高中数学常考题型：简单的线性规划问题

简单的线性规划问题

【知识梳理】

线性规划的有关概念

名称 意义

约束条件 变量x ，y 满足的一组条件

线性约束条件 由x ，y 的二元一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式 线性目标函数 目标函数是关于x ，y 的二元一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合

最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题

在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题

题型一、求线性目标函数的最值

【例1】 设变量x ，y 满足约束条件????

?

x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，

4x －y ≥－1，

则目标函数z ＝3x －y 的取值范

围是( )

C ．[－1,6]

D ．?

?????－6，32

[解析] 约束条件????

?

x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，

4x －y ≥－1

所表示的平面区域如图阴影部分，直线y ＝3x －z 斜率

为3.

由图象知当直线y ＝3x －z 经过A (2,0)时，z 取最大值6，当直线y ＝3x －z 经过B ? ??

??12，3时，z 取最小值－32

，

∴z ＝3x －y 的取值范围为????

??－32，6，故选A. [答案] A 【类题通法】

解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z 的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．

【对点训练】

1．设z ＝2x ＋y ，变量x 、y 满足条件????

?

x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，

x ≥1，

求z 的最大值和最小值．

[解] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，则得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，且随z 变化的一组平行直线．由图可以看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．

解方程组???

??

x －4y ＋3＝0，

3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，

解方程组?

??

??

x ＝1，

x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)，

∴z 最大值＝2×5＋2＝12，z 最小值＝2×1＋1＝3.

题型二、求非线性目标函数的最值

【例2】 设x ，y 满足条件????

?

x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，

x ≤3.

(1)求u ＝x 2

＋y 2

的最大值与最小值；

(2)求v ＝

y

x －5

的最大值与最小值．

[解] 画出满足条件的可行域如图所示，

(1)x 2

＋y 2

＝u 表示一组同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2

＋y 2

的值都相等，由图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过(0,0)时，u 最小．又

C (3,8)，所以u 最大值＝73，u 最小值＝0.

(2)v ＝

y

x －5

表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5,0)的斜率，由图可知，k BD 最大，k CD 最小，

又C (3,8)，B (3，－3)，

所以v 最大值＝－33－5＝32，v 最小值＝83－5＝－4.

【类题通法】

非线性目标函数最值问题的求解方法

(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．

(2)常见代数式的几何意义主要有：

① x 2

＋y 2

表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离； ?x －a ?2

＋?y －b ?2

表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离． ②y

x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率；

y －b

x －a

表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．

【对点训练】

2．已知变量x ，y 满足约束条件????

?

x －y ＋2≤0，x ≥1，

x ＋y －7≤0.

则y

x

的最大值是________，最小值是

________．

[解析] 由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数z ＝y

x

表示坐标(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点C 与O 连线斜率最大；

B 与O 连线斜率最小，又B 点坐标为(52，92

)，C 点坐标为(1,6)，所以k OB

＝9

5

，k OC ＝6. 故y x 的最大值为6，最小值为95

. [答案] 6 95

题型三、已知目标函数的最值求参数

【例3】 若实数x ，y 满足不等式组????

?

x －2≤0，y －1≤0，

x ＋2y －a ≥0，

目标函数t ＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是________． [解析] 如右图，

由?

??

??

x ＝2，

x ＋2y －a ＝0.

得?

???

?

x ＝2，y ＝a －2

2，代入x －2y ＝2中，解得a ＝2.

[答案] 2

【类题通法】

求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题

解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想、方法求解．同时要搞清目标函数的几何意义．

【对点训练】

3．已知x ，y 满足????

?

x －y ＋5≥0，x ≤3，

x ＋y ＋k ≥0.

且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k ＝( )

A ．2

B ．9

C

．310 D ．0

[解析] 选D 由题意知，当直线z ＝2x ＋4y 经过直线x ＝3与x ＋y ＋k ＝0的交点(3，－3－k )时，z 最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k )，解得k ＝0.

题型四、简单的线性规划问题的实际应用

【例4】 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为万元和万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元

[解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得

?????

x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.

目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .

二元一次不等式组等价于?????

x ＋y ≤300，

5x ＋2y ≤900，x ≥0，

y ≥0.

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图．

作直线l ：

3 000x ＋2 000y ＝0， 即3x ＋2y ＝0.

平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．

联立?

??

??

x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得x ＝100，y ＝200.

∴点M 的坐标为(100,200)．

∴z 最大值＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)．

因此，该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．

【类题通法】

利用线性规划解决实际问题的步骤是：①设出未知数(当数据较多时，可以列表格来分析数据)；②列出约束条件，确立目标函数；③作出可行域；④利用图解法求出最优解；⑤得出结论．

【对点训练】

4．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格

c 如下表：

某冶炼厂至少要生产(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．

解析：可设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，

则根据题意得到约束条件为：?????

x ≥0，

y ≥0，

＋≥，

x ＋≤2，

目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为：z 最小值

＝3×1＋6×2＝15.

答案：15

【练习反馈】

1．z ＝x －y 在????

?

2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，

x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )

A ．(0,1)

B ．(－1，－1)

C ．(1,0)

D ．? ??

??12，12 解析：选C 可以验证这四个点均是可行解，当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝－1时，z ＝0；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝12，y ＝1

2

时，z ＝0.排除选项A ，B ，D ，故选C.

2．已知变量x ，y 满足约束条件????

?

x ＋y ≤1，x －y ≤1，

x ＋1≥0，

则z ＝x ＋2y 的最小值为( )

A ．3

B ．1

C ．－5

D ．－6

解析：选C 由约束条件作出可行域如图：

由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋z 2，z

2的几何意义为直线在y 轴上的截距，

当直线y ＝－12x ＋z

2

过直线x ＝－1和x －y ＝1的交点A (－1，－2)时，

z 最小，最小值为－5，故选C.

3.已知实数x 、y 满足????

?

y ≤2x ，y ≥－2x ，

x ≤3，

则目标函数z ＝x －2y 的

最小值是________．

解析：不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示．目标函数可化为y ＝12x －12z ，作直线y ＝1

2

x 及其平行线，知当此直线经过点

A 时，－12

z 的值最大，即z 的值最小．又A 点坐标为(3,6)，所以z 的最小值为3－2×6＝－9.

答案：－9

4．已知点P (x ，y )的坐标满足条件????

?

x ＋y ≤4，y ≥x ，

x ≥1，

点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值

等于________，最大值等于________．

解析：点P (x ，y )满足的可行域为△ABC 区域，A (1,1)，C (1,3)．由图可得，|PO |最小值＝|AO |＝2；|PO |最大值＝|CO |＝10.

答案： 2

10

5．已知x ，y 满足约束条件???

??

x ＋y ≥3

2x －3y ≤3，求z ＝x ＋2y 的最小值．

解：作出不等式组???

??

x ＋y ≥3

2x －3y ≤3

的可行域，如图所示．

画出直线l 0：x ＋2y ＝0，平移直线l 0到直线l 的位置，使l 过可行域内某点，且可行域内其他点都在l 的不包含直线l 0的另外一侧，该点到直线l 0的距离最小，则这一点使z ＝x ＋2y 取最小值．

显然，点A 满足上述条件，

解?

??

??

x ＋y ＝3

2x －3y ＝3得点A ? ??

??125，35，

∴z 最小值＝125＋2×35＝18

5.