高等代数下期末复习
第六章线性空间 一线性空间的判定
线性空间中两种运算的８条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证．
若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和８条运算规律中有一条不满足即可。
例：检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；
2） 全体n 阶反对称矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 解：1）否。因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如
523n n
x x ++--=（）（）。
2） n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，即全体n 阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。“全体n 阶反对称矩阵”是“n 阶矩阵”的子集，故只需验证反对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。
当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有
'''（A+B ）=A +B =-A-B=-(A+B ），即A+B 仍是反对称矩阵。
A kA k A A ''==-=-（k ）（）（k ），所以kA 是反对称矩阵。 故反对称矩阵的全体构成线性空间。
例：齐次线性方程组A x =0的全体解向量的集合，对于向量的加法和数乘向量构成一个线性空间，通常称为解空间。
而非齐次线性方程组A x =b 的全体解向量的集合，在上述运算下则不是线性空间，因为它们的两个解向量的和已经不是它的解向量。
二、基维数坐标
定义:在线性空间V 中，如果存在n 个线性无关的向量12n ,,,αααL 使得：V 中任一向量α都可由
12n ,,,αααL 线性表示，那么，12n ,,,αααL 就称为线性空间V 的一个基，n 称为线性空间V 的维数。记作dim V =n 。维数为n 的线性空间称为n 维线性空间。 定义（向量的坐标）：设12n ,,,αααL 是线性空间n V 的一个基。对于任一元素∈αn V ，总有且仅有一组有序数,,,,21n x x x Λ使
则n x x x ,,,21Λ这组有序数就称为元素a 在基底
12n ,,,αααL 下的坐标，并记作()12,,,T n x x x x =L
例：在线性空间22?R 中，
就是22?R 的一个基。22?R 的维数为4.
任一2阶矩阵
因此A 在4321,,,A A A A 这个基下的坐标为
()
T d c b a ,,,。
若另取一个基 ??
? ??=??? ??=??? ??=??? ??=1111,0111,0101,00014321B B B B 。 则
4321)()()(dB B d c B c b B b a d b c a A +-+-+-=??
? ??=因此A 在4321,,,B B B B 这个基下的坐标为
()
T d d c c b b a ,,,---。 例：考虑全体n 阶对称矩阵构成的线性空间的基底
和维数。 3） 解：n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，即全体n 阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。“全体n 阶对称矩阵”是“n 阶矩阵”的子集，故只需验证对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。从而全体n 阶对称矩阵构成的线性空间。(1)ij ji E E i j n +≤≤≤即为它的一组基。共
(1)122n n n ++++=L 个，维数是(1)2
n n +
例：设1234(1,1,1,1),(1,1,1,1),
(1,1,11),(1,1,1,1),(1,2,1,1)εεεεξ==--=--=--=。
在4P 中，求向量ξ在基4321,,,εεεε下的坐标。 设有线性关系1234a b c d ξεεεε=+++，
则???????=+--=-+-=--+=+++1
12
1
d c b a d c b a d c b a d c b a ，
可得ξ在基4321,,,εεεε下的坐标为
41
,41,41
,45
-=-===d c b a 。
例：在4P 中，由齐次方程组
确定的解空间的基与维数。
解：对系数矩阵作行初等变换，有
所以解空间的维数是2，它的一组基为
??? ??-=0,1,38,911a ，???
??=1,0,37,922a 。
例：设1V 与2V 分别是齐次方程组
n n n x x x x x x x =====+++-12121...,0...的解空间，证明：
.21V V P n ⊕=
证：由于0...21=+++n x x x 的解空间是n －1维的，其基为)1,...,0,0,1(),...,0,...,1,0,1(),0,...,0,1,1(121-=-=-=-n ααα 而由n n x x x x ====-121...知其解空间是1维的，令,1=n x 则
其基为).1,...,
1,1(=β且βααα,,...,,121-n 即为n P 的一组基，从而.21V V P n +=
又
)dim ()dim ()dim (21V V P n +=，（也可由交为零向量知） 故
.21V V P n ⊕= 三、基变换与坐标变换
基变换：设n ααα,,,21Λ及n βββ,,,21Λ是线性空间n V 中的两个基，若
或简记为
=（n ααα,,,21Λ）???????
??nn n n n n a a a a a a a a a ΛM ΛM M ΛΛ2
12222111211 =（n ααα,,,21Λ）A （☆）
则矩阵A 称为由基n ααα,,,21Λ到基n βββ,,,21Λ的过
渡矩阵。（☆）式称为基变换公式. 坐标变换：设n V 中的元素α，在基n ααα,,,21Λ下的坐标为()T
n x x x ,,,21Λ，在基n βββ,,,21Λ下的坐标为
()
T n y y y ,,,21Λ。若两个基满足关系式（6-2），则有
坐标变换公式 =??????? ??n x x x M 21A ??????? ??n y y y M 21，或??????? ??n y y y M 21=1-A ??????
? ??n x x x M 21 第七章线性变换
一、线性变换的定义
线性空间V 到自身的映射称为V 的一个变换. 定义：线性空间V 的一个变换A 称为线性变换，如果对于V 中任意的元素βα,和数域P 中任意数k ，都有
A (βα+)=A (α)+A (β);
A (αk )=A k (α).
一般用花体拉丁字母A ，B ，…表示V 的线性变换，A (α)或A α代表元素α
在变换A 下的像.
例?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；
2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；
3）?在P 3中，A ),,(),,(233221321x x x x x x x +=；
4）?在P 3
中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 解：1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.
例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk ,
A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有
A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++
=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+
=),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++-
=A α+A β，
A =)(αk A ),,(321kx kx kx
=k A )(α，
故A 是3P 上的线性变换。
二、线性变换关于基的矩阵
定义：设n εεε,,,21Λ是数域P 上
n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：
用矩阵表示就是
A （n εεε,,,21Λ）=（A(1ε)，A(2ε)，…，A(n ε)）
=A n ),,,(21εεεΛ
其中
矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵. 定理：设线性变换A 在基
n εεε,,,21Λ下的矩阵是A ，向量ξ在基n εεε,,,21Λ下的坐标是),,,(21n x x x Λ,则A ξ在基n εεε,,,21Λ下的坐标),,,(21n y y y Λ可以按公式 计算.
例：在空间n x P ][中，线性变换
D )()(x f x f '= 在基)!1(,,!2,,11
2--n x x x n Λ下的矩阵是
三、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系.
线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.
定理：设线性空间V 中线性变换A 在两组
n εεε,,,21Λ（6）
n ηηη,,,21Λ(7)
下的矩阵分别为
A 和
B ，从基（6）到（7）的过渡矩阵是X ，于是AX X B
1-=. 定理告诉我们，同一个线性变换A 在不同基下的矩阵之间的关系为相似.
定义：设
A ，
B 为数域P 上两个n 级方阵，如果
可以找到数域P 上的n 级可逆方阵X ，使得
AX X B 1-=，就说A 相似于B ，记作B A ~. 相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：
1.反身性：A A ~
2.对称性：如果B A ~，那么A B ~.
3.传递性：如果B A ~,C B ~,那么C A ~. 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.
矩阵的相似对于运算有下面的性质.
如果X
A X
B 111-=, X A X B 212-=，那么
X A A X B B )(21121+=+-,
由此可知，如果AX X B
1
-=，且)(x f 是数域P 上一多项式，那么 利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算. 例：3
R 上的线性变换T 在基
1111000,1,0001ααα?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????下的矩阵为121012111A ?? ?= ? ?-?? 则基在123,2,ααα下的矩阵为（A ）
（A ）141011121?? ? ? ?-??
（B ）141044121?? ? ? ?-?? （C ）1211012111?? ? ? ? ?-??
（D ）2420
24222?? ? ? ?-?? 例：已知3P 中线性变换A 在基
1η=(-1,1,1),2η=(1,0,-1),3η=(0,1,1)下的矩阵是
????? ??-121011101，求A 在基
1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵。 解：因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)????
? ??--111101
011，所以
(1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)????
? ??---101110111=(1η,2η,3η)X ，
故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为
1B X AX -==????? ??--111101011????? ??-121011101????? ??---101110111=????
? ??--203022211。
四、线性变换的特征值和特征向量
定义：设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换,如果对于数域P 中一数λ,存在一个非零向量ξ,使得
A ξ=λξ（1）
那么λ称为A 的一个特征值,而ξ叫做A 的属于特征值λ的一个特征向量.
如果ξ是线性变换A 的属于特征值λ的特征向量，那么ξ的任何一个非零倍数ξk 也是A 的属于特征值λ的特征向量.这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的.相反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能属于一个特征值.
特征值与特征向量的求法：确定一个线性变换A 的一个特征值与特征向量的方法可以分成以下几步：
1.在线性空间V 中取一组基
n εεε,,,21Λ，写出A 在这组基下的矩阵A ；
2.求出A 的特征多项式E A λ-在数域P 中全部的根，它们也就是线性变换A 的全部特征值；
3.把所求得的特征值逐个地代入方程组
12()0n x x E A x λ?? ? ?-= ? ???
M （☆），对于每一个特征值，解方程组（☆），求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基n εεε,,,21Λ下的坐标，这样，也就求出了属于每个特征征的全部线性无关的特征向量.
矩阵A 的特征多项式的根有时也称为A 的特征值，而相应的线性方程组（☆）的解也就称为A 的属于这个特征值的特征向量.
例设线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵是
????
? ??=122212221A , 求A 的特征值与特征向量.
例设矩阵A 为
????
? ??-=340430241A , (1)问A 能否相似于对角阵？（2）若能，求一个可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角阵.
例在空间n x P ][中，线性变换 D )()(x f x f '= 在基)!1(,,!2,,11
2--n x x x n Λ下的矩阵是
D 的特征多项式是
n
D E λλ
λλλ=---=-ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ0001
0000
100
01
. 因此，D 的特征值只有0.通过解相应的齐次线性方程组知道，属于特征值0的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数.这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数.
五、线性变换的值域与核
定义：设A 是线性空间V 的一个线性变换，A 的全体像组成的集合称为A 的值域，用A V 表示.所有被A 变成零向量的向量组成的集合称为A 的核，用A )0(1
-表示.
若用集合的记号则
A V ={}V A ∈ξξ|,
A )0(1-={}V A ∈=ξξξ,0|
线性变换的值域与核都是V 的子空间.
A V 的维数称为A 的秩，A )0(1-的维数称为A 的零度.
第九章欧氏空间
一、欧氏空间举例
例1在线性空间n R 中,对于向量 ),,,(,
),,,(2121n n b b b a a a ΛΛ==βα,
定义内积
.),(2211n n b a b a b a +++=Λβα(1)
则内积(1)适合定义中的条件，这样n
R 就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.
例2在n R 里,对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ΛΛ==βα定义内积
.2),(2211n n b na b a b a +++=Λβα则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成不同的欧几里得空间.
例3在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积 ?=b a dx x g x f x g x f )()())(),((.
),(b a C 构成一个欧几里得空间.
柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量βα,有 当且仅当βα,线性相关时，等式才成立. 对于例1的空间n R ，(5)式就是
对于例2的空间),(b a C ，(5)式就是 要求：正交矩阵的定义、判断、性质
定理：对于任意一个n 级实对称矩阵，A 都存在正交矩阵T ，使Λ='=-AT T AT T 1成对角形。 定理：任意一个实二次型
都可以经过正交的线性替换变成平方和 2222211n n y y y λλλ+++Λ
,
其中平方项的系数n λλλ,,,21Λ就是矩阵A 的特征多项式全部的根
注意：正定矩阵的判断与性质正定二次型的判断（列举判断条件）
二．例题选讲
例．求齐次线性方程组
的解空间的一组标准正交基。
解：首先可求得基础解系为
的交化得
单位化得
321,,ηηη即为所求的标准正交基。