线性代数-线代模拟题(II)

线性代数模拟试题(II)

一 填空题

◆1． 设???

?

??????=0011100y x A 有3个线性无关的特征向量，则y x ,应满足的关系为

0 =+y x

【提示】按题意

A 是可对角化的，求其特征值，重根的重数应满足什么关系？

参照教材P125例11

◆2． 设

A 是3阶实对称矩阵且E A A A 223=--，则A 的二次型经正交变换化为标准

形为 222

232221y y y f ++=

【提示】设A 的特征值为λ，它必满足：0)1)(2(2223=++-=---λλλλλλ，由于

实

对称矩阵特征值全是实数，故A 的特征值全是2。

◆3． 设3阶方阵

A 的特征值为3,2,1-，则=+-E A A 23* 637

【提示】参考教材P122例9

◆4． 设矩阵

A 的各行元素之和都等于2，则A 必有特征值为 2 ，对应的特征向量为

]1,,1,1[ T Λ

【提示】???

?

??????=??????????=??????????1122211M M M A

◆5． 设非齐次方程组b x A m =?4系数矩阵的秩为3，且它的三个解向量321,,ηηη满足

[][]

T

T

4,3,2,1,5,4,3,2321=η+η=η，

则b Ax =的通解为 ,]5,4,3,2[]6,5,4,3[ R k k T T ∈+

【提示】这是教材P111的第29题

二 选择题

◆1． 设B A ,都是n 阶方阵，如果O AB =，必有（Ｃ）

（Ａ）O A =或O B =； （Ｂ）O BA =； （Ｃ）

A 与

B 有一个不可逆；

（Ｄ）A 与B 有一个可逆 【提示】取行列式0=B A

◆2． 方阵

A 与

B 相似的充分条件是（Ｃ）

(Ａ) B A =； （Ｂ）)()(B r A r =；

(Ｃ)

A 与

B 有相同的特征值且这些特征值互异； （Ｄ）A 与B 有相同的特征值

【提示】注意题中是充分条件，而（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）都是必要条件 如果（Ｃ）成立，则Ａ与Ｂ都可对角化到同一个对角矩阵，

),,diag(1212111n AP P AP P λλΛ==--

◆3． 设??????

?????

?=?????????

???=0004,111111111111

1111

B A ，则A 与B （Ｃ） (Ａ) 不合同但相似 (Ｂ) 合同但不相似 (Ｃ) 合同且相似 (Ｄ) 既不合同也不相似

【提示】Ａ是对称矩阵，易求得Ａ的特征值为４和０（三重）［参见教材P139第21题］

A 可正交对角化（既合同又相似），对角矩阵对角元就是其特征值。

◆４． 设21,ββ是非齐次线性方程组b Ax =的两个不同的解，21,αα是0=Ax 的

基础解系，则b Ax =的通解是(Ｃ)

（Ａ）2)(2

121211ββααα-+

++k k ；（Ｂ）2)(2

121211ββββα-+

++k k （Ｃ）2

)(2

121211ββααα++

++k k ；（Ｄ）2

)(2

121211ββββα++

-+k k

【提示】1α与21αα+线性无关，仍然是0=Ax 的基础解系。

2

2

1ββ+是b Ax =的一个解。虽然（Ｄ）有可能是通解，但选择题应选肯定的，故

（Ｄ）不能选。

◆５． 设B A r

?→?，则下面说法不对的是( Ｃ )

（Ａ）A 的行组与B 的行组等价 （Ｂ）A 与B 等价

（Ｃ）

A 的列组与

B 的列组等价 （Ｄ）A 的列组与B 的列组有相同的线性关

系

【提示】由题设

（Ａ）是对的，［见教材Ｐ85最上一段］

（Ｂ）是对的，这是矩阵等价的特征例［见教材P59定义］

（Ｄ）是对的，［见教材P95第４行］这也是我们求最大无关组的依据

三 计算题

◆1． 计算行列式n

n a a a D +++=

11

1

1

111112

1

Λ

M M M ΛΛ 提示 [这是教材P28习题7（6）]从第2列开始每一列减第1列得“爪形”行列式

n

n a a a a a D 1

112

1

11

O

M Λ--+=

，然后再化三角形得)11(121∑=+

=n

k k

n n a a a a D Λ

◆2． 解矩阵方程E XA XA A 82-=*，其中???

?

?

?????-=102101A

提示

2-=A ，A 可逆，化简方程为E X E A 4)(=+

1)(4-+=E A X

???

?

??????--=204102

注意 上三角矩阵的逆矩阵一定是上三角

◆3． 设3阶对称矩阵阵

A 的特征值为3,6321

===λλλ，与特征值61=λ对应的

特征向量为T )1,1,1(1=α，

（1）求正交矩阵P 使AP P 1-成为对角矩阵；（2）计算n A

提示 [这是教材P139习题20]此题是对称矩阵正交对角化的问题，但对应对332==λλ的

特征向量未知，利用对称矩阵的性质可求之，与1α正交的非零向量必是对应于

332==λλ的特征向量，解方程组01

=x T

α得基础解系（最好直接求得正交的，见 下面做法）

321x x x --=，取??

?

?????????=?

???

??μ1,0132x x （μ是待定参数）得 ??

??

??????-=0112α，?????

?????--=μμα113，令2032-=?=μααT 这样就得正交的基础解系，也就是对应于332==λλ的特征向量 只要再它们单位化，拼成矩阵即为所求的正交矩阵

????

???

?????

???

?

--=620

3

1612131612131P 此时Λ=??

??

??????==-3361AP P AP P T ，T P P A Λ=，T

n n P P A Λ= 注意 上面μ要非零，才能保证两个向量无关，如果求不出要求μ再换一种方式。

◆4． 设

A 为三阶矩阵，321,,ααα是线性无关的三维列向量，且满足

323322321132,2,αααααααααα+=+=++=A A A

（1）求矩阵B ，使得B A ],,[],,[321321αααααα=； （2）求矩阵

A 的特征值；

（3）求可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵。

提示 ??????????=311221001],,[],,[321321ααααααA ，即????

??????=-3112210011

AP P

上式右边就是要求的得B

A 的特征值就是

B 的特征值，你来求一下。

◆5． 求一齐次线性方程组，使其基础解系为

T )3,2,1,0(1=ξ，T )0,1,2,3(2=ξ

提示 [这是教材P110习题24]设所求方程组为0=Ax ，由题设0],[21=ξξA ，如果记

],[21ξξ=B ，则0=AB 即0=T T A B ，这说明T A 的列都是方程组0=x B T

的解。

把0=x B T 的解（只需要基础解系）作为列拼成T A 即可。 解方程组0=x B T ，得基础解系为 T )0,1,2,1(1-=α，T )1,0,3,2(2-=α

令],[21αα=T A ，???

??

?--=??????=1032012121T T A αα

四 证明题

◆1． 设n 阶矩阵?????

??

??

???=111111111Λ

M M M Λ

Λ

A （1）求

A 的全部特征值；

（2）证明A E +是正定矩阵；

（3）证明E A n A E =++

+-1

1

)(1 提示 （1）T T A )1,,1,1(,Λ==ααα，由教材P139习题21知其全部特征值，这里再做

一下：

由αααααααα)()(T T A ===知

A 有一个非零特征值n T ===2

α

ααλ，

对 应的特征向量就是α。另外

A 是对称矩阵且1)()(1≤≤≤αr A r 知1)(=A r ，从

而

A 可对角化，利用秩相等，就知对角矩阵对角元必为一个非零元（即ααT ）和1-n

个零，这说明0是

A 的1-n 重特征值。当然也可直接求到此结论。

（2）首先易知A E +是对称矩阵，其次特征值为0)(1>+A i λ，得证。 也可这样0≠?x ，0)()(2>+=+=+αααT T T T T T x x x x x x x x A E x （3）记E A n A E B -++

+=-1

1

)(1，B 是对称矩阵，可对角化，要证O B =，只

需证B 的特征值全是零（想想这是为什么？） 易知B 的特征值为1)(1

1

)(11)(-+++=A n A B i i i λλλ，下面继续算一算是否都是

零。

了解 你来直接验证结论：设T E A αβ+=，则

A 可逆的充要条件是

01≠+αβT

，此时T

E A

σαβ

+=-1

，α

βσT +-=

11

◆2． 设n 阶矩阵

A 满足A A =2，证明A 必可对角化

提示 这一题实质上就是教材P110习题26：n E A r A r =-+)()(

下面分析一下二者的关系：由A A =2知

A 的特征值为0或1；对应于特征值0的无

关特征向量的个数为)(A r n -，对应于特征值1的无关特征向量的个数为

)(E A r n --，二者之和

)

(A r n -+

)(E A r n --n n n E A r A r n =-=-+-=2)]()([2

说明

A 有n 个无关的特征向量，从而可对角化。

下面再证：n E A r A r =-+)()(

一方面，由A A =2得O E A A =-)(，从而n E A r A r ≤-+)()([见教材P101例13] 另一方面，由A E A E -+=

得，

)()()()()()(E A r A r A E r A r A E A r E r n -+=-+≤-+==

了解 如果E A =2也有类似的结论，你来试一试。

◆3． 设n ααα,,,21Λ是一组n 维的向量，证明它们线性无关的充要条件是：任一n 维向

量都可由它们线性表示。[教材P110习题17]

提示 如果它们线性无关，则对任一n 维向量α，αααα,,,,21n Λ线性相关（n+1个n 维

向量），由P90定理5（3），得α可由n ααα,,,21Λ唯一表示。

反之，设任一n 维向量都可由它们线性表示，特别取坐标向量n e e e ,,,21Λ当然也可 由它们表示，这样n r e e e r E r n n n ≤≤==],,,[],,,[)(2121αααΛΛ，推得

n r n =],,,[21αααΛ，说明n ααα,,,21Λ线性无关（注：这里秩看成是矩阵的秩

或

向量组的秩都可以）

提醒 上述每一步的依据你都要想清楚，这会大有好处的。

◆4． 设A 是实对称矩阵，如果它既是正交矩阵又是正定矩阵，证明只能是单位矩阵。 提示

A 对称，则A 可正交对角化，T Q Q A Λ=

由A 对称正交，得E E Q Q E A T =Λ?=Λ?=222

又

A 正定，Λ的对角元全正，全是1，即E =Λ

总评 如遇关于对称矩阵的证明题，首先要想到它可正交对角化，一般都是可以证出来的。 说明 一般考试时，只有大约两道证明题，这里给了四个，只是一种练习而已。