（ ） A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数F （x ）=4x 2 1+5x 22，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2-6=0,则目 标函数的极小值为（ ） A ．1 B ． 19.05 C ．0.25 D ．0.1 4.对于目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解 时，其惩罚函数表达式Φ(X,M (k) )为( )。 A. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递增正数序列 B. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递减正数序列 C. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递增正数序列hn D. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递减正数序列 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 5.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ）。 A.0.382 B.0.186 C.0.618 D.0.816 6.F(X)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如x 4-x 2>0,且F(x 4)>F(x 2)，那么为求F(X)的极小值，x 4点在下一次搜索区间内将作为( )。 A.x 1 B.x 3 C.x 2 D.x 4 7.已知二元二次型函数F(X)= AX X 21T ，其中A=?? ????4221，则该二次型是( )的。 A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为（ ）。 A.递增负数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列 9.多元函数F(X)在点X * 附近的偏导数连续，?F(X * )=0且H(X * )正定，则该点为F(X)的 （ ）。 A.极小值点 B.极大值点 C.鞍点 D.不连续点 10.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（ ）。

机械优化设计题库

、绪论 1. 思考题 1.何为约束优化设计问题 ?什么是无约束优化设计问题 ?试各举一例说明。机械优化设计问题多属哪一类？ 2.一般优化问题的数学模型包括哪些部分?写出一般形式的数学模型。 3.机械优化设计的过程是怎样的 ?它与常规的机械设计有什么不同 ? 4.怎样判断所求得的最优解是不是全局最优解？ 5.试简述优化算法的迭代过程。 6.何为可行域？为什么说当存在等式约束则可行域将大为缩小?当优化问题中有—个等式约束时 可行域是什么 ?当优化问题中有两个等式约束时可行域是什么?当 n 维优化问题中有 n 个等式约束时可 行域是什么？ 7.什么是内点、什么是外点 ?在优化设计中内点和外点都可以作为设计方案吗?为什么 ? 8.试写出第一节中第三个问题的数学模型。 9.目标函数及其等值线（等值面）的意义和特性是什么？ 2.习题 1.设计一容积为 V 的平底、无盖圆柱形容器，要求消耗原材料最少，试建立其优化设计的数学模型，并指出属于哪一类优化问题。 2.当一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S 时，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优 化问题的数学模型，并回答： ①属于几维的优化问题？ ②是线性规划还是非线性规划？ 3.欲造容积为 V 的长方形无盖水箱，问应如何选定其长、宽、高尺寸，才能使用料消耗最少？试写出其数学模型。 4.试求直径为 D 的圆内所有内接三角形面积中的最大值。 5?在曲面f l（X l,X2,X3）=0上找一点P l,在曲面f2（X l,X2,X3）=0上找一点卩2,使得P l与卩2的距离为最短，试建立优化问题的数学模型。 6?有一薄铁皮，宽b=14cm，长L=24cm，制成如图2-9所示的梯形槽，求边长 X和倾斜角a为多大时，槽的容积最大？试写出此问题的优化设计模型并指出该问题属于哪一类的优化设计问题。 7?欲制一批如图 2-12所示的包装纸箱，其顶和底由四边延伸的折纸板组成。要求纸箱的容积为 2m3,问如何确定a、b和c的尺寸，使所用的纸板最省。试写出该优化问题的数学模型。 8?—根长I的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形。问应以怎样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大,试写出这一优化问题的数学模型。 9?某厂生产A、B两种产品：A每桶需用煤90kN、电4度、劳动日3个，获利润700元；B每桶需用煤40kN、电5度、劳动日10个，获利润1200元。但计划规定可用煤 3600kN、电200度、劳动 日 300 个,试问 A、 B 各生产多少桶时利润最大？列出其教学模型,并说明属于何种数学规划问题? 10.某厂生产两种机器，两种产品生产每台所

中南大学有限元分析及应用(2008研)考试试卷

中南大学考试试卷(试卷共2页) 2007 -- 2008学年下学期时间110分钟有限元分析及应用课程 36 学时 2 学分 专业年级： 07级研究生总分100分考试形式：大型作业注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上A4 一．简答题（共40分,每题10分） 1．简述非节点载荷移置的缘由及遵循的原则(p49)？写出集中力移置的普遍公式(p50)。 2．任何一个有限元分析问题都是空间问题，什么情况下可以简化为平面问题(p84)、轴对称问题(p128)？ 3．简述有限元几何模型(关键点、线、面、体)、网格模型(节点、单元)、有限元模型层次关系(p204)及所包含的主要内容，并说明约束的意义(p265)？ 4．写出3节点平面三角形单元(p90)、8节点六面体单元(p168)的广义位移函数，并说明单元位移模式选取的原则(p32)？ 二．综合题（20分） 1.对于如图所示结构模型，若以角速度W绕中心轴线旋转，求其在惯性力的作用下的 最大应力与变形。（1）概述该分析模型的简化方法及理由(p363)？（2）说明约束的施加方法及理由(p369)？(3)用图表示简化后的物理分析模型 三计算与软件操作题（本题共40分）

据提取等关键命令 点应力、形变、位移数束与载荷、求解以及节成、单元生成、施加约要求：简明概述节点生及位移。 号节点）的应力、应变（即软件，求形心，用对于图出刚度矩阵 细节不要描述，直接写注意：单元刚度的求解；）的应变、应力、位移，（手工计算求板形心点，按有限元的解题步骤对于图求解下列问题： 构离散，节点三角形单元进行结。用泊松比的拉力，弹性模量承受。左端固定，右端角点，板厚，宽已知矩形薄板，长5P ANSYS 22)2(50100P 12)1(33.0,102E N 5001010020011--=?====u Pa cm t cm w cm l 图2-1 矩形薄板2单元结构离散方式 图2-2 矩形薄板4单元结构离散方式 X X Y Y P

《机械优化设计》试题与答案解析

《机械优化设计》复习题及答案 一、填空题 1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为[-47;-50] 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向 二是计算最佳步长因子 。 3、当优化问题是__凸规划______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高-低-高 趋势。 5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。 6、函数 C X B HX X T T ++2 1的梯度为 HX+B 。 7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在_共轭_____关系。 8、 设计变量 、 约束条件 、 目标函数 是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是 梯 度为零 ，充分条件是 海塞矩阵正定 。 10、 库恩-塔克 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间 ]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36,2.36] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量 、约束条件 目标函数 、 13、牛顿法的搜索方向d k = ，其计算量 大 ，且要求初始点在极小点 逼近 位置。 14、将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成 C X B HX X T T ++2 1的形式 。 15、存在矩阵H ，向量 d 1，向量 d 2，当满足 (d1)TGd2=0 ，向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有 由小到大趋于无穷 特点。