概率论与数理统计考试试卷与答案
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一.填空题(每空题2分，共计60 分)
1、A、B 是两个随机事件，已知p(A) 0.4,P(B) 0.5,p(AB) 0.3 ，则p(A B) 0.6 ,
p(A -B) 0.1 ，P(A B)= 0.4 , p(A B) 0.6。
2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。(1)从中不放回地任取2
只，则第一次、第二次取红色球的概率为：1/3 。(2)若有放回地任取 2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：9/25 。( 3)若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为：21/55 。
3、设随机变量X 服从B(2，0.5)的二项分布，则p X 1 0.75, Y 服从二项分
布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，
方差D(X+Y)= 25 。
4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、
0.15．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取
一件。
( 1)抽到次品的概率为：0.12 。
2)若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为：0.5
6、若随机变量X ~N(2,4)且(1) 0.8413 ，(2) 0.9772 ,则P{ 2 X 4} 0.815 ，
Y 2X 1,则Y ~ N( 5 ，16 )。
7、随机变量X、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1 ，D(Y)=2, 且
X、Y 相互独立，则：E(2X Y) - 4 ，D(2X Y) 6 。
8、设D(X) 25 ，D( Y) 1，Cov( X ,Y) 2，则D(X Y) 30
9、设X1, , X 26是总体N (8,16)的容量为26 的样本，X 为样本均值，S2为样本方
差。则：X~N(8 ，8/13 )，25S2 ~ 2(25)，X 8 ~ t(25)。
16 s/ 25
10、假设检验时，易犯两类错误，第一类错误是：”弃真” ,即H0 为真时拒绝H0,
第二类错误是：“取伪”错误。一般情况下，要减少一类错误的概率，必然增大另一类错误的概率。如果只对犯第一类错误的概率加以控制，使之 虑犯第二类错误的概率，这种检验称为：显著性检验。 二、(6 分)已知随机变量X 的密度函数f(x)求：(1)常数a， (2) p(0.5 X 1.5)(3)X 解:(1)由 f (x)dx 1, 得a 3 1..5 1 2 (2) p(0.5 X 1 5) = 0.5 f (x)dx 0.53x2dx 0 x 0 (3) F(x) x3, 0 x 1 2 1 , 1 x 2 ax , 0 x 1 0 , 其它的分布函数F( x) 2' 0.875 2' 三、(6 分)设随机变量(X ，Y )的联合概率密度为：f(x,y)2y, 0 x 1,0 y 1 0 , 其它 4' f X(x) 1 2 ydy 1 0 x 1 0 1 f Y (y) f (x，y)dx 2ydx 2y， 其他 0y1 其他求：(1) X，Y 的边缘密 度，解:(1) X，Y 的边缘密度分 2)讨论X 与Y 的独立性。 4' (2)由(1)可见f(x，y) f X(x) f(Y y), 可知: X，Y 相互独立2' 四、(8 分)设总体X~ N(0，2),。X 1,..., X n是一个样 本，求 2的矩估计量，并证 明它为2的无偏估计。 解: X 的二阶矩为:E(X 2) 2 1‘ 1n X 的二阶样本矩为A2 1 X i2 n k 11' 令：E(X 2) A2,1' n 解得: 2 1 n Xi2, n k 1 n 2的矩估计量 2 1X i2 n k 1 2' 1n E( ?2) E(1 X i2) , 它为2的无偏估计量. n 3' 五、(10 分) 从总体X ~N(u, 2) 中抽取容量为16 的一个样本，样本均值和样本方差分别是X 75,S2 4，t 0.975 (15) 2.1315,x02.025(15) 6.26, x02.975 (15) 27.5 求u 的置信度为0.95 的置信区间和2的置信度为0.95 的置信区间。 解: (1)n=16,置信水平 1 0.95, /2 0.025,t0.975(15) 2.1315, X 75,S2 4由此u 的置信水平为0.95的置信区间为: (75 2 2.1315) , 即(75 1.0658) 5' 16 (2) n=16,置信水平 1 0.95, / 2 0.025 , x02.025 (15) 6.26,x02.975(15) 27.5 S2 4由此2的置信水平为0.95 的置信区间为: 15 4 15 4 ( 2 , 2 ) (2.182,9.585) 5' 2 0.975 (15) 20.025(15) 六、 (10 分) 设某工厂生产工件的直径服从正态分布，要求它们的均值 0.25 ，现检验了一组由16 只工件，计算得样本均值、样本方差分 u 8, 经计算, t s x / 186 70.6.75/4 8 2 2.13,不在拒绝域内 ,因此接受 H 0.认为这批工件的 均值符合标准 其次首先对工件的方差进行检验 : H 0: 2 0.52 ,H 1 : 2 0.52 1 分 2 取统计量为 2 (16 12 )s , 可得拒绝域为 : { 2 15 02.49 02 .05 (15) 25} 2 分 0.52 0.5 2 0.05 2 经计算 , 2 (16 12 )s 29.4 25 ,在拒绝域内 ,因此拒绝 H 0.认为这批工件的方差 0.52 不符合标准 别 x 7.65,s 2 0.49 ，试在显著水平 0.05下，对该厂生产的工件的均值和方 差进行检验，看它们是否符合标准 此题中， t 0.5(15) 1.76,t 0.025(15) 2.13, 0.052 (15) 25, 0.0252 (15) 27.5, 解:(1)首先对工件的均值进行检验 : H 0: u 8,H 1 :u 8 1分 取统计量为 t X 8 , 可得拒绝域为 : { t s/ 16 X8 s/ 16 t 0. 025 (15) 2.13} ， 2分 2分 2分 XX 大学(本科)试卷( B 卷) 2005 -2006 学年第一学期 一.填空题(每小题 2 分，共计60 分) 1. 设随机试验E 对应的样本空间为S。与其任何事件不相容的事件为不可能事件，而与其任何事件相互独立的事件为必然事件；设E为等可能型试验，且S包含10个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为1/10。 2．P(A) 0.4,P(B) 0.3。若A与B独立，则P(A B) 0。28 ；若已知A, B中至少有一个事件发生的概率为0.6，则P(A B) 0.3，P(A B) 1/3 。 3、一个袋子中有大小相同的红球5只黑球3只，从中不放回地任取2只，则取到球颜色不同 的概率为：15/28。若有放回地回地任取 2 只，则取到球颜色不同的概率为：15/32 。 4、E(X) D(X) 1。若X服从泊松分布，则P{X 0} 1 e 1；若X服从均匀分布，则P{X 0} 0 。 2 5、设X ~ N( , 2)，且P{X 2} P{X 2}, P{2 X 4} 0.3，则 2 ；P{X 0} 0.8 。 6、某体育彩票设有两个等级的奖励，一等奖为4元，二等奖 2 元，假设中一、二等奖的概率分别为0.3和0.5, 且每张彩票卖2元。是否买此彩票的明智选择为：买 (买，不买或无所谓)。 7、若随机变量X ~ U (1,5) ，则p〈0 X〈4 0.75 ；E(2X 1) __7___， D(3X 1) 12 ． 3 8 、设X ~b(n,p),E(X) 2.4,D(X) 1.44 ，则P{X n} 0.43，并简化计算 有： p(A 1) 15%,P(A 2) 80%,P(A 3) 5% 2' B 表示取到次品， p(B A 1) 0.2,P(B A 2 ) 0.1, P(B A 3) 0.3， 2' 由贝叶斯公式： p(A 1 B)= p(A 1) 3 P(B A 1)(/ k1 p(A k ) P(B A k ) 0.24 4' 三、(7分)已知随机变量 X 的密度函数 f (x) ax, 0 0x1 , 其它 求：( 1)常数 a ， 2) p(0 X 0.5) 3)X 的分布函数 F (x )。 解 :(1)由 f (x)dx 1, 得a 2 2' (2) p(0. X 1 5) = 0.5 0 f (x)dx 0.5 2xdx 0.25 3' 15 2 2 X 20 S 2 ~ 2(15) ， ~ t(15) 16 s/ 15 此题中 (2) 0.9772 。 12、做假设检验时，容易犯两类错误，第一类错误是： ”弃真” ,即 H 0 为真时拒绝 H 0, 第二 类 率。如果只对犯第一类错误的概率加以控制，使之《 a ， 而不考虑犯第二类错误的概率， 这种检验称为显著性检验， a 称为 显著水平。 13、设二维随机向量 (X,Y) 的分布律是： 则 X 的方差 D(X) 0.21 ； X 与Y 的相关系数为: XY 3/7 。 二、 (7 分)甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为 0.2，0.1，0.3．现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占 15%，80%，5%的一批产品中随机 抽取一件，发现是次品，求该次品为甲厂生产的概率． 解：设 A 1,A 2,A 3 分别表示产品取自甲、乙、丙厂， 11、随机变量 X 的概率密度 f (x) x e 0, ，则称 X 服从指数分布， E(X) 1