高考真题_三角函数与解三角形真题(加答案)
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析
三角函数
一、三角恒等变换（3题）
1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ）
（A ） （B （C ）12- （D ）12
【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=1
2
，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.
2.（2016年3卷）（5）若3
tan 4
α=
，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625
【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34
sin ,cos 55αα=-=-，所以
2161264
cos 2sin 24252525
αα+=+?=，故选A ．
考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．
3.（2016年2卷9）若π3
cos 45α??-= ???，则sin 2α=
（A ）
7
25
（B ）15
（C ）1
5
-
（D ）725
-
【解析】∵3cos 45πα??-= ???，2ππ
7sin 2cos 22cos 12425ααα????=-=--= ? ?????
，故选D ．
二、三角函数性质（5题）
4.（2017年3卷6）设函数π
()cos()3
f x x =+，则下列结论错误的是（）
A ．()f x 的一个周期为2π-
B ．()y f x =的图像关于直线8π
3
x =对称
C ．()f x π+的一个零点为π6x =
D ．()f x 在π
(,π)2
单调递减
【解析】函数()πcos 3f x x ?
?=+ ??
?的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，
如图可知，()f x 在π,π2??
???
上先递减后递增，D 选项错误，故选D.
π
5.（2017年2卷14）函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π??
∈????
）的最大值是
．
【解析】()2231
1cos cos 44
f x x x
x x =--
=-+ 2
cos 12x ?=--+ ?
?，0,2x π??
∈????，则[]cos 0,1x ∈，当cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ω?+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）
（A ）13
(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13
(2,2),44k k k Z ππ-+∈
（C ）13
(,),44k k k Z -+∈
（D ）13
(2,2),44
k k k Z -+∈
【解析】由五点作图知，1
+42
53+42
πω?π
ω??=????=??，解得=ωπ，=4π?，所以()cos()4f x x ππ=+，
令22,4
k x k k Z π
ππππ<+<+∈，解得124k -
＜x ＜3
24
k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -
，3
24
k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质
7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为
的运动过程可以看出，轨迹关于直线2
x π=对称，且()()42
f f ππ
>，且轨迹非线型，故选
B ．
8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),2
4
f x x+x π
π
ω?ω?=>≤=-
， 为()f x 的零
点,4
x π
=
为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ??
??
?，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5
考点：三角函数的性质 三、三角函数图像变换（3题）
9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π
12
个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =
-∈ （D ）()ππ212
Z k x k =+∈ 【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ??=+ ???，令ππ2π+122x k ?
?+= ??
?，得对称轴方程：
()ππ
26
Z k x k =
+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．
考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．
11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π
3
)，则下面结论正确的是
A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度，得到曲线C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度，得到曲线C 2
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度，得到曲线C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的
12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度，得到曲线C 2
【解析】：熟悉两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一致。 先变周期：
2cos sin sin 2sin 2sin 2223122y x x y x y x x πππππ????????
??==+?=+?=+
=++ ? ? ? ? ??????
??
???
先变相位：
22cos sin sin sin sin 222633y x x y x x y x πππππ???????
?==+?=++=+?=+ ? ? ? ?????????
选D 。【考点】：三角函数的变换。
解三角形（8题，3小5大）
一、解三角形（知一求一、知二求最值、知三可解）
1.（2016年2卷13）ABC △的角A ，
B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5
cos 13
C =，1a =，则b = ．
【解析】∵4cos 5A =
，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13
C =，()63sin sin sin cos cos sin 65B A C A C A C =+=+=
，由正弦定理得：sin sin b a B A =解得21
13
b =．
2. （2017年2卷17）ABC △的角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
()2
sin 8sin 2
B
A C +=． (1)求cos
B ;
(2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求.b
解析 （1）依题得2
1cos sin 8sin 84(1cos )22
B B B B -==?=-． 因为22sin cos 1B B +=，所以2216(1cos )cos 1B B -+=，所以(17cos 15)(cos 1)0B B --=，得cos 1B =（舍去）或15cos 17
B =
. （2）由⑴可知8sin 17B =
，因为2ABC S =△，所以1sin 22ac B ?=，即18
2217
ac ?=，得172ac =.
因为15cos 17B =，所以22215
217
a c
b a
c +-=，即22215a c b +-=，从而22()215a c ac b +--=，
即2361715b --=，解得2b =．
3.（2016年1卷17）ABC ?的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知
2cos (cos cos ).C a B+b A c =
（I ）求C ；
（II ）若c ABC =
?求ABC 的周长．
【解析】(1)2cosC(acosB+bcosA)=c,由正弦定理得:2cosC(sinA·cosB+sinB·cosA)=sinC,
2cosC·sin(A+B)=sinC.因为A+B+C=π,A,B,C∈(0,π),所以sin(A+B)=sinC>0, 所以2cosC=1,cosC=12.因为C∈(0,π),所以C=π
3
.
(2)由余弦定理得:c 2=a 2+b 2-2ab·cosC,7=a 2+b 2-2ab·1
2
,(a+b)2-3ab=7,
S=1
2
,所以ab=6,所以(a+b)2-18=7,a+b=5,
所以△ABC 的周长为.
4. （2017年1卷17）ABC △的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的
面积为2
3sin a A
.
（1）求sin sin B C 的值；
（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长.
解析 （1）因为ABC △的面积23sin a S A =且1sin 2S bc A =，所以21
sin 3sin 2
a bc A A =，即
223sin 2a bc A =.由正弦定理得223
sin sin sin sin 2
A B C A =，由sin 0A ≠，得
2
sin sin 3
B C =.
（2）由（1）得2sin sin 3B C =，又1
cos cos 6
B C =，因为πA B C ++=，
所以()()1
cos cos πcos sin sinC cos cos 2
A B C B C B B C =--=-+=-=.
又因为()0πA ∈，，所以60A =，sin A ，1cos 2A =.
由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①
由正弦定理得sin sin a b B A =?，sin sin a c C A =?，所以2
2sin sin 8sin a bc B C A
=?= ② 由①，②，得
b c +=3a b c ++=ABC △周长为3+